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2018年高考文科数学分类汇编专题八立体几何

《2018年高考文科数学分类汇编》

第八篇:立体几何

一、选择题

1.【2018全国一卷5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为

A .122π

B .12π

C .82π

D .10π

2.【2018全国一卷9】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为

A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为

B ,则在

此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .172

B .52

C .3

D .2

3.【2018全国一卷10】在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?,则该长方体的体积为 A .8

B .62

C .82

D .83

4.【2018全国二卷9】在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1CC 的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为

A .

2

B .

3 C .

5 D .

7

5.【2018全国三卷3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

2018年高考文科数学分类汇编专题八立体几何

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6.【2018全国三卷12】设A B C D ,,,是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等

边三角形且其面积为93,则三棱锥D ABC 体积的最大值为

A .123

B .183

C .243

D .543

7.【2018北京卷6】某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

俯视图

正视图

2

21

1

第7题图 第8题图

8.【2018浙江卷3】某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:cm 3)是 A .2

B .4

C .6

D .8

9.【2018浙江卷8】已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上

的点(不含端点),设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S?AB?C的平面角为θ3,则

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1 10.【2018上海卷15】《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂

直于底面的四棱锥为阳马.设AA?是正六棱柱的一条侧棱,如图,若

阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA?为底面矩形的一边,则这样

的阳马的个数是()

(A)4 (B)8(C)12 (D)16

二、填空题

1.【2018全国二卷16】已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成

△的面积为8,则该圆锥的体积为__________.

角为30 ,若SAB

2.【2018天津卷11】如图,已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________.

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3.【2018江苏卷10】如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.

三、解答题

1.【2018全国一卷18】如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC

为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ;

(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,

且2

3

BP DQ DA ==,求三棱锥Q ABP -的体积.

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2.【2018全国二卷19】如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.

(1)证明:PO ⊥平面ABC ;

(2)若点M 在棱BC 上,且2MC MB =,求点C 到平面POM 的距离.

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3.【2018全国三卷19】如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD

上异于C,D的点.

(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;

(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.

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4.【2018北京卷18】如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.

(Ⅰ)求证:PE⊥BC;

(Ⅱ)求证:平面PAB⊥平面PCD;

(Ⅲ)求证:EF∥平面PCD.

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5.【2018天津卷17】如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=3,∠BAD=90°.

(Ⅰ)求证:AD⊥BC;

(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;

(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

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6.【2018江苏卷15】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1111,AA AB AB B C =⊥.

求证:(1)AB ∥平面11A B C ;

(2)平面11ABB A ⊥平面1A BC .

7.【2018江苏卷22(附加题)】如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AA 1=2,点P ,Q 分别为A 1B 1,BC 的中点.

(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值; (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.

8.【2018浙江卷19】如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,

C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,

AB=BC=B1B=2.

(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1;

(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.

9.【2018上海卷17】已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;

(2)设PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M 为线段AB的中点,如图,求异面直线PM与OB所成的角的大小.

参考答案

一、选择题

1.B

2.B

3.C

4.C

5.A

6.B

7.C

8.C

9.D 10.D 二、填空题 1.π8 2.

3

1 3.4

3

三、解答题

1.解:(1)由已知可得,BAC ∠=90°,BA AC ⊥.

又BA ⊥AD ,所以AB ⊥平面ACD . 又AB ?平面ABC , 所以平面ACD ⊥平面ABC .

(2)由已知可得,DC =CM =AB =3,DA =32.

又2

3

BP DQ DA ==

,所以22BP =. 作QE ⊥AC ,垂足为E ,则QE

=1

3

DC . 由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ,所以QE ⊥平面ABC ,QE =1. 因此,三棱锥Q ABP -的体积为

111

1322sin 451332

Q ABP ABP V QE S -=??=?????=△.

2解:(1)因为AP =CP =AC =4,O 为AC 的中点,所以OP ⊥AC ,且OP =23.

连结OB .因为AB =BC =

2

AC ,

所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB =12AC =2. 由222OP OB PB +=知,OP ⊥OB . 由OP ⊥OB ,OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC .

(2)作CH ⊥OM ,垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ,所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.

由题设可知OC =12AC =2,CM =23BC =42

,∠ACB =45°.

所以OM =

25

,CH =sin OC MC ACB OM ??∠=45.

所以点C 到平面POM 的距离为

45

3.解:(1)由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .

因为BC ⊥CD ,BC ?平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .

因为M 为CD 上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM .

又BC ∩CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM ?平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时,MC ∥平面PBD .

证明如下:连结AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形,所以O 为AC 中点. 连结OP ,因为P 为AM 中点,所以MC ∥OP . MC ?平面PBD ,OP ?平面PBD ,所以MC ∥平面PBD .

4.解:(Ⅰ)∵PA PD =,且E 为AD 的中点,∴PE AD ⊥.

∵底面ABCD 为矩形,∴BC AD ∥, ∴PE BC ⊥.

(Ⅱ)∵底面ABCD 为矩形,∴AB AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ,∴AB ⊥平面PAD . ∴AB PD ⊥.又PA PD ⊥,

∴PD ⊥平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PCD . (Ⅲ)如图,取PC 中点G ,连接,FG GD .

