对数函数及其性质,对数的公式互化,详尽的讲解

§2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算

1．对数的概念

一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．

说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ?x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N .

(2)“log ”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．

(3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则

利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．

(1)基本公式

①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．

②log a M

N

＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除

数的对数减去除数的对数．

③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．

(2)对数的运算性质注意点

①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)．

②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝log a M

log a N

，

log a M n ＝(log a M )n .

3．对数换底公式

在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底

公式：log b N ＝log c N

log c b

(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．

证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，

得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c N

log c b

.

换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．

由换底公式可推出下面两个常用公式：

(1)log b N ＝1

log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；

(2)log bn N m ＝m

n

log b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R )

.

题型一 正确理解对数运算性质

对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( )

①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.

A ．①与③

B ．②与④

C ．②

D ．①、②、③、④

解析 在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立．

在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .

在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立． 答案 C

点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．

题型二 对数运算性质的应用

求下列各式的值：

(1)2log 32－log 332

9＋log 38－5log 53；

(2)lg25＋2

3lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；

(3)log 52·log 79log 513

·log 734

.

分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．

解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.

(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 10

2

·lg(2×10)＋(lg2)2

＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.

(3)∵log 52·log 79log 513

·log 734＝1

2log 5

2·2log 73

－log 53·13log 7

4

＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7

＝－32.

点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．

题型三 对数换底公式的应用

计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．

分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．

解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值． 解 方法一 原式＝

?

???log 253＋log 225log 24＋log 25log 28????log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125

＝?

???3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22????

log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝?

???3＋1＋1

3log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22

log 25

＝13.

方法二 原式＝????lg125lg2

＋lg25lg4＋lg5lg8????

lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝????3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2????lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝????13lg53lg2????3lg2lg5＝13.

点评 方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．

已知log (x ＋3)(x 2

＋3x )＝1，求实数x 的值．

错解 由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.

错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了． 正解 由对数的性质知?????

x 2

＋3x ＝x ＋3，x 2

＋3x >0，

x ＋3>0且x ＋3≠1.

解得x ＝1，故实数x 的值为1.

对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．

1．(上海高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0 ∴(3x －7)(3x ＋1)＝0

∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去) ∴x ＝log 37. 答案 log 37

2．(辽宁高考)设g (x )＝?

????

e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ????g ????12＝____. 解析 g ????12＝ln 12<0，g ????ln 12＝eln 12＝12

， ∴g ????g ????12＝12. 答案 12

1．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，7)

B ．(3,7)

C ．(3,4)∪(4,7)

D ．(3，＋∞) 答案 C

解析 由题意得????

?

a －3>0，a －3≠1，

7－a >0，

解得3

2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )

A ．a －2

B ．3a －(1＋a )2

C ．5a －2

D ．－a 2＋3a －1 答案 A

解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )

A ．1

B ．lg5 C.1

lg5

D ．1＋lg2

答案 C

解析 原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1

lg5

.

4．已知log a (a 2＋1)

A ．(0,1) B.???

?0，12 C.????12，1 D ．(1，＋∞) 答案 C

解析 由题意，得?

????

0

2a >1，

∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)

2

5．已知函数f (x )＝a x －

1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )

A ．4 B.14 C ．3 D.1

3

答案 D

6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )

A ．lg7·lg5

B ．lg35

C ．35 D.1

35

答案 D

解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 1

35

∴α·β＝1

35

.

7．已知f (log 2x )＝x ，则f ????

12＝________. 答案 2

解析 令log 2x ＝12，则212

＝x ，∴f ????12＝21

2＝ 2. 8．log (2－1)(2＋1)＝________. 答案 －1

解析 log 2－1(2＋1)＝log 2－1(2＋1)(2－1)

2－1

＝log (2－1)1

2－1

＝－1.

9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________. 答案 0.06

解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，

而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3，

即lg x ＝lg10－

2＋lg6.

∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－

2＝0.06.

10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2x

y

的值；

(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，

∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0.

即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ， 又∵????

?

x >0，y >0，

x －2y >0，

∴x >2y >0，

∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .

则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4

lg 2

＝4.

(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ，

∴log 365＝log 185lg 1836＝b

log 18(18×2)

＝b 1＋log 182

＝b 1＋log 18

189

＝b 1＋(1－log 189)＝b

2－a

. 11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1

z

＝0，求abc 的值．

解 令a x ＝b y ＝c z ＝t (t >0且t ≠1)，

则有1x ＝log t a ，1y ＝log t b ，1

z ＝log t c ，

又1x ＋1y ＋1

z

＝0，∴log t abc ＝0，∴abc ＝1. 12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．

解 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根， ∴Δ＝0，即4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝0. 即lg(c 2－b 2)－2lg a ＝0，故c 2－b 2＝a 2， ∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．

2．2.1 对数与对数运算(一)

学习目标

1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化． 2．了解常用对数与自然对数的意义．

3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．

自学导引 1．如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．

(1)1的对数为零； (2)底的对数为1；

(3)零和负数没有对数．

3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .

