元二次方程的四种解法
一元二次方程的解法
（1）一元二次方程的概念
一、考点、热点回顾
1、一元二次方程必须同时满足的三个条件:
(1) (2) (3) 2、一元二次方程的一般形式:
二、典型例题
例1：判断下列方程是否为一元二次方程：
①12=+x x ②12=x ③0322=+-y x x ④)4)(1(32--=-x x x ⑤02=++c bx ax ⑥02=mx （ｍ是不为零常数） 例2：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
(5)3)2(2=+x (6)0)3)(3(=-+x x
例3：当m ________时，关于x 的方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是一元二次方程。
三、课堂练习
1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）
2222211
.3(1)2(1) .
20
.0 .21
A x x
B x y
C ax bx c
D x x x +=++-=++=+=- 2、用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时，如果设x 2＋x ＝y ，那么原方程可变形为（ ）
A 、y 2＋y －6＝0
B 、y 2－y －6＝0
C 、y 2－y ＋6＝0
D 、y 2＋y ＋6＝0
3、已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.
4、已知关于x 的一元二次方程2
(1)60x k x -+-=的一个根是2，求k 的值．
四、课后练习
1.将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，得 ；其中二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .
2.方程2(4)5230k x x k -+++=是一元二次方程，则k 就满足的条件是 .
3. 已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，则代数式m 2-m=_____________
4.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，则x 满足的方程是（ ）
（A ） 213014000x x +-= （B ）2653500x x +-= （C ）213014000x x --= （D ）2653500x x --=
5．关于x 的方程0)3(2
=++-m nx x m ，在什么条件下是一元二次方程？在什么
条件下是一元一次方程？
（2）--直接开方法
一、考点、热点回顾
1、了解形如x 2=a(a ≥0)或(x ＋h)2= k(k ≥0)的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法
小结：如果一个一元二次方程具有n m x =+2)((0≥n )的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯） 【复习回顾】
1.方程2(4)5230k x x k -+++=是一元二次方程，则k 就满足的条件是 .
2.若（a+1）x 2+(x-1)2=0二次项的系数为-2,则a=
二、典型例题
例1：解下列方程：
（1）x 2＝2 （2）4x 2－1＝0
例2、解下列方程：
⑴2)1(2=+x ⑵04)1(2=--x ⑶03)3(122=--x
推荐例3：用直接开平方法解下列方程 （1）()21311504
x +-= （2）()()22
3421x x -=+（3）0222=-++b a ax x
三、课堂练习
1.若方程（x-4）2=m-6可用直接开平方法解 ，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞6 B ．m ≥o C ．m ≥6 D ．m=6
2.方程（1-x ）2=2的根是（ ）
、3 、-3 2、1+2 2、2+1
3.方程 (3x －1)2
=－5的解是 。 4.用直接开平方法解下列方程：
(1)4x 2=9； (2)（x+2）2=16
(3)(2x-1)2=3; (4)3(2x+1)2=12
四、课后练习
1、4的平方根是______________，方程24x =的解是________________.
2、方程()2
11x +=的根是_________，方程()2
411x +=的根是____________.
3、当x 取____ ___时，代数式25x -的值是2；若20x -=，则x ＝_________.
