一、数列的概念选择题
1.已知数列{}n a ,{}n b ,其中11a =,且n a ,1n a +是方程220n
n x b x -+=的实数根,
则10b 等于( ) A .24
B .32
C .48
D .64
2.已知数列{}n a 满足12a =,11
1n n
a a +=-,则2018a =( ). A .2
B .
12 C .1-
D .12
-
3.对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足11
2n n n
S a a ??
=+
???
,*n N ∈,其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,则[][][]1240S S S ++
+=( )
A .135
B .141
C .149
D .155
4.设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*
123n n a a n n N
++=+∈且1300n
S
=,若
23a <,则n 的最大值为( )
A .49
B .50
C .51
D .52
5.已知数列{}n a 前n 项和为n S ,且满足*
112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+,,则( )
A .63243a a a ≤-
B .2736+a a a a ≤+
C .7662)4(a a a a ≥--
D .2367a a a a +≥+
6.
已知数列,21,
n -21是这个数列的( )
A .第10项
B .第11项
C .第12项
D .第21项
7.
的一个通项公式是( )
A
.n a =
B .n a =C
.n a =D
.n a =8.已知数列{}n a 满足11a =,()*11
n
n n a a n N a +=∈+,则2020a =( ) A .
1
2018
B .
1
2019 C .
1
2020
D .
1
2021
9.已知数列{}n a 满足: 12a =,11
1n n
a a +=-,设数列{}n a 的前n 项和为n S ,则2017S =( ) A .1007
B .1008
C .1009.5
D .1010
10.若数列的前4项分别是
1111,,,2345
--,则此数列的一个通项公式为( )
A .1(1)n n --
B .(1)n n -
C .1(1)1n n +-+
D .(1)1
n n -+
11.已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+,且133a =,则n
a n
的最小值为( ) A .21
B .10
C .
212 D .
172
12.已知等差数列{}n a 中,13920a a a ++=,则574a a -=( ) A .30
B .20
C .40
D .50
13.已知数列{}n a 的通项公式为()()2
11n
n a n
=--,则6a =( )
A .35
B .11-
C .35-
D .11
14.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为( ) A .174
B .184
C .188
D .160
15.
函数()2cos 2f x x x =-{}n a ,则3a =( ) A .
1312
π
B .
54
π C .
1712
π
D .
76
π 16.已知数列{}n a 满足11a =,122
n n a a n n
+=++,则10a =( ) A .
259
B .
145 C .
3111
D .
176
17.已知在数列{}n a 中,112,1
n n n
a a a n +==+,则2020a 的值为( ) A .
1
2020
B .
1
2019
C .
11010
D .
11009
18.已知数列{}n a 满足1N a *
∈,1,2+3,n
n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数
,若{}n a 为周期数列,则1a 的
可能取到的数值有( ) A .4个
B .5个
C .6个
D .无数个
19.数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,该数列从第三项开始,每项等于其前两相邻两项之和,记该数{}n F 的前n 项和为n S ,则下列结论正确的是( )
A .201920212S F =+
B .201920211S F =-
C .201920202S F =+
D .201920201S F =-
20.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( )
A .()2
1n a n n =-- B .2
1n a n =-
C .()
12
n n n a +=
D .()
12
n n n a -=
二、多选题
21.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:
1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列
数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是( ) A .1055a = B .2020a 是偶数
C .202020182022
3a a a =+
D .123a a a +++…20202022a a +=
22.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +??
-=+ ???
,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式
()22212n
a t a t a a n
<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4
B .-2
C .0
D .2
23.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}
F n ,则(){}
F n 的通项公式为( )
A .(1)1()2
n n F n -+=
B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C .(
)1122n n
F n ????+-?=- ??????
D .(
)1122n n F n ?????=+ ??????
