第2章 平面力系

第二章平面力系

1. 分析图示平面任意力系向O点简化的结果。已知：F1=100N，F2=150N，F3=200N，F4=250N，F=F/=50N。

解：

（1）主矢大小与方位：

F/R x＝∑F x＝F1cos45o+F3+F4cos60o＝100Ncos45o+200N+250cos60o＝395.7N

F/R y＝∑F y＝F1sin45o-F2-F4sin60o＝100Nsin45o-150N-250sin60o＝-295.8N

（2）主矩大小和转向：

M O＝∑M O(F)＝M O(F1)+M O(F2)+M O(F3)+M O(F4)+m

＝0-F2×0.3m+F3×0.2m+F4sin60×0.1m+F×0.1m

＝0-150N×0.3m+200N×0.2m+250Nsin60×0.1m+50N×0.1m

＝21.65N·m( )

向O点的简化结果如图所示。

2.图示起重吊钩，若吊钩点O处所承受的力偶矩最大值为5kN·m，则起吊重量不能超过多少？

解：根据O点所能承受的最大力偶矩确定最大起吊重量

G×0.15m＝5kN·m G＝33.33kN

3. 图示三角支架由杆AB，AC铰接而成，在A处作用有重力G，求出图中AB，AC所受的力（不

计杆自重）。

解:

（1）取销钉A画受力图如图所示。AB、AC杆均为二力杆。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F x＝0， -F AB+F AC cos60°＝0

∑F y＝0， F AC sin60°-G＝0

（3）求解未知量。

F AB＝0.577G（拉） F AC＝1.155G（压）

4.图示三角支架由杆AB，AC铰接而成，在A处作用有重力G，求出图中AB，AC所受的力（不计

杆自重）。

解

（1）取销钉A画受力图如图所示。AB、AC杆均为二力杆。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F x＝0， F AB-F AC cos60°＝0

∑F y＝0， F AC sin60°-G＝0

（3）求解未知量。

F AB＝0.577G（压） F AC＝1.155G（拉）

5. 图示三角支架由杆AB，AC铰接而成，在A处作用有重力G，求出图中AB，AC所受的力（不

计杆自重）。

解

（1）取销钉A画受力图如图所示。AB、AC杆均为二力杆。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F x＝0， -F AB+Gsin30°＝0

∑F y＝0， F AC-G cos30°＝0

（3）求解未知量。

F AB＝0.5G（拉） F AC＝0.866G（压）

6. 图示三角支架由杆AB，AC铰接而成，在A处作用有重力G，求出图中AB，AC所受的力（不

计杆自重）。

解

（1）取销钉A画受力图如图所示。AB、AC杆均为二力杆。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F x＝0， -F AB sin30°+F AC sin30°＝0

∑F y＝0， F AB cos30°+F AC cos30°-G＝0

（3）求解未知量。

F AB＝F AC＝0.577G（拉）

7. 图示圆柱A重力为G，在中心上系有两绳AB和AC，绳子分别绕过光滑的滑轮B和C，并分别

悬挂重力为G1和G2的物体，设G2＞G1。试求平衡时的α角和水平面D对圆柱的约束力。

解

（1）取圆柱A画受力图如图所示。AB、AC绳子拉力大小分别等于G1，G2。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F x＝0， -G1+G2cosα＝0

∑F y＝0，F N＋G2sinα-G＝0

（3）求解未知量。

8.图示翻罐笼由滚轮A，B支承，已知翻罐笼连同煤车共重G=3kN，α=30°，β=45°，求滚轮A，

B所受到的压力F NA，F NB。有人认为F NA=Gcosα，F NB=Gcosβ，对不对，为什么？

解

（1）取翻罐笼画受力图如图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F x＝0， F NA sinα-F NB sinβ＝0

∑F y＝0， F NA cosα+F NB cosβ-G＝0

（3）求解未知量与讨论。

将已知条件G=3kN，α=30°，β=45°分别代入平衡方程，解得：

F NA＝2.2kN F NA＝1.55kN

有人认为F NA=Gcosα，F NB=Gcosβ是不正确的，只有在α=β=45°的情况下才正确。

9.图示简易起重机用钢丝绳吊起重力G=2kN的重物，不计杆件自重、摩擦及滑轮大小，A，B，C

三处简化为铰链连接；求AB和AC所受的力。

解

（1）取滑轮画受力图如图所示。AB、AC杆均为二力杆。

（2）建直角坐标系如图，列平衡方程：

∑F x＝0， -F AB-Fsin45°+Fcos60°＝0

∑F y＝0， -F AC-Fsin60°-Fcos45°＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F=G=2kN代入平衡方程，解得：

