布朗运动
布朗运动
组成物质的分子永不停息地无规则运动着．分子很小，肉眼不能直接看到，就是在
光学显微镜下也看不到它们．那么，怎样知道分子在永不停息地运动呢？
在科学上，物质分子永不停息地运动是由实验来证明的．1827年，英国植物
学家布朗（Brownian1773-1858）在用光学显微镜观察水中悬浮的花粉时，发现花
粉颗粒在不停地做无规则运动（如图1）．后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运
动．不只是花粉，对于液体中各种不同的悬浮微粒如藤黄粉、小炭粒…，都可以观
察到布朗运动．取一滴稀释了的墨汁在显微镜下观察，同样看到小炭粒在不停地游
动着，一会儿向东，一会儿向西，每个小炭粒运动的路线是一条不规则的折线．
那么，布朗运动是怎么产生的呢？在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上
是由许许多多分子组成的．液体分子不停地做无规则的运动，不断地撞击悬浮微
粒．如同水面上漂浮着一块冰，一群鱼在冰块周围游来游去，不断撞击着冰块一
样．某个时刻向左的力量大些，冰块就向左运动；下一时刻向右的力量大些，冰块
又向右运动；向前的力量大些，冰块又向前运动，…就这样，冰块一会儿前、后，
一会儿左、右地运动着．从显微镜中看到的小颗粒好比冰块，水分子好比鱼群，冰
块的运动是鱼群运动引起的．若悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体
分子的撞击作用是不平衡的．在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，
致使微粒又向其它方向运动．这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动．科学观察
表明：布朗运动永不会停止，且温度越高，花粉微粒越小，布朗运动越剧烈．
请回答下列问题：
（1）水中悬浮的花粉通过显微镜的物镜所成像是
（填“放大”或“缩小”）、
像（填“实”或“虚”）．显微镜的物镜、目镜和
（填“近视镜”或“远视镜”）镜片相同．
（2）布朗运动和课本中
图（如图2）实验现象（填“A”“B”或“C”），都可表明组成物质的分子在不
停地做无规则运动．
（3）文中的花粉做布朗运动是指
A．花粉微粒的运动 B．花粉分子的运动 C．液体分子的运动
（4）如图3是花粉做布朗运动时的连线图（即每隔相同时间记录花粉的位置后再
连线），它反映出布朗运动是毫无规则的．若A为0时刻花粉的位置、B为第2秒
时位置、C为第4秒的位置…依次类推．则第5秒时刻花粉微粒的位置
A．一定在CD线段的中点上
B．一定在CD线段上
C．可能不在CD线段上．
内容
【课标内容对照
(沪科J)《课程标准》的要求
*(沪科J)初步了解经典时空观和相对论时空观，知道相对论对人类认识世界
的影响。
*(沪科J)初步了解微观世界中的量子化现象，知道宏观物体和微观粒子的能
量变化的特点，体会量子论的建立深化了人类对物质世界的认识。
*(沪科J)通过实例，了解经典力学的发展历程和伟大成就，体会经典力学创
立的价值与意义，认识经典力学的实用范围和局限性。
*(沪科J)体会科学研究方法对人们认识自然的重要作用。举例说明物理学的
进展对自然科学的促进作用。
【三维目标】
1．（鲁科J）初步了解爱因斯坦相对论建立的背景，知道时间延缓、长度缩短、
质速关系、质能关系和时空弯曲。
能运用相对论知识解释简单的现象。
2．（鲁科J）了解经典物理学的局限，知道经典时空观与相对论时空观之间的关系。
3．（鲁科J）初步认识"猜想"、"假设"和"物理模型的构建"在科学研究中的重要作用，培养大胆质疑的勇气和批判意识。
【教学建议】
1．（鲁科J）本节通过爱因斯坦大胆否定"以太"存在，提出两个假设：相对性原理和光速不变原理。通过本节的学习认识时间延缓、长度缩短、质速关系、质能关系、时空弯曲等高速世界展现给人们的奇异现象。知道时间、空间并不是绝对的，牛顿的经典时空观存在着局限性的应用条件--它只适用于低速运动的物体。这部分知识只需要了解，应用启发式教学的方式，结合生动的画面和形象的实例帮助学生建立辩证唯物主义的时空观，同时让学生体会到：科学的发展永无止境；在科学研究中要敢于质疑，不迷信权威，选择科学的研究方法巧妙地解决问题。
2．（鲁科J）相对论知识比较抽象，因此，在教学中一定要注意深入浅出，不要过分追求知识的严谨性和逻辑性；
运用物理学史进行教学，可以提高学生的学习兴趣，但对物理学史的介绍不能冲淡主题；同时注意应用本节提供的图、数据表以及"信息窗"栏目。
【相关知识准备】
(沪科K)如果你产问我什么是时间．我对它还能意会：你一问起我．我就不知道怎样言传了。
--奥古斯丁
(沪科K)一个概念愈是普遍，它愈是频繁地出现在我们的思维之中，它同感觉经验的关系愈直接．我们了解它的章丈也就愈困难。
--爱因斯坦
(沪科K)我不对时间、空间、地点和运动一定义，因为它们是人人熟知的。
--牛顿
(沪科K)夫天地者，万物逆旅；光阴者，百代之过客。
--李白《春夜宴桃李园序》(沪科K)想像一个四维空间是不可能的。我个人觉得形象地想像三维空间已经够难了。
--史蒂芬2霍金
【知识点讲解】
（鲁科K）高速世界的两个基本原理
（鲁科K）光速是目前我们所认知的物质的最大运动速度。如果人能够跑得像一束光那么快，他将会观测到什么现象与规律?我们所熟悉的是自己身边这个相对于光速而言的低速宏观世界的种种事物和现象，所知晓或掌握的许多物理概念及定律，都是在低速宏观的条件下得出来的。当物体以接近光速运动时，这些现象和规律是否会发生变化呢?
不懈的探索加上非凡的抽象思维能力，使爱因斯坦最终能够拨开物理学天空令人不安的第一朵乌云，提出了著名的相对论 (relativity)，成为迄今人们认知并描述高速世界的最好的理论工具。
经典物理学家曾认为，宇宙空间充满着一种叫以太的物质，它绝对静止、密度极小(几乎为零)、硬度极大、完全透明并充斥于空间、渗透于一切物体。万有引力和电磁相互作用等的传递、光在真空中的传播等，都要通过以太来实现。真是如此的话，地球在以太海洋中自转、公转，一定会有以太风迎面扑来。因此，探索以太风的存在，确定地球和以太的相对运动，就成为19世纪后半叶物理学中的一个重要课题。
按照经典时空观的运动合成原理，在以20m/s的速度行驶的汽车上，有人以25m/s的速度将一物体抛出，在路边的观察者看来，如果他向前抛，那么被抛物体的速度应为两速度之和即 45m/s；如果他向后抛，就应是两速度之差即5m/s(图
6-3)。同样道理，若光相对于以太的速度为c，当地球以一定的速度相对于以太运动时，静止在地球上的人观测到该光的速度为c′，那么此人测得向他迎面而来的光速为c′=c+ν；而与他同方向传播的该光的速度为c′=c-ν。如果能通过实验测量到这种差别，那就证明了以太的存在。1887年，物理学家迈克尔逊和莫雷用自己发明的仪器进行了精密的光的干涉实验，却始终得不到与上述推论相吻合的观测结果，这使一些物理学家感到震惊和迷惘。由于坚持经典时空观及衍生出的荒诞的以太论，许多人在此基础上进行的一系列修修补补的工作，提出的一些牵强的解说等，都不能从根本上解决问题。
爱因斯坦通过对电磁理论的深入研究，意识到难以理解迈克尔逊一莫雷实验的困境是由于时空观的错误造成的。于是，爱因斯坦彻底抛弃了"以太"的概念，于1905年提出了两个基本假设：
(1)相对性原理(principle of relativity)：物理规律在一切惯性参照系中都具有相同的形式。
(2)光速不变原理(principle of constancy of lightspeed)：在一切惯性参照系中，测量到的真空中的光速c都一样。
相对性原理表明，在某个惯性系中，描述某个物理系统的某个物理过程的物理定律，在其他一切惯性系中对该系统该过程做出描述的物理定律皆保持形式不变。例如，在匀速飞行的飞机上观测，上抛小球的运动遵循动能定理，那么在地面上(或在其他惯性系中)观测，上抛小球的运动仍遵循同样形式的动能定理(图6-4)。
光速不变原理表明，在一切惯性系中观测在真空中传播的同一束光，不论沿任何方向其速度大小都为c，与光源或观察者的运动无关。这一结论实际上已被大量的实验(包括迈克尔逊实验)所证实。如图6-5所示，假设在真空环境中，静止在匀速运行列车中的观测者与静立于地面的观测者，测得手电发出的光波的速度大小都是c。基于这两条基本原理，爱因斯坦建立了狭义相对论(special theory of relativity)，把物理学推进到高速领域。
（鲁科J）本节通过爱因斯坦大胆否定"以太"存在，提出两个假设：相对性原理和光速不变原理。通过本节的学习认识时间延缓、长度缩短、质速关系、质能关系、时空弯曲等高速世界展现给人们的奇异现象。知道时间、空间并不是绝对的，牛顿的经典时空观存在着局限性的应用条件--它只适用于低速运动的物体。这部分知识只需要了解，应用启发式教学的方式，结合生动的画面和形象的实例帮助学生建立辩证唯物主义的时空观，同时让学生体会到：科学的发展永无止境；在科学研究中要敢于质疑，不迷信权威，选择科学的研究方法巧妙地解决问题。
(沪科K)狭义相对论的基本公设
上面这两个问题都跟光的传播速度有关．爱因斯坦建立狭义相对沦也源于对光速的考虑。
(沪科K)追光问题的思考
根据爱闪斯坦自己的回忆，他从16岁(1895年)起就开始思考这样一个问题："如果我以光速追光波，将会看到什么?"这个问题困扰他10年之久。
为什么这个问题难以解决呢?这是因为：如果认为观察者看到的是一个静止不前的电磁振荡，与直觉经验不符；而如果认为看到的是一个以一定速度行进的光，则违反了速度合成法则。
你思考过这个问题吗?你的看法如何?
