专题：二次函数中的动点问题2(平行四边形存在性问题)

y

x O

二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题

一、技巧提炼

2

a ＞0

a ＜0

图 象

开 口 对 称 轴 顶点坐标

最 值

当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减性

在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧

y 随x 的增大而

y 随x 的增大而

2、平行四边形模型探究

如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。

A

B

C x

y

图1 图2

如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l 2:

当l 1 ∥l 2时k 1= k 2; 当l 1 ⊥l 2时k 1·k 2= -1 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算

二、精讲精练

1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1）

（1）求抛物线的解析式；

（2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

二次函数-平行四边形存在性问题

专题：二次函数中的平行四边形存在性问题 类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 1．已知，如图抛物线2 3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2、练习如图，抛物线：c bx x y ++=22 1与x 轴交于A、B（A 在B 左侧），顶点为C（1，﹣2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B 的坐标； （2）求过A、B、C 三点的圆的半径； （3）在抛物线上找点P，在y 轴上找点E，使以A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E 的坐标。 1．如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行 四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

二次函数平行四边形存在性问题例题

二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点

分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，

平行四边形的存在性问题

平行四边形的存在性问题 【真题典藏】 1.（2008年青浦区第24题）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，正比例函数kx y =（x 为自变量）的图像与双曲线x y 2 - =交于点A ，且点A 的横坐标为2-． （1）求k 的值． （2）将直线kx y =（x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、 C ，如点 D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点P ，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形． 图1 图2 2.（2009年普陀区第25题）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2， 0）、（1，33）. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322 -=经 过点A ，点D 是该抛物线的顶点. （1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求a 的值并说明点B 在抛物线上； （3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD ＝∠OAB ，求点P 的坐标； （4）若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标． 3．（2010年上海市第24题）参见《考典40 几何计算说理与说理计算问题》第3题． 4．（2011年上海市第24题）已知平面直角坐标系xOy （如图3），一次函数3 34 y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数3 2 y x = 的图像上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ． （1）求线段AM 的长； （2）求这个二次函数的解析式；

中考数学二次函数存在性问题 及参考答案

中考数学二次函数存在性问题 及参 考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 . 所得抛物线与 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 轴交于点 C，顶点为 D. （1）写出 的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由； （3）在线段 AC 上是否存在点 M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 说明理由.
2.如图，已知抛物线经过 A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点 O，顶点为 C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行 四边形，求点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P， 使得以 P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由．
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二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线 与双曲线 相交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且 tan∠AOX＝4．过点 A 作直线 AC∥ 轴，交抛物线于另一点 C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上， 其中 A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3 分） （2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐
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二次函数的存在性问题(面积)及答案

图12-2 x C O y A B D 1 1 二次函数的存在性问题(面积问题) 1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

ZBP平行四边形存在性问题之两定两动.doc

学习必备欢迎下载 问题 1：存在性问题的处理框架是什么？ 问题 2：两定两动的平行四边形存在性问题的分类标准是什么？ 1. 如图，将矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，OA=8， OC=12，直线与x 轴交于点D，与 y 轴交于点E，把矩形沿直线DE翻折，点 O 恰好落在AB 边上的点 F 处，M 是直线 DE 上的一个动点，直线DF 上是否存在点N，使以点 C，D，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？则符合题意的点N 的坐标是？ 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x 轴分别交于 点 B 和点 C， D 是直线 AC上一动点， E 是直线AB 上一动点．若以O， D， A，E 为顶点的四边形是平行四边形，则点 E 的坐标为？ 反思与总结： 问题 1：平行四边形存在性问题的处理框架中第一步：研究背景图形，需要研究哪些内容？ 问题 2：画出对应图形后求解点坐标的套路是什么？

练习 1.如图，直线与 x 轴、 y 轴分别交于A， B 两点，直线BC x 轴交于点C，且 与 ∠ABC=60°，若点 D 在直线AB 上运动，点E在直线 BC 上运动，且以O， B， D，E 为顶点的 四边形是平行四边形，则点 D 的坐标为 ( ) 2..如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ ACO=30°，把矩形沿直线 DE 翻折，使点 C 落在点 A 处， DE 与 AC 相交于点 F，若点 M 是直线 DE上一动点，点N 是直线 AC 上一动点，且以O，F，M ， N 为顶点的四边形是平行四边形，则点N 的坐标为 () 3.如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于 点 C，交 AB 于点 D．若在平面内存在点 E，使得以点 A，C，D，E 为顶点的四边形是平行四边 形，则点 E 的坐标为