4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)

.

一、对数式有意义的条件

例1 求下列各式中x 的取值范围：

(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.

分析 由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x 的不等式(组)，解之即可． 解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．

(2)由题意有?

???? x ＋2>0，

x －1>0且x －1≠1，

即?????

x >－2，

x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2. (3)由题意有?????

(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，

解得x >－1且x ≠0，x ≠1.

点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.

变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2

解析 由题意得????

?

5－a >0a －2>0

a －2≠1，

∴2

二、对数式与指数式的互化

例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：

(1)54＝625； (2)log 1

2

8＝－3；

(3)????14－2＝16; (4)log 101 000＝3.

分析 利用a x ＝N ?x ＝log a N 进行互化． 解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4.

(2)∵log 1

2

8＝－3，∴????12－3＝8. (3)∵????14－2＝16，∴log 14

16＝－2. (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.

点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重

要途径．在利用a x

＝N ?x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．

变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：

(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－2

3

；

(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 271

9

；

(5)x ＝log 1

2

16.

解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝272

3

＝32＝9.

(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝132

2＝32

2

.

(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2.

(4)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－

2，

∴x ＝－2

3

.

(5)由x ＝log 1216，得????12x ＝16，即2－x ＝24

， ∴x ＝－4.

三、对数恒等式的应用

例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋

，且不等于1，N >0)；

(2)41

2

(log 29－log 25)．

解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N ＝c log c N ＝N .

(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝9

5

.

点评 对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．

变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 31

5

.

解 原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)1

2

＝5＋15＝65

5

.

1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．

2．利用a b ＝N ?b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．

一、选择题

1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0

B ．27－13＝13与log 2713＝－1

3

C ．log 312＝9与91

2

＝3

D ．log 55＝1与51＝5 答案 C

2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )

A ．log 6a ＝a

B ．log 6b ＝a

C ．log a b ＝6

D ．log b a ＝6 答案 D

3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2

C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B

4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B

解析 方法一 令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.

方法二 令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3.

5．21＋1

2

·log 25的值等于( )

A ．2＋ 5

B ．2 5

C ．2＋52

D ．1＋5

2

答案 B

解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 251

2

＝2×51

2＝2 5.

二、填空题

6．若5lg x ＝25，则x 的值为________． 答案 100

解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.

7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋

n 的值为________． 答案 12

解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3，

∴a 2m ＋

n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.

8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600

解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题

9．求下列各式中x 的值

(1)若log 3????

1－2x 9＝1，则求x 值； (2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值．

解 (1)∵log 3???

?

1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3

∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝±2

10．求x 的值：(1)x ＝log 2

24；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75；

(4)log x 8＝－3；(5)log 1

2x ＝4.

解 (1)由已知得：???

?2

2x ＝4，

∴2－12x ＝22，－x

2

＝2，x ＝－4.

(2)由已知得：9x ＝3，即32x ＝31

2

.

∴2x ＝12，x ＝14

.

(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝7

5

.

(4)由已知得：x －3

＝8， 即????1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12

. (5)由已知得：x ＝? ????124＝1

16

.2.2.1 对数与对数运算(二)

学习目标

1．掌握对数的运算性质及其推导．

2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．

自学导引

1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；

(2)log a M

N

＝log a M －log a N ；

(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．

2．对数换底公式：log a b ＝log c b

log c a

.

一、正确理解对数运算性质

例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；

③log a x

y

＝log a x ÷log a y ；

④log a (xy )＝log a x ·log a y .

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个 答案 A

解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．

点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件． 变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )

A ．log a x ＝－log a 1

x

B ．(log a x )n ＝n log a x

C ．(log a x )n ＝log a x n

D ．log a x ＝log a 1

x

答案 A

二、对数运算性质的应用

例2 计算：

(1)log 535－2log 57

3

＋log 57－log 51.8；

(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2

；

(4)(lg5)2＋lg2·lg50.

分析 利用对数运算性质计算．

解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 59

5

＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.

(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2

＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.

(3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝3

2

.

(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)

＝(lg5)2

＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.

点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用． 变式迁移2 求下列各式的值：

(1)log 535＋2log 122－log 51

50－log 514；

(2)[(1－log 63)2

＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式

＝log 5(5×7)－2log 221

2

＋log 5(52×2)－log 5(2×7)

＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.

(2)原式＝[log 2

62＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622 ＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.