(沪科K)伽利略相对性原理
在经典力学中，牛顿运动定律是力学规律的基础，如果牛顿运动定律在某个参考系中成立，这个参考系就叫做惯性系(inetial frame)。相对于一个惯性系做匀速直线运动的另一个参考系也是惯性系。
(沪科K)在不同的惯性系中．力学规律都是相同的。如果我们在不同的惯性系中测物体自由下落的时间，测一个单摆的周期，研究平抛运动的规律，或研究牛顿第二定律的实验，我们会发现，所有的实验现象和实验结论，都不会出惯性系的不同而有所不同，也就是说，各个惯性系都是等价的；这个观点叫做伽利略相对性原理。
但是，如果将伽利略相对性原理推广到与光速有关的情况时，就要产生不可解决的矛盾了。
(沪科K)请讨论：假设有一艘宇宙飞船，它的速度高达(光速的l／4)。你的同学带着一个激光电g在飞船中，你带一个激光电筒站在地面上。
1．当飞船向你飞来时，你向飞船发出一束激光，你的同学在飞船中测得的激光速度是多大?
2．当飞船远离你而去时，你向飞船发出一束激光，你的同学在飞船中测得的激光速度是多大?
3．当飞船向你飞来时，同学向你发出一束激光，你测得的激光速度是多大?
（注：(沪科J)追光问题的思考反映了爱因斯坦从相对论的思想萌芽导致狭义相对论建立的意义。爱因斯坦在《自述》(参见《爱因斯坦文集》第一卷，湖南科学技术出版社2002年出版)一文中的表白，揭示了这一思考的背景："......经过10年沉思以后，我从一个悖论得到了这样一个原理，这个悖论我在16岁时就已经想到了：如果我以光速c(真空中的光速)
追随一条光线运动，那么我就应该看到，这条光线就好像一个在空间里振荡着而停滞不前的电磁场。可是，无论是依据经验，还是按照麦克斯韦方程，看来都不会有这样的事情。从一开始，在我直觉地看来就很清楚，从这样的一个观察者的观点来判断，一切都应当像一个相对于地球是静止的观察者所看到的那样，按照同样的一些定律进行。因为，第一个观察者怎么会知道或者判断他是处在均匀的快速运动状态中呢?人们看得出，这个悖论已经包含着狭义相对论的萌芽。"
(沪科K)速度相加原理是伽利略相对性原理的推论。这里"请讨论广...．"中的3个问题都要依据速度相加公式计算。）
(沪科K)根据僧利略相对性原理可算出，第1个问题的答案是。但这些答案都是错误的。因为大量的事实证明，光的传播速度跟光源的运动情况无关，光在任何惯性系中传播的速度都是不变的。
你是不是觉得有点不可思议?
(沪科K)两条基本公设
光速不变是一件重要的事实。
那么，伽利略的相对性原理难道不适用于高速运动吗?
爱出斯坦以他独特的思考方式，把人们看来互相矛盾的相对性原理和光速不变原理作为他的狭义相对论(speclal relatlvlty)的基本公设：
1．在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的。这个公谩通常叫做爱固斯坦相对性原理。
2．在一切惯性系中，光在真空中传播的速度都等于c，跟光源的运动无关。
从绝对时空观的角度看，这两条基本假设是矛盾的。所以必须抛弃经典的绝对时间、绝对空间的观念，才能使二者融洽。
爱因斯坦是怎样解决这个矛盾的呢?他说："我的解决办法是，分析时间这个概念，时间不能绝对定义，时间与速度之间有不
：(沪科J)这两条基本公设是爱因斯坦看出了相对性原理与光速不变原理的"表面上的抵触"而提出的，是狭义相对论的基础。它们体现了建立相对论时的基本思想："一种理论的前提的简单性越大，它所涉及的事物的种类越多，它的应用范围越广，它给人们的印象也就越深。"(参见《爱因斯坦文集》第一卷)
(沪科J)公设1是爱因斯坦把相对性原理推广到一切物理现象。
(沪科J)公设2被许多实验事实所证实。这是一条与经典力学观点根本对立的公设。实际上，光速不变原理是同绝对时间的概念相矛盾的。在下一节，我们会看到时间的相对性就是光速不变原理的直接结果。
(沪科K)狭义相对论的基本原理
从钟表的嘀嗒声到太阳的东升西落，我们时刻都在与时间和空间打交道。在口常生活和生产中，用时钟测量时间，用米尺测量长度，也是司空见惯的事。那么，你想过没有，到底什么是时间和空间呢?
我们知道，力学的研究对象是物体的机械运动，要定量地研究这种运动，必须选定适当的参考系，力学的概念及其规律对定的参考系才有意义。我们也知道，无论是运动的描述，还是运动规律的说明，都跟长度和时间的测量有关，那么，相对于不同的参考系，长度和时间的测量结果是一样的吗?
对上述问题，物理学家进行厂长期的探索，于是，物理学经历了一场关于时空现的根本性变革，从牛顿时代的经典力学跨越到爱闲斯坦的相对论。
(沪科J)分析和思考狭义相对论问题，必须抓住光速不变原理这个公设。这是放弃经典时空观，建立相对论时空观的关键!
(沪科K)爱因斯坦的两条基本公没只涉及无加速运动的惯性系，由此建立的相对论通常叫做狭义相对论。 (沪科K)狭义相对论是对经典物理学的--次变革。
（鲁科K）拓展一步
（鲁科K）凡是相对于惯性参照系做匀速直线运动的参照系，都是惯性参照系。相对于惯性参照系做变速运动的参照系，都是非惯性参照系，如加速上升的电梯、即将着陆的飞机等。
狭义相对论要求，惯性系必须建立在匀速运动的物质系统上，并且该速度应小于光速c。这样看来，似乎不存在严格的惯性系，但是在要求不太高的情况下，我们可以选取近似惯性系。例如，地球就可近似看成惯性系。
2．（鲁科K）四维时空
（鲁科K）时空是对物质存在及运动的描述。时间，描述物质运动的持续性；空间，描述物质存在的广延性。物质具有线分布、面分布、体分布，取三维空间基本能够满足描述物质广延性的需要。
经典时空观认为，时间和空间是相互独立的，并且与物质的存在与运动无关。相对论时空观认为，时间和空间是相互联系、相互影响的，并且与物质的存在及运动密切相关。在相对论里，空间三维，再加上时间一维，构成了统为一体的四维时空(four-dimensional space-time)。四维时空的一点被称为一个事件。例如，在北京时间15时15分，一架飞机飞行在东经56°，北纬48°，距海平面20km的地方，这就是一个四维时空的事件。再如，一个质点连续运动了一段时间，这一物理过程可用四维时空的一段曲线描述。
相对论向人们展示了更为科学的时空观。这个新颖的时空理论，揭示了时间、空间与物质存在及运动之间的紧密联系，使人们对时空本质有了更为正确的认识。（鲁科K）信息窗
（鲁科K）四维时空
（鲁科K）四维时空，最初是由数学家闵可夫斯基提出的。闵可夫斯基说了一句富有诗意的话："空间本身，时间本身，最终都会像影子般地消失在黑暗之中，只有这两者的某种形式的结合，才能保持它独立的客观实体。"
物理学家斯蒂芬2霍金也说过："想像一个四维空间是不可能的。我个人觉得想像三维空间已经够难了。"
诚然，就四维时空给出能让人接受的形象化描述非常困难。我们应当明确，物理模型、概念及定律等不过都是描述客观世界的工具、方法，随着进入高速、微观等领域，理论将更抽象、复杂。
（鲁科J）相对论知识比较抽象，因此，在教学中一定要注意深入浅出，不要过分追求知识的严谨性和逻辑性；
运用物理学史进行教学，可以提高学生的学习兴趣，但对物理学史的介绍不能冲淡主题；同时注意应用本节提供的图、数据表以及"信息窗"栏目。
爱因斯坦的时空观
1。(沪科K)同时的相对性
(沪科K) 我们已初步讨论过同时性的概念为了得到明确的结论，爱因斯坦设想有一列丌得很快的火车，在它的一节车厢的正中间有-个观察者A和一台闪光器，车头和车尾各有一台光的接收器P和Q，在站台上有另一个观察者B，如图6-6所示。
(沪科J)6．3节中"同时的相对性"、"时空的相对性"、"长度收缩效应"和"时间延缓效应"，都是狭义相对论时空的属性，也是狭义相对论最基本的内容。学生学习这些内容后，可以进一步加深对相对论时空观的理解。
(沪科J)本节难点是"同时的相对性"，它是光速不变原理的直接结果。爱因斯坦理想实验的结论对初学者会产生强烈的冲击，教学中能否讲清楚这个实验关系到后续内容的学习。）
(沪科K)火车驶过站台，在A和B相遇的瞬间，闪光器发出一次闪光，这个闪光会被车头和车尾上的两个接收器P，Q所接收。这两个接收器是同时收到闪光信号的吗?车上的观察者A和站台上的观察者B的结论是一致的吗?
(沪科K) 观察者A认为，闪光信号以光速相对于他(即火车)进行传播，P、Q两个接收器与闪光器的距离相同，闪光信号到达户、口的时间是相同的，即两个接收器同时收到闪光信号。
(沪科K)观察者B认为，根据光速不变原理，闪光信号也以光速相对于他进行传播，但P在向前运动，当闪光信号到达P时，P已前进了一段距离，故闪光信号走过的距离长；相反，闪光信号从闪光器到达Q所走过的距离短。因此，闪光信号应先抵达Q，后抵达P，即两个接收器不是同时收到信号。
(沪科K)这种不同时性，确实令人惊讶。人们原以为．地面上的人，甚至其他星球上的"人"，都会有相同的"同一瞬间"，因此宇宙中存在着牛顿式的普适时间。现在从爱因斯坦的狭义相对论来看．这是错误的，不存在全宇宙普适的同时性概念。2。(沪科K)时空的相对性上面的实验说明，时间是不能绝对定义的，它与物体的运动速度有关。那么，时间、空间与物体运动的速度有怎样的关系呢?
