解决解析几何问题的六种通法
解决解析几何问题的六种通法
中点问题点差法
已知点A 、B 的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它
们的斜率之积为－2.
(1)求动点M 的轨迹方程；
(2)若过点N ????
12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．
【解】 (1)设M (x ，y )，
因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·y x －1＝－2(x ≠±1)，
化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)， 即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．
当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ????12，62，D ????12，－6
2，此时CD 的中点
不是N ，不合题意．
故设直线l 的方程为y －1＝k ???
?x －1
2， 将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)得
2x 21＋y 2
1＝2，① 2x 22＋y 22＝2，②
①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）
y 1＋y 2＝－2×2×
1
22×1＝－1，
所以直线l 的方程为y －1＝(－1)×????x －1
2， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.
直线y ＝kx ＋m 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其中点为M (x 0，y 0)，这类问题最常用的方法是“点差法”，即A ，B 在圆锥曲线上，坐标适合圆锥曲线方程，得两个方程作差，通过分解因式，然后使用中点坐标公式、两点连线的斜率公式建立求解目标方程，解方程解决问题．
对称问题几何意义法
已知椭圆C ：x 216＋y 2
9
＝1，直线l ：y ＝2x ＋b ，在椭圆上是否存在两点关于直线l
对称，若存在，求出b 的取值范围．
【解】
设椭圆C ：x 216＋y 2
9＝1上存在两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝2x ＋b 对称，P ，
Q 的中点为M (x 0，y 0)．
因为PQ ⊥l ，所以可设直线PQ 的方程为y ＝－1
2x ＋a ，代入C 化简整理得13x 2－16ax
＋16a 2－144＝0.
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1613a ，y 1＋y 2＝18
13a ，故得M ????8a 13，9a 13. 因为Δ＞0，所以(－16a )2－4×13(16a 2－144)＞0， 解得－13＜a ＜13.
又因为M ????8a 13，9a 13在直线l ：y ＝2x ＋b 上， 所以9a 13＝16a 13＋b ，所以b ＝－7
13a ，
因此b 的取值范围是???
?－71313，71313.
故在椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，且b 的取值范围是???
－71313，71313.
圆锥曲线上存在两点，关于某条直线对称，求参数的取值范围，这类问题常见的解法是：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是圆锥曲线上关于直线y ＝kx ＋b 对称的两点，则PQ 的方程为y ＝－1
k
x ＋m ，代入圆锥曲线方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，其中P ，Q 的横(或纵)坐标即为方程的根，故Δ>0，从而求得k (或b )的取值范围．
最值(范围)问题不等式法
已知拋物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于
M ，N 两点，求|MN |的最小值．
【解】 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p
2＝1，p ＝2，所以抛物线C
的方程为x 2＝4y .
(2)易知直线AB 的斜率存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.
由?????y ＝kx ＋1，x 2＝4y
消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.
由?????y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1，又y 1＝x 214，所以x M ＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2
.
所以|MN |＝2|x M －x N |＝2????84－x 1－8
4－x 2
＝82??????x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝82k 2＋1|4k －3|.
令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋3
4.
当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6
t
＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝2 2
????5t ＋352
＋1625≥85
2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |取得最小值8
5
2.
解析几何最值(范围)问题，有时需要使用双参数表达直线方程，解决方法：一是根据直线满足的条件，建立双参数之间的关系，把问题化为单参数问题；二是直接使用双参数表达问题，结合求解目标确定解题方案．
定点问题参数法
已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆C 的右顶点A 的两条斜率之积为－1
4
的直线分别
与椭圆交于点M ，N ，问：直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过定点，请说明理由．
[点拨] 法一，以双参数表达直线MN 的方程，求解双参数满足的关系．法二，以直线AM 的斜率为参数表达直线MN 的方程．
【解】 法一：直线MN 过定点D .当直线MN 的斜率存在时， 设MN ：y ＝kx ＋m ，
代入椭圆方程得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8km
1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.