三、换底公式的应用

例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1

y

的值；

(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36，

∴x ＝log 336，y ＝log 436， 由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，

∴1x ＝log 363，1

y ＝log 364， ∴2x ＋1

y

＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.

(2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .

∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)

log 18(18×2)

＝log 189＋log 1851＋log 182

＝a ＋b 1＋log 18

189

＝a ＋b 2－a .

点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．

变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．

解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg m

lg8

＝2，

∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.

(2)由log 1227＝a ，得3lg3

2lg2＋lg3

＝a ，

∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a

3－a .

∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝4

2a

3－a

＋1

＝4(3－a )3＋a

.

1．对于同底的对数的化简常用方法是：

(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．

2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．

一、选择题

1．lg8＋3lg5的值为( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3 答案 D

解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b b

C.a a ＋b

D.b a ＋b 答案 B

解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b

b .

3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则???

?lg a

b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.1

4

答案 A

解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝1

2

，

∴???

?lg a

b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b

＝22－4×1

2

＝2.

4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1

y

等于( )

A.13 B ．3 C ．－1

3 D ．－3 答案 A

解析 由指数式转化为对数式： x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， 则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13

. 5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 2

2 005)的值等于( )

A ．4

B ．8

C ．16

D ．2log a 8 答案 C

解析 因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，

所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 2

2 005)

＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 2

2 005

＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005|

＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题

6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.

答案 a ＋2b －12

解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×9

10

＝12(lg2＋lg9－1)＝1

2

(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1

解析 log abc x ＝1log x abc ＝1

log x a ＋log x b ＋log x c

∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6

∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝1

6

，

∴log abc x ＝112＋13＋16

＝1

1＝1.

8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2

解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题

9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－4

3

lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.

解 (1)方法一 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·3

2

lg2

＋1

2(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝1

2

(lg2＋lg5)

＝12lg10＝12

. 方法二 原式＝lg 427

－lg4＋lg7 5

＝lg 42×757×4

＝lg(2·5)＝lg 10＝1

2

.

(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2

＝lg10·lg 5

2

＋lg4＝lg ????52×4＝lg10＝1. 方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1.

10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3

c

.

证明 设26a ＝33b ＝62c

＝k (k >0)，那么 ????

?

6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，

∴?????

1a ＝6log 2k

＝6log k 2，1b ＝3

log 3

k ＝3log k

3，

1c ＝2log 6

k ＝2log k

6.

∴1a ＋2

b

＝6·log k 2＋2×3log k 3 ＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3

c

，

即1a ＋2

b ＝3c

. 2．2.2 对数函数及其性质

1．对数函数的概念

形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数． 对于对数函数定义的理解，要注意：

(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；

(2)对数函数的解析式y ＝log a x 中，log a x 前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a >0，且a ≠1；

(3)以10为底的对数函数为y ＝lg x ，以e 为底的对数函数为y ＝ln x .

m (1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 范围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 范围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数

值的正负就很简单了，如log 21

3

<0，log 52>0等，一眼就看出来了！

题型一 求函数定义域

求下列函数的定义域：

(1)y ＝log 3x －12x ＋3

x －1；

(2)y ＝1

1－log a (x ＋a )

(a >0，a ≠1)．

分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的范围．

解 (1)要使函数有意义，必须{ 2x ＋3>0， x －1>0， 3

x －1>0， 3x －1≠1同时成

立，

解得?

??

x >－32， x >1， x >13， x ≠23. ∴x >1.

∴定义域为(1，＋∞)．

(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0， 即log a (x ＋a )<1＝log a a .

当a >1时，0a ，∴x >0.

∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a 0}．

点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．

题型二 对数单调性的应用

(1)log 43，log 34，log 433

4

的大小顺序为( )

A ．log 34

4

B ．log 34>log 43>log 433

4

C ．log 34>log 433

4>log 43

D ．log 433

4

>log 34>log 43

(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b b

a

，log b a ，log a b 的大小．

(1)解析 ∵log 34>1,0

?43－1＝－1， ∴log 34>log 43>log 433

4

.

答案 B

(2)解 ∵b >a >1，∴0

b

<1.

∴log a a b <0，log b b

a ∈(0,1)，log

b a ∈(0,1)．

又a >b a >1，且b >1，∴log b b

a

故有log a a b

a

点评 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：

①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0

③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．

当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限内)上升得慢．即当x >1时，y 1y 2.而在第一象限内，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．

当01时，y 1y 2即在第四象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小．

已知log a 1

2

<1，那么a 的取值范围是________．

分析 利用函数单调性或利用数形结合求解．

解析 由log a 1

2

<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0

a <12，∴0

. 故a >1或0

2

.

