Ch2导数与极限2.2.2
§2.2 极限
?函数极限的定义
?极限的性质
?无穷小无穷大
?极限的运算法则
?两个重要极限
?无穷小的比较
x
)
(x f 9
.09.199.099.1999
.0999
.19999.09999
.199999.099999
.1x
)
(x f 1.101
.1001.10001.100001.11.201
.2001.20001
.200001
.22
。
附近的函数值的变化在考察函数111
1
)(2
=+=--==x x x x x f y 1
12--=
x x y 这一过程表示为：
2
1→→y x 时，2
)(lim =x f 即：A 、自变量趋向有限值时函数的极限
2.2.2 函数极限的定义
问题:怎么表达函数)(x f y =在0x x →的过程中,对应函数值)(x f 无限趋近于确定值A ？
;
)()(任意小表示A x f A x f -ε<-.
000的过程表示x x x x →<-<δx
x δ
-0x δ
+0x δ
δ
,
0邻域的去心点δx .
0程度接近体现x x δ
定义 如果对于任意给定的正数 ε(不论它多 么小),总存在正数δ,使得对于适合不等式
δ<-<00x x 的一切x ,对应的函数值)(x f 都
满足不等式ε<-A x f )(,那末常数A 就叫函数
)(x f 当0x x →时的极限,记作
)()()(lim 00
x x A x f A x f x x →→=→当或
定义
""δ-ε.
)(,0,0,00ε<-δ<-<>δ?>ε?A x f x x 恒有时使当
几何解释:
)
(x f y =ε
-A ε
+A A δ
-0x δ
+0x 0
x δ
δ
x
y
o
.
2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当ε==δA y x f y x x 注意：
;)(.10是否有定义无关在点函数极限与x x f .
.2有关与任意给定的正数εδ.
,,越小越好后找到一个显然δδ
因此对于任意给定的正数ε，任意取一正数δ，当0<|x -x 0|<δ时，都有
|f (x )-A |=|c -c |=0<ε
成立，所以举例：
证明:这里|f (x )-A |=|c -c |=0，.lim 0
c c x x =→ 例1 证明0
lim x x →c =c ．例1
。证明例00
lim 2x x x x =→证明，0>?ε，若使ε<-||0x x ，
只需取εδ=于是，
，0>?ε时，当δ<-<||00x x ，有ε<-||0x x 。
00lim x x x x =∴→，0>?δ
证明：因为?ε >0 ，?δ=ε >0 ，所以只需|x -1|<δ，即取δ=ε．|f (x )-2|=|x -1|<ε，
使当0<|x -1|<δ，有
1
12
--x x |f (x )-2|=|-2|=|x +1-2|=|x -1|，要使|f (x )-2|<ε，.21
1lim 2
1=--→x x x 分析：注意函数在x =1是没有定义的．但这与函数在该点是否有极限并无关系．
例4 证明21
1lim 21=--→x x x ．例3
00lim si s 4n in x x x x →=明例证。证明，
0>?ε0
sin sin x x -，时当δ<-0x x 2sin 2cos 200x x x x -+=220x x -≤0
x x -=，ε<于是，，0>?ε，取εδ=，有ε<-0sin sin x x 。
0sin sin lim 0x x x x =∴→0sin sin x x -要使ε<-0x x 只要
2
25lim 4x x →=例证明。证明，0>?ε，限定1|2|<-x ．
即31< <-|4|2x 要使|)2)(2(|42-+=-x x x 只要|2|5- <．取}1,5min{ εδ=，时当δ<-2x 于是，，0>?ε， 成立ε<-42x 。4lim 22=∴→x x ，0>?δ52ε< -x 即 例6 . lim 00 x x x x = ∴→证0)(x x A x f -= - ,0>ε任给}, ,min{00ε=δx x 取,00时当δ<- x x x x +-= ,)(ε<-A x f 要使, 0ε<- x x 就有, 0x x x -≤.00且不取负值只要ε< -x x x . lim ,0:000 x x x x x = >→时当证明 B.单侧极限: 例如, . 1)(lim 0 , 10, 1)(0 2 =???≥+<-=→x f x x x x x f x 证明设两种情况分别讨论和分00<>x x ,0x x 从左侧无限趋近;00-→x x 记作,0x x 从右侧无限趋近; 00+→x x 记作y o x 1 x y -=11 2 +=x y 0 x x x x 左极限 . )(, ,0,000ε<-<<δ->δ?>ε?A x f x x x 恒有时使当右极限 . )(, ,0,000ε<-δ+<<>δ?>ε?A x f x x x 恒有时使当} 0{}0{} 0{:000<-<δ-δ<-<=δ<- )0()(lim 0) (0 00A x f A x f x x x x =-=- →-→或记作. )0()(lim 0) (0 00A x f A x f x x x x =+=+ →+→或记作 00:lim ()(0)(0). x x f x A f x f x A →=?-=+=定理1. lim 0不存在验证x x x →y x 1 1 -o 00lim lim x x x x x x →→-=－－左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在x f x →∴例7证0 lim (1)1x →=-=-－ 00lim lim x x x x x x ++→→=0lim 11 x +→== y y =x -1 -1 1 y =x +1 x O ?? ? ??>+=<-=.0,1, 0,0,0,1)(x x x x x x f 例8函数 当x →0时f (x )的极限不存在．因为f (x )的左极限 , 1)1(lim )(lim 0 -=-=-→-→x x f x x 右极限 , 1)1(lim )(lim 0 =+=+→+→x x f x x 所以极限不存在． )(lim 0 x f x → 01 ()lim (9)x f x f x x →=设，讨论例。 01 ()sin lim ()10 x f x f x x →=，讨论例。 x x y x x f 1 )(= 解 x f x 1 lim )00(0-→=-, -∞=x f x 1 lim )00(0+ →=+,+∞=不存在。 )(lim 0 x f x →∴ . sin 时的变化趋势当观察函数∞→x x x 播放 C 、自变量趋向无穷大时函数的极限 问题:函数)(x f y =在∞→x 的过程中, 对应函数值)(x f 无限趋近于确定值A . ;)()(任意小表示A x f A x f -ε<-. 的过程表示∞→>x X x . 