如图6-7所示，有A、B两个参考系，每个参考系中各有一只钟和一位观察者。设参考系A不动，参考系B以速度。向右运动。
假如有一个事件户发生，它在两参考系中的坐标如图所示，按佃利略相对性原理，因时间、空间与物质运动无关，其变换公式为
前面已经知道．按这两个公式导出的速度关系，不符合光速不变的原理。为此，爱因斯坦认为，时间、空间与物质运动是有关的，其变换公式应该是（注：这是"同时的相对性"的物理意义，对分析相对论的时空问题很有用。
比较这两种变换，可以看出，其主要的不同点在于：前者认为时间在任何地方都是一样的；后者认为；时间在有速度的地方与速度有联系。这一变换关系也是爱国斯坦创造性思维的一大发明，由此导出的结果震撼了世界。
在爱因斯坦的变换式(3)、(4)中，、、、需要4个条件才能导出。他根据光速不变原理和时空的性质，导出了如下关系式：上式中，x和t为P在A参考系中的位置和时间；而x′和t′为P在B参考系中的位置和时间；v为B的速度，c 为光速。显然，当v (5)、(6)两式不仅揭示了时间、空间与物质运动存在着内在的不可分割的联系．而且给出了它们之间的定量关系。 3．（鲁科K）时间延缓效应 （鲁科K）牛顿曾经说过：绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性在均匀地、与任何外界事物无关地流逝着。我们每一个人都永远陷在时间之中，没有办法能使我们跳出来，在一段距离之外来看它的真面目。因此，我们对时间的直观感觉很可能是错误的。 （鲁科K）爱因斯坦从相对论的两个基本原理出发，设计了这样一个理想实验［图6-6(a)］假定列车以匀速运动。静止在车厢里的人手持一个光源，从车厢的地板竖直向上将一束光射向顶部的一面反射镜。设车厢的高度为d，则光束在真空中来回往返的过程中，车上的钟走过的时间是 ①而在静止在地面上的观察者看来，由于列车在行驶，光线走锯齿形路径。地面上该观察者测得该过程经历的时间是［图 6-6(b)、(c)］②因为d垂直于运动方向，所以在两个陨性参照系中的车厢高度一样。 由②式可得移项，整理后得 ③ 将①式代人③式后两边开方，得④由于ν是列车的速度，且ν 需要说明的是，相对论所说的"钟"(即计时器)都是标准钟，走得一样快。每个惯性系的观测者都是使用静止于该参照系中的时钟进行有关时间的观测的。对同一个物理过程经历的时间，在不同惯性系中观测，测得的结果不同，这是相对论时空观的体现，是一种观测效应。不是时钟走得快或慢了，也不是被观测过程的节奏变化了。 另外，上式中的，是相对论中的一个重要因子。许多的相对论效应都与此式相关。 表6-1 （鲁科K）时间延缓与运动速度的关系0．1c11.010.5c11.050.8c11.670.9c12.290.97c14.10.99c17.090.999c122.30.99 98c150 表6-1中的数据是用④式(即时间延缓效应公式)计算出来的。从表中可以看出，在一个惯性系中，当某个静置的物质发生的一个物理过程，被一个相对它静止的观测者测得所经历的时间为 1s。若该物质相对另一惯性系以0．9c的速度匀速运动，则在此惯性系的观测者测上述物质发生的上述过程所经历的时间为2．29s。 这种时间延缓效应有没有实验事实给予支持呢? 有一种子，它们的静止平均寿命是′=2．2310-6s，按照经典时空观，子以光速 c=33108m/s运动，它们在这段时间里走过的平均路程为 s=C2′=3310832．2310-6m=660m 可是对宇宙射线的大量观测发现，其中大部分子能够从约10km的高空大气层到达 海平面。我们用时间延缓效应公式来计算：在固定于地面的惯性系中，测得宇宙线中子的速度为ν=2．9943108m/s=0．998c。静止在地面的观测者测得该子的寿命为 按此计算，子在这段时间通过的距离为(2．9943108)3(3．16310-5)m≈9 500m，与实验观测的结果基本一致。 为什么我们平时没有观察到这类时间的延缓效应呢?因为在低速领域，涉及的速度ν〈〈c，由④式可见，其中的趋近于1，则△t=△t′，即时间延缓效应可以忽略不计。 (沪科K)时间延缓效应 由前面的时间的相对性，以及(5)、(6)两式，可推导出两坐标系时间的关系为： 由此可见，A参考系中的静止观察者测得的时间比D参考系中运动的观察者测得的时间长，一般地说，在一个相对于我们做高速运动的惯性系巾发生的物理过程，在我们看来，它所经历的时间比在这个惯性系中直接观察到的时间长。惯性系的速度越大，我们观察到的过程所经历的时间越长，对于化学反应、生命过程等，这'结 论也是正确的。这就是时间延缓效应(time dilation)，又叫做钟慢效应。 钟慢效应也是相对的，飞船上的观察者也认为地面卜的时间进程比飞船里要慢一些，因为对于飞船里的观察者来说，地面正以同样的速度朝相反的方向运动着。4．（鲁科K）长度收缩效应 （鲁科K）经典时空观认为，空间(包括物体的长、宽、高)与运动无关。例如， 一把米尺，相对它静止的观测者测量它的长度为 1m；相对该尺运动的观测者测量 仍是1m。 按照狭义相对论时空观，空间也与运动密切相关，即对某物体空间广延性的观测，与观测者和该物体的相对运动有关。例如，一个一维物体，相对它静止的观测者测其长度为l(称此 l为静止长度)，该物体相对另一惯性系沿自身长度方向以匀速运动，则在此惯性系中的观测者测该物体的长度为由于ν〈c，所以l′〈l。这种长度观测效应被称为长度收缩(length contraction)。该效应仍是狭义相对论时空观的一种体现，即在不同惯性系中的观测者对同一物体的同一个空间广延性进行观测，测得的结果不相同，这并不是物体本身发生了收缩。 表6-2的数据是用上述长度收缩效应公式算出的。从表6-2可以看到：静止长度为1m的物体，以0．8c的速度沿长度方向相对某观测者匀速运动时，此观测者测量该物体的长度为0．6m。 表6-2 （鲁科K）长度收缩与运动速度的关系 速度ν/km2s-1 静止长度l/m 运动长度 l′/m0.1c10.9950.5c10.8660.8c10.60.9c10.4360.97c10.2430.99c10.1410.999c 10.0450.9998c10.02 在现代高能物理研究常用的粒子加速器中(图6-7)，粒子可以被加速到0．999 8c的高速，从表6-2中还可以看出，这时从加速器中高速运动的粒子的角度观测，原长1m的管道，沿它运动方向测量仅有约2cm了。 我们平常观察不到这种长度收缩效应，是因为我们生活在比光速低很多的低速世界里，这种现象极不明显。即使运动物体的速度达到ν=30 000km/s(即0．1c)，长度收缩效应也只不过是。因此，在低速运动中，ν< (沪科K)长度收缩效应 长度的测量在经典物理学中是与参考系无关的。在某一个参考系中测量棒的长度，就是测量它的两个端点在同一时刻的位置之间的距离，根据爱因斯坦的观点．既然同时是相对的，那么长度的测量也是相对的。例如你的 （注：(沪科J) (3)、(4)两式是爱因斯坦根据两条基本公设提出的狭义相对论的时空变换的线性变换式，是导出(5)、(6)两式的基础。 (沪科J) (5)、(6)两式是洛仑兹变换中两个重要的变换式，在这里是直接给出的。它们可以由两条基本公设严格推导得到。教学中要强调在低速情形下，(5)、(6) 两式退化到(1)、(2)两式，这说明伽利略变换是洛仑兹变换在低速情况下的近似。 (沪科J)同时的相对性是由两条基本公设直接导出的，长度收缩效应是由同时的相对性导出的，教学中要注意这个逻辑关系。） 同学在飞船上测量飞船窗口的长度和高度，而你在地面上也测量飞 船窗门的长度l和高度h(如图6-8)，你们测得的飞船窗口高度会相同(h′=h)，但你测得的窗口长度l却比飞船上同学测量的l′要短一此。这种缩短的现象不只发生在窗口，飞船上的物体沿飞行方向的长度，在地面上测量的值都比在飞船上测量的值要小。但在与飞行方向垂直的方向上，则不会有这种现象。缩短的程度与什么因素有关呢?显然与飞船的速度有关。爱因斯坦认为，地面上测量的长度l与飞船 上测量的长度l′，的关系(可从(5)、(6)式推得)是：此式说明，如果在某一个运动的参考系中，对一根沿运动方向放置a相对于此参考系静止的棒测得的长度是l′，则在一个静止的参考系中，对同一根棒测得的长度l 总要短些，两者之间相差一个因子，这种情况被叫做长度收缩效应（length contraction ）或尺 缩效应，这个效应显示了空间的相对性，图6-9是发生尺缩效应时，长度与速度的关系。 应当指出，尺缩效应也是一种相对效应，静止参考系中沿运动方向放置的棒，在运动的参考系中测量，其长度也要收缩。 由长度收缩公式可以看出，当v 的经典时空概念：空间的量度与参考系无关，这也说明，牛顿的绝对时空观是相对沦时空观在低速情形下的近似。（注：(沪科J)这是长度收缩效应的定量公式，进行有关计算时很有用。教学中必须明确指出，长度收缩效应是与物体的具体组成和结构无关的普遍的时空性质，一切运动的物体都要在运动方向上发生收缩，所以相对于物体静止的惯性系中测得的物体的长度最长。5．（鲁科K）质速 关系 （鲁科K）在经典力学中，一个物体所受的重力会随着它所处的高度或纬度的变化而变化，但是它的质量不仅与所处的位置无关，还与物体的运动无关。根据牛顿第二定律F=ma可知，由于质量不变，只要始终对物体施加一个恒力，那么，这个物 体就将保持匀加速运动，它被加速到光速时还会继续加速，并超过光速。 但是基于相对论和其他物理原理，可推出物质的质量是变化的。当物体在所处的惯性参照系静止时，它具有最小的质量 m0，这个质量叫做静止质量。当物体以速度 相对某惯性系运动时，在这个惯性系观测它的质量为 可见，在某个惯性系中观测某个物体，它的质量的观测值会随着它运动速度的增大而增大。由此可以算出在回旋加速器中，当电子的速度ν=0．98c时，测得电子的质量为 也就是静止质量的5倍；同理可知，当电子以0．9945c的速度运动时，测得该电子的质量m几乎增大为静止时的10倍。在极限情况下，当ν→c时，m→ 。这表明，高速运动的物体其质量的测得值会非常大，并随着速度趋于光速c而无限增大(图 6-8)。一个真实的物体，其质量是确定值、有限大，所以按相对论来讲，一个真实的、静止质量不为零的物体，相对任何惯性系的运动速度都不可能等于并超过光速c。 上述质量公式被高能物理实验所验证。 我们做一个具体计算。一个静止质量邢。m0=1kg的物体，与地球一起绕太阳公转的速度是ν=30km/s，在相应的惯性系的观测者测得该物体的质量为 也就是说，质量的增加只有5310-8kg。因此，对于低速运动的物体，其质量的变化完全可以忽略不计。 (沪科K)爱因斯坦的质量公式 1901年，德国物理学家考夫曼(W．Kaufman)在实验巾发现电子的质量会随速度增大而增加。如果以表示电子的静止质量， m表示运动电子的质量，f表示光速，根据考夫曼的测量结果，可得到图6-11所示的曲线。他的这一工作．首次证实了电子质量随速度的改变而改变。考夫曼的实验结果与后来爱田斯坦推导出来的表述质量的公式完全-致：实物有静止质量，辐射没有静止质量： 上式说明，物体质量随速度的增加而增加，在高能物理学实验室中，质量随速度的增加是司空见惯的事。例如一个亚原子粒子可以加速到超过0.99c的速度，非常接近光速，相对论预言它的质量要比静止质鲑大几千倍，实验观察结果与预言的情况符合得十分好。 请讨论： 1．如果你使一个物体加速、加速、再加速，它的速度会增加到等于光速甚至大于光速吗?为什么? 2．光有静止质量吗，如果有，情况将会怎么样? (沪科J)这个公式又称作"质速关系"。m也称作"相对论质量"，它随物体速度的增大而增大。当可见量度惯性的是相对论质量而不是静止质量。 (沪科J)这个公式还隐含着一个重要的结论：对静止质量不为零的物体，是不可能加速到光速的，即用任何动力学的方法不能获得超光速运动。这表明在相对论中，光速是物体运动的极限速度。 6．（鲁科K）质能关系 （鲁科K）在经典物理学中，质量和能量是两个独立的概念。按照相对论及基本力学定律可推出质量和能量具有如下关系 E=mc2 这就是著名的质能关系式(mass-energy equivalence)。式中，m是物质的质量，单位是kg；c是真空中的光速，单位是m/s；E是物质的能量，单位是J。质量和能量是物质不可分离的属性。当物质的质量减少或增加时，必然伴随着能量的减少或增加。如果用m表示物体质量的变化量，E表示能量的变化量，那么它们的关系可以表示为E=mc2该式表示，随着一个物体质量的减少，会释放出一定的能量；与此同时，另一个物体吸收了能量，质量也会随之增加。 某个静质量m0的物体，相对它静止的观测者测其质量为 m=m0；能量为E=mc2=m0c2，记为E0=m0c2，称为静能量。这表明任何静质量不为零的物体，都贮存着巨大的能量。当某物体受到高能量的作用而发生静质量转化m0。时，就会释放出巨大的能量Eo=moc2。人类已掌握了释放这种能量的有效方法。1938年，德国物理学家哈恩发现，一个较重的铀核，在高能中子的轰击下，会裂变成两个中等质量的核，并进而形成雪崩式的链式反应，同时释放出巨大的能量。哈恩的重核裂变反应，使爱因斯坦的质能关系得到了验证和实现。从此，人类进入了一个崭新的核能时代。 核能的发现虽然带来了原子弹等毁灭性武器(图6-9)，但也给人类带来了似乎是用之不竭的新能源。按核裂变原理建起的核电站，已继火电、水电之后成为新的动力源。若能实现核聚变方式开发能源，全世界的能源问题就能从根本上得到解决。诺贝尔曾有一句名言："人类从新发现中得到的好处总要比坏处多。"我们应以持久的努力禁止使用并最终销毁核武器，同时，合理、安全地使用核能，使之为人类造福。 (沪科K)质能关系 物体速度增加了，它的质量也增加。按照动能定理，质量的增加就意味着能量的增加。 爱因斯坦对质量与能量的关系进行了深入研究，得出了如下关系式：E=mc 上式表示：任何质量m都对应着-定的能量mc2，此式通常叫做爱因斯坦的质能关系公式。 爱因斯坦曾把这个公式看作他的狭义相对论最有意义的结果．因为这个公式为开发和利用原子能提供了理论基础。（注：(沪科J)质能关系又称"质能等效性"。(沪科J)教学中可以对质能关系作以下分析： 1．能量和质量的改变是相互联系着的。质量的改变，伴随着能量的改变 2．核反应中由于质量亏损而释放核能的事实，直接证明了质能关系。 3．在经典物理学中存在着两个相互独立的定律：质量守恒定律和能量守恒定律，相对论把两个定律统一成一个定律：质量-能量守恒定律。）7．（鲁科K）时空弯曲 （鲁科K）爱因斯坦在他的狭义相对论中提出，物理定律的形式在一切惯性系中都是相同的。当观察者做加速运动或在非惯性系中，情况又怎样呢?正是对这一问题 的深入思考，使他又进一步提出了广义相对论(general theory of relativity)。爱因斯坦设计了一个理想实验。设想在遥远的宇宙空间有一间房子，这间房子里有一切必要的实验用具。墙上有一个光线发射体。如果房子是惯性系，由光速不变原理可知，由墙上的光线发射体发出的光束就会沿直线直接穿过正对面墙上的小孔，射出房子。如果房子在向上加速运动，它不再是惯性系，那么，这束光就不会从小孔射出。这意味着光束不再沿直线传播，其轨迹发生了弯曲，如图6-11所示，就 像在地面附近平抛出去的物体，在重力的作用下运动轨迹会向下弯曲一样。光束轨迹弯曲是房子加速运动的直接结果，抛体轨迹的弯曲是引力作用的结果，加速运动和引力作用都导致了轨迹弯曲的结果，基于这点可称加速和引力是等效的。如果加速运动能够使光线弯曲，那么，引力也能使光线弯曲。这是一个惊人的预言! 由于地球上的重力太弱，使光线弯曲的效应难以观测。太阳的质量比地球大得多，它的引力应该足以使从遥远恒星发出的光线经过太阳附近时，产生能够测量到的弯曲效应。1919年5月29日，英国天文学家阿瑟2爱丁顿率领一支观测队，到达发生日全食的非洲西部的普林西比岛进行观测。因为在日全食的过程中，整个天空都黑暗下来，可以清楚地看见天上的星星，这样才有可能把太阳附近的恒星拍摄出来。他们将拍摄到的一张照片，与太阳不在这个天区时的星空照片相比较，经反复核对和比较，结果发现太阳周围的恒星不在原来的位置上。由实验计算出的这些恒量的光线在太阳附近弯曲的数值，与广义相对论的理论预言相当吻合。11月6日，英国皇家学会和皇家天文学会正式宣布了观测报告，确认广义相对论的结论是正确的。11月7日，新闻媒体报道了这一结果，爱因斯坦和他的广义相对论从此 享誉全世界(图6-12)。 爱因斯坦进一步研究认为，光线在引力场中的弯曲可等效为空间本身被引力弯曲了。引力不但影响空间，而且影响时间，对影响方式的最佳描述就是时空弯曲。爱因斯坦巧妙地将加速度、引力场作用纳入到四维时空的几何性质中，该几何不再是我们熟知的欧几里德几何，而是黎曼几何。黎曼几何是弯曲空间的几何，故有上述时空弯曲之说。 在宇宙中，物质质量大、密度高的区域时空弯曲大；物质稀少的地方，时空较"平直"。太阳、恒星等处，时空等效的弯曲较显著，我们就说经此而过的光束也只能 走曲线。图6-13是哈勃望远镜拍摄的"爱因斯坦十字"星云，中间的白色斑点是 4 亿光年距离的旋涡状星云，由于时空弯曲，另外一个76亿光年距离的类星体被聚集成围绕旋涡状星云的4个光亮区。 爱因斯坦基于广义相对论时空观和经典的牛顿引力场理论，最终提出广义相对论引力场方程，至此广义相对论的框架也就建立起来了。 (沪科J)教学中要强调长度收缩效应是相对的，在低速情形下将无法显现，这时就回到了牛顿的经典时空概念。） 相对论认为空间和时间是运动着的物质存在的形式，时空概念是从物质运动中抽象出来的，而不是独立独立于物质运动之外的概念。 人们对时空的认识和对一切事物的认识一样，都是在实践中逐步发展和加深的，相对论并没有否定经典物理学：尽管相对论更具有普遍性，但是经典物理学作为它的低速近似，在处理低速运动问题时仍然是正确的。 爱因斯坦创立的狭义相对论，呈20世纪物理学最大的成就之一。这个理论导致了物理学史上一次深刻的变革，成为近代物理学的两大支柱之一(另一支柱是量子力学)。同时，狭义相对论使人类对物质世界的认识发生了巨大的飞跃。牛顿力学让我们登上月球观光，爱田斯坦的相对论把我们引向更远的宇宙。我们正在进入一个新的时空! (沪科K)多学一点广义相对论简介 经典力学和铁义相对论都是针对惯性系的。狭义相对论建立后，爱国斯坦又继续思考：物理规律在具有加速度的参考系中将是怎样的呢? 爱因斯坦根据他所设计的理想实验推断：在一个具有均匀加速度的参考系中做物理实验，观察到的结果跟在引力场中的实验结果是没有区别的，爱因斯坦把这个推断表述为一条与秩义相对论相似的基本原理： (沪科K)每一个做加速运动的观察者都体验到同样的自然规律。换句 （注：(沪科J)广义相对论是爱因斯坦于1916年提出的一种关于引力如何影响其他物理现象的理论。它回答的是：物理规律在具有加速度的参考系中其数学表达式是否改变?这一段内容在教和学上都有一定的难度。 (沪科J)广义相对论是狭义相对论的推广，狭义相对论仅是广义相对论在不存在引力或引力很弱时的特殊情形。） 话说．在任何一个封闭的房间里做的实验都不能告诉你，你是在没有重力的环境中做加速运动，还是在有重力的情况下处于静止状态。 (沪科K)这叫做广义相对性原理。 狭义相对性原理是说物理规律不受参考系的速度影响，广义相对性原理则是说物理规律不受参考系的加速度影响。 从广义相对性原理，爱因斯坦断言：引力会使光线弯曲：这一预言已在日食时桩观察到，如图6-12所示。 因为空间与时间是不可分离的．所以引力不仅影响了空间，而且影响了时间，广义相对论(general relativity)对这种影响的描述方式是．一切物体都处在-个四维的世界中．即在我们已经习惯了的三维空间之外，再加上第四维--时间。 在引力场中，时空发生弯曲- 天体之间的引力作用是时空弯曲的结果(如田6-12所示)．万有引力是广义相对论的时空弯曲理论在弱引力场中的很好的近似表述。 关于宇宙声产生的大爆炸学说、关于宇宙发展的宇宙膨胀学说，以及宇宙中的黑洞和暗物质等．都与广义相对论有关。有兴趣的同学可以找一下这方面的科普书籍阅读，或者看一-些科普影视片。 【生活应用】 【课本习题】 1．（鲁科K）一颗以0．2c的速度朝地球运动的星体突然爆炸成为一颗明亮的超新星。爆炸所发出的光以什么速度离开这颗星?在地球上测量，它以什么速度射向地球?(视为在真空环境中) 解答：应用光速不变原理，两种情况下光速的大小都是c。 2．（鲁科K）一块静质量为m0的石块，当它相对于静止地面的你以ν匀速运动时，你观测它的质量是增大、减小还是不变?如果质量有变化，通常我们能检测出来吗? 解答：由可知石块质量要增大。由于u《c，通常条件下测不出该质量的变化。 3．（鲁科K）在远离一切星体的太空中，你作为一艘加速(其加速度大于g)运行飞船上的乘客，你观测自己的重量比在地球时是大、是小还是不变?如果你匀速运动呢? 解答：从加速场与引力场等效考虑，故乘客的重量(或其受的引力)比在地球时的大。如果飞船匀速飞行，则既无加速又无引力作用，故该人的重量为零。 1．（鲁科K）甲正以O．75 c的速度离开乙。甲打开两个激光器，让一束光射向前面，另一束光射向后面。甲观察到每一束光的速度是多少?乙观察到每一束光的速度又是多少?为什么? 解答：甲、乙观察到的两束光的光速均为c。甲、乙互为惯性参考系，由光速不变原理可得。 4．（鲁科K）用极大的力作用在质量很小的物体上，经过足够长的加速时间，可以使物体的速度超过光速吗?为什么? 解答：不能。因为"一个真实的、静止质量不为零的物体，相对任何惯性系的运动速度都不可能等于或超过光速c。"具体解释参见课本第儿2页"质速关系"。 (沪科K)家庭作业与活动 简单分析伽利略相对性原理和爱因斯坦相对性原理的相同点和不同点。 注意：伽利略相对性原理是对力学规律而言的，爱因斯坦相对性原理是对一切物理规律而言的。） 家庭作业与活动 1．(沪科K)同时的相对性是什么意思?为什么会有这种相对性?如果光速是尤限大。是否还有这种相对性？ 2．(沪科K)一列火车在前进中．车头和车尾各遭到-次闪电轰击。据车上的一个观察者测定，这两次轰击是同时发生的，试问：据地面上理察者的测定，它们是否仍然同时?如果不同时．车头和车尾哪个九遭到轰击" 不同时。车尾先遭到轰击。用光速不变原理或(6)式计算都可以得到这个结论。 3．(沪科K)尝试用(5)、(6)两式验证长度收缩公式。 4．(沪科K)有三只完全相同的时钟，钟A放在地面上．钟B、C各放在一艘飞船上，两飞船分别以速度。在地面上的观察者看来，哪只时钟走得最快，哪只时钟走得最慢？ 根据时间延缓效应公式可知，相对于地面观察者的速度v越大，其上的时间进程越慢。由于C相对于地面的速度最大，因此地面上的观察者认为C走得最慢。对于地面上的钟A,因此认为它走得最快。 5 (沪科K) 试比较绝对时空观与相对沦时空观的不同。 （注：(沪科J)这里介绍的光线在引力场中弯曲是广义相对论提出的3个判别性结论之一。另外两个是：水星近日点的进动和恒星光谱的引力红移。这3个判别性结论都与天文观测结果基本相符。 (沪科J)对宇宙大爆炸学说、黑洞和暗物质，教师也可以先通过讲座的形式作一些介绍，引导有兴趣的学生阅读相关的科普书籍。作进一步的了解。 【基础例题】 (沪科K)案例分析 案例介子是一种不稳定的粒子。当它静止时，平均寿命为。今测得它相对于实验室的速率为0.99c．那么在实验室测得的平均寿命是多少? 