24.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-
B .180S =
C .当0d >时,6140a a +>
D .当0d <时,614a a >
25.在等差数列{}n a 中,公差0d ≠,前n 项和为n S ,则( ) A .4619a a a a >
B .130S >,140S <,则78a a >
C .若915S S =,则n S 中的最大值是12S
D .若2
n S n n a =-+,则0a =
26.设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是
( )
A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B .若2
n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列
C .若()11n
n S =--,则{}n a 是等比数列
D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
27.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减
D .数列{}n S 有最大值
28.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==,则( ) A .25n a n =-
B .310n
a n
C .2
28n S n n =- D .2
4n S n n =-
29.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =
C .95S S >
D .6S 与7S 均为n S 的最大值
30.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大 C .310S S =
D .当8n ≥时,0n a <
31.在数列{}n a 中,若22*
1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数
列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .{(1)}n -是等方差数列
C .若{}n a 是等方差数列,则{}(
)*
,kn a k N
k ∈为常数)也是等方差数列
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 32.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,47a =,则( )
A .2
n S n =
B .2
23n S n n =-
C .21n a n =-
D .35n a n =-
33.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( ) A .a 6>0
B .24
37
d -
<<- C .S n <0时,n 的最小值为13
D .数列n n S a ??
????
中最小项为第7项
34.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a = B .当9n =或10时,n S 取最大值 C .911a a <
D .613S S =
35.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0
B .10S 最小
C .712S S =
D .190S =
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一、数列的概念选择题 1.D 解析:D 【分析】
根据题意,得到1n n n a a b ++=,12n
n n a a +=,求得22a =,推出
1
1
2n n a a +-=,进而可求出10a ,11a ,从而可求出结果.
【详解】
因为n a ,1n a +是方程220n
n x b x -+=的实数根, 所以1n n n a a b ++=,12n
n n a a +=,
又11a =,所以22a =; 当2n ≥时,1
12
n n n a a --=,所以
11
112n n n n n n
a a a a a a ++--==, 因此4102232a a =?=,5
111232a a =?=
所以101011323264b a a =+=+=. 故选:D. 【点睛】
本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项,属于常考题型.
2.B
解析:B 【分析】
利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列,从而可得2018a . 【详解】 在数列{}n a 中,
11
1n n
a a +=-,且12a =, 211112
a a ∴=-=, 32
1
1121a a =-=-=- , ()413
1
1112a a a =-
=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列,
201867232=?+,
201821
2
a a ∴==.
故选:B 【点睛】
本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质,考查了数列的周期性,属于基础题.
3.D
解析:D 【分析】
利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项,再求[]n S 【详解】
解:由于正项数列{}n a 满足11
2n n n
S a a ??
=+
???
,*n N ∈, 所以当1n =时,得11a =,
当2n ≥时,1
1
1111
[()]22n n n n n n n S a S S a S S --??=+=-+ ?-?? 所以11
1
n n n n S S S S ---=
-,
所以2
=n S n ,
因为各项为正项,所以=n S 因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =====
==,
[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==== ,
[]363740[][]6S S S ==
==.
所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155??????,
故选:D 【点睛】
此题考查了数列的已知前n 项和求通项,考查了分析问题解决问题的能力,属于中档题.
4.A
解析:A 【分析】
对n 分奇偶性分别讨论,当n 为偶数时,可得2+32n n n
S =,发现不存在这样的偶数能满
足此式,当n 为奇数时,可得21+34
2
n n n S a -=+,再结合23a <可讨论出n 的最大值.
【详解】
当n 为偶数时,12341()()()n n n S a a a a a a -=++++???++
(213)(233)[2(1)3]n =?++?++???+-+ 2[13(1)]32n n =?++???+-+?2+32
n n
=,
因为22485048+34850350
1224,132522
S S ?+?====,
所以n 不可能为偶数;
当n 为奇数时,123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++???++
1(223)(243)[2(1)3]a n =+?++?++???+-+
2134
2
n n a +-=+
因为24911493494
12722S a a +?-=+=+,
25111513514
13752
S a a +?-=+=+,
又因为23a <,125a a +=,所以 12a > 所以当1300n S =时,n 的最大值为49 故选:A 【点睛】
此题考查的是数列求和问题,利用了并项求和的方法,考查了分类讨论思想,属于较难题.
5.C
解析:C
【分析】
由条件可得出11n n n n a a a a -+-≤-,然后可得
3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-,即可推出选项C 正确.
【详解】
因为*
112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+,,
所以12133n n n n S S S S -+-≤--,所以113n n n n a a a a +-≤++ 所以11n n n n a a a a -+-≤-,
所以3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-
所以()6232435465764a a a a a a a a a a a a -=-+-+-+-≤- 故选:C 【点睛】
本题主要考查的是数列的前n 项和n S 与n a 的关系,解答的关键是由条件得到
11n n n n a a a a -+-≤-,属于中档题.