答案 a >1或0

2

点评 解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：

(1)当a >1时，log a x >0?x >1，log a x <0?00?01.

题型三 函数图象的应用

若不等式2x －log a x <0，当x ∈???

?0，1

2时恒成立，求实数a 的取值范围． 解

要使不等式2x

21,

0时恒成立，即函数y=logax 的图象在??

?

??21,0内恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点??

?

??2,

2

1.由图可知，loga 21>

2，

显然这里0

2

1>2=log 2

a

a ，∴a

2

>

2

1，即a>2

2

21??

?

??.

∴所求的a 的取值范围为2

2

21??

?

??

点评 原问题等价于当x ∈??

?

?

?

21,

0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a 的大小不确定，当a>1时，显然y2

?

??2,2

1时，y2满足条件，此时a 0=2

2

21?

?

? ??.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观

察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．

设函数f (x )＝lg(ax 2

＋2x ＋1)，若f (x )的值域是R ，求实数a 的取值范围．

错解 ∵f (x )的值域是R ，

∴ax 2＋2x ＋1>0对x ∈R 恒成立，

即{ a >0 Δ<0

?{ a >0 4－4a <0?a >1. 错因分析 出错的原因是分不清定义域为R 与值域为R 的区别． 正解 函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的值域是R ?真数t ＝ax 2＋2x ＋1能取到所有的正数．

当a ＝0时，只要x >－1

2

，即可使真数t 取到所有的正数，符合要求；

当a ≠0时，必须有{ a >0 Δ

≥0?{ a >0 4－4a ≥0?0

本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．

1．(广东高考)已知函数f (x )＝1

1－x

的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N

等于( )

A ．{x |x >－1}

B ．{x |x <1}

C ．{x |－1

D ．?

解析 由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}． 故M ∩N ＝{x |－1

2．(湖南高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32

解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.

又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 32

3．(全国高考)若x ∈(e －

1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a

解析 ∵1

e

令t ＝ln x ，则－1

∴a －b ＝t －2t ＝－t >0.∴a >b .

c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)， 又∵－1

∴00，∴c >a . ∴c >a >b . 答案 C

1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )

A ．{x |x >－1}

B ．{x |x <1}

C.??????

x |－12

2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x

，若f (a )＝1

2，则f (－a )等于( )

A.12 B ．－1

2 C ．－2 D ．2 答案 B

解析 f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝－lg ? ??

??1＋a 1－a －1

＝－lg 1－a 1＋a

＝－f (a )＝－12.

3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c

解析 因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ；

又因为2>3，则log 32>log 33＝1

2

，

而log 42＝log 22＝1

2

，

所以b >12，c ＝1

2

，即b >c .从而a >b >c .

4．函数f (x )＝lg|x |为( )

A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数

B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数

C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数

D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数 答案 D

解析 已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．

又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上是增函数． 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．

5．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )

答案 A

解析 方法一 若0

若a >1，则曲线y ＝a x

上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．

方法二 注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定选项A.

6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为( )

A ．(0，＋∞) B.????12，＋∞

C.????12，1

D.????0，12 答案 D

解析 已知－10，即0

f (x )>0，所以0<2a <1，即0

2

.

7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：

x －2 0 2 f (x ) 0.694 1 1.44

则不等式log a (x －1)<0答案 {x |1

解析 由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)0，即x >1，∴1

8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．

答案 12

解析 若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]； 故0

即log a 2＝－1，得a －

1＝2，所以a ＝12

.

9．已知函数f (x )＝?????

(3a －1)x ＋4a ，x <1

log a

x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值范

围为__________．

答案 ????

17，13

解析 函数f (x )为实数集R 上的减函数，

一方面，0

3

，

另一方面，由于f (x )在R 上为减函数，

因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥1

7.

因此满足题意的实数a 的取值范围为17≤a <1

3

.

10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值． 解 ∵f (x )的定义域为[1,4]， ∴g (x )的定义域为[1,2]．

∵g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 2x )2＋(1＋log 2x 2) ＝(log 2x ＋2)2－2，

又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1.

∴当x ＝1时，g (x )min ＝2；当x ＝2时，g (x )max =7.