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∵,F G 分别为PB 和PC 的中点,∴FG BC ∥,且1

2

FG BC =. ∵四边形ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点, ∴1

,2

ED BC DE BC =

∥, ∴ED FG ∥,且ED FG =,∴四边形EFGD 为平行四边形, ∴EF GD ∥.

又EF ?平面PCD ,GD ?平面PCD , ∴EF ∥平面PCD .

5.解:(Ⅰ)证明:由平面ABC ⊥平面ABD ,平面ABC ∩平面ABD =AB ,AD ⊥AB ,可得AD ⊥平面ABC ,故AD ⊥BC .

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(Ⅱ)解:取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.

在Rt△DAM中,AM=1,故DM22=13

AD AM

+AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN22=13

AD AN

+

在等腰三角形DMN中,MN=1,可得

1

13

2

cos

MN

DMN

DM

∠==.

所以,异面直线BC与MD

13

(Ⅲ)解:连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM3又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM?平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.

在Rt△CAD中,CD22

AC AD

+.

在Rt△CMD中,

3

sin

CM

CDM

CD

∠==.

所以,直线CD与平面ABD

3

6.证明:(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.

因为AB?平面A1B1C,A1B1?平面A1B1C,

所以AB ∥平面A 1B 1C .

(2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABB 1A 1为平行四边形.

又因为AA 1=AB ,所以四边形ABB 1A 1为菱形, 因此AB 1⊥A 1B .

又因为AB 1⊥B 1C 1,BC ∥B 1C 1, 所以AB 1⊥BC .

又因为A 1B ∩BC =B ,A 1B ?平面A 1BC ,BC ?平面A 1BC , 所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1?平面ABB 1A 1, 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .

7.解:如图,在正三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中,设AC ,A 1C 1的中点分别为O ,O 1,则OB ⊥OC ,OO 1⊥OC ,OO 1⊥OB ,以1,{},OB OC OO 为基底,建立空间直角坐标系O ?xyz .

因为AB =AA 1=2,

所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --.

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(1)因为P 为A 1B 1的中点,所以31

(

,2)2

P -, 从而131

(,,2)(0,2,22

),BP AC ==-

-, 故111||310

|cos ,|||||

522

BP AC BP AC BP AC ?=

==

??. 因此,异面直线BP 与AC 1310

. (2)因为Q 为BC 的中点,所以31

(

,0)2

Q , 因此33

(

,0)2

AQ =,11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==. 设n =(x ,y ,z )为平面AQC 1的一个法向量, 则10,

0,AQ AC ??????=?=n n 即330,2220.

y y z +=?+=? 不妨取(3,1,1)=-n ,

设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ,

则111||5

sin |cos |,|||52

CC CC CC |

θ==

???==

n n n

所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为5.

8.解:方法一:

(Ⅰ)由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得11122

AB A B ==,所以2221111A B AB AA +=.

故111AB A B ⊥.

由2BC =,112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥得115B C =, 由2,120AB BC ABC ==∠=?得23AC =,

由1CC AC ⊥,得113AC =,所以222

1111AB B C AC +=,故111AB B C ⊥.

因此1AB ⊥平面111A B C .

(Ⅱ)如图,过点1C 作111C D A B ⊥,交直线11A B 于点D ,连结AD .

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由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ,

由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ,

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111

111111

5,22,21

BC A B AC

===得

111111

61

cos,sin

77

C A B C A B

∠=∠=,

所以

1

3

C D=,故1

1

1

39

sin

13

C D

C AD

AC

∠==.

因此,直线1

AC与平面

1

ABB所成的角的正弦值是39

13

.

方法二:

(Ⅰ)如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.

由题意知各点坐标如下:

111

(0,3,0),(1,0,0),(0,3,4),(1,0,2),(0,3,1),

A B A B C

--

因此

11111

(1,3,2),(1,3,2),(0,23,3),

AB A B AC

==-=-

111

AB A B

?=得111

AB A B

⊥.

111

AB AC

?=得111

AB AC

⊥.

所以1

AB⊥平面

111

A B C.

11由(Ⅰ)可知11(0,23,1),(1,3,0),(0,0,2),AC AB BB === 设平面1ABB 的法向量(,,)x y z =n .

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由10,0,AB BB ??=???

=??n n 即0,20,x z

?+=??=?

?可取(=

n .

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所以111|sin |cos ,||||AC AC AC θ?==

=

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?n |n n |

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因此,直线1AC 与平面1ABB

9.解:(1)依题意可知:圆锥的高度为

3

22422=-=OP ,

所以其体积为:πππ33

8322313122=???==

h r V 。 (2)依题意可知:⊥OP 平面OAB ,则OA OP ⊥,OB OP ⊥。

90=∠AOB ,则OB OA ⊥,即OA 、OB 、OP 两两相互垂直。

所以可以以点O 为原点,分别以OA 、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系。则)0,0,2(A ,)0,2,0(B ,)4,0,0(P

M 为线段AB 中点,)0,1,1(M ∴,)4,1,1(-=∴

,)0,2,0(=。

则直线PM 与OB 的夹角的余弦值为:

62

4

16112cos =?++=

=

θ,

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解得:6

2arccos

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