6.B
解析:B 【分析】
根据题中所给的通项公式,令2121n -=,求得n =11,得到结果. 【详解】
令2121n -=,解得n =11是这个数列的第11项. 故选:B. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有判断数列的项,属于基础题目.
7.C
解析:C 【分析】
根据数列项的规律即可得到结论. 【详解】
因为数列3,7,11,15?的一个通项公式为41n -,
,?的一个通项公式是n a = 故选:C . 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法,利用条件找到项的规律是解决本题的关键.
8.C
解析:C 【分析】
根据数列的递推关系,利用取倒数法进行转化,构造等差数列,结合等差数列的性质求出
通项公式即可. 【详解】 解:11
n
n n a a a +=
+, ∴两边同时取倒数得
11111n n n n
a a a a ++==+, 即
11
11n n
a a ,
即数列1n a ??
?
?
??
是公差1d =的等差数列,首项为111a .
则
1
1(1)1n
n n a =+-?=, 得1n a n
=
, 则20201
2020
a =
, 故选:C 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解,结合数列递推关系,利用取倒数法以及构造法构造等差数列是解决本题的关键.考查学生的运算和转化能力,属于基础题.
9.D
解析:D 【分析】
根据题设条件,可得数列{}n a 是以3为周期的数列,且313
2122
S =+-=,从而求得2017S 的值,得到答案. 【详解】
由题意,数列{}n a 满足: 12a =,11
1n n
a a +=-, 可得23411
1,121,1(1)2,22
a a a =-
==-=-=--=,
可得数列{}n a 是以3为周期的数列,且3132122
S =+-= 所以20173
672210102
S =?+=. 故选:D. 【点睛】
本题主要考查了数列的递推公式的应用,其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列,
是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
10.C
解析:C 【分析】
根据数列的前几项的规律,可推出一个通项公式. 【详解】
设所求数列为{}n a ,可得出()11
1
111
a
+-=
+,()21
2
121
a
+-=
+,()31
3
131
a
+-=
+,()41
4
141
a
+-=
+,
因此,该数列的一个通项公式为()1
11
n n
a n +-=
+.
故选:C. 【点睛】
本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式,考查推理能力,属于基础题.
11.C
解析:C 【分析】
由累加法求出2
33n a n n =+-,所以
331n a n n n
,设33
()1f n n n
=
+-,由此能导出5n =或6时()f n 有最小值,借此能得到
n
a n
的最小值. 【详解】
解:()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+?+-+
22[12(1)]3333n n n =++?+-+=+-
所以
331n a n n
n
设33
()1f n n n
=
+-,由对勾函数的性质可知, ()
f n 在(
上单调递减,在
)
+∞上单调递减,
又因为n ∈+N ,所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为56536321,55662
a a ===, 所以
n a n
的最小值为62162a =.
故选:C. 【点睛】
本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性,考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.
12.B
【分析】
利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】
由13920a a a ++=,得131020a d +=,
则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选:B. 【点睛】
考查等差数列通项公式的运用,知识点较为简单.
13.A
解析:A 【分析】
直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()2
11n
n a n
=--,所以626(1)(61)35a =--=.
故选:A 【点睛】
本题考查了根据通项公式求数列的项,属于基础题.
14.A
解析:A 【分析】
根据已知条件求得11n n n a a -=--,利用累加法求得19a . 【详解】 依题意:
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,
所以11n n n a a -=--(2n ≥),且13a =,
所以()()()
112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()12213n n =-+-+
+++
()()()1111332
2
n n n n -+--=
+=+.
所以191918
31742
a ?=+=. 故选:A 【点睛】
本小题主要考查累加法,属于中档题.
解析:B 【分析】
先将函数化简为()2sin 26f x x π??
=-
??
?4
x k π
π=+或512x k π
π=
+,k Z ∈,再求3a 即可. 【详解】
解:∵()2cos 22sin 26f x x x x π?
?=-=-- ??
?∴ 令()0f x =得:226
3
x k π
π
π-=
+或2226
3
x k π
π
π-
=
+,k Z ∈, ∴4
x k π
π=
+或512
x k π
π=
+,k Z ∈, ∴ 正数零点从小到大构成数列为:12355,,,4
124
a a a π
ππ==
=
故选:B. 【点睛】
本题考查三角函数的性质,数列的概念,考查数学运算求解能力,是中档题.
16.B
解析:B 【分析】 由12
2n n a a n n +=++转化为11
121n n a a n n +??-=- ?+??