2019-2020学年高中数学 1.3对数函数及其性质学案2 新人教A版必修1.doc

2019-2020学年高中数学 1.3对数函数及其性质学案2 新人教A 版必修 1 1. 能利用对数函数的图像和性质解决问题。 2. 能判断对数函数的单调性及求解单调区间。会利用对数函数的单调性来解不等式及求未 知字母的取值范围。 3. 解决与对数函数相关的综合性问题； 1、 已知函数)1(log )(>=a x x f a ，判断它与下列函数图像之间的关系： (1) )2 (log )(-=x x f a (2) 1log )(+=x x f a (3) x x f a 1log )(= (4) ||log )(x x f a = (5) |log |)(x x f a = 2、函数3 222 )(++-=x x x f 的增区间是____________,减区间是_____________. 3、 ?>>)1()()(a a a x g x f ?<<>)10()() (a a a x g x f 4、若函数x a x f =)(对于任意的),0(,21+∞∈x x ，试比较：2 ) ()()2(2121x f x f x x f ++与 考点一：对数型函数的图像与应用 1. 已知函数()log (21)(0,1)x a f x b a a =+->≠且的图像如下图所示，则a b ， 满足 的关系是( ) A.1 01a b -<<< B. 101b a -<<< C. 1 01b a -<<< D. 1101a b --<<< 2．函数f (x )＝log a ()(0,1)x b c a a ++>≠且的图像恒过定点(3,2)，则实数b,c 的值 分别为____________ 3. 函数0.5()2log 1x f x x =-的对应的方程解的个数为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若不等式2 log 0a x x -<在1 (0,)2 内恒成立，则a 的取值范围是__________ 考点二：对数型复合函数的单调性问题 1.若函数 x x f lg )(=对于任意的),0(,21+∞∈x x ，试比较： 2) ()()2( 2121x f x f x x f ++与 2.求函数2 ()lg(23)f x x x =-++的单调区间. 变式：已知函数212()log (23)f x x ax =-+在∞(-,1]上是增函数，求实数a 的取值范围. 复 习 引 入 交 流 探 究

对数指数函数公式全集

C 咨询电话：4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ：：： a ：：： 1两种不同情况。 1、指数函数： 定义：函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数，指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于X 轴上方； （1）X 取任何实数值时，都有 a X A0 ； （2）图象都经过点（0, 1）； （2）无论a 取任何正数，X = 0时，y = 1 ； （3） y — 2 ， y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 （3）当 a > 1 时，｛ →, X 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — ［的图象正好相反； 当 0 ca c1 时，< X ￡ 0 ,贝U a x A 1 k （4） y =2X ， y=10X 的图象自左到右逐渐 （4）当a >1时，y =a x 是增函数， 当0cac1时，y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ：：;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 ， y = 0 a =1 时，y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ，y =Iog a X 在

上升，y = f l］的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y=2x和y=10x相交于（0，1）， 的图象在y =2x的图象的上方，当X ：：：0 ,刚好相反，故有1 0 2. 22及10 ^ ：：： 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a tl = N（a . 0且a ■■ 1）,那么数b就叫做以a为底的对数，记作b = Iog a N （a是底数，N是 真数，log a N是对数式。） 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 比较好办。 解：设Iog 0.32 X ■? 0 时，y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象，可以画出任意一个函数y = a 示意图，如y =3x的图象，一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间，且过点（0, 1）,从而y = X 也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就

指数函数和对数函数·换底公式·例题

例1-6-38 log34·log48·log m=log416，则m为 [ ] 8 解 B 由已知有 [ ] A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0 C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0 解 A 由已知不等式得 故选A． [ ]

故选A． [ ] A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2) 2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数， [ ] A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞q C．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n 例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____； (2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)． 但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．

例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____． 由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得． 例1-6-45已知log1227=a，求log616的值． 例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：

例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足 3log x a+log a x-log x y=3 (1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y； (2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值． 解 (1)由换底公式，得 即 log a y=(log a x)2-3log a x+3 当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以 y=a r2-3t+3 (2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3． 值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．

对数函数及其性质学案

§2.2.2对数函数及其性质学案 一．学习目标 1．知识技能 ①了解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 2．过程与方法 通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观 ①培养数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养严谨的科学态度. 二．学习重点、难点 1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质. 2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 三．学法指导 1．复习指数式与对数式的转化各个字母的取值范围和对数运算法则. 2．动手画图并观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 3．做题时要注意数形结合的思想方法的应用. 四．复习回顾 1.指数式a b =N 中各个字母名称及其取值范围是： a 叫 取值范围是： , b 叫 取值范围是 , N 叫 取值范围是 将指数式a b =N 改写成对数式为 ,其中各个字母名称及其取值范围是： a 叫 取值范围是： , b 叫 取值范围是 , N 叫 取值范围是 2.log 1a = l o g a a = l o g n a M = 2(1)log 1= 12 (7)log 1= 2(2)log 2= 12 (8)log 2= 2(3)log 4= 12(9)log 4= 2(4)log 8= 12(10)log 8= 2(5)log 16= 12(11)log 16= 2(6)log 0.5= 12(12)l o g 0. 5=