分析已知，根据时间延缓效应公式，就可计算介子在实验室测得的平均寿命。 这是一个根据高能物理实验数据得到的结果，它说明相对论是经得起实验检验的， (沪科K)案例分析 (沪科K)案例 lkg的铀裂变后，其静止质量亏损了0．01kg。由于这些质量的亏损，将释放多少能量? 分析因为亏损的质量m=0.01kg，根据质能关系公式E= mc，即可计算出释放的能量。 计算 J。 请你查找资料计算一下：这些能量要完全燃烧多少优质煤才能获得? （鲁科K）讨论与交流 你能想像静止的物体具有那么大的能量吗? 我们曾学过，静止放在高处的重物，看不出它具有能量，可是，一旦下落砸到它下方的物体时，就显示出它具有能量。 想想看，还有哪些形式的能量也有这样的特点? 请谈谈你的看法，并与其他同学讨论交流。 （鲁科K）讨论与交流 你能想像静止的物体具有那么大的能量吗? 我们曾学过，静止放在高处的重物，看不出它具有能量，可是，一旦下落砸到它下方的物体时，就显示出它具有能量。 想想看，还有哪些形式的能量也有这样的特点? 请谈谈你的看法，并与其他同学讨论交流。 【资料链接】 (沪科K)信息浏览 时间延缓效应的实验验证 通过观察高速运动的微观粒子，时间的相对性反复地得到了证实。例如，宇宙射线中有一种粒子叫子，它的寿命只有2.2s，就是说．如果你观察一个相对于你静止的子，你只能观察2．2s，之后它就发生了衰变。在高能物理实验呈中，子可以加速到O．998c，由公式计算出它的平均寿命为27s．实验值也为约27s。因此．实验完全证实了时间延缓公式。 1971年．哈夫勒(J．C．Hafele)和基廷(R．E．Keating)用喷气式飞机携带绝原子钟进行环球飞行实验，证实了时钟延缓效应(图6一1O)。 （注：(沪科J)这是时间延缓效应的定量公式，进行有关计算时很有用。这也是一个十分重要的相对论效应。 (沪科J)教学中同样要强调时间延缓效应是相对的，在低速情形下将无法显现，这时就回到了牛顿的经典时空概念。 (沪科J)已知根据时间延缓效应公式，可求得介子在实验室测得的平均寿命是(沪科J)这里的"信息浏览"介绍的是两个验证时间延缓效应的著名实验，可以指导学生查阅相关资料，了解实验的方法和过程。）（鲁科K）信息窗（鲁科K）爱因斯坦 （鲁科K）爱因斯坦(A．Einsteln，1879-1955，图6-10)，近代伟大的物理学家。他出生在德国西南部古城乌耳姆的一个犹太人家庭。 他的主要贡献是：提出光量子说，解释了光电效应；创立狭义相对论和广义相对论。他于1921年获得了诺贝尔物理学奖。 因为担心德国纳粹政府抢先造出原子弹，为祸世界，1939年，爱因斯坦写信给美国总统罗斯福，建议发展原子弹。这就是著名的"曼哈顿计划"的起源。虽然爱因斯坦曾主张制造原子弹，但他却是一名．热诚的和平主义者。1955年，爱因斯坦在平静中去世，享年76岁。 （鲁科K）信息窗 （鲁科K）四维时空 （鲁科K）四维时空，最初是由数学家闵可夫斯基提出的。闵可夫斯基说了一句富有诗意的话："空间本身，时间本身，最终都会像影子般地消失在黑暗之中，只有这两者的某种形式的结合，才能保持它独立的客观实体。" 物理学家斯蒂芬2霍金也说过："想像一个四维空间是不可能的。我个人觉得想像三维空间已经够难了。" 诚然，就四维时空给出能让人接受的形象化描述非常困难。我们应当明确，物理模型、概念及定律等不过都是描述客观世界的工具、方法，随着进入高速、微观等领域，理论将更抽象、复杂。 （鲁科J）相对论知识比较抽象，因此，在教学中一定要注意深入浅出，不要过分追求知识的严谨性和逻辑性； 运用物理学史进行教学，可以提高学生的学习兴趣，但对物理学史的介绍不能冲淡主题；同时注意应用本节提供的图、数据表以及"信息窗"栏目。 (沪科K)信息浏览 光速的测定 相对论理论的建立，实际上是从研究光的膏特性质开始的．其中很重要的一个问题就是光的传播速度。 早先，对先的传播速度是无限的还是有限的，有过蠢烈的争论，像笛卡儿这样有名的科学家也认为光的传播速度是无限的，而伽利略等人就持相反的意见，认为光速有限。相传，伽利略曹和助手分别站在两个山头上，采用相互发送和接收光信号的方法测量光速。测量失败了，因为光速实在是大大了。 但伽利略对光速的测量没有停止。1676年，丹麦天文学家罗默(O．Romer)提出通过麓察木星的卫星蚀来测光速，得到的光速是210000km／s。1728年英国天文学家布拉德利(J．Bradley)运用天文方法测得的光速是303000km／s。 1849年，物理学家斐索(H-Flzeau)第一次成功地在地面上不借助干天文观察完成了光速的测量。 他把光射到23km远的平面镜上反射回来，从而大大增加了光传播的距离。斐索测得的光速c= 299870±50km/s，这已经十分准确了。 后来至少又有18位科学家测定7光速。从 1862年之后，测得的光速都很接近，科学家现在公认的光速是km/s。值得一提的是科学家迈克耳孙(A．Michelson)和莫雷(E.Morley)于1887年所做的实验，他们的实验目的是寻拽宇宙中存在的2绝对参考柬"--"以大'的证据，结果并没有寻找到以大．倒是证明了光速与光源的运动．与观察者无关，真可谓"种豆得瓜"了。 这种光速丝毫不受光源或观察者影响的特性，违背了一般的速度合成原则，很令人费解。威康2汤姆生所说的"两朵乌云"，一朵就是指迈克耳孙-莫雷实验。 (沪科J)这里的"信息浏览"简要地回顾T对光速的测量历史，指出从天文学方法到实验室测量，光速的测量值越来越接近km/s。又特别地指出T光速与光源的运动无关，与观察者无关，这是支持狭义相对论的重要实验基础。） 可分割的联系：使用这个新概念，我第一次完满地解决了整个困难。"接着，爱出斯坦用5个星期完成了他的狭义相对论。狭义相对论的出现，使得人们的时空观发生了重大的变革。 (沪科J)这里的"信息浏览"介绍了爱因斯坦的主要科学成就和创新精神，让学生更进一步了解爱因斯坦这位科学巨人，激励学生热爱科学，勤奋学习。 (沪科K)信息浏览 爱因斯坦(A1lbert Einstein)．1879年出生于德国符腾堡的鸟尔姆市。1896年进入瑞士苏黎世工业大学学习．并于1900年毕业。他大学期间在学习上就表现出"离经扳道"的性格，颇受教授们责难。毕业后即失业。1902年到瑞士专利局工作．1909年起开始当教授。他早期一系列最有创造性、最有历史意义的研究工作， 威廉皇家学会物理研究所所长兼柏林大学教授。由于希特勒法西斯的迫害，他于 1933年到美国定居．任曹林斯顿高等研究院研究员．直到1955年逝世。 (沪科K)爱因斯坦的主要科学成就有以下几方面： (1)创立了狭义相对论。这个理论揭示了空间和时间的联系，引起了物理学的革 命。同年又提出质能相当关系．在理论上为原子能时代开酵了道路。 (2)发展了量子理论。他在1905年提出了光的量子论，并因此获得了 1921年的诺 贝尔物理学奖。以后他又陆续发表文章提出受激辐射理论(1916年)，并发展了量 子统计理论(1924年)。 (3)建立了广义相对论。他在1915年建立的广义相对论，揭示了空间、时间、物质、 运动的统一性，以及几何学和物理学的统一性，解释了引力的本质，从而为现代天 体物理学和宇宙学的发展打下了重要的基础。 此外，他对布朗运动的研究(1905年)，为气体动理论的最后胜利做出7贡献。他 还开创了现代宇宙学．他努力探索统一场论的思想．指明了现代物理学发展的一个 重要方向。 (沪科K)爱因斯坦之所以能取得这样伟大的科学成就，应该归国于他那勤奋、刻苦 的工作态度和求实、严谨的科学作风，更应该归因于他那对一切传统和现成的知 识所采取的独立的批判精神。他不因循守旧，不迷信权魔，敢于寓经扳道，敢于创 新。他提出科学假设的胆略之大，令人惊奇，怛这些假设又都是他的科学作风和创 新精神的结晶。除了他非凡的科学理论贡献之外，这种伟大革新家的创新精神也是 他给人们留下的一份宝贵的遗产。 (沪科K)爱国斯坦的精神境界高尚。在巨大的荣譬面前．他从不把自己的成就 全部归功于自己，总是强调前人的工作为他创造了条件。他曾说过："人是为别 人而生存的。""人只有献身于社会．才能找出那实际上是短暂而有风险的生合的意 义。""一个获得成功的人，从他的同胞那里所取得的总无可比拟地超过他对他们所 做的贡献。然而看一个人的价值，应当看他贡献什么，而不应当看他取得什么。" 布朗运动理论一百年 郝柏林 由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。 1 我们从布朗运动本身开始回顾 英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1827年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。 事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。 2 爱因斯坦的扩散长度公式 爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论 的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。” 爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。 我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发： 假定在t?=0时刻粒子位于x=0处，即ρ（x，0）=δ（x），扩散方程的解是： 即粒子的密度遵从高斯分布。对于固定的时刻t，x和x2的平均值分别是： 〈x〉=0，〈x2〉=2Dt 于是得到扩散长度的公式： 这里出现了著名的爱因斯坦的1/2指数。 布朗运动与伊藤引理的运用 一、引言 1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。1900年，法国数学家巴舍利耶（）在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森（）提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。在柯朗研究所着名数学家的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。1973年，布莱克（）和斯科尔斯（）发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了着名的Black-Scholes公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。哈佛大学教授莫顿（Merton）在《期权的理性定价理论》一文中提出了与Black-Scholes类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。 二、相关概念和公式推导 1、布朗运动介绍 布朗运动（Brownian Motion）是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。然而真正用于描述布朗运动随机过程的定义是维纳（Winener）给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。 （1）、标准布朗运动 设t?代表一个小的时间间隔长度，z ?代表变量z在t?时间内的变化，遵循标准布朗运动的z ?具有的两种特征： 特征1：z ?和t?的关系满足下式： z?