,利用叠加法,求得23n a n =-,即可求解. 【详解】 由122n n a a n n +=+
+,可得121
12(1)1n n a a n n n n +??-==- ?++??
,
所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+
11111
111222*********n n n n n n ????????
=-+-+-++-+ ? ? ? ?-----??????
??
122113n n ??
=-+=- ???
,
所以102143105
a =-=. 故选:B. 【点睛】
数列的通项公式的常见求法:
1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列,通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式;
2、对于递推关系式可转化为
1
()n n
a f n a +=的数列,并且容易求数列{()}f n 前n 项积时,通常采用累乘法求其通项公式; 3、对于递推关系式形如1
n n a pa q +=+的数列,可采用构造法求解数列的通项公式.
17.C
解析:C 【分析】
由累乘法可求得2
n a n
=,即可求出. 【详解】
11n n n a a n +=
+,即11n n
a n a n +=+, 12
321123
21123
21
212
32n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=
????
??=??????--2n
=, 202021
20201010
a ∴=
=. 故选:C.
18.B
解析:B 【分析】
讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时,数列{}n a 为周期数列,然后说明当19a ≥时,分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列,即可得解. 【详解】
已知数列{}n a 满足1N a *
∈,1,2
+3,n
n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数
. ①若11a =,则24a =,32a =,41a =,54a =,
,以此类推,可知对任意的
n *∈N ,3n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
②若12a =,则21a =,34a =,42a =,51a =,
,以此类推,可知对任意的
n *∈N ,3n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
③若13a =,则26a =,33a =,46a =,
,以此类推,可知对任意的n *∈N ,
2n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
④若14a =,则22a =,31a =,44a =,52a =,
,以此类推,可知对任意的
n *∈N ,3n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
⑤若15a =,则28a =,34a =,42a =,51a =,64a =,,以此类推,可知对任意
的2n ≥且n *∈N ,1n a a <,此时,{}n a 不是周期数列; ⑥若16a =,则23a =,36a =,43a =,
,以此类推,可知对任意的n *∈N ,
2n n a a +=,
此时,{}n a 为周期数列;
⑦若17a =,则210a =,35a =,48a =,54a =,,以此类推,可知对任意的2
n ≥且n *∈N ,1n a a <,此时,{}n a 不是周期数列; ⑧若18a =,则24a =,32a =,41a =,54a =,,以此类推,可知对任意的2
n ≥且n *∈N ,1n a a <,此时,{}n a 不是周期数列.
下面说明,当19a ≥且1N a *
∈时,数列{}n a 不是周期数列.
(1)当(
34
12,2a ?∈?
且1N a *
∈时,由列举法可知,数列{}n a 不是周期数列; (2)假设当(
()1
12,23,k k a k k N +*?∈≥∈?
且1N a *∈时,数列{}n a 不是周期数列,那么当(
()1
212
,23,k k a k k N ++*
?∈≥∈?
时. 若1a 为正偶数,则(11
22,22
k k a a +?=
∈?,则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列,从而可知,数列{}n a 不是周期数列; 若1a 为正奇数,则(
(1
213
2132
3,232,2k k k k a a ++++??=+∈++???且2a 为偶数,
由上可知,数列{}n a 从第二项开始不是周期数列,进而可知数列{}n a 不是周期数列.
综上所述,当19a ≥且1N a *
∈时,数列{}n a 不是周期数列.
因此,若{}n a 为周期数列,则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选:B. 【点睛】
本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导,对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证,对于这类问题,我们首先应弄清问题的本质,然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决.
19.B
解析:B 【分析】
利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=++++
+++,可得
21n n F S +=+,代入2019n =即可求解.
【详解】
由题意可得该数列从第三项开始,每项等于其前两相邻两项之和, 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++
1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=
123211n n n n F F F F F F ---=++++
+++,
所以21n n F S +=+,令2019n =,可得201920211S F =-,
故选:B 【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+,利用迭代法得出
21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++,进而得出21n n F S +=+.
20.C
解析:C 【分析】
首先根据已知条件得到410a =,再依次判断选项即可得到答案. 【详解】
由题知:410a =,
对选项A ,()2
444113a =--=,故A 错误;
对选项B ,2
44115a =-=,故B 错误;
对选项C ,()
4441102a ?+==,C 正确; 对选项D ,()
444162
a ?-==,故D 错误. 故选:C 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式,属于简单题.