4、关于x 的方程0132=+-k x 若能用直接开平方法来解，则k 的取值范围是（ ）
A 、k ＞1
B 、k ＜1
C 、k ≤1
D 、k ≥1 5、解下列方程：
（1）221039
x -= （2）()2
546x -=
（3）(7x x += （4）()2
261280x --=
（5）220.503
y -= （6）()()22
142x x +=-
6、已知一个等腰三角形的两边是方程0
-
42=
-x的两根，求等腰三角形的
)
10
(
面积
（3）--配方法
一、考点、热点回顾
1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为（x＋h）2= k（n≥0）形式的过程，进一步理解配方法的意义；
2、填空：
（1）x2+6x+ =(x+ )2；(2)x2-2x+ =(x- )2；
(3)x2-5x+ =(x- )2；(4)x2+x+ =(x+ )2；
(5)x2+px+ =(x+ )2；
3、将方程x2+2x-3=0化为(x+h)2=k的形式为；
小结1：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、把常数项移到方程右边；
2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
3、利用直接开平方法解之。
小结2：当一元二次方程二次项系数不为1时，用配方法解方程的步骤：
①二次项系数化为1；②移项；③直接开平方法求解．
二、典型例题
例１:将下列各进行配方：
⑴2x＋10x＋_____＝（x＋_____）2 ⑵2x－6x＋_____＝（x－_____）2
⑶2x －
4
5x ＋_____＝（x －____）2 ⑷2x +b x ＋_____＝（x ＋___）2
例２:解下列方程：
（1）0342=+-x x （2）0132=-+x x
推荐例3：用配方法解下列关于x 的方程：
（1）()()2
110190x x +-++= （2）2226940x ax a b -+-=
例4：例1解方程：①02522=+-x x ②01432=++-x x
例5、一个小球垂直向上抛的过程中，它离上抛点的距离h （m ）与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：2524t t h -=。经过多少秒后，小球离上抛点的高度是16m ？
推荐例6：求证：对任意实数x ，代数式5.442+-x x 的值恒大于零。
三、课堂练习
1.完成下列配方过程：
（1）x 2+8x+ =(x+ )2 （2）x 2-x+ =(x- )2 （3）x 2+ +4=(x+ )2
（4）x 2
- + 4
9=（x- ）2
2.若x 2-mx+
2549=(x+ 57
)2，则m 的值为（ ）. A. 57 57 C. 514 D. -5
14
3.用配方法解下列方程：
(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0； (3)x 2+23x-4=0； (4)x 2-32x-3
2
=0. 4.已知直角三角形的三边a 、b 、c ，且两直角边a 、b 满足等式(a 2+b 2)2-2(a 2+b 2)-15=0，求斜边c 的值。
5.用配方法解方程2y 2-5y=1时，方程的两边都应加上（ ）
A. 25
B. 45
C. 45
D. 16
5
+b 2
+2a-4b+5=(a+ )2
+(b- )2
7.用配方法解下列方程：
(1)2x 2+1=3x ； (2)3y 2-y-2=0；
(3)3x 2-4x+1=0； (4)2x 2=3-7x.
8.若4x 2-(4m-1)x+m 2+1是一个完全平方式，求m.
四、课后练习
1、用配方法解下列方程：
（1）26160x x --= （2）2320x x +-=
（3）276x x +=- （4）05
1
412=--x x
２、把方程230x x p -+=配方，得到()2
12
x m +=
. （1）求常数p 与m 的值；（2）求此方程的解。
3、用配方法解方程 )04(022≥-=++q p q px x
4、用配方法解下列方程：
（1）x x 10152=+ (2)03
1
1232=+-x x
(3)4ｘ2－122ｘ－1＝0 (4)02722=--x x ,
(5)3x 2＋2x －3＝0 (6)05422=+-x x
2、你能用配方法求：当ｘ为何值时，代数式5632-+-x x 有最大值？
（4）--公式法
一、考点、热点回顾
1、把方程4-x 2=3x 化为ax 2+bx+c=0(a ≠0)形式为 ，b 2-4ac= .
2、方程x 2+x-1=0的根是 。
3、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .
4、一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ）
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
总结：一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况可由 来判断： 当b 2-4ac ＞0时， 当b 2-4ac=0时， 当b 2-4ac ＜0时，
二、典型例题
例1：解下列方程：
;023)1(2=++x x 472)2(2=-x x
变式：1、解方程：;3)1(2)1(=+x x ).52(1)2(2x x x +--=+
例2：解下列方程：
;01)1(2=-+x x ;0332)2(2=+-x x .0122)3(2=+-x x
例3：不解方程，判别下列方程根的情况.
（1）2x 2+3x+4=0； （2）2x 2-5=6x ；
（3）4x(x-1)-3=0； （4）x 2+5=25x.
题变：1、试说明关于x 的方程x 2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根.
推荐例4：当k 为何值时，关于x 的方程k x 2－（2k ＋1）x ＋k ＋3 = 0有两个不相等的实数根？
题变：1、已知一元二次方程(m-2)2x 2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围.
三、随堂练习
1.把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1化为ax 2 + bx + c = 0的形式，b 2-4ac= ，方程的根是 .
2.方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ）
A. x 1=1,x 2=3 =2±23 =2±3 =-2±23
3.关于x 的一元二次方程x 2+4x-m=0的一个根是5-2，则m= ，方程的另一个根是 .
4.若最简二次根式72-m 和28+m 是同类二次根式，则的值为（ ） 或-1
5.用公式法解下列方程：
（1）x 2-2x-8=0； （2）x 2+2x-4=0；
（3）2x 2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.
