浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案
2017年浙江省重点高中自主招生考试数 学 试 题 卷
本次考试不能使用计算器，没有近似计算要求的保留准确值.
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）
1．“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则．小刚每天从家骑自行车上学都经过两个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ )
A ．
14 B ．13 C ．12 D ．23
2．若关于x 的一元一次不等式组 ?
?
?>≤ 1 有解，则m 的取值范围为（ ▲ ） A ．2 B ．2m ≤ C ．1 D ．21<≤m 3．点M （2-，a ），N （4-，b ）是所给函数图像上的点，则能使b a >成立的函数是 （ ▲ ） A ．32+-=x y B ．4)3(22 ++-=x y C ．1)2(32 --=x y D ．x y 2 - = 4．据报道，日本福岛核电站发生泄漏事故后，在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”，含量为每立方米毫贝克(这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，如8天后减少到毫贝克)，那么要使含量降至每立方米毫贝克以下，下列天数中，能达到目标的最少的天数是（ ▲ ） A ．64 B ．71 C ．82 D ．104 5．十进制数2378，记作)10(2378，其实)10(2378=0 1 2 3 108107103102?+?+?+?， 二进制数1001)2(=0 1 2 3 21202021?+?+?+?．有一个（010k <≤为整数）进制数()165k ，把它的三个数字顺序颠倒得到的k 进制数()561k 是原数的3倍，则k =（ ▲ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 6．正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则△DEK 的面积为（ ▲ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．2 7．如图，在Rt△ABC 中，AC =3，BC =4，D 为斜边 AB 上一动点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 。当线段EF 最小时，cos EFD ∠=（ ▲ ） A ． 45 B ．35 C ．3 4 D ．74 8．二次函数2 1y x bx =+-的图象如图，对称轴为直线1x =，若关于x 的一元二次方程2 210x x t ---=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数解，则t 的取值范围是（ ▲ ） A ．2t ≥- B ．27t -≤< C ．22t -≤< D ．27t << 9．已知，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠ABC =30°，∠ADC =45°. 若D 是BC 边的中点，则∠ACB 的度数为（ ▲ ） A ．95 B ．100 C ．105 D ．110 10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A =52，∠B =98，∠AOB =120，AB =a ，BC=b ， CD =c ，DA =d ，则此四边形的面积为（ ▲ ）（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示） A ．1()2ab cd + B ．1()2ac bd + C ．1()2ad bc + D ． 1 ()4 ab bc cd ad +++ 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．已知a 是64的立方根，23b -是a 的平方根，则11 44 a b -的算术平方根为 ▲ ． 12．直线l ：512y kx k =++(0)k ≠，当k 变化时，原点到这条直线的距离的最大值为 ▲ ． 13．如图，在“镖形”ABCD 中，AB =83 ，BC=16，∠A =∠B =∠C =30， 则点D 到AB 的距离为 ▲ ． 14．已知实数,a b 满足1 5403a -=，4032015b =，则11 a b += ▲ ． 15．AB 为半圆O 的直径，C 为半圆弧的一个三等分点，过B ，C 两点的半圆O 的切线交 A B C D ． O （第 （第9 （第8 于点P ，则 PA PC = ▲ ． 16．如图，矩形ABCD 的边长AD =3，AB =2，E 为AB 中点， F 在线段BC 上，且 1 2 BF FC =， AF 分别与DE 、DB 交于点M 、N ．则MN = ▲ ． 三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18~20题每题8分，第21~23题每题12分，第24题14分，满分80分） 17．市种子培育基地用A ，B ，C 三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广．如图是根据试验数据绘制的统计图： （1）请你分别计算A ，B ，C 三种型号的种子粒数； （2）请通过计算加以说明，应选哪种型号的种子进行推广 18．若实数b a 、满足b a b a -= +2 11. （1）求 2 2b a ab -的值； （2）求证：212 =-）（b a 19．某位市民想为贫困山区的孩子们献一份爱心，准备购买一批书包捐赠给他们．经调查有这样的一批书包，原售价为每只220元．甲商店用如下方法优惠出售：买一只单价为218元，买两只每只都为216元，依次类推，即每多买一只，则所买每只书包的单价均再减2元，但最低不能低于每只116元；乙商店一律按原售价的75%出售． （1）若这位市民需购买20只书包，应去哪家商店购买花费较少 （2）若此人恰好花费6000元，在同一家商店购买了一定数量的书包，请问是在哪家商店购买的数量是多少 20．如图，在△ABC 中，∠BAC =60， D 是AB 上一点，AC =BD ， P 是CD 中点。求证：AP= 1 2 BC 。 A B C D P （第20题） 21．已知二次函数2 113 22 y x =- +在a x b ≤≤（a b ≠）时的最小值为2a ，最大值为2b ．求,a b 的值。 22．