二、多选题 21.AC 【分析】
由该数列的性质,逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ,,,,故A 正确;
对于B ,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数,故B 错误; 对于C ,,故C 正确;
对于D ,,,, , 各式相加
解析:AC 【分析】
由该数列的性质,逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ,821a =,9211334a =+=,10213455a =+=,故A 正确; 对于B ,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数,故B 错误;
对于C ,20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=,故C 正确; 对于D ,202220212020a a a =+,202120202019a a a =+,202020192018a a a =+,
32121,a a a a a ???=+=,
各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++???+=+++???++, 所以202220202019201811a a a a a a =++???+++,故D 错误. 故选:AC. 【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.
22.AB 【分析】
由题意可得,利用裂项相相消法求和求出,只需对于任意的恒成立,转化为对于任意的恒成立,然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ,, 则,,,,
上述式子累加可得:,, 对于任意的恒成立
解析:AB 【分析】 由题意可得
111
11n n a a n n n n +-=-++,利用裂项相相消法求和求出122n a n n
=-<,只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,转化为
()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立,然后将选项逐一验证即可求解.
【详解】
111
n n n a a n n
++-=,11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++,
则
11111n n a a n n n n --=---,12111221n n a a n n n n ---=-----,,2111122
a a -=-, 上述式子累加可得:111n a a n n -=-,1
22n a n n
∴=-<,
()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,
整理得()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立,
对A ,当4a =-时,不等式()()2540t t +-≤,解集5,42??-????
,包含[]1,2,故A 正确;
对B ,当2a =-时,不等式()()2320t t +-≤,解集3,22??-????
,包含[]1,2,故B 正确;
对C ,当0a =时,不等式()210t t +≤,解集1,02??-????
,不包含[]1,2,故C 错误;
对D ,当2a =时,不等式()()2120t t -+≤,解集12,2
??-???
?
,不包含[]1,2,故D 错误,
故选:AB. 【点睛】
本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立,考查了转化与划归的思想,属于中档题.
23.BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】
解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……, 显然,,,,,所以且,即B 满足条件; 由, 所以 所以数列
解析:BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】
解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,
显然()()11,21F F ==,()()()3122F F F =+=,()()()4233F F F =+=,
,
()()()11,2F n F n F n n +=+-≥,所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==,即B 满足条件;
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥,
所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ?+-
=--???
所以数列(
)()1F n n ????
+??????
是以12+
为首项,12+为公比的等比数列, 所以(
)(
)1n
F n n +-=??
11515()n F F n n -
+=++, 令
1
n
n n F
b -=
??
,则11n n b +=
+,
所以1
n n b b +=-
, 所以n
b ??
????
?
的等比数列,
所以
1
n n b -
+, 所以
()11
15n n n n
F n --?
???
+??=+=- ? ?????????
?
????
???; 即C 满足条件; 故选:BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式,数列递推公式的应用,本题运算量较大,难度较大,要求由较高的逻辑思维能力,属于中档题.
24.ABC 【分析】
因为是等差数列,由可得,利用通项转化为和即可判断选项A ;利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质即可判断选项C ;由可得且,即可判断选项D ,进而得出正确选项
解析:ABC 【分析】
因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质
961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,
140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.
【详解】
因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:
1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,
对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()
()
11891018181802
2
a a a a S ++=
=
=,故选项B 正确;
对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;
对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,
所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可.
25.AD 【分析】
对于,作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案;
对于,根据等差数列的前项和公式得到和, 进而可得,由此可知,故不正确; 对于,由得到,,然后分类讨论的符号可得答案; 对于,由求出及
解析:AD 【分析】
对于A ,作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案;
对于B ,根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<, 进而可得80a <,由此可知78||||a a <,故B 不正确;
对于C ,由915S S =得到,12130a a +=,然后分类讨论d 的符号可得答案; 对于D ,由n S 求出n a 及1a ,根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】
对于A ,因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =,且0d ≠,
所以2
4619150a a a a d -=>,所以4619a a a a >,故A 正确;
对于B ,因为130S >,140S <,所以
77713()
1302
a a a +=>,即70a >,
787814()
7()02a a a a +=+<,即780a a +<,因为70a >,所以80a <,所以
7878||||0a a a a -=+<,即78||||a a <,故B 不正确;
对于C ,因为915S S =,所以101114150a a a a ++
++=,所以12133()0a a +=,即
12130a a +=,当0d >时,等差数列{}n a 递增,则12130,0a a <>,所以n S 中的最小值
是12S ,无最大值;当0d <时,等差数列{}n a 递减,则12130,0a a ><,所以n S 中的最大值是12S ,无最小值,故C 不正确;
对于D ,若2
n S n n a =-+,则11a S a ==,2n ≥时,
221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-,因为数列{}n a 为等差数列,
所以12120a a =?-==,故D 正确. 故选:AD 【点睛】
关键点点睛:熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.