= 其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为的正态分布）中的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔t?，z ?的值相互独立。 关于布朗运动的理论 爱因斯坦 1905年12月 在我的论文《热的分子［运动］论所要求的[静］液体中悬浮粒子的运动》发表后不久，（耶那的）西登托普夫（Siedentopf）告诉我：他和别的一些物理学家——首先是（里昂的）古伊（Gouy ）教授先生一一通过直接的观测而得到这样的信念，认为所谓布朗运动是由液体分子的不规则的热运动所引起的。不仅是布朗运动的性质，而且粒子所经历路程的数量级，也都完全符合这个理论的结果。我不想在这里把那些可供我使用的稀少的实验资料去同这个理论的结果进行比较，而把这种比较让给那些丛实验方面掌握这个问题的人去做。 下面的论文是要对我的上述论文中某些论点作些补充。对悬浮粒子是球形的这种最简单的特殊情况，我们在这里不仅要推导出悬浮粒子的平移运动，而且还要推导出它们的旋转运动。我们还要进一步指明，要使那篇论文中所给出的结果保持正确，观测时间最短能短到怎样程度。 要推导这些结果，我们在这里要用一种此较一般的方法，这部分地是为了要说明布朗运动同热的分子［运动］论的基础有怎样的关系，部分地是为了能够通过统一的研究展开平动公式和转动公式。因此，假设α是一个处于温度平衡的物理体系的一个可量度的参数，并且假定这个体系对于α的每一个（可能的）值都是处在所谓随遇平衡中。， 按照把热同别种能量在原则上区别开的古典热力学，α不能自动改变；按照热的分子〔运动］论，却不然。下面我们要研究，按照后一理论所发生的这种改变必须遵循怎么样的定律。然后我们必须把这些定律用于下列特殊情况：—— 1、 α是（不受重力的作用的）均匀液体中一个球形悬浮粒子的重心的 X 坐标。 2、α是确定一个球形粒子位置的旋转角，这个粒子是悬浮在液体中的，可绕直径转动。 §1、热力学平衡的一个情况 假设有一物理体系放在绝对温度为 T 的环境里，这个体系同周围环境有热交换，并且处干温度平衡状态中。这个体系因而也具有绝对温度T ，而且依据热的分子［运动］论，它可由状态变数p p n 1完全地确定下来。在所考查的这个特殊情况中，构成这一特殊体系的所有原子的坐标和速度分量可以被选来作为状态变数p p n 1。 对于状态变数p p n 1在偶然选定的一个时刻处于一个 n 重的 无限小区域（p p n d d 1）中的几率，下列方程成立—— （1） p p e n E RT N d d C dw 1-= 次处C 是一个常数，R 是气体方程的普适常数，N 是一个克分子中实际分子的数目，而E 是能量。假设α是这个体系的可以量度的参数，并且假设每一组值p p n 1都对应一个确定的α值，我们要用 αAd 来表示在偶然选定的一个时刻参数α的值处在α和ααd +之间的几率。于是 布朗运动理论一百年1 布朗运动理论一百年 郝柏林 由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。 1 我们从布朗运动本身开始回顾 英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1927年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。 事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。 2 科学前沿与未来 2 爱因斯坦的扩散长度公式 爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。” 爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。 我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D 的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发： 22D t x ρρ??=?? 假定在t =0时刻粒子位于x =0处，即ρ（x ，0）=δ（x ），扩散方程的解是： ()241,4πx Dt x t e Dt ρ-= 即粒子的密度遵从高斯分布。对于固定的时刻t ，x 和x 2的平均值分别是： 〈x 〉=0，〈x 2〉=2Dt 于是得到扩散长度的公式： 这里出现了著名的爱因斯坦的1/2指数。 布朗运动 定义 悬浮微粒不停地做无规则运动的现象叫做布朗运动 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10纳米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。 这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动[1]。 那么，布朗运动是怎么产生的呢？在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地抓高年级微粒。悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。 1827年，苏格兰植物学家R·布朗发现水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动，称为布朗运动。人们长期都不知道其中的原理。50年后，J·德耳索提出这些微小颗粒是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动。后来得到爱因斯坦的研究的证明。布朗运动也就成为分子运动论和统计力学发展的基础。 悬浮在液体或气体中的微粒(线度~10－3mm)表现出的永不停止的无规则运动，如墨汁稀释后碳粒在水中的无规则运动，藤黄颗粒在水中的无规则运动……。而且温度越高，微粒的布朗运动越剧烈。布朗运动代表了一种随机涨落现象，它不仅反映了周围流体内部分子运动的无规则性，关于它的理论在其他许多领域也有重要应用，如对测量仪表测量精度限度的研究、对高倍放大的电讯电路中背景噪声的研究等等。 布朗运动的发现与研究 19世纪中对布朗运动的研究 布朗的发现是一个新奇的现象，它的原因是什么？人们是迷惑不解的。在布朗之后，这一问题一再被提出，为此有许多学者进行过长期的研究。一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起的。最早隐约指向合理解释的是维纳(1826——1896)，1863年他提出布朗运动起源于分子的振动，他还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。不过他的分子模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是振动。 1、引言 布朗运动的数学模型就是维纳过程。布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。我们现在用)(t W 来表示运动中一个微小粒子从时刻0=t 到时刻0>t 的位移的横坐标，并令0)0(=W 。根据Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。故粒子在时间段],(t s 上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。我们根据中心极限定理，假设位移)()(s W t W -服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移)(t W 具有独立的增量。此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说)(t W 具有平稳增量。 2.维纳过程 2.1独立增量过程 维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。现在我们就来介绍独立增量过程。 定义：}0),({≥t t X 是二阶矩过程， 那么我们就称t s s X t X <≤-0),()(为随机过程在区间],(t s 上的增量。 若对任意的n )(+∈N n 和任意的n t t t <<<≤Λ100，n 个增量 )()(,),()(),()(11201----n n t X t X t X t X t X t X Λ 是相互独立的，那么我们就称}0),({≥t t X 为独立增量过程。 我们可以证明出在0)0(=X 的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量)0(),()(t s s X t X <≤-的分布所确定。 如果对R h ∈和)()(,0h s X h t X h t h s +-++<+≤与)()(s X t X -的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。那么这个时候，增量)()(s X t X -的分布函数只与时间差)0(t s s t <≤-有关，而与t 和s 无关(令s h -=便可得出)。值得注意的是，我们称独立增量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性。 金融市场布朗运动研究的发展与状况 马金龙1,2马非特2 （1．中国科学院广州地球化学研究所，广东广州，510640, 2. 长沙非线性特别动力工作室，湖南长沙，410013） 摘要：布朗运动的理论构筑了主流金融经济学（数理金融学）的完整体系；分数布朗运动为在复杂系统科学体系下揭示金融市场价格波动的规律创造了契机；而基于复杂系统科学的有限尺度布朗运动进行金融市场交易价格波动投机指明了方向。 关键词：金融市场，布朗运动，分形，分数布朗运动，有限尺度布朗运动 1 布朗运动及其在金融市场的应用 1.1 布朗运动 布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征，但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。 原始意义的布朗运动 (Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。1923年，诺伯特丒维纳 (Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。它是这样的随机过程中最简单，最重要的特例。因而维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。不久，Paul Levy及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如稳定的Levy分布。20世纪40年代，日本数学家伊藤清(Ito Kiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项B(t)的随机微分方程。1990年,彭实戈－E. 巴赫杜(Pardoux)进一步提出了一大类可解的倒向随机微分方程，并给出方程解的一般形式，它可看成是Black-Scholes公式的一般化。总之，如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程 (Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。 