文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 简单计数问题

简单计数问题

简单计数问题
简单计数问题

简单计数问题(高二理科)

一、导学激情,新课启航

学习目标:(1)掌握排列组合一些常见的题型及解题方法,能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题;

(2)提高合理选用知识解决问题的能力.

二、导学自探,双基必备

复习回顾:

1、两个计数原理是什么?

2、排列组合的定义及区别

3、排列数、组合数的相关公式

三、导学克难,探究展示

1、幼儿园做游戏,从30名儿童中选3名分别扮演三种小动物,则不同的编排方法有()

A.A3

30 B.C3

30

C.A3

30

A3

3

D.C3

30

C3

3

2、20个不同的小球平均分装到10个格子中,现从中拿出5个球,要求没有两个球取自同一格子中,则不同的取法一共有()

A.C5

10 B.C5

20

C.C5

10

5

2 D.A5

10

A1

2

3、用1、2、3、

4、5五个数字可以组成多少个百位上不是3的无重复数字的四位数 ( )

A.24个

B.72个

C.96个

D.114个

4、6名同学排成一排,其中甲乙必须排在一起的不同排法共有()

A.720种 B.480种 C.360种 D.240种5、某人练习射击,射击8枪命中4枪,这4枪中恰好有3枪连在一起的不同种数为()

A.72

B.48

C.24

D.20

6、由数字1到7七个自然数组成无重复的七位数,恰好有两个偶数相邻的排法种数

为。

7、(1)把5本不同的书分给3名同学,每人一本,有多少种不同的分法?

(2)把5本相同的书分给3名同学,每人一本,有多少种不同的分法?

8、15名男生安排住A、B、C三个寝室,A寝室可住7人,B寝室可住4人,C寝室可住4人,有多少种住法?

9、从6名短跑运动员中选出4人参加4×100米接力赛,其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,有多少种安排方案?

10、高二(1)班有30名男生,20名女生,从50名学生中 3名男生,2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员,共有多少种不同的选法?

11、有

10只不同的试验产品,其中有4只次品,6只正品,现每次取一只测试,直到4只次品全测出为止,求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种?四、师导点金,总结升华

(1)解决有关计数的应用题时,要仔细分析事件的发生、发展过程,弄清问题究竟是排列问题还是组合问题,还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决.一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起,要准确分清,容易产生的错误是遗漏和重复计数;(2)解决计数问题的常用策略有:(1)特殊元素优先安排;(2)排列组合混合题要先选(组合)后排;(3)相邻问题捆绑处理(先整体后局部);(4)不相邻问题插空处理;(5)顺序一定问题除法处理;(6)正难则反,合理转化.

五、导练检测,清理过关

1、从6双不同的手套中任取4只,其中恰好有两只是一双的取法有()

A.120种

B.240种

C.255种

D.300种

2、用1、

3、5三个数字组成无重复数字的自然数,再以这些自然数若干个为元素组成

非空集合,这样的集合个数为()

A.26-1

B.215-1

C.26-2

D.215-2

3、小李同学整理书架,把原来乱放的5本数学数和4本语文数归类摆放,有()种

摆放方法

A. A5

5

A4

4

B. A9

9

C.. A4

4

C4

5

D. A5

5

C4

六、作业布置

初中数学竞赛专题复习 第四篇 组合 第25章 染色问题试题 新人教版

第25章 染色问题 25.1.1★★圆周上等间距地分布着27个点,它们被分别染为黑色或白色.今知其中任何2个黑点之间 至少间隔2个点.证明:从中可以找到3个白点,它们形成等边三角形的3个顶点. 解析 我们将27个点依次编号,易知它们一共可以形成9个正三角形 (1,10,19),(2,11,20),…,(9,18,27). 由染色规则知,其中至多有9个黑点. 如果黑点不多于8个,则其中必有一个正三角形的所有顶点全为白色.如果黑点恰有9个,那么由 染色规则知,它们只能是一黑两白相间排列,其中也一定有一个正三角形的所有顶点全为白色. 25.1.2★★某班有50位学生,男女各占一半,他们围成一圈席地而坐开营火晚会.求证:必能找到一位两旁都是女生的学生. 解析 将50个座位相间地涂成黑白两色,假设不论如何围坐都找不到一位两旁都是女生的学生,那么25个涂有黑色记号的座位至多坐12个女生.否则一定存在两相邻的涂有黑色标记的座位,其上面都坐着女生,其间坐着的那一个学生与假设导致矛盾.同理,25个涂有白色标记的座位至多只能坐12个女生,因此全部入座的女生不超过24人,与题设相矛盾.故命题得证. 25.1.3★在线段AB 的两个端点,一个标以红色,一个标以蓝色,在线段中间插入n 个分点,在各个分 点上随意地标上红色或蓝色,这样就把原线段分为1n +个不重叠的小线段,这些小线段的两端颜色不同者叫做标准线段.求证:标准线段的个数是奇数. 设最后一个标准线段为1k k A A +.若0k A A =,则仅有一个标准线段,命题显然成立;若n k A A =,由 A 、 B 不同色,则0A 必与k A 同色,不妨设0A 与k A 均为红色,那么在0A 和k A 之间若有一红 蓝的标准 线段,必有一蓝红的标准线段与之对应;否则k A 不能为红色,所以在0A 和k A 之间,红蓝和 蓝红的标准线段就成对出现,即0A 和k A 之间的标准线段的个数是偶数,加上最后一个标准 线段1k k A A +,所以,A 和B 之间的标准线段的个数是奇数. 25.1.4★★能否用面积为14?的一些长方块将1010?的棋盘覆盖? 解析 如图中标上1~4这些数,显然每个1×4的长方块各占1、2、3、4一个,于是如果可以覆盖,则1、2、3、4应一样多,但1有25个,2则有26个,矛盾!因此不能覆盖.