6.方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.不能确定
7.关于x 的方程x 2+2k x+1=0有两个不相等的实数根，则k( ) ＞-1 ≥-1 ＞1 ≥0
8.要使关于x 的方程kx 2-4x+3=0有实数根，则k 应满足的条件是 （ ） A ．k ＜4/3 ＞4/3 ≤4/3 ≥4/3
9.已知方程x 2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m ，n 的值可以是m= ,n= .
10.不解方程，判断下列方程根的情况： （1） 3x 2
－x ＋1 = 3x
（2）5（x 2＋1）= 7x （3）3x 2
－43x =－4
11. 解下列方程：
;06)1(2=+x x 02712)2(2=++x x
;0
5
2)3(2=
-
-y
y0
16
6
)4(2=
-
+x
x
四、课后练习
1.用公式法解方程2x2+43x=22,其中求的b2-4ac的值是（）
B. ±4
C. 32
2.用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是 .。
3.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）
212
144
12-
±
B. =
212
144 12-
±
-
C. =
212
144
12+
±
D. =
648
144
12-
±
4.三角形两边长分别是3和5，第三边的长是方程3x2-10x-8=0的根，则此三角形是三角形.
5.如果分式
12
2
--
+ x x
x
的值为零，那么x= . 6.用公式法解下列方程：
(1) 3y2-y-2 = 0(2) 2x2+1 =3x
(3)4x2-3x-1=x-2 (4)3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)
7.下列方程中，没有实数根的方程式（ ） =9 =3(4x-1) (x+1)=1 +6y+7=0
8.方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ） ＞0 B. b 2-4ac ＜0 C. b 2-4ac ≤0 D. b 2-4ac ≥0
9.如果方程9x 2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .
（4）--因式分解法
一、考点、热点回顾
应用回顾：下列哪些方法能用因式分解法解
小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： １.将方程的右边化为０ ２. 将方程左边因式分解．
３. 把原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程. ４. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
二、典型例题
例1：用因式分解法解方程:
(1)x x 42-= (2)0)3(3=+-+x x x
例2：解方程0)12(22=--x x
9(4)x 11
)1x (21x )3(0)3x (3)-x )(2(02x (1)x 2222=-=+-+=--=+
三、随堂练习
1.如果方程x 2-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为 ， 该方程可化为（x-1）（x ）=0
2.方程x 2=x 的根为（ ）
=0 B. x 1=0,x 2=1 C. x 1=0,x 2=-1 D. x 1=0,x 2=2 3.用因式分解法解下列方程：
（1）（x+2）2=3x+6； （2）（3x+2）2-4x 2=0； （3）5（2x-1）=(1-2x)(x+3)； （4）2（x-3）2
+(3x-x 2
)=0. 4.用适当方法解下列方程：
（1）（3x-1）2=1； （2）2（x+1）2=x 2-1；
（3）(2x-1)2+2(2x-1)=3； （4）(y+3)（1-3y ）=1+2y 2.
四、课后训练
1下面哪个方程用因式分解法解比较简便 (1)0522=--x x (2)01)12(2=-+x . 2.已知方程4x 2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
A.只有一个根x=
4
3
B.只有一个根x=0
C.有两个根x 1=0,x 2=4
3 D.有两个根x 1=0,x 2=-43
3.如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（ ） =1或x=-2 B.必须x=1 =2或x=-1 D.必须x=1且x=-2
4.方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）
A.化为x+1=1
B.化为（x+1）（x+1-1）=0
C.化为x2+3x+2=0
D.化为x+1=0
5.解方程x（x+1）=2时，要先把方程化为；再选择适当的方法
求解，得方程的两根为x
1= ,x
2
= .