根据已知可知y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1
4，
即4y 1y 2＋(x 1－2)(x 2－2)＝0，
即(1＋4k 2)x 1x 2＋(4km －2)(x 1＋x 2)＋4m 2＋4＝0，
所以(1＋4k 2
)·4m 2－41＋4k
2＋(4km －2)????－8km 1＋4k 2＋4m 2＋4＝0， 即(4km －2)(－8km )＋8m 2(1＋4k 2)＝0， 即m 2＋2km ＝0，得m ＝0或m ＝－2k . 当m ＝0时，直线y ＝kx 经过定点D (0，0)．
由于AM ，AN 的斜率之积为负值，故点M ，N 在椭圆上位于x 轴两侧，直线MN 与x 轴的交点一定在椭圆内部，而当m ＝－2k 时，直线y ＝kx －2k 过定点(2，0)，故不可能．
当MN 的斜率不存在时，点M ，N 关于x 轴对称，此时AM ，AN 的斜率分别为12，－1
2，
此时M ，N 恰为椭圆的上下顶点，直线MN 也过定点(0，0)．
综上可知，直线MN 过定点D (0，0)． 法二：直线MN 恒过定点D .
根据已知直线AM ，AN 的斜率存在且不为零，A (2，0)． 设AM ：y ＝k (x －2)，
代入椭圆方程，得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0， 设M (x 1，y 1)，则2x 1＝16k 2－4
1＋4k 2，
即x 1＝8k 2－21＋4k 2，y 1＝k (x 1－2)＝－4k
1＋4k 2
， 即M ? ??
?
?8k 2
－21＋4k 2，－4k 1＋4k 2.
设直线AN 的斜率为k ′，则kk ′＝－14，即k ′＝－1
4k ，
把点M 坐标中的k 替换为－14k ，得N ? ??
??2－8k 24k 2＋1，4k 4k 2＋1. 当M ，N 的横坐标不相等，即k ≠±12时，k MN ＝2k 1－4k 2，直线MN 的方程为y －4k 4k 2＋1＝
2k
1－4k 2
? ??
??x －2－8k 2
4k 2＋1，即y ＝2k 1－4k 2x ，
该直线恒过定点(0，0)．当k ＝±1
2时，M ，N 的横坐标为零，直线MN 也过定点(0，0)．
综上可知，直线MN 过定点D (0，0)．
证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出x ，y 的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．
定值问题变量无关法
已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，
且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为43
3
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设N (0，2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．
【解】 (1)在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝16
3
.
由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|·cos 60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1|·|MF 2|(1＋cos 60°)，
解得|MF 1|＋|MF 2|＝4 2.
从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝2 2. 由|F 1F 2|＝4得c ＝2，从而b ＝2， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 2
4
＝1.
(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)， 由?????x 2
8＋y 2
4＝1，y ＋2＝k （x ＋1），得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k （k －2）1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2
.
从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋（k －4）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －(k －4)·4k （k －2）
2k 2－8k
＝4.
当直线l 的斜率不存在时，可得A (－1，142
)， B (－1，－
14
2
)，得k 1＋k 2＝4. 综上，k 1＋k 2为定值．
定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．
探索问题直推法
已知曲线T ：x 22
＋y 2
＝1(y ≠0)，点M (2，0)，N (0，1)，是否存在经过点(0，2)
且斜率为k 的直线l 与曲线T 有两个不同的交点P 和Q ，使得向量OP →＋OQ →与MN →
共线？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．
【解】 假设存在，则l ：y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得 (1＋2k 2)x 2＋42kx ＋2＝0. 因为l 与椭圆有两个不同的交点， 所以Δ＝(42k )2－8(1＋2k 2)>0， 解得k 2>1
2
，
由题意知直线l 不经过椭圆的左、右顶点， 即k ≠±1， 亦即k 2>1
2且k 2≠1.
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－42k
1＋2k 2
.
得y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝－42k 21＋2k 2＋22＝22
1＋2k 2. 所以OP →＋OQ →
＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)
＝? ??