两个基本计数原理教学案

§1.1两个基本计数原理 教学目标:(1)理解分类计数原理与分步计数原理 (2)会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学重点:分类计数原理与分步计数原理 教学过程 一.知识要点: 1、分类计数原理(加法原理):完成一件事有n 类方式,由第1种方法中有1m 种不同的方法可以完成,由第2种方法有2m 种不同的方法可以完成,……由第n k 种途径有n m 种方法可以完成。那么,完成这件事共有=N 种不同的方法。 2、分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,……做第 n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有=N 种不同的方法。 三、典例分析: 例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3 层放有2本不同的体育书, (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法? 例2.为了确保电子信箱的安全,在注册时,通常要设置电子信箱密码。在某网站设置的信箱中,(1)密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的密码共有多少个? (2)密码为4位,每位是0到9这10个数字中的一个,或是从A 到Z 这26个英文字母中的1个。这样的密码共有多少个?(3)密码为4到6位,每位均为0到9这10个数字中的一个。这样的密码共有多少个? 例3.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有多少种不同的选法?

例4.用4种不同颜色给如左图所示的地图上色,要求相邻两块涂不同的颜色,共有 多少种不同的涂法? 变式:1、如果按照①、②、④、③的次序填涂,怎样解决这个问题? 2、如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同 一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为( ) A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 若变为图二,图三呢? 练习: 1、乘积))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开后共有多少项? 2、(2006,北京,5分)在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中, 各位数字之和为奇数的共有 ( ) A .36个 B.24个 C.18个 D.6个 4、(2005,北京春(文),5分)从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数c bx ax x f ++=2)(的系数,可组成不同的一次函数共有 个,不同的二次函数共有 个。 3、在3000到8000之间有多少个无重复数字的奇数? 思考:集合A=}{ 4,3,2,1、B=}{d c b a ,,,,则从A 到B 可建立多少个不同的映射?其中一一映射有多少个? 图一 图二 图三

实验四 计数器电路设计

实验四、计数器电路的设计 一、实验目的 1、掌握计数器电路的设计方法; 2、进一步掌握电路的设计、编译、仿真和下载测试的方法。 二、实验要求 1、基本要求 1)设计一个具有异步复位和同步使能的4位二进制加法计数器 2)设计一个具有异步复位和同步使能、并行置数的加减可控的8位二进制计数器 3)设计一个具有异步复位和同步使能的BCD码加法计数电路, 2、扩展要求 1)设计一个具有异步复位和同步使能的六十进制加法计数电路 2)设计一个具有异步复位和同步使能的二十四进制加法计数电路 三、实验原理 四、实验内容及步骤 1、建立一个工程项目,路径如:D:\A0512301\forth,项目名和顶层实体名为count。 2、设计一个具有异步复位和同步使能的4位二进制计数器,并进行编译仿真与下载测试; 3、设计一个具有异步复位和同步使能、并行置数的加减可控的8位二进制计数器,并进行编译仿真与下载测试; 4、设计一个具有异步复位和同步使能的十进制加法计数电路,并进行编译仿真与下载测 试; 五、参考程序 1、四位加法计数器 LIBRARY IEEE ; USE IEEE.STD_LOGIC_1164.ALL ; USE IEEE.STD_LOGIC_UNSIGNED.ALL ; ENTITY CNT4 IS PORT ( CLK : IN STD_LOGIC ; Q : OUT STD_LOGIC_VECTOR(3 DOWNTO 0) ) ; END ; ARCHITECTURE bhv OF CNT4 IS SIGNAL Q1 : STD_LOGIC_VECTOR(3 DOWNTO 0); BEGIN PROCESS (CLK) BEGIN IF CLK'EVENT AND CLK = '1' THEN Q1 <= Q1 + 1 ; END IF; END PROCESS ; Q <= Q1 ; END bhv; 2、异步复位,同步使能十进制加法计数器 LIBRARY IEEE;