布朗运动与伊藤引理的运用 唐雨辰3112352013 统计2107 一、引言 1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。1900年，法国数学家巴舍利耶（L.Bachelier）在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森（P.A.Samuelson）提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。在柯朗研究所著名数学家H.P.McKean的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。1973年，布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了著名的Black-Scholes公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。哈佛大学教授莫顿（Merton）在《期权的理性定价理论》一文中提出了与Black-Scholes类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。 二、相关概念和公式推导 1、布朗运动介绍 布朗运动（Brownian Motion）是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。然而真正用于描述布朗运动随机过程的定 义是维纳（Winener ）给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。 （1）、标准布朗运动 设t ?代表一个小的时间间隔长度，z ?代表变量z 在t ?时间内的变化，遵循标准布朗运动的z ?具有的两种特征： 特征1：z ?和t ?的关系满足下式： z ?= (2.1) 其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔t ?，z ?的值相互独立。 从特征1可知，z ?本身也具有正态分布特征，其均值为0为t ?。 从特征2可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。 现在我们来考察遵循标准布朗运动的变量z 在一段较长时间T 中的变化情形。我们用z （T ）-z （0）表示变量z 在T 中的变化量，它可被看作是在N 个长度为t ?的小时间间隔中z 的变化总量，其中/N T t =?，因此， 1()(0)N i z T z ε=-=∑ (2.2) 其中(1,2,)i i N ε= 是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知，i ε是相互独立的，因此z （T ）-z （0）也具有正太分布特征，其均值为0，方差为N t T ?=， 由此我们可以发现两个特征：○ 1在任意长度的时间间隔T 中，遵循标准布朗 运动的变量的变化值服从均值为0，○ 2对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。 当0t ?→时，我们就可以得到极限的标准布朗运动： dz = （2.3） （2）、普通布朗运动 金融市场的布朗运动和分数布朗运动(马金龙) [转帖2005.08.27 00:49:37] 1 布朗运动及其在金融市场的应用 1.1 布朗运动 布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征，但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。 原始意义的布朗运动(Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。1923年，诺伯特?维纳(Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。它是这样的随机过程中最简单，最重要的特例。因而维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。不久，Paul Levy及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如稳定的Levy分布。20世纪40年代，日本数学家伊藤清(Ito Kiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项B(t)的随机微分方程。1990年,彭实戈－E. 巴赫杜(Pardoux)进一步提出了一大类可解的倒向随机微分方程，并给出方程解的一般形式，它可看成是Black-Scholes公式的一般化。总之，如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程(Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。 1.2 布朗运动在金融市场的应用 将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。 1900年法国的巴施利叶（Louis Bachelier）在博士论文《投机理论》中将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。第一次给予布朗运动以严格的数学描述。但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符。遗憾的是，他的工作在当时并未引起重视，直到半个世纪后人们才发现其工作的重要性，从而开创了理论金融经济学新时代。Markowiz(1952)发表投资组合选择理论；Arrow和Denreu(1954)提出一般经济均衡存在定理；Roberts和Osborne(1959)把随机数游走和布朗运动的概念带入股市研究；以及稍后的Sharpe(1964)和Linther(1965)、Mossin(1966)等的资本资产定价模型(CAPM)；Samuelson和Fama(1970)的有效市场理论(EMH)；Fischer Black和Scholes(1973) 布朗运动 在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地随机撞击悬浮微粒。悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。 1定义 悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗最先用显微镜观察悬浮在水中花粉的运动而发现的。作布朗运动 的粒子非常微小，直径约1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。 这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动。布朗运动可在气体和液体中进行。 2特点 无规则 每个液体分子对小颗粒撞击时给颗粒一定的瞬时冲力，由于分子运动的无规则性，每一瞬间，每个分子撞击时对小颗粒的冲力大小、方向都不相同，合力大小、方向随时改变，因而布朗运动是无规则的。 永不停歇 浅谈布朗运动 吉林大学 物理学院 浅谈布朗运动 摘要: 布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本、最简单同时又是最重要的随机过程。本文对应用随机过程中的布朗运动理论进行了介绍，对布朗运动的背景，定义，性质及应用进行了阐述。 关键词: 布朗运动的定义;布朗运动的性质;布朗运动的应用 一、 概述 1827年,英国植物学家布朗(Robert Brown)发现浸没在液体中的花粉颗粒做无规则的运动,此现象后被命名为布朗运动.爱因斯坦(Albert Einstein)于1905年解释了布朗运动的原因,认为花粉粒子受到周围介质分子撞击的不均匀性造成了布朗运动.1918年,维纳(Wiener)在他的博士论文中给出了布朗运动的简明数学公式和一些相关的结论。 如今,布朗运动的模型及其推广形式在许多领域得到了广泛的应用,如经济学中, 布朗运动的理论可以对股票权定价等问题加以描述. 从数学角度来看,布朗运动是一个随机过程。具体的说,是连续时间、连续状态空间的马尔科夫过程。 二、 布朗运动的定义 随机过程}0t t {X ≥），（如果满足： 1、00X =）（ . 2、}0t t {X ≥），（有独立的平稳增量. 3、对每个 t > 0，）（t X 服从正态分布) t 2,0N(σ 则称}0t t {X ≥），（为布朗运动，也称维纳过程。 常记为B(t),T ≥0或W(t), T ≥0。 如果1=σ，称之为标准布朗运动，标准布朗 运动的定义是一个随机函数()()X t t T ∈，它是维纳 随机函数。 皮兰1908的布朗运动实验 三、布朗运动的性质 1、它是高斯随机函数。 2、它是马尔科夫随机函数。它的转移概率密度是： {}(,)()()f t s y x P X t y X s x y ?--=≤=?21/22 2()2()exp 2()y x t s t s πσσ-??-??=--????-?? 可以看出它对空间和时间都是均匀的。 3、如()(0)X t t ≤是标准布朗运动，则下列各个随机函数也是标准布朗运动。 （1）、2 1( )(/)X t c Xtc = （c ＞0为常数，t ≥0） （2）、2()()()X t Xt h Xh =+- （h ＞0为常数，t ≥0） （3）、1 3()(0)()0 (0) tX t t X t t -?> =? =? 4、标准布朗运动的协方差函数2 (,)min(,)C s t s t σ=。 5、标准布朗运动非均方可微。 由于布朗运动()X t 是维纳随机函数，而后者按照定义应有 2 2 [()()] W t s W t h σ+-=。因而令()()X t W t =后，必有：2 2 ()()X t h X t h h σ+-?? = ? ?? ， 布朗运动 科技名词定义 中文名称：布朗运动 英文名称：Brownian motion 定义：悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。 所属学科：大气科学（一级学科）；大气物理学（二级学科） 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 布朗运动 在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地随机撞击悬浮微粒。悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。 目录 热力学平衡 数学中的布朗运动 金融数学中的布朗运动 展开 编辑本段定义 悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。 这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动[1]。 编辑本段产生原因 那么，布朗运动是怎么产生的呢？ 1827年，苏格兰植物学家R·布朗发现水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动，称为布朗运动。