F AB＝-0.414kN（压） F AC＝-3.15kN（压）

10. 图示简易起重机用钢丝绳吊起重力G=2kN的重物，不计杆件自重、摩擦及滑轮大小，A，B，

C三处简化为铰链连接；求AB和AC所受的力。

解：

（1）取滑轮画受力图如图所示。AB、AC杆均为二力杆。

（2）建直角坐标系如图，列平衡方程：

∑F x＝0， -F AB-F AC cos45°-Fsin30°＝0

∑F y＝0， -F AC sin45°-Fcos30°-F＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F=G=2kN代入平衡方程，解得：F AB＝2.73kN（拉）F AC＝-5.28kN（压）

11. 相同的两圆管置于斜面上，并用一铅垂挡板AB挡住，如图所示。每根圆管重4kN，求挡板

所受的压力。若改用垂直于斜面上的挡板，这时的压力有何变化？

解

（1）取两圆管画受力图如图所示。

（2）建直角坐标系如图，列平衡方程：

∑F x＝0，F N cos30°－Gsin30°－Gsin30°＝0

（3）求解未知量。

将已知条件G=4kN代入平衡方程，解得：F N＝4.61kN

若改用垂直于斜面上的挡板，这时的受力上图右

建直角坐标系如图，列平衡方程：

∑F x＝0，F N－Gsin30°－Gsin30°＝0

解得：F N＝4kN

12. 构件的支承及荷载如图所示，求支座A，B处的约束力。

解

（1）取AB杆画受力图如图所示。支座A，B约束反力构成一力偶。（2）列平衡方程：

∑M i＝0 15kN·m-24kN·m+F A×6m＝0

（3）求解未知量。F A＝1.5kN（↓） F B＝1.5kN

13. 构件的支承及荷载如图所示，求支座A，B处的约束力。

（1）取AB杆画受力图如图所示。支座A，B约束反力构成一力偶。

（2）列平衡方程：

∑M i＝0， F A×l sin45°-F×a＝0

（3）求解未知量。

14. 构件的支承及荷载如图所示，求支座A，B处的约束力。

解

（1）取AB杆画受力图如图所示。支座A，B约束反力构成一力偶。

（2）列平衡方程：

∑M i＝0，20kN×5m－50kN×3m＋F A×2m＝0

（3）求解未知量。

F A＝25kN（↓） F B＝25kN（↑）

15. 图示电动机用螺栓A，B固定在角架上，自重不计。角架用螺栓C，D固定在墙上。若M=20kN·m，

a=0.3m，b=0.6m，求螺栓A，B，C，D所受的力。

螺栓A，B受力大小

（1）取电动机画受力图如图所示。螺栓A，B反力构成一力偶。

（2）列平衡方程：

∑M i＝0，－M＋F A×a＝0

（3）求解未知量。

将已知条件M=20kN·m，a=0.3m代入平衡方程，解得：F A＝F B＝66.7kN

螺栓C，D受力大小

（1）取电动机和角架画受力图如图所示。螺栓C，D反力构成一力偶。

（2）列平衡方程：

∑M i＝0，－M＋F C×b＝0

（3）求解未知量。

将已知条件M=20kN·m，b=0.6m代入平衡方程，解得：

F C＝F D＝33.3kN

16. 铰链四连杆机构OABO1在图示位置平衡，已知OA=0.4m，O1B=0.6m，作用在曲柄OA上

的力偶矩M1=1N·m，不计杆重，求力偶矩M2的大小及连杆AB所受的力。

解

求连杆AB受力

（1）取曲柄OA画受力图如图所示。连杆AB为二力杆。

（2）列平衡方程：

∑M i＝0，－M1＋F AB×OAsin30o＝0

（3）求解未知量。

将已知条件M1=1N·m，OA=0.4m，代入平衡方程，解得：F AB＝5N；AB杆受拉。

求力偶矩M2的大小

（1）取铰链四连杆机构OABO1画受力图如图所示。F O和F O1构成力偶。

（2）列平衡方程：

∑M i＝0，－M1＋M2－F O×（O1B－OAsin30o）＝0

（3）求解未知量。

将已知条件M1=1N·m，OA=0.4m，O1B=0.6m代入平衡方程，解得：M2＝3N·m

17. 上料小车如图所示。车和料共重G=240kN，C为重心，a=1m，b=1.4m，e=1m，d=1.4m，α=55°，

求钢绳拉力F和轨道A，B的约束反力。

解

（1）取上料小车画受力图如图所示。

（2）建直角坐标系如图，列平衡方程：

∑F x＝0，F-G sinα＝0

∑F y＝0， F NA+F NB-G cosα＝0

∑M C(F)＝0，

-F×（d－e）-F NA×a+F NB×b＝0

（3）求解未知量。