小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全

小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全目录 第1讲找规律(一) 第2讲找规律(二) 第3讲简单推理 第4讲应用题(一) 第5讲算式谜(一) 第6讲算式谜(二) 第7讲最优化问题 第8讲巧妙求和(一) 第9讲变化规律(一) 第10讲变化规律 第11讲错中求解 第12讲简单列举 第13讲和倍问题 第14讲植树问题 第15讲图形问题 第16讲巧妙求和 第17讲数数图形 第18讲数数图形 第19讲应用题 第20讲速算与巧算 第二十一周速算与巧算(二) 第二十二周平均数问题 第二十三周定义新运算 第二十四周差倍问题 第二十五周和差问题 第二十六周巧算年龄 第二十七周较复杂的和差倍问题 第二十八周周期问题 第二十九周行程问题(一) 第三十周用假设法解题

第三十一周还原问题 第三十二周逻辑推理 第三十三周速算与巧算(三) 第三十四周行程问题(二) 第三十五周容斥原理 第三十六周二进制 第三十七周应用题(三) 第三十八周应用题(四) 第三十九周盈亏问题 第四十周数学开放题 第1讲找规律(一) 一、知识要点 观察是解决问题的根据。通过观察,得以揭示出事物的发展和变化规律,在一般情况下,我们可以从以下几个方面来找规律: 1.根据每组相邻两个数之间的关系,找出规律,推断出所要填的数; 2.根据相隔的每两个数的关系,找出规律,推断出所要填的数; 3.要善于从整体上把握数据之间的联系,从而很快找出规律; 4.数之间的联系往往可以从不同的角度来理解,只要言之有理,所得出的规律都可以认为是正确的。 二、精讲精练 【例题1】先找出下列数排列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。 1,4,7,10,(),16,19 【思路导航】在这列数中,相邻的两个数的差都是3,即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律,括号里应填的数为:10+3=13或16-3=13。 像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。 练习1:先找出下列各列数的排列规律,然后在括号里填上适当的数。 (1)2,6,10,14,(),22,26 (2)3,6,9,12,(),18,21 (3)33,28,23,(),13,(),3 (4)55,49,43,(),31,(),19 (5)3,6,12,(),48,(),192 (6)2,6,18,(),162,() (7)128,64,32,(),8,(),2

高中理科数学-计数问题(排列组合)

理科数学复习专题统计与概率 排列组合 一.基本计数原理 1.加法原理:做一件事有n类办法,完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n步完成,完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注:要求做一件事有多少种方法,一般先分类,再分步。 例:用ABCD四个字母和1-9九个数字中各取一个给教室的座位编号,可以编出几种号码? 练:从3名老师,8名男生,5名女生中选人参加活动。 (1)活动只需一人参加,有几种选法? (2)活动需一名老师,一名男生,一名女生参加,有几种选法? (3)活动需一名老师,一名学生参加,有几种选法? 题型总结 ※重排问题(元素可以重复选取) 例:(1)将5本书分给3个不同的学生,有几种分法? (2)将3个人分到5个不同的车间工作,有几种分法? 练:甲、乙、丙、丁争夺数、物、化三门学科的冠军,每门学科一名冠军,可能出现几种结果? ※组数问题(特殊位置、特殊元素优先考虑) 例:(1)用1、2、3、4、5可以组成多少个四位偶数? (2)用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数? (3)用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?

C B A D ※选取问题(优先安排“全能者”) 例:艺术小组共有9人,每人至少会钢琴和小号一种乐器,其中会钢琴的有7人,会小号的有3人。从中选一人参加钢琴比赛,一人参加小号比赛。总共有几种选取方案? 练:艺术小组共有9人,只会钢琴有5人,只会小号有2人,全能的有2人,从中选一个参加钢琴比赛,一个参加小号比赛。总共有几种选取方案? ※涂色问题 例:将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图的五个区域内,要求相 邻的两个区域颜色都不相同,则有几种不同的涂色方法 练:如图,一环形花坛分成A,B,C,D 四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数是_______ 二、排列: 例:从甲、乙、丙3个人中选2个人打扫卫生,1个上午,1个下午,几种选法? 总结:从n 个元素中选出m 个进行排列,总共有几种选法? 1. 排列的概念:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序..... 排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.... 【说明】排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; 2.排列数的定义:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号m n A 表示 注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指:从n 个不同元素中,任取m 个

2019-2020学年高中数学 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案 新人教A版选修2-3.doc

2019-2020学年高中数学 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数 原理学案 新人教A 版选修2-3 学习内容 学习指导即时感悟 【学习目标】 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理;会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题; 2.培养学生的归纳概括能力。 3.引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。 【学习重点】会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题。 【学习难点】理解分类计数原理与分步计数原理。 学习方向 【预习引入】 1.分类计数原理:完成一件事, 有n 类方式, 在第一类方式,中有m 1种不同的方法,在第二类方式,中有m 2种不同的方法,……,在第n 类方式,中有m n 种不同的方法. 那么完成这件事共N= 种不同的方法. 2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n 个 ,做第1步有m 1种不同的方法,做第2步有m 2种不同的方法,……,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法。 创设情景: ①从我们班上推选出两名同学担任班长,有多少种不同的选法? ②把我们的同学排成一排,共有多少种不同的排法? 要解决这些问题,就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说,就是研究按某一规则做某事时,一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时,经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课,我们从具体例子出发来学习这两个原理. 【自主﹒合作﹒探究】 问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码? 问题2:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.如果一天中火车有3班,汽车有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 发现新知:分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中 有m 种不同的方法,在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共 有 种不同的方法. 探究1:如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有1m 种不同的方法,在第2类方案中有2m 种不同的方法,在第3类方案中有3m 种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法。 引入新知 合作探究