6.用因式分解法解下列方程：
（1）x2+16x=0 （2）5x2-10x=-5
（3）x（x-3）+x-3=0 （4）2(x-3)2=9-x2
7.用适当的方法解下列方程：
（1）(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2) (2) 4x2-20x+25=7
(3)3x2-4x-1=0 (4)x2+2x-4=0
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法 (直接开平方法、配方法、公式法和分解法) 一元二次方程定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数) 交点式：y=a(x-x?)(x-x?) (a≠0) [有交点A（x?，0）和B（x?，0）的抛物线，即b2-4ac≥0] . 直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。 用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=m± 配方法: 1.将此一元二次方程化为ax2+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根) 2.将二次项系数化为1 3.将常数项移到等号右侧 4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.左右同时开平方 7.整理即可得到原方程的根 公式法： 1.化方程为一般式：ax2+bx+c=0 （a≠0） 2.确定判别式，计算Δ（=b2-4ac）； 3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x= 若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x?=x?= 若Δ<0，该方程在实数域内无实数根 因式分解法： 因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 用因式分解法解一元二次方程的步骤 1.将方程右边化为0； 2.将方程左边分解为两个一次式的积；
3.令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式： y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)。 增减性 当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反，同增同减。 当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大。 常用公式总结： ；
三元二次方程组的变形求值问题(专题复习)
第1页（共5页） 三元二次方程组的变形求值问题 1．（2013春?和平区校级期末）已知 ，那么x ：y ：z 为 （ ） ． 2．（2010春?北京校级期末）若2x+3y ﹣z=0且x ﹣2y+z=0，则x ：z=（ ） 3．若4x ﹣3y ﹣6z=0，x+2y ﹣7z=0（xyz ≠0），则 的值等于（ ） ． ． C 4．若 3x+5y+z=0，3x+y ﹣7z=0，则x+y ﹣z 的值是（ ） 5．（2014春?招远市期末）已知，则a ：b ：c 等于（ ） 6．（2014春?北京校级月考）已知 （xyz ≠0），则x ：y ：z 的值为（ ） 7．（2012春?大连期末）若，则x+y+z=（ ）
8．（2012春?雁江区期中）已知x+4y﹣3z=0，且4x﹣5y+2z=0，x：y：z为（） 9．（2011秋?海珠区校级期中）已知a+2b+3c=20，a+3b+5c=31，则a+b+c的值为（） 10．（2009秋?重庆校级期末）已知方程组（xyz≠0），则x：y：z等于（） 11．若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z的值为（） 12．已知3a﹣c=a+b+c=4a+2b﹣c，那么3a：2b：c等于（） 13．若2x+5y﹣3z=2，3x+8z=3，则x+y+z的值等于（） 14．若2a+5b+4c=0，3a+b﹣7c=0，则a+b﹣c的值是（） 15．若3x+5y+6z=5，4x+2y+z=2，则x+y+z的值等于（） 16．已知方程组，则x+y的值为（）
17．若a﹣2b+3c=7，4a+3b﹣2c=3，则5a+12b﹣13c=（） 18．（2014?牡丹江二模）若4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则的值等于． 19．（2014春?文登市校级期中）已知（xyz≠0），则x：y：z的值． 20．（2015春?山西期中）已知a+b=3，2b﹣c=2，则2a+c=．21．（2012春?荔湾区校级期中）已知3x+7y+4z=35，x+5y+2z=40，则x+y+z=． 22．（2010秋?西盟县期末）若，那么代数式 x+y+z=． 23．（2010秋?诸城市校级期末）已知x+2y﹣6z=0，3x﹣y=4z，则 的值为． 24．（2008春?武胜县期末）若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z 的值是． 25．若4x+3y+2z=15，x+2y+3z=10，则x+y+z=．26．已知方程2x﹣3y=z与方程x+3y﹣14z=0（z≠0）有相同的解．则x：y：z=．
一元二次方程的基本解法
第一讲：一元二次方程的基本解法 【知识要点】 ① 一元二次方程及其标准形式： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程。 形如ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的方程叫一元二次方程的标准形式。 任何一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为标准形式。 ② 一元二次方程的解法主要有： 直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。 一元二次方程的求根公式为x 1,2=)04(2422≥--±-ac b a ac b b . ③一元二次方程解（根）的含义：使方程成立的未知数的值 【经典例题】 例1、直接开平方法 （1）x 2－196＝0; （2）12y 2－25＝0； （3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0. 例2 、配方法： （1）x 2－2x ＝0； （2）2 12150x x +-= （3）24x 2x 2=+ （4）17x 3x 2+= 例3 、求根公式法： (1) 1522-=x x (2) 052222 =--x x
（3）（x ＋1）（x －1）＝x 22 （4）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1). 例4 、因式分解法： (1) x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. (2)4x 2 ＋19x －5＝0； (3) ()()2232 -=-x x x （4）x （x ＋1）－5x ＝0. 例5、换元法解下列方程： （1）06)12(5)12(2=+---x x (2) 06)1 (5)1(2=+---x x x x 例6、配方法的应用：求证：代数式122+--x x 的值不大于 4 5.
二元二次方程组解法例题
二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法（即代入法） 二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 元二次方程，求得一个未知数的值； 的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意
二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。 程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 析：例1．解方程组 观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6.