将已知条件G=240kN，a=1m，b=1.4m，e=1m，

d=1.4m，α=55°代入平衡方程，解得：

F NA＝47.53kN；F NB＝90.12kN； F＝196.6kN

18. 厂房立柱的一端用混凝土砂浆固定于杯形基础中，其上受力F=60kN，风荷q=2kN/m，自重

G=40kN，a=0.5m，h=10m，试求立柱A端的约束反力。

解

（1）取厂房立柱画受力图如图所示。A端为固定端支座。

（2）建直角坐标系如图，列平衡方程：

∑F x＝0，q×h－F Ax＝0

∑F y＝0， F Ay－G－F＝0

∑M A(F)＝0，－q×h×h/2－F×a＋M A＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F=60kN，q=2kN/m，G=40kN，a=0.5m，h=10m代入平衡方程，解得：

F Ax＝20kN（←）；F Ay＝100kN（↑）；M A＝130kN·m（ ）

19. 试求图中梁的支座反力。已知F=6kN。

解

（1）取梁AB画受力图如图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F x＝0，F Ax-Fcos45o＝0

∑F y＝0， F Ay-Fsin45o+F NB＝0

∑M A(F)＝0，

-Fsin45o×2m+F NB×6m＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F=6kN代入平衡方程。解得：

F Ax＝4.24kN（→）；F Ay＝2.83kN（↑）；F NB＝1.41kN（↑）。

20. 试求图示梁的支座反力。已知F=6kN，q=2kN/m。

解

（1）取梁AB画受力图如图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F x＝0，F Ax-F cos30o＝0

∑F y＝0，F Ay-q×1m-F sin30o＝0

∑M A(F)＝0， -q×1m×1.5m-Fsin30o×1m+M A＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F=6kN，q=2kN/m代入平衡方程，解得：

F Ax＝5.2kN （→）；F Ay＝5kN （↑）；M A＝6kN·m （ ）。

21. 试求图示梁的支座反力。已知q=2kN/m，M=2kN·m。

解

（1）取梁AB画受力图如图所示。因无水平主动力存在，A铰无水平反力。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F y＝0，F A-q×2m+F B＝0

∑M A(F)＝0，

-q×2m×2m+F B×3m+M＝0

（3）求解未知量。

将已知条件q=2kN/m，M=2kN·m代入平衡方程，解得：

F A＝2kN（↑）；F B＝2kN（↑）。

22.试求图示梁的支座反力。已知q=2kN/m，l=2m，a=1m。

解

（1）取梁AB画受力图如图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F x＝0，F Ax-q×a＝0

∑F y＝0，F Ay＝0

∑M A(F)＝0，-q×a×0.5a+M A＝0

（3）求解未知量。

将已知条件q=2kN/m，M=2kN·m，a=1m代入平衡方程，解得：

F Ax＝2kN（→）；F Ay＝0；M A＝1kN·m（ ）。

23. 试求图示梁的支座反力。已知F=6kN，q=2kN/m，M=2kN·m，a=1m。

解

（1）取梁AB画受力图如图所示。因无水平主动力存在，A铰无水平反力。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F y＝0，F A-q×a＋F B-F＝0

∑M A(F)＝0，

q×a×0.5a+F B×2a-M-F×3a＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F=6kN，q=2kN/m，M=2kN·m，a=1m代入平衡方程，解得：

F A＝-1.5kN（↓）；F B＝9.5kN（↑）。

24. 试求图示梁的支座反力。已知F=6kN，M=2kN·m，a=1m。

解

（1）取梁AB画受力图如图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F x＝0，F A－F Bx＝0