数字电路设计--------二十四进制计数器

数字电路设计 姓名:*** 学号:****************** 班级:电信111 专业:电子信息科学与技术 一.设计题目 二十四进制计数器的设计 二.设计要求 (1)要求学生掌握74系列的芯片和LED的原理和使用方法。 (2)熟悉集成电路的使用方法,能够运用所学的知识设计一规定的电路。三.设计任务 (1)完成一个二十四进制的计数器。 (2)LED显示从00开始,各位计数从0—9,逢10 进1,是为计数0—5。23显示后,又从00重新开始计数。 四.设计思路与原理 (一)设计思路框图 →→→ → (二)LED简介 LED是一种显示字段的显示器件,7个发光二极管构成七笔字形“8”,一个发光二极管构成小数点。七段发光管分别称为a、b、c、d、e、f,g,构成字型“8”,如图(a)

所示,当在某段发光二极管上施加一定的电压时,某些段被点亮发光。不加电压则变暗,为了保护各段LED不被损坏,需外加限流电阻。 其真值表如下:

(三)原件总汇表:计数器74LS00D(U7A,U7B),74HC390N-6V(U3A,U6A),74LS47N(U1,U5);与门:时钟脉冲:显示器:发光二极管:电感:电容:电源 五.电路图仿真 二十四进制计数器电路仿真

六.心得体会 通过这一次的数字电路设计,是我更深的了解到了数字电路的基础知识,电路分析与计算的方法。利用仿真软件对电路进行一系列的分析仿真,更加抽象的将理论知识与实际电路结合在一起,加深了对数电一些基本定理的理解与运用。虽然在这学期中,数字电子技术基础学的不是很好,但是在这次的课程设计中通过同学的帮组还是完成了。虽然做的不是很好,但是从中也让我明白了:要想做好这个课程设计,就必须认认真真地去做,不要怕麻烦,遇到不懂的问题就要主动去问同学或者老师。和查阅材料,保持着一个积极向上的心态,发挥我们自己的主观能动性和创造了才能让我们做的更好。在这次课程设计中让我学到了很多东西,在经过我们一个学期的数字电子技术基础课后,我们已经对数字电子技术有一定的了解,让我们有了一定的基础可以独立完成数字电子技术基础课程设计了,不过当中还是遇到许多不懂的问题。

小学思维数学讲义:容斥原理之重叠问题(二)-含答案解析

容斥原理之重叠问题(二) 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容; 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用. 一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积. 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来,加在一起); 第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数). 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下: 在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考. 教学目标 例题精讲 知识要点 1.先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次; 2.再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去. 图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数, 大圆表示C 的元素的个数. 1.先包含:A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次,多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次,但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了. 3.再包含:A B C A B B C A C A B C ++---+.

基本计数原理教学设计

《基本计数原理》教学设计 北京市怀柔区第一中学李悦 一、指导思想与理论依据 1.指导思想 本节课是在新课程理念指导下的教学探究活动。探究活动坚持面向全体学生,有计划的逐步展示问题的解决过程,使学生的思维逐步深化。注意引导学生主动的探索,强调活动的内化,树立正确的数学观。 2.理论依据 (1)新课标理念下关于概念学习的教学理论。 (2)新课标理念下关于教师教育教学的理论。 (3)现代认知主义学习理论和建构主义学习理论等。 二、教学背景分析 1.教学内容分析 本节课的内容是人教社B版普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2-3)第一章《计数原理》的第一节《基本计数原理》。内容主要为两个计数原理。两个计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法。在面对一个复杂的计数问题时,通过分类或分步将它分解为若干个简单计数问题,在解决这些简单问题的基础上,将它们整合起来而得到原问题的答案,可以达到以简驭繁、化难为易的效果。 教材开篇在列举一些贴近生活的典型实例的基础上,用明确的语言指出了两个计数原理与加法、乘法运算之间的关系,并提出“不通过一个一个地数而确定这个数”的问题,从而使学生体会学习计数原理的必要性。由于两个计数原理的这种基础地位,并且在应用它们解决问题时具有很大的灵活性,是训练学生推理技能的好素材。 2.学生情况分析 本节课的授课对象是我区普通高中的学生。在知识内容上,已在初中学习过列举法、树状图,并会用这些知识解决一些简单事件的概率问题。在能力层次上,也具有一定的自主探究、观察、归纳总结的能力,他们的思维活跃,富有挑战性。学生在学习本课内容时可能会遇到以下两个困难,一个是对两个计数原理的特征理解不能深刻,因而导致不知如何判断什么是一件事;另一个是分不清两个计数原理,在解决问题时不知怎么完成这件事。 3.教学方式与教学手段说明

