初中几何常用辅助线专题
初中几何常见辅助线做法
一、三角形常见辅助线做法
方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍；
含有中点的题目，常常做三角形的中位线，把结论恰当的转移 例1、如图5-1：AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。
【分析】：要证AB ＋AC ＞2AD ，由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋CD ＞AD ，所以有AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋AD ＝2AD ，左边比要证结论多BD ＋CD ，故不能直接证出此题，而由2AD 想到
要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，则AE ＝2AD ∵AD 为△ABC 的中线 （已知） ∴BD ＝CD （中线定义） 在△ACD 和△EBD 中
??
???=∠=∠=)()()(辅助线的作法对顶角相等已证ED AD EDB ADC CD BD
∴△ACD ≌△EBD （SAS ）
∴BE ＝CA （全等三角形对应边相等）
∵在△ABE 中有：AB ＋BE ＞AE （三角形两边之和大于第三边） ∴AB ＋AC ＞2AD 。
例2、如图4-1：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：延长ED 至M ，使DM=DE ，连接 CM ，MF 。在△BDE 和△CDM 中，
∵??
???=∠=∠=)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MD ED CDM CD BD ∴△BDE ≌△CDM （SAS ）
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知） ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义） ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF ＝90°
1
4-图A
B C
D
E
F
M
123
4A
B
C
D
E 1
5-图
∴∠FDM ＝∠EDF ＝90° 在△EDF 和△MDF 中
∵??
???=∠=∠=)()()(公共边已证辅助线的作法DF DF FDM EDF MD ED
∴△EDF ≌△MDF （SAS ）
∴EF ＝MF （全等三角形对应边相等）
∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF （三角形两边之和大于第三边） ∴BE ＋CF ＞EF
【备注】：上题也可加倍FD ，证法同上。当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。
例3、如图3，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别交EF 的延长线G 、H 。求证：∠BGE=∠CHE 。
证明：连结BD ，并取BD 的中点为M ，连结ME 、MF ， ∵ME 是ΔBCD 的中位线， ∴ME
CD ，∴∠MEF=∠CHE ，
∵MF 是ΔABD 的中位线， ∴MF
AB ，∴∠MFE=∠BGE ，
∵AB=CD ，∴ME=MF ，∴∠MEF=∠MFE ， 从而∠BGE=∠CHE 。
方法2：含有角平分线的题目，利用角平分线的性质做垂线，或构造出全等三角形 例4、如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C 向∠BAD 的两边作垂线。近而证∠ADC 与∠B 之和为平角。
A
B
D E
F
例5、已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。 求证：DH=
2
1
（AB-AC ） 【分析】：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。问题可证。
例6、已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE. 求证：BD=2CE 。
【分析】：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
方法3 ：证明两条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法 例7、如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 °，AB=AC ，∠ABD=∠CBD 。求证：BC=AB+AD 【分析】：截长法：在BC 上取BE=AB,连接DE,证明△ABD ≌△EBD ， 则AD=DE=CE,结论可证
补短法：延长BA 到F ，使BF=BC,连接DF,证明△BCD ≌△BFD ， ∠F=∠C=45°，AF=AD,结论可证
例8：已知如图6-1：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。 求证：AB －AC ＞PB －PC 。
【分析】：要证：AB －AC ＞PB －PC ，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于
A
B
C
D
N
M
P 1
6 图12图示3-1
B
D
H E
图3-2
D
A
B
E C
D
C
B
A
第三边，从而想到构造第三边AB －AC ，故可在AB 上截取AN 等于AC ，得AB －AC ＝BN ， 再连接PN ，则PC ＝PN ，又在△PNB 中，PB －PN ＜BN ，即：AB －AC ＞PB －PC 。 证明：（截长法）
在AB 上截取AN ＝AC 连接PN , 在△APN 和△APC 中
∵??
???=∠=∠=)()(21)
(公共边已知辅助线的作法AP AP AC AN ∴△APN ≌△APC （SAS ）
∴PC ＝PN （全等三角形对应边相等）
∵在△BPN 中，有 PB －PN ＜BN （三角形两边之差小于第三边） ∴BP －PC ＜AB －AC
证明：（补短法） 延长AC 至M ，使AM ＝AB ，连接PM ， 在△ABP 和△AMP 中
∵ ??