如图，Rt△ABC 中，∠BAC =90，AD 是高，P 为 AD 的中点，BP 的延长线交AC 于E ，EF ⊥BC 于点F 。若AE =3，EC =12，试求EF 、BC 的长。 23．如图①，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，且AB ⊥CD 于E ，点M 为ACB 上一动点（不 包括A ，B 两点），射线AM 与射线EC 交于点F ． （1）如图②，当F 在EC 的延长线上时，求证：∠AMD =∠FMC ． （2）已知，BE =2，CD =8． ①求⊙O 的半径； ②若△CMF 为等腰三角形，求AM 的长（结果保留根号）． 24．一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1+k a ，且11=-+k k a a （k 为任意正整数），青蛙从1a 开始，经过)1(-n 次跳动的位置依次为1a ，2a ，3a ，……，n a ． （1）写出一种跳动4次的情况，使051==a a ，且0521>+++a a a ； （2）若71=a ，20162020a =，求2000a ； （3）对于整数)2(≥n n ，如果存在一种跳动)1(-n 次的情形，能同时满足如下两个条件： ①21=a ，②1a +2a +3a +n a + =2． （第22题） 求整数n被4除的余数． 初中学科综合知识竞赛 数学试题参考答案及评分 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分） 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 说明：第14题第一空2分，第2空3分 三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18~20题每题8分，第21~23题每题12分，第24题14分，满分80分） 17．（本题6分） 解：（1）A型号种子数为：1500×36％＝540（粒）， ----------------------------------------- 1分 B型号种子数为：1500×24％＝360（粒）， ------------------------------ 2分C型号种子数为：1500×（1-36%-24％）＝600（粒），-------------------3分答：A、B、C三种型号的种子分别有540粒，360粒，600粒． （2）A型号种子发芽率＝420 540 ×100％ ≈％．----------------------------------- 4分 B 型号种子发芽率＝ 320 360 ×100％≈％．---------------------------------- 5分 C 型号种子发芽率＝ 480 600 ×100％=80％． ∴选B 型号种子进行推广． ------------------------------------------- 6分 18．（本题8分） 解：（1）由 b a b a -=+211得，b a a b b a -= +2 ……① --------------------2分 ∴ 21))((=-+b a b a ab ，即21 2 2=-b a a b ------------------------- 4分 （2）由①得，ab b a b a 2))((=-+, ∴ab b a 222=-，--------------6分 又由题意得，0≠b ， ∴两边同除以2b 得，12)(2=? -b a b a ，∴212)(2=+?-b a b a ， ∴2)1( 2=-b a ，即212 =-）（b a ------------------------- 8分 19．（本题8分） 解：（1）在甲商店购买所需费用：20(220202)3600?-?=（元） 在乙商店购买所需费用：75%2202033003600??=<，应去乙商店购买----2 分 （2）设此人买x 只书包 ①若此人是在甲商店购买的 则 (2202)6000x x -=，解得 1250,60x x ==---------------------------------------4分 当50x =时，每只书包单价为220502120116-?=> 当60x =时，每只书包单价为220602110116-?=<不合舍去----------------6分 ②若此人在乙商店购买磁，则有1656000x =，解得4 36 11 x =不合舍去--------7分 故此人是在甲商店购买书包，买了50只-------------------------------------------------8分 20．（本题8分） 证明：延长AP 至点F ，使得PF = AP ，连结BF ，DF ，CF--------------------------1 分 P 是CD 中点 ∴四边形ACFD 是平行四边形， --------------------------------------------2分 ∴DF=AC=BF ， DF ∥AC ，----------------------------------------------------------------4分 ∴∠FDA=C AB=60°-------------------------------------------------------5分 ∴△BDF 是等边三角形-------------------------------------------------6分 可证△ABC ≌△BAF ----------------------------------------------------7分 ∴AP= 12AF=1 2 BC------------------------------------------------------8分 21．（本题12分） 解：（1）当0a b ≤<时，则 22113222 113 222 b a a b ? =-+????=-+?? ，解得13a b =??=? ；------------------3 分 （2）当02a b a +<<时，则21322 113 222b a b ? =????=-+??，解得3964134 a b ?=????=??（矛盾，舍去）----6 分 （3）当02a b b +<<时，则21322 113222 b a a ?=????=-+??，解得2134a b ?=-??= ??， A C D P （第20题） F 由 2 a b b +<<，得 21713 4 a b ?=--? ?=??---------------------------------------------------9分 （4）当0a b <≤时，22113222 113222a a b b ? =-+????