1.1基本计数原理

《计数原理》预习学案 编制:王礼堂2013.1.28 一、课前新知初探 (1)学习目标 1.通过实例,总结出分类计数原理、分步计数原理; 2. 了解分类、分步的特征,合理分类、分步; 3. 体会计数的基本原则:不重复,不遗漏. (2)自主预习 (1)分类加法计数原理: 计算公式: (2)分步乘法计数原理: 计算公式:: (3)思考探究 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的有哪些异同点? 共同点: 不同点: 二、课堂互动探究 (1)课堂提问 (1)从潍坊到北京,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘飞机,假定火车每日3.班,汽车每日4班,飞机每日2班,那么一天中从潍坊到北京 可以有多少种走法? (2)加工一种零件有3道工序,第一道工序有3种方法,第二道工序有2种 方法,第三道工序有3种方法,那么加工这种零件共有多少种方法?(2)课内探究 探究任务一:分类计数原理 问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的座位编号,总共能编出多少种不同的号码? 分析:给座位编号的方法可分____类方法? 第一类方法用,有___ 种方法; 第二类方法用,有___ 种方法; ∴能编出不同的号码有__________ 种方法 试试:一件工作可以用2种方法完成,有5人只会用第1种方法完成,另有4人只会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这项工作,不同选法的种数是 . 反思:使用分类计数原理的条件是什么?分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗?

班级 姓名 学号 小组 探究任务二:分步计数原理 问题2:用前六个大写的英文字母和1~9九个阿拉伯数字,以,,,,,2121B B A A ???…的方式给教室的座位编号,总共能编出多少种不同的号码? 分析:每一个编号都是由 个部分组成,第一部分是 ,有____种编法, 第二部分是 ,有 种编法;要完成一个编号,必须完成上面两部分,每一部分就是一个步骤,所以,不同的号码一共有 个. 试试:从A 村去B 村的道路有3条,从B 村去C 村的道路有2条,从A 村经B 村去C 村,不同的路线有 条. 反思:使用乘法原理的条件是什么?分步乘法原理可以推广到两步以上的问题吗? (3)典例剖析 例1现有高一学生代表3名,高二学生代表5名,高三学生代表2名: (1) 从中任选1人担任校学生会主席,共有多少种不同的选法? (2) 从每个年级的代表中各选1人,由选出的三个人组成校学生会主席团, 共有多少种不同的选法? (3) 从高一年级和高二年级的学生代表中各选一人,与高三年级2名学生代 表,共4人组成校学生会主席团,共有多少种不同的选法? 小结: (1)要弄清两个原理的条件和结论。 (2)要弄清是“分类”还是“分步”还是既有“分类又有分步” 变式:有4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中的一个运动队,不同的报名种数是 . 例2由数字0,1,2,3,这四个数字,可组成多少个: (1) 无重复数字的三位数? (2) 可以有重复数字的三位数? (3) 无重复数字的3位偶数?

四年级奥数第一讲_图形的计数问题

第一讲图形的计数问题 一、知识点: 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序,而且要数的对象通常是重叠交错的,要准确计数就需要一些智慧了.实际上,图形计数问题,通常采用一种简单原始的计数方法-一枚举法.具体而言,它是指把所要计数的对象一一列举出来,以保证枚举时无一重复、.无一遗漏,然后计算其总和.正确地解答较复杂的图形个数问题,有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯. 二、典例剖析: 例(1)数出右图中总共有多少个角 分析:在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3,∠AOB被这三条角分线分成4个基本角,那么∠AOB内总共有多少个角呢?首先有这4个基本角,其次是包含有2个基本角组成的角有3个(即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB),然后是包含有3个基本角组成的角有2个(即∠AOC3、∠C1OB),最后是包含有4个基本角组成的角有1个(即∠AOB),所以∠AOB内总共有角: 4+3+2+1=10(个) 解:4+3+2+1=10(个) 答:图中总共有10个角。 方法2:用公式计算:边数×(边数—1)÷2 5×(5-1)÷2=10 练一练: 数一数右图中总共有多少个角?