???=∠=∠=)()
(21)(公共边已知辅助线的作法AP AP AM AB ∴△ABP ≌△AMP （SAS ）
∴PB ＝PM （全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM 中有：CM ＞PM －PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB －AC ＞PB －PC 。 二、梯形常用辅助线做法
通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：
例1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17. 求CD 的长.
解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E.
又AB ∥CD ，所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17，CD ＝BE. 在R t △DAE 中，由勾股定理，得 AE 2＝DE 2－AD 2，即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8.
所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8.
作法 图形
平移腰，转化为三角形、平行四边形。
A
B
C
D E
平移对角线。转化为三角形、平行四边形。
A
B
C
D
E
延长两腰，转化为三角形。
A
B
C
D E
作高，转化为直角三角形和矩形。
A
B
C
D E F
中位线与腰中点连线。
A
B
C
D E
F
A B
C
D
A
B
C
D
E
例2、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得
∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°
则△EGH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
所以)
(
2
1
2
1
CH
BG
BC
GH
EF-
-
=
=
1
)1
3(
2
1
)
(
2
1
)]
(
[
2
1
)
(
2
1
=
-
=
-
=
+
-
=
-
-
=
AD
BC
DE
AE
BC
DE
AE
BC
例3、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．
∵AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形
∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4
∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5
∴∠BDE=90°．
作DH⊥BC于H，则
5
12
=
?
=
BE
ED
BD
DH
6
2
5
12
5
2
DH
BC)
(AD
ABCD
=
?
=
?
+
=
∴
梯形
S
．
例4、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
解：延长BA、CD交于点E。
在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5，同理可得AD=ED=2
所以CD=EC－ED=5－2=3
A
B
D
C E
H
例5、如图，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠ABC=90°，AB=2DC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为F ，过点F 作EF//AB ，交AD 于点E ，求证：四边形ABFE 是等腰梯形。 证：过点D 作DG ⊥AB 于点G ，
则易知四边形DGBC 是矩形，所以DC=BG 。 因为AB=2DC ，所以AG=GB 。 从而DA=DB ，于是∠DAB=∠DBA 。
又EF//AB ，所以四边形ABFE 是等腰梯形。
例6、如图，在梯形ABCD 中，AD 为上底，AB>CD ，求证：BD>AC 。 证：作AE ⊥BC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，则易知AE=DF 。 在Rt △ABE 和Rt △DCF 中，
因为AB>CD ，AE=DF 。
所以由勾股定理得BE>CF 。即BF>CE 。 在Rt △BDF 和Rt △CAE 中 由勾股定理得BD>AC
例7、如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，O 是BC 的中点，∠AOD=90°，求证：AB ＋CD=AD 。 证：取AD 的中点E ，连接OE ，则易知OE 是梯形ABCD 的中位线， 从而OE=
2
1
（AB ＋CD ）① 在△AOD 中，∠AOD=90°，AE=DE 所以AD OE 2
1
②
由①、②得AB ＋CD=AD 。
例8、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠BAD=900，E 是DC 上的中点，连接AE 和BE ， 求证：∠AEB=2∠CBE 。
解：分别延长AE 与BC ，并交于F 点
∵∠BAD=900且AD ∥BC ∴∠FBA=1800－∠BAD=900 又∵AD ∥BC ∴∠DAE=∠F
∵∠AED=∠FEC ，DE=EC
E
D
C
B
∴△ADE ≌△FCE （AAS ） ∴ AE=FE
在△ABF 中∠FBA=900 且AE=FE ∴ BE=FE
∴ 在△FEB 中 ∠EBF=∠FEB ∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE 练习
1、如图，AB=CD ，E 为BC 的中点，∠BAC=∠BCA ，求证：AD=2AE 。
2、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.
E D C
B A
3、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD
4、如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，DE ⊥BC 于E ， 求DE 的长.
B
E
C
D
A A
B
C
D
E