0sin )(,无限接近于无限增大时当x x x f x =通过上面演示实验的观察: 问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 定义1 如果对于任意给定的正数 ε(不论它多么小),总存在着正数X ,使得对于适合不等式X x >的一切 x ,所对应的函数值)(x f 都满足不等式ε<-A x f )(, 那末常数A 就叫函数)(x f 当∞→x 时的极限,记作 ) ()()(lim ∞→→=∞ →x A x f A x f x 当或 定义 ""X -ε. )(,,0,0ε<->>?>ε?A x f X x X 恒有时使当? =∞ →A x f x )(lim 1、定义： :.10 情形+∞→x . )(,,0,0εε<->>?>?A x f X x X 恒有时使当:.20 情形-∞→x A x f x =-∞ →)(lim . )(,,0,0εε<--<>?>?A x f X x X 恒有时使当A x f x =+∞ →)(lim 2、另两种情形: ?=∞ →A x f x )(lim :定理.)(lim )(lim A x f A x f x x ==-∞ →+∞→且 导数和导数的极限 函数 )(x f 在 0x 点的左导数定义为 )(0x f -'x x f x x f x ?-?+=-→?)()(lim 000 。 函数 )(x f 在 0x 点的右导数定义为 )(0x f +'x x f x x f x ?-?+=+→?)()(lim 000 。 函数 )(x f 在 0x 点导数的左极限定义为 )0(0-'x f )(lim 0 0x f x x '=-→ 。 函数 )(x f 在 0x 点导数的右极限定义为 )0(0+'x f )(lim 0 0x f x x '=+→ 。 在很多情况下，导数的左极限 )(lim 0 0x f x x '-→ 往往就是左导数 )(0x f -' ，导数的右极限 )(lim 00x f x x '+→ 往往就是右导数 )(0x f +' 。 例如，函数 ?????≥<=1 11)(2x x x x x f 。 在 1=x 点的左导数为 )1(-'f 1111lim )1()1(lim 00-=?-?+=?-?+=-→?-→?x x x f x f x x ；导数的左极限为 )(lim 01x f x '-→1)1(lim )1(lim 20101-=-='=-→-→x x x x ，两者是一样的。 在 1=x 点的右导数为 21)1(lim )1()1(lim )1(200=?-?+=?-?+='+→?+→?+x x x f x f f x x ；导数的右极限为 )(lim 01x f x '+→2)2(lim )(lim 0 1201=='=+→+→x x x x ，两者也是一样的。 但有时候，导数的左极限 )(lim 0 0x f x x '-→ 并不等于左导数 )(0x f -' ，导数的右极限 )(lim 00x f x x '+→ 并不等于右导数 )(0x f +' 。 2.3（二）导数的综合应用 【课时作业】 A 级 1．(2018·昆明市高三摸底调研测试)若函数f (x )＝2x －x 2 －1，对于任意的x ∈Z 且x ∈ (－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为() A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，4] D ．(－∞，5] 解析： 对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )， 都有f (x )≤0恒成立，可转化为对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，2x ≤x 2 ＋1恒成立． 令g (x )＝2x ，h (x )＝x 2 ＋1， 当x <0时，g (x ) 此时g (x )>g (0)＝0， 当x <0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0，此时函数g (x )单调递减，此时g (x )>g (0)＝0， 作出函数g (x )和函数y ＝－1 x 的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，由图象可知函数 F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数为1个． 答案： B 3．定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )，即f ″(x )＝[f ′(x )]′. 定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x ) 在区间D 上为凹函数． 已知函数f (x )＝x 3 －32 x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________． 解析： ∵f (x )＝x 3－32 x 2＋1，∴f ′(x )＝3x 2 －3x ，∴f ″(x )＝6x －3.令f ″(x )>0，即 6x －3>0，解得x >12.∴x 的取值范围是? ?? ??12，＋∞. 答案： ? ?? ? ?12，＋∞ 4．已知函数f (x )＝ ex x ，g (x )＝－(x －1)2＋a 2 ，若当x >0时，存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________． 解析： 由题意得存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，等价于f (x )min ≤g (x )max . 因为g (x )＝－(x －1)2 ＋a 2 ，x >0， 所以当x ＝1时，g (x )max ＝a 2 . 因为f (x )＝ex x ，x >0， 所以f ′(x )＝ex·x－ex x2 ＝ －x2 . 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝e. 专题二 函数与导数 2.1 函数概念、性质、图象专项练 必备知识精要梳理 1.函数的概念 (1)求函数的定义域的方法是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解. (2)求函数值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法(分式函数)、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法、有界函数法(含有指、对数函数或正、余弦函数的式子). 2.