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【初三】线段的比、积、幂

初中数学竞赛专题选讲（41）

线段的比、积、幂

一、内容提要

一．有关线段的比、积、幂的主要定理 1. 比例的基本性质：

b a =b

c a

d =? 合比，等比定理（略） 2.

DE ∥BC EC

DB AD =?

a ∥

b ???????===111

1111

OB OB

OA OA OB OB C B BC B

A AB

3. 相似多边形性质：对应线段成比例，面积比等于相似比的平方

4. 直角三角形中成比例线段定理（射影定理）

?????

??????⊥∠∠BC

AC CD AB AB

BD BC AB

AD AC BD AD CD AB CD R ACB 2

22＝＝＝＝＝t 5. 三角形内（外）角平分线性质

在△ABC 中 ∠1＝∠2AC

DC BD =?

6. 若ABCD 四点共圆，

AB 、CD 交于P ，则PA ×PB ＝PC ×PD

D E B A B C D

＝PT

（PT 切圆于T ）

7. 三角形、平行四边形面积公式（略） 8.正弦定理：在△ABC 中，

SinC

SinB b SinA a == 二．要运用相似三角形证明线段的积、幂，一般应把积、幂先化为比例式，然后由它来找相似三角形。有时还要用等线段或等比代换。二、例题

例1．过四边形ABCD 的对角线交点O 画CD 的平行线，分别与边

BC ，AD 及AB 的延长线交于E ，F ，G 求证：GO 2=GEGF

证明：设DC ，AB 的延长线相交于H ， ∵FG ∥DH ，从过点B 的线束被平行线截得HD HC

GO GE =

从过点A 的线束被平行线截得HD

GF GO = ∴

GO GE = 即GO 2

＝GEGF 例2.已知：CD 是Rt △ABC 斜边上的高，角平分线AE 交CD 于F 求证：CE 2＝DF ×BE

分析：要CE 2＝DF ×BE 成立，应证

DF CE

CE BE = 可证CE ＝CF （等角对等边）根据角平分线性质可得

AC AB CE BE =，AD

DF CF = 只要AC 2＝ABAD 这符合直角三角形中成比例线段定理证明（略）

例3.已知：△ABC 中最大角A 是最小角C 的2倍，三边长是连续整数求：△ABC 的各边长

解：设AC 为x, 则AB 是x-1,BC 为x+1 延长CA 到D 使AD=AB ，连结BD ，BA 则∠D ＝∠1 ∵∠BAC ＝∠1＋∠D ＝2∠D ， ∵∠BAC ＝2∠C ， ∴∠1＝∠D ＝∠C

∴等腰△ABD ∽等腰△BCD

CD BD BC AB ＝，1

111+++=+-x x x x x ，解得x=5, ∴三边长分别为4,5,6 ( 本题也可作∠BAC 的平分线AE ，证明△EAB ∽△ACB)

例4. 已知：⊙O 和⊙O 1相交于P ，外公切线AB ，A ，B 是切点，AP 交⊙O 于C ，BP 交⊙O 1于D ，CE 和⊙O 1切于点E 求证：CE ＝CB

证明：过点P 作两圆公切线PQ 交AB 于Q 由切线长定理，得QP ＝QA ＝QB ∴△APB 是Rt △，∠APB ＝Rt ∠ ∴BC 是⊙O 的直径，BC ⊥AB