∑F y＝0，F By－F＝0

∑M B(F)＝0，-F A×a+F×a+M＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F=6kN，M=2kN·m，a=1m代入平衡方程，解得：

F A＝8kN（→）；F Bx＝8kN（←）；F By＝6kN（↑）。

25. 试求图示梁的支座反力。已知F=6kN，M=2kN·m，a=1m。

解（1）取梁AB画受力图如图所示。

（2）建直角坐标系如图，列平衡方程：

∑F x＝0， F Ax-F B sin30o＝0

∑F y＝0，F Ay-F+F B cos30o＝0

∑M A(F)＝0，

-F×a-F B sin30o×a+F B cos30o×2a+M＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F=6kN，M=2kN·m，a=1m代入平衡方程，解得：

F B＝3.25kN（↖）；F Ax＝1.63kN（→）；F Ay＝3.19kN（↑）.

26. 试求图示梁的支座反力。已知F=6kN，a=1m。

解：求解顺序：先解CD部分再解AC部分。

解CD 部分

（1）取梁CD画受力图如图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F y＝0， F C-F+F D＝0

∑M C(F)＝0， -F×a＋F D×2a＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F=6kN代入平衡方程，解得：F C＝3kN；F D＝3kN（↑）

解AC部分

（1）取梁AC画受力图如图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F y＝0， -F/C-F A＋F B＝0

∑M A(F)＝0， -F/C×2a＋F B×a＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F/C =F C=3kN代入平衡方程，解得：

F B＝6kN（↑）；F A＝3kN（↓）。

梁支座A，B，D的反力为：F A＝3kN（↓）；F B＝6kN（↑）；F D＝3kN（↑）。

27. 试求图示梁的支座反力。已知F=6kN，q=2kN/m，M=2kN·m，a=1m。

解：求解顺序：先解CD部分再解ABC部分。

解CD部分

（1）取梁CD画受力图如上左图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F y＝0，F C-q×a+F D＝0

∑M C(F)＝0，-q×a×0.5a +F D×a＝0

（3）求解未知量。

将已知条件q=2kN/m，a=1m代入平衡方程。解得：F C＝1kN；F D＝1kN（↑）解ABC部分

（1）取梁ABC画受力图如上右图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F y＝0，-F/C+F A+F B-F＝0

∑M A(F)＝0，-F/C×2a+F B×a-F×a-M＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F=6kN，M=2kN·m，a=1m，F/C = F C=1kN代入平衡方程。

解得：F B＝10kN（↑）；F A＝-3kN（↓）

梁支座A，B，D的反力为：F A＝-3kN（↓）；F B＝10kN（↑）；F D＝1kN（↑）。

28.试求图示梁的支座反力。

解：求解顺序：先解IJ部分，再解CD部分，最后解ABC部分。

解IJ部分:

（1）取IJ部分画受力图如右图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F y＝0， F I-50kN-10kN+F J＝0

∑M I(F)＝0， -50kN×1m-10kN×5m+F J×2m＝0

（3）求解未知量。解得： F I＝10kN； F J＝50kN

解CD部分:

（1）取梁CD画受力图如图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F y＝0， F C-F/J+F D＝0

∑M C(F)＝0，-F/J×1m+F D×8m＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F/J = F J=50kN代入平衡方程。解得：

F C＝43.75kN；F D＝6.25kN（↑）

解ABC部分:

（1）取梁ABC画受力图如图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F y＝0， -F/C-F/I-F A+F B＝0

∑M A(F)＝0，

-F/C×8m+F B×4m-F/I×7m＝0

（3）求解未知量。

将已知条件F/I = F I=10kN，F/C = F C=43.75kN代入平衡方程。解得：

F B＝105kN（↑）；F A＝51.25kN（↓）

梁支座A,B,D的反力为：

F A＝51.25kN（↓）；F B＝105kN（↑）；F D＝6.25kN（↑）。

29.试求图示梁的支座反力。已知q=2kN/m，a=1m。

解：求解顺序：先解BC段，再解AB段。

BC段 AB段

1、解BC段

（1）取梁BC画受力图如上左图所示。

（2）建直角坐标系，列平衡方程：

∑F y=0， F C-q×a+F B=0

∑M B(F)=0，

-q×a×0.5a +F C×2a=0

（3）求解未知量。