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法总结 ： y=a(x-x?)(x-x?) (a≠0) [有交点A（x?，0）和 B（x?，0）的抛物线，即b- 4ac≥0] 、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)=n(n≥0)的方程，其解为x=m 配方法:1、将此一元二次方程化为ax+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根) 2、将二次项系数化为1 3、将常数项移到等号右侧 4、等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5、将等号左边的代数式写成完全平方形式 6、左右同时开平方 7、整理即可得到原方程的根公式法：1、化方程为一般式：ax+bx+c=0 （a≠0）2、确定判别式，计算Δ（=b-4ac）；3、若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x?=x?=若Δ<0，该方程在实数域内无实数根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边
因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。用因式分解法解一元二次方程的步骤1、将方程右边化为0；2、将方程左边分解为两个一次式的积；3、令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4、解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解、用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax+bx+c(a≠0)。(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式： y=a(x-h)+k(a≠0)。(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)。增减性当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反，同增同减。当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大。常用公式总结：； 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴，解得；∵方程（2）没有实数根∴ ，解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有
一元二次方程解法讲义
龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
一元二次、三次方程的通解
一元二次、三次方程的通解 徐厚骏 ㈠一元二次方程的通解 以下形式的一元二次方程我们很容易解 x 2-c=0其解为c x ±=， 现在要讨论标准型方程ax 2+bx +c =0可改写为 02 =++a c x a b x ……………⑴如果x 1，x 2为方程的两个根，有根与系数的关系： 2121;)(x x a c x x a b =+?=我们对方程⑴进行变换，令 a b y x 2?=…………………⑵代入方程⑴，则有 0)2(2(2=+?+?a c a b y a b a b y ，整理后为0(4122=+?a c a b y 改写为 222 44a ac b y ?=……………⑶显然，方程⑶的解为
2 244a ac b y ?±=再代入⑵式，得 a ac b b x 242?±?=………………⑷这就是一元二次方程的通解公式。 ㈡一元三次方程的通解 一元三次方程式： 032213=+++a x a x a x ………………⑸如果x 1，x 2，x 3为方程的三个根，有根与系数的关系：a 1=-(x 1+x 2+x 3) a 2=x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3 a 3=-x 1x 2x 3 也可以求其通解令13 1a y x ?=代入⑸，得03=++q py y ……………⑹其中：22131a a p ?=，3121327 231a a a a q +?=，令;12?=i ,2742;2742332332p q q B p q q A +??=++?=则三个根分别是：
)(2 3)(21)(2 3)(21321B A i B A y B A i B A y B A y ??+?=?++?=+=我们令32427p q +=?，称作判别式，显然 ⒈Δ>0时有一个实根和一对复根； ⒉Δ=0时有三个实根，特别当042732≠?=p q 时，三个实根中有两个相等，0==q p ，时有三重零根； ⒊Δ<0时有三个不等的实根。 ㈢一元四次方程的通解公式 一元四次方程 0234=++++e dx cx bx x ………………………………………⑺的根与下列两个方程式的根一致： 048(2) 48(0)48(2) 48(222222=?+??+?+?+=?+?++?+++c b y d by y x c b y b x c b y d by y x c b y b x ……………⑻ 其中y 为三次方程：0)4()82(482223=??+?+?d b c e y e bd cy y ……………………⑼的任一个实数根。 下面列出四次方程的根与系数的关系：
如何用《几何画板》画三元二次方程
1、如何用《几何画板》画三元二次方程？ 2、什么软件可以画三元二次方程？ 2011-02-17 22:19匿名 | 分类：其它类软件| 浏览638次 如何画X^2+Y^2-Z^2=0的图像？ 我有更好的答案 提问者采纳 2011-02-26 12:19 （以5.02版为例） 步骤 1“自定义工具”/“选择工具文件夹”（在自定义菜单的最下端）/“C:\Program Files\Sketchp ad5\Tool Folder” 2“自定义工具”/“三维透视”/“建立三维坐标系”/匹配点x-y center 匹配点z center 匹配点image center 匹配点dial 3依次点击“坐标系复位”，“初始化”，“正投影” 4“数据”/“新建参数”/t1 5“数据”/“新建参数”/t2 6“数据”/“计算”/sqrt(t1^2+t2^2) 7“数据”/“计算”/-sqrt(t1^2+t2^2)
8“自定义工具”/“画点(x,y,z)”/将匹t1配给x，将匹t2配给y，将匹sqrt(t1^2+t2^2)配给z （匹配时点击度量结果即可）/标签为A1 9选中度量结果t1点A1，“构造”/“轨迹”/T1 10选中轨迹T1和度量结果t2，“构造”/“曲线族” 11选中度量结果t2点A1，“构造”/“轨迹”T2 12选中轨迹T2和度量结果t1，“构造”/“曲线族” 13“自定义工具”/“画点(x,y,z)”/将匹t1配给x，将匹t2配给y，将匹-sqrt(t1^2+t2^2)配给z（匹配时点击度量结果即可）标签为A 2 14选中度量结果t1点A2，“构造”/“轨迹”/T 3 15选中轨迹T3和度量结果t2，“构造”/“曲线族” 16选中度量结果t2点A2，“构造”/“轨迹”T4 17选中轨迹T4和度量结果t1，“构造”/“曲线族”
最新二元二次方程组的解法