函数的性质 (1)函数奇偶性:①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有: f (x )是偶函数?f (-x )=f (x )=f (|x|); f (x )是奇函数?f (-x )=-f (x ). ②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). (2)函数单调性判断方法:定义法、图象法、导数法. (3)函数周期性的常用结论:若f (x+a )=-f (x )或f (x+a )=± 1f (x ) (a ≠0),则T=2a ;若f (x+a )=f (x-b ),则 T=a+b ;若f (x )的图象有两条对称轴x=a 和x=b (a ≠b ),则T=2|b-a|;若f (x )的图象有两个对称中心(a ,0)和(b ,0),则T=2|b-a|(类比正、余弦函数). 3.函数的图象 (1)函数图象的判断方法:①找特殊点;②看性质:根据函数性质判断图象的位置,对称性,变化趋势等;③看变换:看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到. (2)若y=f (x )的图象关于直线x=a 对称,则有f (a+x )=f (a-x )或f (2a-x )=f (x )或f (x+2a )=f (-x );若y=f (x )对?x ∈R ,都有f (a-x )=f (b+x ),则f (x )的图象关于直线 x=a+b 2 对称;若y=f (x )对?x ∈R 都有 f (a-x )=b-f (x ),即f (a-x )+f (x )=b ,则f (x )的图象关于点 a 2, b 2 对称. (3)函数y=f (x )与y=f (-x )的图象关于y 轴对称,函数y=f (a-x )和y=f (b+x )的图象关于直线x=a -b 2 对 称;y=f (x )与y=-f (x )的图象关于x 轴对称;y=f (x )与y=-f (-x )的图象关于原点对称. (4)利用图象可解决函数的最值、方程与不等式的解以及求参数范围问题. 考向训练限时通关 专题八 极限与函数的导数的题型与方法 【考点审视】 极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变： （1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)c c c n (lim =∞ →是常数）,2)01 lim =∞→n n ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n . (2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。 （3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。 （4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。 （5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。 （6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。 【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对 00、∞ ∞ 、∞-∞、∞?0型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14）π ππ --→x x x x cos )(lim = 【分析】这是 00 型，需因式分解将分母中的零因子消去，故π ππ--→x x x x cos )(lim =x x x cos )(lim ππ +→=π2-。 2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须 先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如： （2004年广东,4）-+++-+∞→131211( lim n n n n …+1 2112+-++n n n n )的值为…（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 1 （D ）1 【分析】这是求无穷项的和，应先求前n 2项的和再求极限 高等数学习题库 淮南联合大学基础部 2008年10月 第一章 映射，极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B 解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }. 2： 证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2＝4n 2+4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。即结论成立。 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay b x cy a += -，所以 ()x f y = 所以命题成立 3： （1）2 2x y -= （2）lg(sin )y x = （3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥?? =??取N ＝[1 ω ]，则当n>N 时,就有 11|1|n n n ω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立 5：求下列数列的极限 （1）lim 3n n n →∞ （2）222 3 12lim n n n →∞+++ （3） （4）lim n 解：（1） 233n n n n <,又 2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于 222 3 312(1)(21)111 (1)(2)6n n n n n n n n n ++ +++= =++ 又因为：1111 lim (1)(2)63 n n n n →∞++=,所以：2223121 lim 3 n n n →∞+++ （3）因为： 所以： （4） 因为：111n n ≤+，并且1 lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得 1n = 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 肥东锦弘中学2014届高三二轮复习专题二——函数与导数 一 函数的概念 1 函数) 12(log 1)(2 1+=x x f 的定义域是 2 函数)(x f 的定义域是][2,0，则函数x x f x g ln )2()(=的定义域是 3 函数?????