例(2 )数一数共有多少条线段?共有多少个三角形? 分析:①要数多少条线段:先看线段AB、AD、AE、AF、AC纵向线段,再看BC、MN、GH 这3条横向线段: (4×3÷2)×5+(5×4÷2)×3=60(条) ②要数有多少个三角形,先看在△ABC中,被GH和MN分成了三层,每一层的 三角形一样多,所以只要算出一层三角形个数就可以了。 (5×4÷2) ×3=30(个) 答:在△ABC中共有线段60条,共有三角形30个。 练一练: 图中共有多少个三角形? 例(3)数一数图中长方形的个数 分析:长边线段有:6×5÷2=15 宽边线段有: 4×3÷2=6 共有长方形:15×6 = 90(个) 答:共有长方形90个。

计数问题与排列组合问题

计数问题与排列组合问题 一、北京考题特征分析: (05)北京《财富》全球论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚 三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为 ( ) A .4841212 14C C C B .4841212 14A A C C .33484121214A C C C D .33 484121214A C C C 分步计数原理,易错选D. 这种错点训练应当从怎样算完成一件事情分析起,对于错的应当举例说明为什么错. (06年未考) (07理)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不 排在两端,不同的排法共有( ) A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种 以相邻与位置受限相结合(两个条件)基础,有原型略高于简单原型 启发:对基本型适度组 合命题 (07文)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的 牌照号码共有( ) A.()2142610C A 个 B.242610A A 个 C.()2142610C 个 D.242610A 个 考察分步计算原理与可重复,不可重复问题结合,考察全面,学生审题能力. (08年未考) 但在概率解答题中涉及到. (09理)7.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( ) A .324 B .328 C .360 D .648 (2010年)(4)8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为 (A )8289A A (B )8289A C (C ) 8287A A (D )8287A C (2011年) (12)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 __________个。(用数字作答) 北京的考题的确重在凸现两个基本原理,在每一类或是每一步计数考虑正确用排列数或 是组合数来表示。教学时始终抓住完成一件事情需要分为几类或是几步来完成. 教学时注意控制层次,首先学生要能列出符合条件的,不重不漏的列出;能够正确的用 排列数、组合数来表示一个计数问题.

《计数原理》一轮复习学案

《计数原理》一轮复习学案2017.12 一.知识梳理 1.分类计数原理(也称加法原理):做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有m 1种不同的方法,在第二类办法中有m 2种不同的方法,……,在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = 种不同的方法. 2.分步计数原理(也称乘法原理):做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,……,做n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = 种不同的方法. 二.基础自测 1.如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 种(用数字作答). 2.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不 同的分配方案有 种(用数字作答). 3. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若 每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 4. 甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 5.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上,若每级台阶最多站人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答). 三.典例剖析 例1. 已知集合M ={-3,-2,-1,0,1,2},P (a ,b )表示平面上的点(a ,b ∈M ),问: (1)P 可表示平面上多少个不同的点? (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点? (3)P 可表示多少个不在直线y =x 上的点? 1.(2016·深圳调研考试)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数” (如2 013是“六合数”),则首位为2的“六合数”共有( ) A .18个 B .15个 C .12个 D .9个 2. 用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A .324 B .328 C .360 D .648 37 2

数字电路实验 计数器的设计

数字电路与逻辑设计实验报告实验七计数器的设计 姓名:黄文轩 学号:17310031 班级:光电一班

一、实验目的 熟悉J-K触发器的逻辑功能,掌握J-K触发器构成异步计数器和同步计数器。 二、实验器件 1.数字电路实验箱、数字万用表、示波器。 2.虚拟器件: 74LS73,74LS00, 74LS08, 74LS20 三、实验预习 1. 复习时序逻辑电路设计方法 ①根据设计要求获得真值表 ②画出卡诺图或使用其他方式确定状态转换的规律 ③求出各触发器的驱动方程 ④根据已有方程画出电路图。 2. 按实验内容设计逻辑电路画出逻辑图 Ⅰ、16进制异步计数器的设计 异步计数器的设计思路是将上一级触发器的Q输出作为下一级触发器的时钟信号,置所有触发器的J-K为1,这样每次到达时钟下降沿都发生一次计数,每次前一级 触发器从1变化到0都使得后一级触发器反转,即引发进位操作。 画出由J-K触发器组成的异步计数器电路如下图所示:

使用Multisim仿真验证电路正确性,仿真图中波形从上到下依次是从低位到高位 触发器的输出,以及时钟信号。: 可以看出电路正常执行16进制计数器的功能。 Ⅱ、16进制同步计数器的设计 较异步计数器而言,同步计数器要求电路的每一位信号的变化都发生在相同的时间点。

因此同步计数器各触发器的时钟脉冲必须是同一个时钟信号,这样进位信息就要放置在J-K 输入端,我们可以把J-K端口接在一起,当时钟下降沿到来时,如果满足进位条件(前几位触发器输出都为1)则使JK为1,发生反转实现进位。 画出由J-K触发器和门电路组成的同步计数器电路如下图所示 使用Multisim仿真验证电路正确性,仿真图中波形从上到下依次是从低位到高位触发器的输出,计数器进位输出,以及时钟信号。:

小学奥数举一反三(四年级)1-40

四年级数学奥数培训资料姓名:__________________ 小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全 目录 第1讲找规律(一) 第2讲找规律(二) 第3讲简单推理 第4讲应用题(一) 第5讲算式谜(一) 第6讲算式谜(二) 第7讲最优化问题 第8讲巧妙求和(一) 第9讲变化规律(一) 第10讲变化规律 第11讲错中求解 第12讲简单列举 第13讲和倍问题 第14讲植树问题 第15讲图形问题 第16讲巧妙求和 第17讲数数图形 第18讲数数图形 第19讲应用题 第20讲速算与巧算 第21讲速算与巧算(二) 第22讲平均数问题 第23讲定义新运算 第24讲差倍问题 第25讲和差问题 第26周巧算年龄 第二十七周较复杂的和差倍问题 第二十八周周期问题 第二十九周行程问题(一) 第三十周用假设法解题 第三十一周还原问题 第三十二周逻辑推理 第三十三周速算与巧算(三) 第三十四周行程问题(二) 第三十五周容斥原理 第三十六周二进制 第三十七周应用题(三) 第三十八周应用题(四) 第三十九周盈亏问题 第四十周数学开放题

第1讲找规律(一) 一、知识要点 观察是解决问题的根据。通过观察,得以揭示出事物的发展和变化规律,在一般情况下,我们可以从以下几个方面来找规律: 1.根据每组相邻两个数之间的关系,找出规律,推断出所要填的数; 2.根据相隔的每两个数的关系,找出规律,推断出所要填的数; 3.要善于从整体上把握数据之间的联系,从而很快找出规律; 4.数之间的联系往往可以从不同的角度来理解,只要言之有理,所得出的规律都可以认为是正确的。 二、精讲精练 【例题1】先找出下列数排列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。 1,4,7,10,(),16,19 【思路导航】在这列数中,相邻的两个数的差都是3,即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律,括号里应填的数为:10+3=13或16-3=13。 像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。 练习1:先找出下列各列数的排列规律,然后在括号里填上适当的数。 (1)2,6,10,14,(),22,26 (2)3,6,9,12,(),18,21 (3)33,28,23,(),13,(),3 (4)55,49,43,(),31,(),19 (5)3,6,12,(),48,(),192 (6)2,6,18,(),162,() (7)128,64,32,(),8,(),2 (8)19,3,17,3,15,3,(),(),11,3.. 【例题2】先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。1,2,4,7,(),16,22 【思路导航】在这列数中,前4个数每相邻的两个数的差依次是1,2,3。由此可以推算7比括号里的数少4,括号里应填:7+4=11。经验证,所填的数是正确的。 应填的数为:7+4=11或16-5=11。 练习2:先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。 (1)10,11,13,16,20,(),31 (2)1,4,9,16,25,(),49,64 (3)3,2,5,2,7,2,(),(),11,2 (4)53,44,36,29,(),18,(),11,9,8 (5)81,64,49,36,(),16,(),4,1,0 (6)28,1,26,1,24,1,(),(),20,1 (7)30,2,26,2,22,2,(),(),14,2 (8)1,6,4,8,7,10,(),(),13,14 【例题3】先找出规律,然后在括号里填上适当的数。 23,4,20,6,17,8,(),(),11,12

竞赛中的组合计数问题和概率

组合计数问题和概率 组合计数问题是教学竞赛中常见的一类问题,也是数学竞赛中与实际生活联系最为直接的内容。计数问题的顺利解决会给其他排列组合问题的解决打下竖实的基础。概率作为新增内容,拓展了排列组合的研究和应用的领域。实则是以排列组合为基础的内容,所以概率的考查通常与计数问题联系在一起,既要用到排列组合的知识来解答,也要用到排列、组合的解题思路。解组合计数问题的基本方法有枚举法和利用基本计数原理及基本公式、映射方法、算二次方法、递推方法、容斥原理等,其中蕴含的数学思想有分类讨论的思想、化纳和转化的思想、函数与方程的思想等重要的数学思想。 例1. (2004年全国高中联赛题)设三位数为abc n =,若以a ,b ,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有 A .45个 B .81个 C .165个 D .216个 解:选C 。理由:a , b , c 要构成三角形边长,显然不为零,即a , b , c ∈{1, 2, 3, …, 9}。 (1)若构成等边三角形,则c b a ==可取{1, 2, …, 9}中任何一个值,所以这样的三位数的个数为 91 91==C n 。 (2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三角形个数为n 2,且等腰三角形的三边长为a 1, b 1=c 1。当111c b a =<时,即腰大于底边时,等腰(非等边)三角形由数组(a 1, b 1)惟一确定,有29C 个;当111c b a =>时,即腰小于底边时,这时数组(a 1, b 1)有29C 个,但必须1112b a b <<才能构成三角形。而不能构成三角形的组数(a 1, b 1)是 共20种情况,故这时等腰(非等边)三角形只有2039-C 个。 同时,每个数组(a 1, b 1)可形成23C 个三位abc ,故156)20(2929232=-+=C C C n 。 综上,16521=+=n n n ,故选C 。 评注:本题综合运用了枚举法和基本计数原理。列表枚举和树图枚举看似复杂,但在很多题中能起到意想不到的作用,有时不防一试。 例2.设p ,q 为给定的正整数,q p n 32?=,求2n 的正约数中小于n 且不是n 的约数的正整数的个数(当31=p ,19=q 时,本题为美国第13届邀请赛题)。 解:因为2n 的正约数都具有形式:p d 21(32≤≤?=αβα,)20q ≤≤β,要求从中找出使得p ≤≤α0, q ≤≤β0不同时成立,并且小于 n 的所有d 的个数。 令p p X 2|32{≤