26.BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: ,得是等差数列,当时不是等比数列,故错; 选项B: ,,得是等差数列,故对; 选项C: ,,当时也成立,是等比数列
解析:BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==?-≥,当1n =时也成立,
12(1)n n a -∴=?-是等比数列,故对;
选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*
32()n n S S n N -∈是等差数
列,故对; 故选:BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.
27.ABD
数列单元测试卷 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置. 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于( ) A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1 2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( ) A.1,1 2 , 1 3 , 1 4 ,… B.-1,2,-3,4,… C.-1,-1 2 ,- 1 4 ,- 1 8 ,… D.1,2,3,…,n 3..记等差数列的前n项和为S n,若a1=1/2,S4=20,则该数列的公差d=________.( ) A.2 B.3 C.6 D.7 4.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52 5.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是( ) A.90 B.100 C.145 D.190 6.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=( ) A.1 B.2 C.4 D.8
7.等差数列{a n }中,a 2+a 5+a 8=9,那么关于x 的方程:x 2 +(a 4+a 6)x +10=0( ) A .无实根 B.有两个相等实根 C .有两个不等实根 D .不能确定有无实根 8.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列?? ?? ?? 11+a n 是等差数列,则a 11等于( ) A .0 B.12 C.2 3 D .-1 9.等比数列{a n }的通项为a n =2·3 n -1 ,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的 数列{b n },那么162是新数列{b n }的( ) A .第5项 B.第12项 C .第13项 D .第6项 10.设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比 数列,则 A .1 033 B.1 034 C .2 057 D .2 058 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且28,171==S a .记[]n n a b lg =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]09.0=,[]199lg =.则b 11的值为( ) A.11 B.1 C. 约等于1 D.2 12.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示: 则第七个三角形数是( ) A .27 B.28 C .29 D .30
高一数学数列综合测试题 1.{a n }是首项a 1=1,公差为d =3的等差数列,如果a n =2 005,则序号n 等于( ). A .667 B .668 C .669 D .670 2.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=( ). A .33 B .72 C .84 D . 3.如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ). A .a 1a 8>a 4a 5 B .a 1a 8<a 4a 5 C .a 1+a 8<a 4+a 5 D .a 1a 8=a 4a 5 4.已知方程(x 2 -2x +m )(x 2 -2x +n )=0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列,则|m -n |等于( ). A .1 B . 4 3 C . 2 1 D . 8 3 5.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( ). A .81 B .120 C .168 D .192 6.若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大 自然数n 是( ). A .4005 B .4006 C .4007 D .4008 7.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列, 则a 2=( ). A .-4 B .-6 C .-8 D . -10 8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若35a a =9 5 ,则59S S =( ). A .1 B .-1 C .2 D . 2 1 9.已知数列-1,a 1,a 2,-4成等差数列,-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列,则2 1 2b a a -的值是( ). A . 2 1 B .- 2 1 C .- 21或2 1 D . 4 1 10.在等差数列{a n }中,a n ≠0,a n -1-2 n a +a n +1=0(n ≥2),若S 2n -1=38,则n =( ). A .38 B .20 C .10 D .9 二、填空题 11.设f (x )= 2 21+x ,利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法,可求得f (-5)+f (-4)+…+f (0)+…+ f (5)+f (6)的值为 . 12.已知等比数列{a n }中, (1)若a 3·a 4·a 5=8,则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6= . (2)若a 1+a 2=324,a 3+a 4=36,则a 5+a 6= . (3)若S 4=2,S 8=6,则a 17+a 18+a 19+a 20= .