五、课前预习 1.定义： 叫对数函数 (1)对数函数的自变量是 ； (2)对数函数的定义域是 ； (3)对数函数的值域是 ； (4)对数函数的定义中应注意什么？ 2.用描点法画出2y log x =和12 y log x =的图象 两图象间的关系 3. 同一个坐标系中画出4log y x =，3log y x =，13 log y x =和14 log y x =的图象

幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 练习1 把下列指数式写成对数形式： 练习2 把下列对数形式写成指数形式： 练习3 求下列各式的值： 因为22=4，所以以2为底4的对数等于2． 因为53=125，所以以5为底125的对数等于3． 师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．） 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？ 生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……． 练习4 计算下列对数： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4． 生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线） 证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N． 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知

对数的换底公式

课 题：2.1 对数的换底公式及其推论 教学目的： 1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 教学重点：换底公式及推论 教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：对数的运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1）证：①lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ②m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56

对数函数·换底公式·例题

指数函数和对数函数·换底公式·例题 例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m 为 [ ] 解 B 由已知有 A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0 C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0 解 A 由已知不等式得 故选A． [ ]

故选A． [ ] A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2) 2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，

[ ] A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞q C．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n 例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____； (2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)． 但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1． 例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．

由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值． 例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：

例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足 3log x a+log a x-log x y=3 (1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y； (2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解 (1)由换底公式，得 即 log a y=(log a x)2-3log a x+3 当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3 (2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．

人教新课标版数学高一必修1学案 对数函数及其性质(二)

2.2.2 对数函数及其性质(二) 自主学习 1．理解对数函数的性质． 2．掌握对数函数的单调性及其应用． 基础自测 1．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 2．函数y ＝log 2x －2的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．[4，＋∞) 3．下列不等式成立的是( ) A ．log 321，求a 的取值范围； (2)已知log 0.72x

对数函数最值问题 【例2】 已知集合A ＝{x |2≤x ≤π}，定义在集合A 上的函数y ＝log a x 的最大值比最小值大1，求a 的值． 规律方法 利用函数单调性求最值时，关键看底数a 是否大于1，当底数未明确范围时，应进行讨论． 变式迁移2 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 ( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 利用图象求参数范围 【例3】 若不等式2x －log a x <0，当x ∈??? ?0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．

指数函数对数函数幂函数增长速度的比较教学设计

【教学设计中学数学】 区县雁塔区 学校西安市航天中学 姓名贾红云 联系方式 邮编710100 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计 一、设计理念 《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性； 2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异； 3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值. 三、教学重难点

教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。 教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异 四、教学准备 ⒈提醒学生带计算器； ⒉制作教学用幻灯片； ⒊安装软件：几何画板 ，准备多媒体演示设备 五、教学过程 ㈠基本环节 ⒈创设情景，引起悬念 杰米和韦伯的故事 一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你 10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说：“真的？！你说话算数？” 合同开始生效了，杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；第四天，杰米支出8分钱，收入10万元…..到了第二十天，杰米共得到200万元，而韦伯才得到1048575分，共10000元多点。杰米想：要是合同定两个月、三个月多好！ 你愿意自己是杰米还是韦伯？ 【设计意图】创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标 ⒉复习旧知，提出问题 图1-1 图1-2 图1-3 ⑴ 如图1-1，当a 时，指数函数x y a =是单调 函数，并且对于0x >，当底数a 越大时，其 函数值的增长就越 ； ⑵ 如图1-2当a 时，对数函数log a y x =是单调 函数，并且对1x >时，当底数a 越 时 其函数值的增长就越快； ⑶ 如图1-3当0x >，0n >时，幂函数n y x =是增函数，并且对于1x >，当n 越 时，其函数值

对数函数教学设计

对数函数的图像和性质 一、教学内容分析： 1、对数是学生在高一刚刚接触到的新概念，不易理解，计算的形式具有一定的复杂性. 2、以对数作为基础的对数函数是高中函数学生最不易掌握的函数类型。 3、函数是高中十分重要的概念. 其中关于定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等函数的性质应有一个整体的认识，这在学习、解决函数问题的过程中显得十分重要，应在适当的时机对学生这种函数的整体观念加以培养，这节课的学习过程是一个可以把握的机会。 二、学生分析： 1、学生从初中到高一年级接触到了一些函数和研究函数的一些方法。 2、学生对于信息技术的使用有一定的熟练程度（主要指作函数图象）。 3、学生在学习了反函数之后，有了研究新函数的一种新方法，因此，选择这节课让学生自主研究对数函数的性质。 学生可以选择描点作图的方法来研究对数函数的图像与性质，也可以选择使用教学软件来研究函数的图像与性质，还可以通过研究指数函数反函数的方法来研究对数函数的图像和性质等。 三、教学目标： 1、会画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 2、对于函数的性质与函数图像的形态之间的关系有一个初步的整体的理解，体会研究函数性质的过程中数形结合、分类讨论归纳的数学思想方法在研究问题过程中的体现。 3、培养学生对问题进行质疑的意识，培养学生在学习的过程中交流的习惯。 四、教学重点： 1、了解对数函数的定义； 2、理解研究函数图像和性质的方法； 3、能准确画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 4、利用对数函数的性质初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小等。 五、教学难点： 1、对数函数图像的准确作图； 2、准确得到对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些简单的问题。 六、教学活动：