分类计数原理与分步计数原理教学设计

分类计数原理与分步计数原理

课题: 分类计数原理与分步计数原理 教材分析: 《分类计数原理与分步计数原理》,是高中数学第十章排列、组合的第一节课,是排列、组合的基础,学生对这两个原理的理解、掌握和运用,是学好本章的一个关键。 教学目标: 知识与技能目标: 准确理解两个原理,弄清它们的区别,培养学生分析问题、理解问题、归纳问题的能力 过程与方法目标: 通过例题让学生理解两个计数原理,并能够将两个技术原理应用到实际问题中去。 情感、态度与价值观目标: 培养学生勇于探索、勇于创新的精神,面对现实生活中复杂的事物和现象,能够作出正确的分析,准确的判断,进而拿出完善的处理方案,提高实际的应变能力。 教学重点: 分类计数原理和分步计数原理内容及两者的区别 教学难点: 对较为复杂事件的分类和分步 教学方法: 启发引导式教学 教具准备: 作图工具 课型: 新授课 教学过程: 问题引入一 问题1从芜湖到合肥,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。假若一天中,火车有4班, 汽车有20班,轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析:从甲地到乙地有3类方法,

第一类方法, 乘火车,有4种方法; 第二类方法, 乘汽车,有20种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以从甲地到乙地共有4+20+3=27种方法。 问题 2 在全班同学中选出一名同学做班长,有多少种选择? 新知探究一 分类计数原理:如果计数的对象可以分成若干类,使得每两类没有公共元素,那么分别对每一类里的元素计数,然后把各类的元素数目相加,便得出所要计数的对象的总数。 说明: (1)各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事,要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理。 (2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准,在分类标准下进行分类,然后对每类方法计数。 例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A 大学有5个自己感兴趣的强项专业,B 大学有4个自己感兴趣的强项专业,如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢? 解:根据分类计数原理:这名同学可能的专业选择共有5+4=9种。 问题引入二 问题3 如图,假设由芜湖去巢湖的道路有3条,由巢湖去合肥的道路有2条。从芜湖经巢湖去合肥,共有多少种不同的走法? 分析: 芜湖经巢湖去合肥有2步, 第一步, 由芜湖去巢湖有3种方法, 第二步, 由巢湖去合肥有2种方法, 所以芜湖经巢湖去合肥共有3×2=6种不同的方法。 问题 4 在全班每个组中都选出一名同学做组长,有多少种选择? 新知探究二 分步计数原理:如果计数的对象可以分成若干步骤来完成, 并且对于前面几芜湖北 南 北

计数问题竞赛讲义题一

计数问题竞赛讲义一 一.分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事情,有n 类不同方案,在第1类方案中有1m 种不同的方法,在第2类方案中有2m 种不同的方法……在第n 类方案中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +???++=21种不同的方法. 说明:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2.分步乘法计数原理 完成一件事情,需要n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ??????=21种不同的方法. 说明:分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事. 3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成. 4.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点: ①首先要确定“完成一件什么事”,然后确定怎样去完成?(即需要“分类”还是“分步”) ②分类加法计数原理:首先确定分类标准,其次要保证分类时做到“不重不漏”。分步乘法计数原理:首先确定分步标准,其次要保证“步骤完整”,即必须并且只需连续完成这n 个步骤,这件事才算完成. 【例题选讲】 例1 .在1~20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 使其和大于20的不同取法又共有多少种? 例2.75600有多少个正约数?有多少个奇约数? 例3.(排数问题)用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1) 可以组成多少个数字不重复的三位数? (2) 可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3) 可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数? (4) 可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数? (5) 可以组成多少个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数? 例4.(1)集合A },,,,{321n a a a a =的子集有多少个?为什么? (2)设B A ,,) (k i A i ≤≤1为集合, ①满足}{b a B A ,= 的集合有序对(A ,B )有 对?为什么? ②满足}{321n a a a a B A ,,,=的集合有序对(A ,B )有 对?为什么? ③满足}{32121n k a a a a A A A ,,,=的集合有序组},,,(21k A A A 有 组?为什么? 例5.(染色问题)将4种不同的颜色涂在下列图中的区域上,每一个区域涂一种颜色,相邻区域涂不同颜色,则不同的涂法种数各有多少? 分析:对每一块区域逐一涂色:第一块:有4种颜色选择;第二块有3种;第三块有2种;第四块有2种,只有四块区域全涂完这件事情才算完成了,所以涂色种数为:482234=??? 你还有别的解答方法吗?(能否从颜色的角度入手考虑?) ①用4色:共有241234=???(种); ②用3色:共有24234=??(种); 所以一共有482424=+(种) 变式: (1)如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上5种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为

相关文档