必修五数列复习综合练习题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.2011是等差数列:1,4,7,10,…的第几项( ) (A )669 (B )670 (C )671 (D )672 2.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 1=0,则此数列的第5项是( ) (A )15 (B )255 (C )20 (D )8 3.等比数列{a n }中,如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为( ) (A )4 (B )2 3 (C ) 9 16 (D )2 4.在等差数列{a n }中,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20=( ) (A )-1 (B )1 (C )3 (D )7 5.在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6=( ) (A )40 (B )42 (C )43 (D )45 6.记等差数列的前n 项和为S n ,若S 2=4,S 4=20,则该数列的公差d=( ) (A)2 (B)3 (C)6 (D)7 7.等差数列{a n }的公差不为零,首项a 1=1,a 2是a 1和a 5的等比中项,则数列的前10项之和是( ) (A )90 (B )100 (C )145 (D )190 8.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为( ) (A )49 (B )50 (C )51 (D )52
9.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”,如 (1101)2表示二进制的数,将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么将二进制数16111???位 转换成十进制数的形式是( ) (A )217-2 (B )216-1 (C )216-2 (D )215-1 10.在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10=( ) (A )45 (B )50 (C )75 (D )60 11.(2011·江西高考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n+m ,且a 1=1,那么a 10=( ) (A )1 (B )9 (C )10 (D )55 12.等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…,且a 5·a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=( ) (A )n(2n-1) (B )(n+1)2 (C )n 2 (D )(n-1)2 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在题中的横线上) 13.等差数列{a n }前m 项的和为30,前2m 项的和为100,则它的前3m 项的和 为______. 14.(2011·广东高考)已知{a n }是递增等比数列,a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______. 15.两个等差数列{a n },{b n }, 12n 12n a a a 7n 2 b b b n 3 ++?++= ++?++,则55a b =______. 16.设数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1,则通项a n =_____.
《数列》单元练习试题 一、选择题 1.已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n (∈n N *),则4a 等于( ) (A)1 (B )2 (C )3 (D )0 2.一个等差数列的第5项等于10,前3项的和等于3,那么( ) (A )它的首项是2-,公差是3 (B)它的首项是2,公差是3- (C )它的首项是3-,公差是2 (D )它的首项是3,公差是2- 3.设等比数列}{n a 的公比2=q ,前n 项和为n S ,则 =24a S ( ) (A )2 (B)4 (C)2 15 (D )217 4.设数列{}n a 是等差数列,且62-=a ,68=a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则( ) (A)54S S < (B )54S S = (C)56S S < (D )56S S = 5.已知数列}{n a 满足01=a ,133 1+-=+n n n a a a (∈n N*),则=20a ( ) (A)0 (B)3- (C )3 (D) 23 6.等差数列{}n a 的前m 项和为30,前m 2项和为100,则它的前m 3项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 7.已知1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等比数列,公比1≠q ,则( ) (A)5481a a a a +>+ (B )5481a a a a +<+ (C)5481a a a a +=+ (D )81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数 列有( ) (A )13项 (B)12项 (C)11项 (D)10项 9.设}{n a 是由正数组成的等比数列,公比2=q ,且30303212=????a a a a ,那么 30963a a a a ???? 等于( ) (A)210 (B)220 (C)216 (D)215 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:
江苏省洪泽中等专业学校数学单元试卷(数列) 时间:90分钟 满分:100分 一、 选择题(每题3分,共30分) 1.数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是( ). (A )n n a )1(-= (B )1)1(+-=n n a (C )n n a )1(--= (D )2sin π n a n = 2.已知数列{}n a 的首项为1,以后各项由公式 给出, 则这个数列的一个通项公式是( ).
(A)(B) (C) (D) 3.已知等差数列1,-1,-3,-5,…,则-89是它的第()项;
(A)92 (B)47 (C)46 (D)45 ,则这个数列() 4.数列{}n a的通项公式5 a =n 2+ n (A)是公差为2的等差数列(B)是公差为5的等差数列 (C)是首项为5的等差数列(D)是首项为n的等差数列 5.在等比数列{}n a中,1a =5,1= S=(). q,则 6 (A)5 (B)0 (C)不存在(D)30 6.已知在等差数列{}n a中,=3, =35,则公差d=().(A)0 (B)?2 (C)2 (D) 4 7.一个等比数列的第3项是45,第4项是-135,它的公比是().