人们长期都不知道其中的原理。50年后，J·德耳索提出这些微小颗粒是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动。后来得到爱因斯坦的研究的证明。布朗运动也就成为分子运动论和统计力学发展的基础。 悬浮在液体或气体中的微粒(线度~10－3mm)表现出的永不停止的无规则运动，如墨汁稀释后碳粒在水中的无规则运动，藤黄颗粒在水中的无规则运动……。而且温度越高，微粒的布朗运动越剧烈。布朗运动代表了一种随机涨落现象，它不仅反映了周围流体内部分子运动的无规则性，关于 第38卷第10期2008年5月数学的实践与认识M A THEM A TICS IN PRAC TICE AND THEO RY V o l.38 No.10 M a y, 2008 维纳和布朗运动 杨 静1, 唐 泉2 (1.北京联合大学基础部,北京 100101) (2.咸阳师范学院数学系,陕西咸阳 712000) 摘要: 布朗运动,作为一种特殊的随机过程,在随机过程理论处于一个中心地位.布朗运动理论在其他许 多领域也有重要应用.在布朗运动理论的发展和完善过程中,布朗,爱因斯坦和维纳等人都作出了重要贡献. 通过解读原始文献,考察了维纳建立布朗运动数学理论的过程.揭示了维纳在布朗运动的数学理论严格化 进程中的重要作用. 关键词: 维纳;布朗运动;随机过程 0 引 言 收稿日期:2007-09-26基金项目:国家自然科学基金资助项目(10671053) 1827年,英国植物学家布朗(R.Brow n,1773～1858)用显微镜观察悬浮在水中的花粉时,发现了水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的折线运动.事实上在布朗之前,已经有人报告了这种现象.但由于布朗第一个系统而深入地研究了这一现象,因此这种现象被称作布朗运动.在布朗之后很长一段时间内,人们都不知道布朗运动发生的原理.直到19世纪70年代,才有一些学者对布朗运动作出了定性分析,他们指出,这些微小颗粒的运动是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的.1905年,爱因斯坦(A.Einstein,1879～1955)发表了关于布朗运动的数学描述,他把布朗粒子视为理想气体巨分子系统.1908年,佩兰(J .Perrin ,1870～1942)用一系列出色的实验,证明了布朗粒子作为一种巨分子系统的热学性质.爱因斯坦和佩兰等物理学家关于布朗运动的文章,深深影响了维纳的早期工作.1923年,维纳(N.Wiener,1894～1964)给出了布朗运动的严格的数学理论,并作出了一系列工作,极大地促进了布朗运动数学理论的发展.本文旨在考察维纳建立布朗运动数学理论的过程. 1 维纳的生平和学术背景 维纳1894年11月26日生于美国密苏里州的哥伦比亚.他的父亲列奥维纳出生于俄国,18岁时移居美国.列奥维纳通过刻苦自学,成为哈佛大学斯拉夫语教授.列奥维纳对儿子寄予厚望,希望他在学术上有所成就. 维纳是一个名符其实的神童,他的父亲很早就发现了儿子的天赋,并坚信借助于环境进行教育的重要性,他从一开始学习就实施严格的教育计划.维纳三岁半开始读书,生物学和天文学的初级科学读物就成了他在科学方面的启蒙书籍.从此,他兴致勃勃,埋首于五花八门的科学读本.七岁时,开始深入物理学和生物学的领域,甚至超出了他父亲的知识范围.从 气溶胶灭火剂的性能（3） 作者： 三、气溶胶的动力学性质 1．气溶胶粒子的力学问题 一般而言，气溶胶粒子受到以下三种力的作用： （1）外力：如重力、电场力或离心力等； （2）周围介质的作用力：如气体介质对粒子运动的阻力，流体作为连续介质所形成的流体动力，流体中个别分子对粒子无规则撞击的热动力等； （3）粒子间相互作用的势力：如范德华力、库仑力等； 气溶胶粒子的力学现象虽然形形色色，若从基本过程考虑，大体有三类： （1）粒子在重力作用下的沉降过程和外力作用下的沉淀过程或扬起过程； （2）粒子之间在三种力联合作用下的碰并过程； （3）粒子上的物质与传热过程。 气溶胶粒子体系是一个多粒子体系，因此气溶胶粒子沉降等力学现象在大多数情况下是多粒子相互作用而产生的力学现象。多粒子力学即使在低雷诺数（Re）条件下也很难求解，为此在研究过程中总是把气溶胶粒子简化为一个孤粒子力学问题，同时又假定粒子形状为球形。因此，目前对气溶胶粒子的动力学研究仍较多地局限于球形粒子范围内。 2．气溶胶的动力学 气溶胶的动力学特性主要表现在三个方面：布朗运动、扩散、沉降与沉降平衡。其中最主要的是布朗运动，它是后两个特性的基础。另外，气溶胶还具有碰并和凝并的特点。（1）布朗运动 1827年，英国植物学家布朗（Brown）在显微镜下观察到悬浮于水中的花粉粒子处于不停息的，无规则的运动状态。以后发现凡是线度小于4×10-6m的粒子，在分散介质中皆呈现这种运动，由于这种现象是由布朗首先发现的故称为布朗运动。 气溶胶微粒的无规则热运动，是由于分散介质中气体分子的无规则热运动造成的。悬浮于气体中的微粒，处在气体分子的包围之中，气体分子一直处于不停的热运动状态，它们从四面八方连续不断地撞击着这些微粒。如果这些微粒相当大，则某一瞬间气体分子从各个方面对粒子的撞击可以彼此抵消，粒子便不会发生位移；若这些微粒较小时，则此种撞击便会不平衡，这意味着在某一瞬间，微粒从某一方向得到的冲量要多一些，因而会向某一方面发生位移，而在另一时刻，又从另一方向得到较多的冲量，因而又使其向另一方向运动，这样我们便能观察到微粒在不停地如图3-1所示的连续的、不断的、不规则的折线运动，由此可见，布朗运动是分子热运动的必然结果，是胶体粒子的热运动。 1905年爱因斯坦用几率的概念和分子运动论的观点，创立了布郎运动的理论，并推导出爱因斯坦——布朗平均位移公式： X=（RTt/3NAπrη）1/2 式中：X——t时间间隔内粒子的平均位移； r——微粒的半径； η——分散介质的粘度系数； T——温度； R——摩尔气体常数； NA——阿佛加德罗常数。 由上式可知，当其它条件一定时，微粒的平均位移与其粒径的平方根呈反比，这就是说粒径越小，微粒的布朗运动越剧烈。 证明液体、气体分子做杂乱无章运动的最著名的实验，是英国植物学家布朗发现的布朗运动。 1827年，布朗把藤黄粉放入水中，然后取出一滴这种悬浮液放在显微镜下观察，他奇怪地发现，藤黄的小颗粒在水中像着了魔似的不停运动，而且每个颗粒的运动方向和速度大小都改变得很快，好像在跳一种乱七八糟的舞蹈。就是把藤黄粉的悬浮液密闭起来，不管白天黑夜，夏天冬天，随时都可以看到布朗运动，无论观察多长时间，这种运动也不会停止。在空气中同样可以观察到布朗运动，悬浮在空气里的微粒（如尘埃），也在跳着一种杂乱无章的舞蹈。 发生布朗运动的原因是组成液体或者气体的分子本性好动。比如在常温常压下，空气分子的平均速度是500m/s，在1秒钟里，每个分子要和其他分子相撞500亿次。好动又毫无规律的分子从四面八方撞击着悬浮的小颗粒，综合起来，有时这个方向大些，有时那个方向大些，结果小颗粒就被迫做起忽前忽后、时左时右的无规则运动来了。 你倒一杯热水和一杯冷水，然后向每个杯里滴进一滴红墨水，热水杯里的红墨水要比冷水杯里的扩散得快些。这说明温度高，分子运动的速度大，并且随着物体温度的增高而增大，因此分子的运动也做热运动。热传导是固体中热传递的主要方式。在气体或液体中，热传导过程往往和对流同时发生。各种物质都能够传导热，但是不同物质的传热本领不同。善于传热的物质叫做热的良导体，不善于传热的物质叫做热的不良导体。各种金属都是热的良导体，其中最善于传热的是银，其次是铜和铝。瓷、纸、木头、玻璃、皮革都是热的不良导体。最不善于传热的是羊毛、羽毛、毛皮、棉花、石棉、软木和其他松软的物质。液体中，除了水银以外，都不善于传热，气体比液体更不善于传热。 义悬浮微粒不停地做无规则运动的现象叫做布朗运动 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10纳米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。 这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动[1]。 那么，布朗运动是怎么产生的呢？在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地抓高年级微粒。悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。 1827年，苏格兰植物学家R·布朗发现水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动，称为布朗运动。人们长期都不知道其中的原理。50年后，J·德耳索提出这些微小颗粒是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动。后来得到爱因斯坦的研究的证明。布朗运动也就成为分子运动论和统计力学发展的基础。 43 布朗运动 华东理工大学化学系 胡 英 43.1 引 言 1827年，英国植物学家布朗(Brown R)在光学显微镜下发现了悬浮 在水中的花粉颗粒进行着无休止的不规则运动，他正确地将这种以后被 称为布朗运动的起因归结于物质的分子本性。但争论一直延续，直到 1888年古艾(Gouy G)做了排除了其它可能原因如机械振动、对流和光照 的实验后，才告消除。正如佩兰(Perrin J)在1910年指出的，颗粒的独立 运动并不受到密度和组成的影响。 在《物理化学》6.4中对布朗运动已有了初步的讨论，导得了爱因 斯坦(Einstein A)-斯莫鲁霍夫斯基(Smoluchowski M von)方程， Dt z 22>=<，其中><2z 是颗粒在t 时的均方位移，D 是扩散系数； 又导得斯托克斯(Stokes G G)-爱因斯坦方程，) π6/(L r RT D η=， r 是颗粒半径，η是粘度。在本章中将进行更深入的介绍。我们将从计入随机 力的朗之万(Langevin P)方程开始，首先对单个粒子的运动解出其速度和 位移，并引入时间相关函数；然后讨论在位形和速度相空间中找到颗粒 的概率，导出其随时间的演变，得出扩散方程。最后在结语中简要提及 不同颗粒运动间的相关。对布朗运动的进一步了解，将为研究稠密流体 包括高分子熔体中的传递打下良好的基础。 43.2 朗之万方程 设在粘度为η、密度为ρ的流体中，有一半径为a 质量为m 的中 性球体颗粒漂浮着，颗粒密度可视为与流体密度相同，因此有 3/43ρa m π=。如果时间尺度比起ηρ/2a 足够长(后者称为粘滞弛豫 viscous relaxation ，来源见后)，运动的幅度又比a 小时，这时流体的粘 滞响应可用准稳态的斯托克斯拖曳力来表示，可以应用斯托克斯定律 u f a ηπ=6，f 即拖曳力或摩擦力，t d /d r u =是颗粒的运动速度，r 是 位置，f 、u 、r 均为矢量。这种处理将流体分子作用于颗粒上的力分解 为两部分：一是平均的拖曳力f ， 另一个则为随时间涨落的随机的布朗布朗运动理论一百年
布朗运动和伊藤引理的运用
关于布朗运动的理论(爱因斯坦)
布朗运动理论
布朗运动
(完整版)布朗运动以及维纳过程学习难点总结
金融市场布朗运动研究的发展与状况
布朗运动和伊藤引理的运用
金融市场的布朗运动和分数布朗运动 (马金龙 )
布朗运动
浅谈布朗运动
布朗运动
维纳和布朗运动_杨静
布朗运动
布朗运动的来源
布朗运动