二元二次方程的解法 一、内容综述： 1．解二元二次方程组的基本思想和方法 解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。 2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。 “二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 “二·一”型方程组的解法 （1）代入消元法（即代入法） 代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： ①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值； ④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 （2）逆用根与系数的关系 对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。 注意：不要丢掉一个解。 此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。 “二·二”型方程组的解法 (i) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解。 (ii) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 注意：“二·一”型方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 二、例题分析： 例1．解方程组 分析：仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 解法一：由(1)得y=8-x (3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. 把x1=2代入(3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。 解法二：根据根与系数的关系可知：x, y是一元二次方程，
一元二次方程及解法
课题：复习一元二次方程及其解法 【课前热身】 1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 2.一元二次方程 x 2=3x 的根是 . 3．一元二次方程2230x x --=的根是 . 4． 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实 数 p =（ ） 5．关于x 的方程1 (3)(1)30n n x n x n +++-+=是一元二次方程，则一次项系数是 . 【课标解读】 1了解一元二次方程的有关概念，知道一元二次方程的一般形式； 2会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单系数的一元二次方程，并根据方程的特点，灵活选择方程的解法（重点） 【命题趋向】一元二次方程是中考的重点，一元二次方程的解法以选择题和解答题为主。 【考点精要】 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。（警告：判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .） 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如 )0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （警告：用直接开平方的方法时要记得取正、负.） （2）配方法：用配方法解一元二次方程 ()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（警告： 用配方法时二次项系数要化1.） （3）公式法：一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 21,2(40)2b x b ac a -±=-≥.（警告：方程要先化成一般形式.） （4）因式分解法：1提取公因式2运用公式法（平方差公式和完全平方公式）3十字相乘法： 因式分解法的步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（警告：方程要先化成一般形式.） 3、一元二次方程的根的判断式 若 ()02≠=++a o c bx ax , 则
3元一次方程组解法
3元一次方程组解法 本周目标： 会解三元一次方程组．通过解三元一次方程组的学习，提高逻辑思维能力.培养抽象概括的数学能力． 重点、难点： 三元一次方程组的解法．解法的技巧． 重点难点分析： 1.三元一次方程的概念 三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程. 2.三元一次方程组的概念 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 例如，等都是三元一次方程组. 三元一次方程组的一般形式是： 3.三元一次方程组的解法 （1）解三元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数. （2）怎样解三元一次方程组？ 解三元一次方程组例题 1.解方程组 法一：代入法 分析：仿照前面学过的代入法，将（2）变形后代入（1）、（3）中消元，再求解．
解：由（2），得x=y+1．（4） 将（4）分别代入（1）、（3）得 解这个方程组，得 把y=9代入（4），得x=10． 因此，方程组的解是 法二：加减法 解：（3）-（1），得x-2y=-8 （4） 由（2），（4）组成方程组 解这个方程组，得 把x=10，y=9代入（1）中，得z=7． 因此，方程组的解是 法三：技巧法 分析：发现（1）＋（2）所得的方程中x与z的系数与方程（3）中x与z的系数分别对应相等，因此可由（1）+（2）-（3）直接得到关于y的一元一次方程，求出y 值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组 解：由（1）＋（2）-（3），得y=9． 把y=9代入（2），得x=10． 把x=10，y=9代入（1），得z=7． 因此，方程组的解是 注意： （1）解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出. （2）从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确 求解方程组．
一元二次方程的解法(消元)
消元一二元一次方程组的解法（四）教案 一、教学目标 1、知识与技能:熟练掌握代入消元法和加减消元法。 2、过程与方法：能根据方程组的特点选择合适的消元方法解方程组。 3、情感态度价值观：通过分析实际问题中的数量关系，建立方程组解决问题，进一步认识方程模型的重要性。 二、教学重难点 重点：能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。 难点：实际问题中的数量关系较复杂是本节课难点。 三、教学过程 （一）复习、引入课题 复习：解二元一次方程有多少种解法？共同点是什么？目的是什么？ 引入：接下来继续深入探讨二元一次方程组的解法。 （二）探索新知 （1）解方程组 引导学生通过消y 与消x ，尝试不同的解法，培养学生发散思维，然后让学生归纳这样类型的二元一次方程组的解法。 小结1：当方程中同一个未知数的系数相等或相反时，用加减消元法较简便。 （2）请选择适当的方法解下列方程组： ① ② ③ 2x-2y=60 (2) 2x+2y=100 (1) 3.2x+2.4y=5.2 2x+y=1.5 4x+8y=12 3x-2y=5 5x-4y=2 2x+3y=10