《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)

一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作： n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±） ③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根； ④( )* ∈>=N n n n ,100 0=；

⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

高中数学优质课 对数函数及性质教学设计方案

》教案设计《对数函数及其性质1 本节是学习指.一、教案分析1、教案内容教案内容为对数函数的概念、图象及性质数、指数函数和对数的后继内容，根据描点法，作出对数函数的图象以及得到相应的对数对数函数既是指数函数的反函数，也是高中乃至以后的数学学习中应用极为广泛.函数性质有利于进一步加深对函数.的重要初等函数之一，其研究方法以及研究的问题具有普遍意义、学生学习情.2思想方法的 理解，为进后面一步探究函数的综合应用起到承上启下的作用况分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，学生在学习过程中，仍保留着初中生许多由于函数概.学习特点，能力发展正处于 形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教案要求较低，学生运算能力较弱，教师必须认识到这一点，教案中要有控制的拔高，. 这双重问题增加了对数函数教案的难度但是只要让学生类比指数函数的研究方法，通过课件演示，通过数形结合，.关注学习过程a1)a?a?0且?ylogx (取不同值时反映出不同函数图象，并让学 生观中，让其感受a察、发现、归纳出图象的特征、函数图象的规律.3、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教案首先要挖掘其与指数的联系，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，改变学生的学习方式.4、教案目标4.1知识技能 （1）掌握对数函数的概念、图像及性质.（2）应用对数函数性质，掌握求简单对数型函数定 义域的方法；（3）掌握三种简单的分别比较对数、真数和底数大小的方法.4.2过程与方法利用指数函数以及性质导出对数函数概念和相应的函数，在学习和应用对数函数性质的过程中，着重数学思想方法的培养.（1）类比的思想.指数函数和对数函数概念和性质的类比.（2）对称的思想.底数互为倒数的两个对数函数关于横轴对称. （3）数形结合思想.通过函数图像研究函数的代数性质，以及通过函数表达式探究函数的几何性质，学习和领会图形语言与符号语言之间的相互转化，并能运用这些语言表达有关函数的性质.（4）分类讨论的思想.根据对数函数的底数大于1或小于1的不同情况进行讨论，初步了解分类的原则，体会分类讨论的思想.4.3情感、态度和价值观通过指数函数类比引入对数函数的概念，揭示数学类比和对称的思想，使学生感受到数学中的对称美.同时使学生了解对数函数的概念来 自于实践，激发学生学习的兴趣，增强应用数学的意识. 二、教案方法与策略根据本节课的教材特点以及学生的实际情况，尝试运用“问题探究式” 教案法.采取“设问引入—类比构建—探究反馈”的方式，力图通过创设问题情境、分析问题和 解决问题的一系列过程，组织学生主动参与、主动探究有关问题，形成以学生为中心的各种形式的探索性学习活动.引导学生步步深入地参与到课堂教案活动中来，尝试探求将问题“一般化” 的方法.三、教案手段 多媒体辅助教案.利用计算机绘图的快速显示等特点对某些对数函数几何性质进行再现，运用直 观认识、操作确认、思辨论证等方法，充分提高课堂效率.四、学习指导1、学情分析 本节内容是在学习了指数、指数函数图象及其性质和对数的基础上，进一步学习对数函数图象及其性质.因此，在学生的认知结构中已有指数和指数函数及其性质和对数的知识结构，通过类比、探究等学习活动，学习对数函数图象及其性质.2、学习方式与策略2.1 设置一系列的教案活动，让学生在探究过程中，培养学生自主学习、独立思考的.自主学习． 能力.充分发挥学生学习的主动性、自觉性，在问题的解决过程中，学习分析问题、解决问题的 方法，形成良好的学习习惯和思维方式，提高学生的自学和迁移能力. 五、教案过程

指数、对数函数公式

指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。

②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1

对数的换底公式及其推论(含答案)

对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N m m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log = （ a, b > 0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =?= ?b a a b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则2log 1 3=a , 又∵3log 7 = b, ∴1 3 12log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++?+== b ab ab

指数函数 和 对数函数公式 (全)