??－42k 1＋2k 2，221＋2k 2， 又MN →
＝(－2，1)，
向量OP →＋OQ →与MN →
共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，
所以－42k 1＋2k 2＝(－2)·22
1＋2k 2， 解得k ＝
2
2
，不符合题意，所以不存在这样的直线．
解决此类问题，首先假设所探求的问题结论成立或存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．
解析几何经典例题
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从 的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。 图1 解析：易知故 在中， 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。 图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则， 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析：易知抛物线的准线l：， 作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地， 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） 图4 ②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
平面解析几何经典题(含答案)
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地， 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点，k 为斜率 斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。
解析几何经典例题
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义就是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1、如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2、如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从 的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3、如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|＝4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求 抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4、①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|＝|QP|, 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹就是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5、如图5,已知三点A(－7,0),B(7,0),C(2,－12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。
高中数学解析几何大题专项练习
解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [
3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、
解析几何大题带规范标准答案
三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过 坐标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线
. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
数学 解析几何 经典例题 附带答案
数学解析几何经典例题~ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线x 22－y 21 ＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1) C ．(3，0)，(－3，0) D ．(0，3)，(0，－3) 解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3. ∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C. 答案： C 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析： 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立； 当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1. 所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件． 答案： C 3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0 解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D. 答案： D 4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( ) A ．椭圆、双曲线、圆 B ．椭圆、双曲线、抛物线 C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线 D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线 解析： 当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线． 答案： C 5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2 所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．－x ＋2y ＋4＝0 D ．x ＋2y ＋4＝0 解析： 由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－12 (x －0)， 即x ＋2y ＋4＝0. 答案： D 6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为 ( ) A.32 B.34 C ．2 5 D.355
解析几何(经典题型)
高中数学解析几何公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 2、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 3、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ??=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 4、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 5、 （1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π ∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 6、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系
高中数学平面解析几何初步经典例题(供参考)
直线和圆的方程 一、知识导学 1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点， B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3．直线的倾斜角和斜率的关系 （1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种 5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ= 2 11 21k k k k +-， 当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的