根据射影定理，得BC 2

＝CP ×CA

∵CE 切⊙O 1于E ，

根据圆幂定理，得CE 2＝CP ×CA

∴CE ＝CB

例5.正方形OPQR 内接于△ABC ，已知△AOR ，△BOP ，△CRQ 面积是 S 1＝1，S 2＝3，S 3＝1。那么正方形OPQR 的边长是（）

（A ）2 （B ）3 (C)2 (D)3 （1991年全国初中数学联赛题）解：设正方形OPQR 的边长为x ， ∵S 2＝3，S 3＝1 ∴BP ＝

x 6，QC ＝x

2， ∵OR ∥BC ，∴△AOR ∽△ABC

∴ ABC

AOR S S △△＝2

BC OR 即2

1311++＋=22

2x x 6(x ++ 解得（x 4－16）(x 2+4)=0 ∴x=2 本题也可以求出△ABC 的高为

＋x, 用面积公式列方程。三、练习

1. 线段a,b 满足等式a 2+ab-b 2=0 则a ：b=＿＿＿＿

2. △ABC 中D ，E 三等分BC ，中线BF 分别交AD ，AE 于M ，N ，那么

BM ∶MN ∶NF ＝＿＿＿

P Q

3. △ABC 中，点D 内分BC 为1∶3，点E 内分AD 为1∶2，BE 的延长

线交AC 于F ，则AF ∶FC ＝＿＿＿

4. 求证：有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的

乘积的比

5. 经过平行四边形ABCD 顶点A 画直线，分别交BD ，BC 及DC 的延长

线于E ，F ，G 。求证：EA 2=EF EG

6. 在△ABC 内任取一点G ，分别延长AG ，BG ，CG 交对边于D ，E ，F

求证：

1FB AF

EA CE DC BD ＝（西瓦定理）

7. 已知：AD 是△ABC 的中线，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，AM ＝AN

求证：

PN AC AB ＝ 8. CD 是Rt △ABC 斜边上的高，O 是CD 的中点，AO 延长线交AC 于E ， EF ⊥AB 于F ，FE 的延长线和AC 的延长线相交于G ，则EF 2＝EC ×EB 9. 已知：平行四边形ABCD 中E ，F 分别在AB ，AD 上且EF ∥BD ，CE ，

CF 分别交BD 于P ，Q 。求证：BP ＝DQ

10. 已知：正方形ABCD 中，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，交BD 于F 求证：

⑴BE ＝BF ⑵CE ＝2FO 11. 已知：△ABC 中，D ，E 分别在边了BC ，AB 上，∠B ＝∠CAD ＝∠ADE

如果△ABC ，△EBD ，△ADC 的周长为m,m 1,m 2

求证：

21≤+m m m 12. 如图已知：点B 在⊙A 上，⊙A 和⊙B 相交于

C ，

D ，⊙A 的直径C

E 交⊙B 于

F 求证：2CB 2＝CE ×CF 13. 选择题 ① △ABC 中，AD 是高，且AD 2

＝BD ×DC ，那么∠BAC 的度数是（）

（A ）小于90，（B ）大于90，（C ）等于90，（D ）不能确定（1990年全国初中数学联赛题）

②直角梯形ABCD 中，垂腰AB ＝7，两底AD ＝2，BC ＝3，如果AB 一点P 使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，那么适合条件的点P 有几个？（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （1988年全国初中数学联赛题）

③ 已知PA 切△ABC 的外接圆于A ，PA ＝6，BC ＝5，则AC ∶AC ＝（）

（A ）2∶3 （B ）6∶5 （C ）4∶5 (D)3∶2 （1996年福建省达标中学中考题）

例14.如图ABCD 为圆内接四边形，过AB 上一点

引MP ，MQ ，MR 分别垂直于BC ，CD ，DA 连结PR 和MQ 相交于N 求证：

NR PN = （1983年福建省初中数学联赛题）

15. 如图△PQR 和△P

1Q 1R 1是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF 的边长分记为AB ＝a 1,,BC ＝b 1,CD ＝a 2,DE ＝b 2,EF ＝a 3,FA ＝b 3