=-+??，所以,a b 是一元二次方程 2113 2022 x x +-=的两根，它的两根一正一负，与0a b <≤矛盾，不可能。 综 上 所 述 ： 1,3a b ==或 217 a =--， 13 4 b = -------------------------------12分 22．（本题12分） 解：延长BA 、FE 交于点G ， AD 是高，EF ⊥BC ∴ AD ∥EF ∴△BAP ∽△BGE ，△BPD ∽△BEF----------------------------------2分 ∴ AP BP PD EG BE EF == ----------------------------------------------------3分 P 为AD 的中点，即AP=PD ∴ EG=EF---------------------------------------------------------------6分 ∠GAE =∠EFC =90，又∠GEA =∠FEC ∴△GAE ∽△CFE-------------------------------------------------------7分 ∴EF EC AE EG = ∴236EF AE EC == ∴EF=6-------------------------------------------------------------------- 9分 EF= 1 2 EC ，∠EFC =90 ∴∠C=30 D P （第22 A B G ∴ BC= 3 AC =分 23．（本题12分） （1）证法一：连结BM AB 是直径，AB ⊥CD 于E ∴ ∠AMB =90，CB DB = -----------------------------------2分 ∴∠CMB=∠DMB ∴ ∠AMD = ∠ FMC ．----------------------------------------------------------------4分 证法二：连结AD AB 是直径，AB ⊥CD 于E ∴ CA DA = ∴∠AMD =∠ADC --------------------------------------------2分 四边形ADCM 内接于⊙O ∴∠ADC +∠AMC = 180 ∠AMC +∠FMC = 180 ∴∠FMC =∠ADC ∴ ∠AMD = ∠ FMC ．----------------------------------------------------------------4分 （2）①设⊙O 的半径为r ，连结OC BE =2，CD =8 ∴OE =2r -，CE =4 ∴ 222 (2)4r r =-+ ----------------------------------------------------------------6分 解得：5r = -------------------------------------------------------------------------7分 ②由（1）知：∠AMD =∠FMC 同理可得：∠MAD =∠FCM ∴∠MDA =∠MFC 当FM =MC 时，AM =MD B C 如图①，连结MO 并延长交AD 于H 则AH ⊥AD ，AH =HD ，AO =5 ∴OH ∴AM = = ----------------------------------9 分 当FM =FC 时，连结DO 并延长交AM 于G 此时△AOG ≌△DEO ∴AG =DE =4 ∴AM=8----------------------------------------------------------------------------------11分 当MC =FC 时，AM =AD =AC =M 、F 均与C 重合 △CMF 不存在---------------------------------------------------------------------------12分 综上所述：AM=824．（本题14分） 解：（1）这样的跳动之一是：0，1，2，1，0（也可以是0，1，0，1，0）-----------2分 （2）从1a 经2013步到达2014a ，不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步， 则201572020x y x y +=??+-=? ，------------------------------------------------------5 分 解得：2014 1 x y =??=?-----------------------------------------------------------6 分 即向左跳动仅一次，若这次跳动在1999 次 及 以 前 ， 则 2000 a =7+1998-1=2004； --------------------------------------------7分 若 这 次 跳 动 在 1999 次 后 ， 则 2000a =7+1999=2006--------------------------------------------------8分 （3）因为这个)1(-n 次跳动的情形，能同时满足如下两个条件： ①21=a ，②1a +2a +3a +n a + =2． 经过)1(-k 步跳动到达k a ，假设这)1(-k 步中向右跳了k x 步，向左跳了k y 步， 则k k k y x a -+=2，1-=+k y x k k （2≥k 的正整数）--------------------9分 ∴1a +2a +3a +n a + =2n +（22y x -）+（33y x -）+)(n n y x -+ =2n +2（n x x x x ++++ 432）)]()()[(3322n n y x y x y x ++++++- =2n +2（n x x x x ++++ 432）)1321(-++++-n =2n +2（n x x x x ++++ 432）2 ) 1(-- n n ∴2（1a +2a +3a +n a + ）=n 4+4（n x x x x ++++ 432）)1(--n n 2（1a +2a +3a +n a + ）=n n 52+-+4（n x x x x ++++ 432） =-∴n n 524（1a +2a +3a +4)-+n a = -∴)5(n n 4 （1a +2a +3a +4)-+n a -------------------------------------------------11分 )5(-∴n n 能被4整除，所以n 被4除的余数为0或---------------------14分