通过这三个方程组的讨论，归纳出方程系数具有什么特征时选择什么消元法。 小结2：当方程组中有一个未知数的系数是1或-1时，用代入消元法较简便。 小结3：当两个方程中同一个未知数的系数成整倍数时，用加减消元法较简便。 小结4：当方程组中任何未知数的系数不是1或-1，是不成整倍数时，一般经过变形后利用加减消元法较简便。 老师小结：解二元一次方程组不管采用哪种方法，都可以获得它的解，但根据题目形式的特点，选择恰当的方法可以减少走弯路，加快解题速度，使解题过程简洁，提高正确率。 （三）实际应用 例（教材104页）：2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？ 通过分步提问，引导学生分析 问题1：列方程组解应用题的关键是什么？ 问题2：你能找出本题的等量关系吗？ 问题3：怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢 设：如果1台大收割机1小时收割小麦X公顷，1台小收割机1小时收割小麦Y公顷。 那么2台大收割机2小时收割小麦（）公顷，5台小收割机2小时收割小麦（）公顷。 根据“2台大收割机2小时的工作量+5台小收割机2小时的工作量=3.6公顷”可列方程： 4x+10y=3.6
高一数学二元二次方程组解法
方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x ＝2y ＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0， 即 y (y ＋1)＝0． ①
解得 y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是 112,0x y =??=?， 22 0,1.x y =??=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? 解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==． 把13y =代入③，得14x =； 把24y =代入③，得23x =． 所以原方程的解是 114,3x y =??=?， 223,4. x y =??=? 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ． 这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =． 所以原方程组的解是 114,3;x y =?? =? 223,4. x y =??=? 练 习： ①
二元二次方程组及其解法
八年级第21讲 二元二次方程组及其解法 知识点1：二元二次方程及二元二次方程组的有关概念： 1、 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程， 叫做二元二次方程。 如：0542 2 =-+y xy x ，5=xy ，042 2 =-y x ，024522 2 =+++-y x y xy x 等。 2、 注意点： （1）二元二次方程是整式方程。（2）二元二次方程含有两个未知数。 （3）含有未知数的项的最高次数是2 3、一般式 ： 220ax bxy cy dx ey f +++++=．这里，必须强调a 、b 、c 中至少有一个不是零，否则 就不是二元二次方程了。“a 、b 、c 中至少有一个不是零”也可以说成“a 、b 、c 不都为零”，但不能说成“不为零”或“都不为零”，因为它们的意义是不一样的。 4、二元二次方程的解： 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解。 5、二元二次方程组： 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。如： 6、二元二次方程组的解： 二元二次方程组中所含方程的公共解，叫做二元二次方程组的解。 例1、在方程组①???==-132xy y x 、②()???=-=-12232xy x x y x 、③???=-=-32232y y x 、④?????=-=+5 7xy x xy x 、 ⑤? ??-==24 yz xy 中，是二元二次方程组的共有＿＿＿＿＿个. 分析：抓住关键（1）组内方程是整式方程。（2）方程组中含有两个未知数。 （3）含有未知数的项的最高次数是2
(完整版)一元二次方程的解法大全,推荐文档
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】 ＝0(a≠0)， 把方程ax2+c 例：用直接开平方法解方程： 1．9x2-25＝0； ； 2．(3x+2)2-4＝0 4．(2x+3)2＝3(4x+3)． 解：1．9x2-25＝0 25 9x2＝ 2．(3x+2)2-4＝0 (3x+2)2＝4 3x+2＝±2 2±2 3x＝-
∴x1＝x2＝3． 4．(2x+3)2＝3(4x+3) 4x2+12x+9＝12x+9 4x2＝0 ∴x1＝x＝0． 【配方法解一元二次方程】 将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除 + 以二次项系数，使二次项系数为1，如x2 1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35； 3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0． 解：1．x2-4x-3＝0 x2-4x＝3 x2-4x+4＝3+4 7 (x-2)2＝
3．4x2+4x+1＝ 7 4．2x2-3x-3＝
一元二次方程ax2+bx+c＝ 0(a 广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法 ＝0(a≠0)的求根公式。 例：用公式法解一元二次方程： 2．2x2+7x-4＝0； ． 4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x) 2．2x2+7x-4＝0 ∵a＝2，b＝7，c＝-4． 81 b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝
4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0) x2-3ax+2a2-ab-b2＝0 ∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2 b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2) ＝9a2-8a2-4ab+4b2 ＝a2-4ab+4b2 ＝(a-2b)2 2b≥0)时，得 当(a- 【不完全的一元二次方程的解法】 在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法： 例：解下列一元二次方法： ．
初二-二元二次方程组解法与应用题(两份)