区别. 6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. （1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 （2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1， B 2都不为零时，有以下结论： ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7．点到直线的距离公式. （1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++； （2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 （1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径； （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42 2-+＞0），圆心坐标 为（-2D ，-2 E ），半径为r =2422 F E D -+.
高考解析几何压轴题精选(含答案)
１. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上， 则B 到该抛物线准线的距离为＿______＿___＿＿。(３分) 2 ．已知m ＞１,直线2:02 m l x my --=,椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点． （Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程;(Ⅱ）设 直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F ,12BF F 的重心分别为 ,G H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范 围．（6分) 3已知以原点O 为中心，)5,0F 为右焦点的双曲线C 的离心率52e =。 （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题(２０）图,已知过点 ()11,M x y 的 直线111:44 l x x y y +=与过点()22,N x y (其中2x x ≠)的直线 222:44l x x y y +=的交点Ｅ在双 曲线C 上,直线MN 与两条渐近线分 别交与Ｇ、H 两点,求OGH ?的面 积。（8分）
4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;(Ⅱ）设直线1PF 、 2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =;（Ⅲ)是否存在常数λ,使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值;若不存在,请说明理由.（7分）
上海高二数学解析几何经典例题
上海高二数学解析几何经典例题轨迹方程 1、已知反比例函数y 1 的图像 C 是以x轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线．x （1）求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标； （2）设A1、A2为双曲线C的两个顶点，点M ( x0, y0)、N ( y0, x0)是双曲线C上不同的两个动点．求直线A1 M 与 A2 N 交点的轨迹E的方程； （ 3）设直线l过点P ( 0, 4)，且与双曲线C交于A、B两点，与x轴交于点Q．当PQ1 QA2QB，且 128 时，求点 Q 的坐标．
2、在平面直角坐标系xOy 内，动点P到定点 F ( 1 , 0)的距离与 P 到定直线 x4的距离之比为 1 ． （ 1）求动点P的轨迹C的方程； 2（ 2）若轨迹C上的动点N到定点M (m , 0)（0m 2 ）的距离的最小值为1，求m的值． （ 3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、 B1，且直线OA、 OB 的斜率之积等于3 ，问四边形 ABA1 B1的面积S是否为定值？请说明理由．4
3、动点P与点F (0,1)的距离和它到直线l : y1的距离相等，记点P 的轨迹为曲线 C ． (1)求曲线 C 的方程； (2) 设点A 0,a (a 2 ) ,动点T在曲线C上运动时，AT 的最短距离为a 1 ，求a的值以及取到最小值时点 T 的坐标； (3) 设P1, P2为曲线C的任意两点，满足OP1OP2(O为原点)，试问直线 P1P2是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．
4、 已知椭圆C : a2b21(a b0) 的右焦点为 F 1,0 ，且点 P(1,2) 在椭圆 C 上．x2y23 （1）求椭圆C的标准方程； （ 2）过椭圆 x2y2 1上异于其顶点的任意一点Q 作圆 O : x2y24的两条切线，切点分别为C1 :2 5 a b23 3 M , N (M , N 不在坐标轴上），若直线MN在 x 轴， y 轴上的截距分别为m, n, 证明：11 为定值； 3m2n2 （3）若 P1 , P2是椭圆 C2 : x2 3 y2 1上不同的两点， PP12x 轴，圆E过 P1 , P2 , 且椭圆 C 2上任意一点都不a2b2 在圆 E 内，则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆C2 是否存在过左焦点 F 1 的内切圆？若存在，求出圆 心 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
平面解析几何(经典)习题
平面解析几何（经典）练习题 一、选择题 1．方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 （ ） A ．2条重合的直线 B ．2条互相平行的直线 C ．2条相交的直线 D ．2条互相垂直的直线 2．直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称，l 1的方程为y = ax + b ，那么l 2的方程为 （ ） A ．a b a x y -= B ．a b a x y += C ．b a x y 1 += D ．b a x y += 3．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为 （ ） A ．(x －3)2+(y ＋1)2=4 B ．(x ＋3)2+(y －1)2=4 C ．4(x ＋1)2+(y ＋1)2=4 D ．(x －1)2+(y －1)2= 4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．－1 5．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．随a 值变化而变化 6．已知半径为1的动圆与定圆22(5)(7)16x y -++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ） A ．22(5)(7)25x y -++= B ．22(5)(7)3x y -++= 或22(5)(7)15x y -++= C ．22(5)(7)9x y -++= D ．22(5)(7)25x y -++= 或22(5)(7)9x y -++= 7．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点 （ ） A ．(0，0) B ．(0，1) C ．(3，1) D ．(2，1) 8．下列说法的正确的是 （ ） A ．经过定点() P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程 x a y b +=1表示 D ．经过任意两个不同的点() ()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程 ()()()()y y x x x x y y --=--121121表示 9．已知两定点A (－3，5)，B (2，15)，动点P 在直线3x －4y ＋4＝0上，当PA ＋PB 取 最小值时，这个最小值为 （ ） A ．513 B ．362 C ．155 D ．5＋102
高中平面解析几何习题(含答案与解析)
平面解析几何式卷七 一、选择题 1、从点P (m , 3)向圆(x + 2)2 + (y + 2)2 = 1引切线, 则一条切线长的最小值为 A ． B ．5 C ． D ． 2、若曲线x 2－y 2 = a 2与(x －1)2 + y 2 = 1恰有三个不同的公共点, 则a 的值为 A ．－1 B ．0 C ．1 D ．不存在 3、曲线有一条准线的方程是x = 9, 则a 的值为 A ． B ． C ． D ． 4、参数方程 所表示的曲线是 A ．椭圆的一部分 B ．双曲线的一部分 C ．抛物线的一部分, 且过点 D ．抛物线的一部分, 且过点 5、过点(2, 3)作直线l , 使l 与双曲线 恰有一个公共点, 这样的直线l 共有 A ．一条 B ．二条 C ．三条 D ．四条 6、定义离心率为 的椭圆为“优美椭圆”, 设(a > b > 0)为“优美椭圆”, F 、A 分别是它的左焦点和右顶点, B 是它的短轴的 一个端点, 则D ABF 为 A ．60°B ．75°C ．90°D ．120° 7、在圆x 2 + y 2 = 5x 内, 过点 有n 条弦的长度成等差数列, 最小弦长为数列的首项a , 最大弦长为a n , 若公差, 则n 的 取值集合为 A ． B ． C ． D ． 8、直线与圆x 2 + y 2 = 1在第一象限内有两个不同的交点, 则m 的取值范围是 A ．1 < m < 2 B ． C ． D ． 二、填空题 1若直线过点（1,2），（3,24 ），则此直线的倾斜角是