(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)

二次函数中的存在性问题姓名 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式； （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）． （1）求直线AC及抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积； （3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．

二次函数的存在性问题(面积问题)

二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负 半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点． （1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长； （2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长； （2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在， 求出t 值；若不存在，请说明理由； （3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，） ，折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动 ，

一次函数之平行四边形存在性问题

一次函数与平行四边形 1.线段中点公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)， 则线段AB 的中点P 的坐标为 （2,22121y y x x ++） 例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB 的中点P 的坐标是________. 2.线段的平移 平面内，线段AB 平移得到线段A'B' ，则①AB ∥A'B' ，AB =A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'. 如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________. 例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？ 例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D 的坐标是________. 方法一：利用线段平移 总结：x 1-x 2= x 4-x 3，y 1-y 2= y 4-y 3 或者 x 4-x 1= x 3-x 2，y 4-y 1= y 3-y 2 等 方法二：利用中点公式 总结：x 1+x 3= x 2+x 4，y 1+y 3= y 2+y 4

类型一：三定一动 例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A (-1，0)，B (1，-2)，C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________. 总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决. 说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________

二次函数(存在性问题)

函数图象中点的存在性问题（强化训练） 切入点一：利用基本图形来作图(充分利用图形的特殊性质)，并描述作图方法 切入点二：做好数据准备，计算尽量利用相似、数形结合（交轨法） 切入点三：紧扣不变量，善于使用前题所采用的方法或结论 切入点四：在题目中寻找多解的信息(不重不漏) 1.1因动点产生的平行四边形问题 1. 如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2． （1）该抛物线G的解析式为； （2）将直线L沿y轴向下平移个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点； （3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长． （4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q 的坐标．

2. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）． （1）求此二次函数的表达式； （2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

平行四边形的存在性问题

平行四边形的存在性问题 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点． 如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便． 针对训练 1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 解析、由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4， 得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）． 如图，过△P AC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M． ①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1． 因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)． ②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2． 因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)． ③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3． 因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 解析．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)． ①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2． 当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．

二次函数中的平行四边形存在性问题

二次函数中的平行四边形存在性问题 目标：1、通过本节课的学习，提高学生分析问题，解决问题的能力。 2、能总结出解决平行四边形存在性问题的一般方法和思路。重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。 难点：根据条件求平行四边形的顶点坐标。 过程： 一、复习 1、平行四边形的性质 角： 边； 对角线： 2、二次函数的相关知识点 表达式、顶点坐标、对称轴、增减性 二、探索新知 1、単动点（知3点求1点） （1）已知平面上有不在同一条直线上的三点A、B、C，点D是平面上任一点，若此四点能构成平行四边形则符合条件的D点有几个？ （）

学生画图说明 思考：如何找第四点？找第四点的方法？ (2)类题 （1）已知抛物线与坐标轴分别交于A（-1、0）、B （3、0）、C （0、3）三点，能否在平面内在找一点D使得它们四点围成的四边形为平行四边形？ 学生分析总结规律、思路。 ①、根据平行四边形的边、对角线的性质（对边平行且相等， 对角线互相平分）我们可以选择一种情况作为画图的依据。 ②、在求点的坐标时（以边为例）我们先满足对边平行再用对 边相等求出要求的点的坐标。

2、 双动点（知2点求2点） （1） 学生再次画图说明（给出两点画出另外两点） （2）类题 如图，抛物线y= 13 x 2-mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0．-1）．且对称轴x=l ． ① 求出抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标； ② 点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P 的坐标。