<+≥=4 ),1(4,)21()(x x f x x f x ，则)5log 1(2+f 的值为 4 求下列函数的值域 （1）1(0)y x x x =+>； （2）4 32++=x x x y （3）2552+++=x x x y ； （4）22232(0)(1) k k y k k ++=>+ 5 设函数2()2()g x x x R =-∈，()4()()()()g x x x g x f x g x x x g x +++-=+-a a a x g x f x x 且1≠a ，若a g =)2(，则=)2(f 3 已知定义在R 的函数)(x f ，且函数)3(-=x f y 的图像关于点)(0,3对称，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围 4 设函数1 sin )1()(22+++=x x x x f 的最大值是M ，最小值是m ,则=+m M 5 已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足)2()()4(f x f x f +=+,且在区间[0,2]上是减函数,有下列命题: (1)0)2(=f ； (2) 函数)(x f 的图象关于直线4-=x 对称; (3)函数)(x f 在（8,10）上单调递增; (4)若关于x 的方程m x f =)(在区间[-6,2]的两根为21,x x ,则这两根之和为-8. 第十四章 极限与导数 一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为 )(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞ →，另外)(lim 0 x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右 极限。类似地)(lim 0 x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2．极限的四则运算：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b ，那么0 lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0 lim x x →).0()()(≠=b b a x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0 lim x x →f(x)存在，并且0 lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若x y x ??→?0lim 存在，则称f(x)在x 0 处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或 x dx dy ， 即0 00) ()(lim )('0 x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。 若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。 6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1 )'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3） ;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x x a log 1= ；（8）.1 )'(ln x x = 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则 （1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3） )(')]'([x u c x cu ?=（c 为常数）；（4） )()(']')(1[2x u x u x u -=；（5）) () ()(')(')(]')()([2x u x v x u x v x u x u x u -=。 引言 极限是研究变量的变化趋势的基本工具。在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。 本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L’Hospital 法则，Taylor展式法及微分中值定理在求极限中的应用。旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。 1 2 第1章 导数在求极限中的基本应用 1.1 导数定义法 这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限. 定义 若函数()y f x =在其定义域中的一点0x 处极限 0000()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 存在，则称在0x 处可导，称此极限值为()f x 在0x 处的导数，记为0()f x '.显然，()f x 在0x 处的导数还有如下的等价定义形式： 000 ()() ()lim x x f x f x f x x x →-'=-. 下面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵 例1 求极限tan sin 0 lim sin b x b x x x αα+-→-. 解 由于 tan sin tan sin tan sin tan sin sin b x b x b x b b b x x x x x x αααααα+-+----= + . 所以，tan sin tan sin 0 tan lim lim lim sin tan sin sin b x b x b x b b b x x x x x x x x x αααααα+-+-→→→---=+ ln ln 2ln b b b αααααα=+=. 例2 (本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.) 设(0)f k '=，试证00()() lim a b f b f a k b a - + →→-=-. 证明 （希望把极限式写成导数定义中的形式） 知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面) 第2讲导数及其应用 配套作业 一、选择题 1．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝x 3 －3ax ＋14 ，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a 的值为() A.12B ．－12 C ．－34D. 14 答案 D 解析 f ′(x )＝3x 2 －3a ，设切点坐标为(x 0,0)，则 ??? ?? x30－3ax0＋14＝0，3x2 0－3a ＝0，解得????? x0＝1 2，a ＝1 4， 故选D. 2．