(A )3 (B )5 (C ) -3 (D )-5 8.已知三个数 -80,G ,-45成等比数列,则G=( ) (A )60 (B )-60 (C )3600 (D ) ±60 9.等比数列的首项是-5,公比是-2,则它的第6项是( ) (A ) -160 (B )160 (C )90 (D ) 10 10.已知等比数列,8 5,45,25…,则其前10项的和=10S ( ) (A ) )211(4510- (B ))211(511- (C ))211(59- (D ))2 11(510- 二、填空题(每空2分,共30分) 11.数列2,-4,6,-8,10,…,的通项公式=n a 12.等差数列3,8,13,…的公差d= ,通项公式=n a ___________,8a = . 13.观察下面数列的特点,填空: -1,21, ,41,51-,6 1, ,…,=n a _________。 14.已知等差数列=n a 5n-2,则=+85a a ,=+103a a ,=+94a a . 15.数列{}n a 是等比数列, ,3,11==q a 则=5a . 16.一个数列的通项公式是 ),1(-=n n a n 则=11a ,56是这个数列的第 项. 17. 已知三个数13,,13-+A 成等差数列,则A = 。 18.等差数列{}n a 中,,2,1001-==d a 则=50S . 三、解答题(每题10分,共40分) 19.等差数列{}n a 中,64=a ,484=S ,求1a . 20.一个等差数列的第2项是5,第6项是21,求它的第51项. 21.等比数列3,9,27,……中,求7a . 22.已知等比数列的前5项和是242,公比是3,求它的首项.
绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷 第I卷(选择题) 一、单选题 1.数列的一个通项公式是() A.(B.( C.()(D.( 2.不等式的解集是() A.B.C.D. 3.若变量满足,则的最小值是()A.B.C.D.4 4.在实数等比数列{a n}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4等于( ) A.8B.-8C.±8D.以上都不对 5.己知数列为正项等比数列,且,则()A.1B.2C.3D.4 6.数列 1111 1,2,3,4, 24816 前n项的和为() A. 2 1 22 n n n + +B. 2 1 1 22 n n n + -++C. 2 1 22 n n n + -+D. 2 1 1 22 n n n + - -+
的面积为() A.B.C.D. 8.在△ABC中,已知,则B等于( ) A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120° 9.下列命题中正确的是( ) A.a>b?ac2>bc2B.a>b?a2>b2 C.a>b?a3>b3D.a2>b2?a>b 10.满足条件,的的个数是( ) A.1个B.2个C.无数个D.不存在 11.已知函数满足:则应满足()A.B.C.D. 12.已知数列{a n}是公差为2的等差数列,且成等比数列,则为()A.-2B.-3C.2D.3 13.等差数列的前10项和,则等于() A.3 B.6 C.9 D.10 14.等差数列的前项和分别为,若,则的值为()A.B.C.D. 第II卷(非选择题) 二、填空题 15.已知为等差数列,且-2=-1,=0,则公差=
16.在中,,,面积为,则边长=_________. 17.已知中,,,,则面积为_________. 18.若数列的前n项和,则的通项公式____________ 19.直线下方的平面区域用不等式表示为________________.20.函数的最小值是_____________. 21.已知,,且,则的最小值是______. 三、解答题 22.解一元二次不等式 (1)(2) 23.的角、、的对边分别是、、。 (1)求边上的中线的长; (2)求△的面积。 24.在中,角所对的边分别为,且.
一、数列的概念选择题 1.在数列{}n a 中,12a =,1 1 1n n a a -=-(2n ≥),则8a =( ) A .1- B . 12 C .1 D .2 2.数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+,4a =( ) A .2 B .6- C .2- D .1 3.已知数列{} ij a 按如下规律分布(其中i 表示行数,j 表示列数),若2021ij a =,则下列结果正确的是( ) A .13i =,33j = B .19i =,32j = C .32i =,14j = D .33i =,14j = 4.已知数列{}n a ,若()12* N n n n a a a n ++=+∈,则称数列{}n a 为“凸数列”.已知数列{} n b 为“凸数列”,且11b =,22b =-,则数列{}n b 的前2020项和为( ) A .5 B .5- C .0 D .1- 5.在数列{}n a 中,已知11a =,25a =,() * 21n n n a a a n N ++=-∈,则5a 等于( ) A .4- B .5- C .4 D .5 6.已知数列{}n a ,{}n b ,其中11a =,且n a ,1n a +是方程220n n x b x -+=的实数根, 则10b 等于( ) A .24 B .32 C .48 D .64 7.在数列{}n a 中,114a =-,1 11(1)n n a n a -=->,则2019a 的值为( )