二元二次方程组解法与应用题 【知识梳理】 一、二元二次方程和方程组 1、仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程. 2、关于x,y 的二元二次方程的一般形式是: 22ax bxy cy dx ey f 0+++++=(a,b,c,d,e,f 为常数)其中,22ax ,bxy,cy 叫做这个方程的二次项,a,b,c 分别叫做二次项系数; dx,ey 叫做这个方程的一次项,d,e 分别叫做一次项系数;f 叫做这个方程的常数项. 3、使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解 4、由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程或两个二元二次方程组成的方程组是二元二次方程组 5、方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解 6、解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程. 7、对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法 二、应用题 1、在实际问题中,经常会遇到一个(多个)未知量得问题,我们可以列方程(组)来求解. 2、通过列方程来解某些实际问题,应注意检验,不仅要检验求得的解是否适合方程,还要检验所得得解是否符合实际意义. 【热身练习】 1. 将y 2x 1=-代入方程2 2 y 2x 2-=后,整理成关于x 的整式方程是__________ 2. 将方程2 2 x 2xy 3y 0+-=分解为两个二元一次方程为_____________与______________ 3. 二元二次方程组(x 2y)(2x y)0 (x 3y 1)(2x y 1)0--=?? -++-=? 的解有________组. 4. 已知03 x y =?? =?和11 x y =-?? =?是二元二次方程22 0x y dx ey +++=的两个解,则d=_________, e=_________
《一元二次方程的解法》规律总结
《一元二次方程的解法》规律总结 1．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)， b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2 =-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2 +的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解 的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2 2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点． (3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、 c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方 程的一般步骤： ①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2 =++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根． 说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法． 2．一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的 实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=?叫做一元二次方程0c bx ax 2 =++的根的判别式． △>0?方程有两个不相等的实数根． △＝0?方程有两个相等的实数根． △<0?方程没有实数根．
一元二次方程解法练习题(四种方法)
一元二次方程解法练习题 姓名 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812 =-x 二、 用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 3、9642=-x x 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x 三、 用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、223 14y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x
四、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、0)32()1(22=--+x x 3、0862=+-x x 4、22)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、0)23()32(2=-+-x x 五、用适当的方法解下列一元二次方程。(选用你认为最简单的方法) 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322 =- 3、2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x 7、()02152 =--x 8、0432=-y y 9、03072=--x x
10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122 =-+x 13、22244a b ax x -=- 14、3631352= +x x 15、()()213=-+y y 16、) 0(0)(2≠=++-a b x b a ax 17、03)19(32=--+a x a x 18、012=--x x 19 、02932=+-x x 20、02222=+-+a b ax x 21、 x 2+4x -12=0 22、030222=--x x 23、01752=+-x x
一元二次方程的解法规律总结归纳
一元二次方程的解法规律 总结归纳 Prepared on 21 November 2021
《一元二次方程的解法》规律总结 1．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0) 类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次 方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2 =-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配 成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时， 可把方程化为7x 6x 2-=+，2 2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点． (3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在 0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算0ac 4b 2 <-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根． 说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法． 2．一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有 实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=?叫做一元二次方程0 c bx ax 2=++的根的判别式． △>0?方程有两个不相等的实数根． △＝0?方程有两个相等的实数根． △<0?方程没有实数根． 判别式的应用 (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 3．韦达定理及其应用