指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数，

湖南省株洲市南方中学高一数学《2.2.2对数函数及其性质(1)》学案

学习目标 1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 70~ P 72，找出疑惑之处） 复习1：画出2x y =、1 ()2 x y =的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式） 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：对数函数的概念 碳14的含量P 0.5 0.3 0. 1 0.01 0.001 生物死亡年数 t 讨论：t 与P 的关系？ （对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系5730 12 log t P =，生物死亡年数t 都有唯一的 值与之对应，从而t 是P 的函数） 新知：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数log a y x =叫做对数函数(logar ithmic function)，自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）. 反思： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (0a >，且1)a ≠． 探究任务二：对数函数的图象和性质

对数换底公式

换底公式四 一．课题：对数（4）——换底公式 二．教学目标：1. 要求学生会推导并掌握对数的换底公式； 2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。 三．教学重、难点：1．会推导并掌握对数的换底公式； 2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。 四．教学过程： （一）复习：对数的运算法则。 导入新课：对数的运算性质的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ （二）新课讲解： 1．换底公式：log log log m a m N N a = ( a > 0 , a 1 ；0,1m m >≠) 证明：设log a N x =，则x a N =， 两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =， 从而得：a N x m m log log = ， ∴ a N N m m a log log log =． 说明：两个较为常用的推论： （1）log log 1a b b a ?= ； （2）log log m n a a n b b m = （a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ； （2） lg lg log log lg lg m n n a m a b n b n b b a m a m ===． 2．例题分析： 例1．计算：（1） 0.21log 35 -； （2）4492log 3log 2log 32?+． 解：（1）原式 = 0.251log 3log 3555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+?． 例2．已知18log 9a =，185b =，求36log 45（用 a , b 表示）． 解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 12 18log 1818 ， ∴18log 21a =-， 又∵185b =，

2.2.2对数函数及其性质导学案

《2.2.1 对数与对数的运算(3)》达标检测 1. )0(5 2 )(log ≠-a a a 化简得结果是（ ）.A ．a - B ．2a C ．a D ． a 2. 已知16log log 8log 4log 4843=??m ，则m = . 3. 计算.（1）2log 21 log 2 12 +； （2）3log 125.04-； （3）4912log 3log 2log ?- 4. 已知，a =9log 18， 518=b 用b a ，表示.45log 15 : 《2.2.2对数函数及其性质(1)》预习学案 【学习目标】理解对数函数的概念；掌握对数函数的图象. 【预习目标】知道对数函数的概念；了解对数函数的图象. 【预习指导】 复习：画出2x y =、1 ()2 x y =的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. - 探究： 有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，··· 1个这样的细胞分裂x 次会得到y 个细胞则y 与x 函数关系为： x y 2= 那么如果知道了细胞的个数y 如何确定分裂的次数x 由对数式与指数式的互化可知： y x 2log = 上式可以看作以y 自变量的函数表达，但习惯上仍用x 表示自变量，y 表示它的函数：即x y 2log = [ 新知： 1．对数函数的概念. 一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数 叫做对数函数，自变量是x ；函数的定义域是（0，+∞）. 2．对数函数的图象． 用描点法做出x y 2log =和x y 2 1log =的图像，总结)10(log ≠>=a a x y a 且的图像． ! 反思： 1.对数函数有哪些特征怎样判断一个函数是对数函数 2.为什么定义域为（0，+∞）为什么规定底数a ＞0且a ≠1 3.函数的值域是 ．

指数函数对数函数计算题30-1

指数函数对数函数计算题30-1 1、计算：lg 5·lg 8000＋06.0lg 6 1lg )2 (lg 23++. 2、解方程：lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4. 3、解方程：23log 1log 66-=x . 4、解方程：9-x －2×31-x =27. 5、解方程：x )8 1(=128. 6、解方程：5x+1=12 3-x . 7、计算：10log 5log )5(lg )2(lg 2233+ +·.10 log 18 8、计算：(1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92). 9、求函数121log 8.0--= x x y 的定义域. 10、已知log 1227=a,求log 616.

11、已知f(x)=1322+-x x a ,g(x)=522 -+x x a (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)＞g(x). 12、已知函数f(x)=321121x x ?? ? ??+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0. 13、求关于x 的方程a x ＋1=－x 2＋2x ＋2a(a ＞0且a ≠1)的实数解的个数. 14、求log 927的值. 15、设3a =4b =36,求a 2＋b 1的值. 16、解对数方程：log 2(x －1)+log 2x=1 17、解指数方程：4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=0 18、解指数方程：24x+1－17×4x +8=0 19、解指数方程：22)223()223( =-++-x x ±2 20、解指数方程：014332 14111=+?------x x 21、解指数方程：042342222=-?--+-+x x x x