求证：a 12+a 22+a 32=b 12+b 22+b 32

（1988年全国初中数学联赛题）

练习题参考答案

5-， 2. 5∶3∶2， 3. 91，

4.分为夹角相等和互补两种情况，都要分别作出高

5. 证明△ABE ∽△GDE ，△ADE ∽△FBE

6.过A 作BC 的平行线和BE ，CF 的延长线分别相交

7.分别过B ，C 作MN 的平行线

8.延长FE 和AC 的延长线相交于G ，证明△ECG ∽△EFB

P 11

6. 连结AC 交BD 于O ，交EF 于M ，证EM ＝FM ，OP ＝OQ

7. 作CG ∥OB 交AE 延长线于G

8. 可证△ABC ∽△EBD ∽△DAC ，BC AC AC DC =，DC ＝a

b 2

　， BD ＝BC －DC ＝a

b a 2

2-，再求m m 1 ，m m 2……

9. 化原求证为CB CF CE CB =2或CF

CB CE

=21 10. ①D ②C ③A 11. 由正弦定理

SinMNP

SinNMP PN =，得PN ＝…同理NR ＝…注意

Sin(180

-A)=SinA

12. 注意有6个相似三角形，且各自的3个三角形面积和相等，用相似三角

形面积比等于相似比的平方

《比例线段》教案

《比例线段》教案教学目标 1、了解相似图形、相似多边形、相似比及比例线段等概念． 2、了解比例线段的相关概念及性质． 3、理解黄金分割的相关概念．教学重难点比例线段的性质及其应用．教学过程知识点点拨相似多边形：从几何直观上来说，两个图形如果形状一致，而大小不同，则称这两个图形相似，具体到多边形，称之为相似多边形.从严谨定义上来说，如果两个多边形各边成比例，各角相等，则称这两个多边形为相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数．比例线段： 1、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a m b n =. 2、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线段成比例线段，简称比例线段.例如线段a 、b 、c 、d ，如果 a c b d =，则称线段a 、b 、 c 、 d 成比例线段，这里要注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出，不能写成 b c a d =或a d b c =. 3、比例外项、比例内项、比例中项：若 a c b d =，则称a 、d 为比例外项，b 、 c 为比例内项，如果b ＝c ，则称b 为a 、c 的比例中项. 比例性质： 1、基本性质：如果 a c b d =，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd 得ad b c =. 2、合比性质：如果a c b d =，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得a b c d b d ±±=.

3、等比性质：如果a c m b d n ===…(0b d n +++≠…)，则a c m a c m b d n b d n +++====+++………，运用这个性质时，一定要注意0b d n +++≠…的条件. 知识点4 黄金分割：把线段AB 分成两条线段AP 、PB (AP ＞PB )，如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项，则线段AP 把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点. 平行线截线：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例．典型例题点拨例1、已知34=b a ，且b 是a 、c 的比例中项，则=c b _______，若a 是b 、 c 的比例中项，则=c b _________. 点拨：解此题要注意两点，1、比例条件的常规使用方法.2、比例中项的意义. 解答：∵3 4=b a ，可令4a x =，则3b x =，又∵b 是a 、c 的比例中项，∴224312b ac x x x ==?=，∴21223b x x =±=±，∴ 232333b x c x ==；若a 是b 、c 的比例中项，则2a bc =，即22(4)3a x b c x ===163x ，∴1616339 x b c x ==. 例2、已知35a c e b d f ===，求：3232a c e b d f -+-+的值. 点拨：注意到 3232a c e b d f -+-+分子分母中的各项系数是一致的，可联想到比例的等比性质. 解答：∵35a c e b d f ===，∴323325a c e b d f -===-，由等比性质可得323325 a c e b d f -+=-+. 例3、已知118 x y x +=，求x y . 点拨：本题考查比例的基本性质，易错点是由38x y =化成比例式时错成 38 x y =，解题关键是运用比例的基本性质，本题还可以运用合比性质求解.

《零次幂和负整数指数幂》知识解读知识讲解

学习资料仅供学习与参考《零次幂和负整数指数幂》知识解读知识点一零次幂和负整数指数幂任何不等于0的数的零次幂都等于1，即10=a （0≠a ）. 任何不等于0的数的n -（n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.即n n a a 1=-（0≠a ，n 是正整数）. 注意事项：（1）10=a 的前提是0≠a ，如1)2(0=-x 成立的条件是2≠x ；（2）n n a a 1= -条件是0≠a ，n 为正整数，而20-等是无意义的.当0>a 时，n a -的值一定为正；当0