(2018·赣州一模)函数f (x )＝12 x 2 －ln x 的递减区间为() A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 B 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝x －1 x ＝ x2－1 x ， 令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1， 故函数f (x )在(0,1)上递减．故选B. 3．(2018·安徽示范高中二模)已知f (x )＝ln x x ，则() A ．f (2)＞f (e)＞f (3) B ．f (3)＞f (e)＞f (2) C ．f (3)＞f (2)＞f (e) D ．f (e )＞f (3)＞f (2) 答案 D 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， 因为f ′(x )＝1－ln x x2 ，所以x ∈(0，e)，f ′(x )>0； x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0， 故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)， 而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 9 6 ， f (e)>f (3)>f (2)．故选D. 4．(2018·安徽芜湖模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1 一、函数、极限、连续练习题 1．01lim sin x x x →?=( ). A ．1 B ． 0 C ．不存在 D ．∞ 2. 设()f x 的定义域是[0,1]，则(tan )f arc x 的定义域为( )． A.[0,1] B.[0,]4π C.[0,tan1] D.(,)22 ππ- 3．1()3arctan f x x x =-+的连续区间为( ). A ．(,3)-∞ B ．(,3]-∞ C ．(,0)(0,3]-∞和 D ．(,0)(0,3)-∞和 4．当x →+∞时，对数函数ln x 、幂函数()n x n 为正整数、指数函数(0)x e λλ> 增大速度最快的是( )． A. ln x B. n x C . x e λ D. 一样快 5．当0x →时，2 cos x x x e e -是n x 的同阶无穷小，则n 为( )． A ．5 B ．4 C ．52 D ．2 6.已知2 lim()01 x x ax b x →∞--=+，其中a,b 是常数，则（ ）。 ()1,1()1,1()1,1()1,1A a b B a b C a b D a b ===-===-=-=- 7. 设函数22132 x y x x -=-+，则1x =是它的( )． A ．跳跃间断点 B ．可去间断点 C ．无穷间断点 D ．振荡间断点 8．设函数11,0()ln(1),10 x e x f x x x -??>=??+-<≤? 则0x =是( ). A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．无穷间断点 D ．振荡间断点 9.设()f x 在2x =连续，且2()3lim 2 x f x x →--存在，则(2)f =________. 10.设22,0,0(),()2,0,0x x x x g x f x x x x x -≤?-≥?? ，则[()]g f x =_____________. 课时作业(四) 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 [授课提示：对应学生用书第77页] 1．已知函数f (x )＝(m 2 －m －5)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－2或3 解析：f (x )＝(m 2 －m －5)x m 是幂函数?m 2 －m －5＝1?m ＝－2或m ＝3.又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3. 答案：C 2．函数y ＝a x ＋2 －1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0) B ．(0，－1) C ．(－2,0) D ．(－2，－1) 解析：法一：因为函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y ＝a x ＋2 －1(a >0，a ≠1)的图象，所以y ＝a x ＋2 －1(a >0，a ≠1) 的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确． 法二：令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0 －1＝0，所以y ＝a x ＋2 －1(a >0，a ≠1)的图 象恒过点(－2,0)，选项C 正确． 答案：C 3．(2017·大同二模)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为 y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( ) A ．300只 B ．400只 C ．500只 D ．600只 解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只． 答案：A 4．(2017·安徽省两校阶段性测试)函数y ＝x 2ln|x ||x | 的图象大致是( ) 第一单元 极限的概念及其运算 第一节 极限的概念 一、学习目标 极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的.学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限. 二、内容讲解 1.极限的概念1 数列的极限： ①数列：一般地，按一定规律排列的一串数1x ，2x ，…，n x ，…称为数列，简记为{}n x 。其中的第n 项n x 称为该数列的通项。 ②数列的极限：给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，n x 无限地趋近某个固定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限。记为A x n n =∞ →lim 2.极限的概念2 研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。 例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长. 例2 讨论当+∞→x 时，x 1 的变化趋势. 例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子?