2、已知直线l 的斜率[] 3,1-∈k ，则直线l 的倾斜角α的取值范围是 。 3、设直线过点()a ,0，其斜率为1，且与圆22 2=+y x 相切，则a 的值为 。 4、若过点A （4,0）的直线l 与曲线()1222=+-y x 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 。 5、“1=a ”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的 条件。（在① 充分不必要；② 必要不充分；③ 充要；④ 既不充分也不必要中选一个填空） 6、 已知圆M 经过直线l ：042=-+y x 与圆C ： 01422 2=+-++y x y x 的两个交点，并且有最小面积，则圆M 的方程为 。 7、 在坐标平面内，与点A （1,2）距离为1，且与点B （3,1）距离为2的直线共有 条。 8、 如果点()a ，5在两条平行直线05430186=+-=+-y x y x 和之间，且a 为整数，则=a 41log 。 三、解答题 1、求经过点)2,1(A 且到原点的距离等于1的直线方程. 2、已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离的比为 21的点的轨迹，则求此曲线的方程. 3、求垂直于直线0743=--y x ，且与两坐标轴构成周长为10的三角形的直线方程 4、．自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程. 5、已知三点A(1，-1)，B(4，2m)，C(2m ，0)共线，求m 的值. 6、已知直线(a+2)x+(a 2-2a-3)y-2a=0在x 轴上的截距为3，求直线在y 轴上的截距. 7、.求经过点A(-3,4)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程. 8、求经过两点A(-1,4)、B(3，2)且圆心在y 轴上的圆的方程. 参考答案 选择1、A2、B3、D4、D5、D6、C7、A 8、A 填空1、6π2、????????????πππ,433,0Y 。3、 2± 4、1- 5、③ 6、545145322=??? ??-+??? ??-y x 7、2 8、 ?? ????-3333，
解析几何典型例题
典型例题 双曲线定义与几何性质 例1 －3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是到两定点F 1( [ ] A．椭圆B．线段 C．双曲线D．两条射线答案： D 评注 在椭圆和双曲线的定义中，仅是“和”与“差”一字的区别，其它完全一致．但它们的图象却完全不同了．此题易忽略双曲线条件，而选D 例2 [ ] A．k＞5 B．k＞5或－2＜k＜2 C．k＞2或k＜－2 D．－2＜k＜2 略解 ∵方程的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)＞0 解得k＞5或－2＜k＜2，故选B．
例3 [ ] A．四个焦点共圆 B．互为共轭双曲线 C．都是等轴双曲线 答案： D 注意： 两双曲线有共同的渐近线是两双曲线互为共轭双曲线的必要不充分条件． 例4 设θ是第四象限的角，那么方程x2sinθ＋y2=sin2θ所示的曲线是 [ ] A．焦点在x轴上的椭圆； B．焦点在y轴上的椭圆； C．焦点在x轴上的双曲线； D．焦点在y轴上的双曲线． 解： ∴sinθ＜0，且2θ∈(4nπ－π，4nπ)，(n∈Z)，sin2θ＜0， 双曲线的实轴在x轴上，故应选(C)． 评注： 1．本题涉及的知识点是：双曲线的标准方程． 2．判断ax2＋by2=c的曲线，首先按ab＞0与ab＜0划分为两大类：ab＞0时，为椭圆；ab＜0时，为双曲线．再在每一类中，按ac的正负及bc的正负进行讨论，
其结论可列表如下： 3．对方程ax2＋by2=c的曲线的判断，需正确掌握椭圆、双曲线的标准方程和把握划分的标准． 例5 交点个数为 [ ] A．1；B．2； C．3；D．0． 解： 过右焦点(5，0)，倾角为45°的直线方程为y=x－5． 评注： 1．本题涉及的知识点是：双曲线方程、焦点坐标、直线方程和直线与二次曲线的交点． 2．直线与双曲线交点的个数，一般可以从直线方程与双曲线方程构成的方程组的实数解的个数来判断．
空间解析几何例题
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第4章 向量代数与空间解析几何习题解答 习题 一、计算题与证明题 1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ?+?+?． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=?b a ，0=?c b ，0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2．已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?． 解：3cos ||=?=?θb a b a （1） 4sin ||=?=?θb a b a （2） ()2 22)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小． 解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--= 力矩()()k j i k j i F M 53232++-?-+-=?= k j i k j i k j i 41614321 2523253315 32312-+=--+-----=---= 所以，力矩的大小为 ()136416142 22=-++=M
4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a , 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a （1） 又x 与a 共线，则0=?a x 即 ()()()052525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以 ()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即01042026529222=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π () 30 3 25110cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?++= -++?++?= =z y x z y x a x 整理得 10 3 222= ++z y x （3） 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为?? ? ??-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平 分, 则该四边形为平行四边形． 证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线 互相平分，则有 MA CN ND BM ==, 由矢量合成的三角形法则有MA BM BA += MA BM BM MA MD CM CD +=+=+=
平面解析几何-经典题(含答案)
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角 的范围0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行对于两条不重合的直线 12,l l ，其斜率分别为 12,k k ，则有1212//l l k k 。特别地， 当直线12,l l 的斜率都不存在时， 12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则1212 1 l l k k g 注：两条直线 12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为 -1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式 已知条件 局限性点斜式为直线上一定点， k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线斜截式k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直 线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或 过原点的直线
一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233 (,),(,),(,), x x x k k 或，则有A、B、C三点共 A x y B x y C x y若123AB AC 线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。