天下 定义2.1——函数的极限 设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x （但0x x ≠） 时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0或 A x f →)()(0x x →；若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数) (x f 在 x 处没有极限. 在理解极限定义时要注意两个细节： 1.0x x →时（0x x ≠）， 2. ?? ?→<→>→000 00)()(x x x x x x x x （包括这两种情况） 考虑函数x y =，依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限.因为x y =在0 （通用版）高考数学复习专题二函数与导数2.1函数的概念、图象和 性质练习理 命题角度1函数的概念及其表示 高考真题体验·对方向 1.(2017山东·1)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=() A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 答案 D 解析由4-x2≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A∩B=[-2,1).故选D. 2.(2014江西·3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R),若f[g(1)]=1,则a=() A.1 B.2 C.3 D.-1 答案 A 解析由题意可知f[g(1)]=1=50,得g(1)=0, 则a-1=0,即a=1.故选A. 3.(2019江苏·4)函数y=的定义域是. 答案[-1,7] 解析要使式子有意义, 则7+6x-x2≥0, 解得-1≤x≤7. 典题演练提能·刷高分 1.(2019江西新余一中一模)已知f(x)=,则函数f(x)的定义域为() A.(-∞,3) B.(-∞,2)∪(2,3] C.(-∞,2)∪(2,3) D.(3,+∞) 答案 C 解析要使函数f(x)有意义,则 即x<3,且x≠2, 即函数的定义域为(-∞,2)∪(2,3),故选C. 2.设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为() A.(1,2] B.(2,4] C.[1,2) D.[2,4) 答案 B 解析f(x)的定义域为?1 极 限 的 概 念（4月27日） 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数A （即A a n -无限趋近于0） ，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1， 21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…； 函数与导数（五） 热点一 导数的几何意义 1．函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同． 例1 (1)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝－x C ．y ＝2x D ．y ＝x (2)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋1的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋2)的切线，则实数b ＝_____. 及时归纳 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点． (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解． 跟踪演练1 (1)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． (2)若函数f (x )＝ln x (x >0)与函数g (x )＝x 2＋2x ＋a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是( ) A.????ln 1 2e ，＋∞ B ．(－1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(－ln 2，＋∞) 热点二 利用导数研究函数的单调性 1．f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0. 2．f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常函数，函数不具有单调性． 例2 已知函数f (x )＝2e x －kx －2. (1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)内的单调性； 考研数学极限与导数复习方法 我们在进行考研数学的备考复习时，需要掌握好极限与导数的复习方法。小编为大家精心准备了考研数学极限与导数复习秘诀，欢迎大家前来阅读。 考研数学极限与导数复习技巧 极限 极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极 限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练 的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行 计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则 凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来 证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括：1、连续、间断点以及 间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左、右极限，分段函数的连续性问题关键是分界点处的连续性，或按定义考察，或分别考察左、右连续性;2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数的定义直接计算或检验，存在的定义是极限存在，求极限时往往会用到推广之后的导数定义式;3、渐近线(水平、垂直、斜渐近线);4、多元函数微分学，二重极限的讨论计算难度较大，多考察证明极限不存在。 导数 求导与求微分每年直接考查的知识所占分值平均在 10分到13分左右。常考题型：(1)利用定义计算导数或讨论 函数可导性;(2)导数与微分的计算(包括高阶导数);(3)切线与法线;(4)对单调性与凹凸性的考查;(5)求函数极值与拐点;(6)对函数及其导数相关性质的考查。导数和极限精辟总结(全)
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