点A，点B是定点 点P，点Q是动点 分两种情况：AB为边，AB为对角线 3、小结 4、布置作业 5、

-几何图形在二次函数中的存在性问题探解

---几何图形在二次函数中的存在性问题探解 二次函数是初中数学的重要内容，更是中考的重要考点之一，它以丰富的知识内涵，深远的知识综合，深厚的数学思想，灵活的解题方法，奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师，更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家，供学习时借鉴. 一、.三角形的存在性 1.1 等腰三角形的存在性 例1 （2017年淮安）如图1-1，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=2x +bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图1-2、1-3供画图探究）． 分析： 第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式，思路有几个待定系数，解答时就需要确定几个点的坐标； 第二问探析等腰三角形的存在性，解答时，要做到一先一后，先清楚动点的位置与特点，后对等腰三角形进行科学分类，一是按边分类，一是按角分类； 第三问探求三角形面积的最大值，这是二次函数的看家本领，只需将三角形的面积适当分割，恰当表示，最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可. 解： （1）因为直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，所以B （3，0），C （0，3）， 所以{c =39a+3b+c =0，解得{c =3b =4-，所以抛物线解析式为y=2x ﹣4x+3； （2）因为y=2x ﹣4x+3=2(x 2)-﹣1，所以抛物线对称轴为x=2，顶点P （2，﹣1）， 设M （2，t ），因为△CPM 为等腰三角形，如图2所示， ①当MC=PC 时，过C 作CQ ⊥对称轴,垂足为Q ，则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M 到x 轴的距离8-1=7，所以1M 的坐标(2,7)； ②当MP=MC 时，作PC 的垂直平分线交对称轴于点M ，所以222(t+1)2+(t-3)=，解得t=32,所以2M 的坐标(2, 32 )；

平行四边形存在性问题

平行四边形存在性问题 一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算. 二、难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又准又快. 三、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点，利用横纵坐标的平移变化得出结论。 四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况，灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便。（辅助手段~三角形全等，等积法，中点坐标公式） 例1.已知抛物线 b ax ax y ++-=22 与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 例2、如图，抛物线：y= x 2﹣x ﹣ 与x 轴交于A 、B （A 在B 左侧），A （﹣1，0）、B （3，0），顶点为C （1，﹣2）（1）求过A 、B 、C 三点的圆的半径．（2）在抛物线上找点P ，在y 轴上找点E ，使以A 、B 、P 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 、E 的坐标． 例 3．已知，如图抛物线

23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 例4.已知抛物线：x x y 22 12 1+- = （1）求抛物线1y 的顶点坐标. （2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式. （3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、 N 四点构成以OP 为一边的平行四边形， 若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由. 例5．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理 x y y 12 3 4 5 6 7 8 9 54321 -1-2-3-4 1 y 2 -1

二次函数存在性问题总结

已知，抛物线322 --=x x y 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C. １、线段最值 ①线段和最小 点P 是抛物线对称轴上一动点，当点P 坐标为多少时,PA+PC 值最小． A B C O x y ②线段差最大 点Q 是抛物线对称轴上一动点,当点Q 坐标为多少时,|QA －QC|值最大． A B C O x y ③线段最值 连接ＢC,点M 是线段ＢC 上一动点，过点M 作ＭN/／y 轴,交抛物线于点Ｎ，求线段MN 的最大值及点N 的坐标. A B C O x y N M 变式① 点N 是第四象限内抛物线上一动点,连接BN 、CN,求BCN S ?的最大值及点Ｎ的坐标 A B C O x y N

变式② 点Ｎ是第四象限内抛物线上一动点，求点Ｎ到线段BC 的最大距离及点Ｎ的坐标 A B C O x y N M 2、等腰三角形的存在性问题 点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线B Ｃ上一动点，是否存在点P,使△PAD 为等腰三角形,若存在，求出点P 的坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D ３、菱形的存在性问题 点Ｄ为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、Ｄ、Ｐ、Q 为顶点的四边形是菱形,若存在,求出点P 坐标，若不存在,说明理由． A B C O x y D ４、平行四边形的存在性问题 点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线ＢC 上一动点,是否存在以O 、D 、Ｍ、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D 5、直角三角形的存在性问题

平行四边形存在性问题

平行四边形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴、y轴上，且OA、OB的长满足方程x2﹣16x+64=0． （1）求点A、B的坐标； （2）将点A翻折落在线段OB的中点C处，折痕交OA于点D，交斜边于点E，求直线DE的解析式； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系内，是否存在点F使点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，?ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动，两点均运动到点D停止． （1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ （2）在相遇前，是否存在过点M和N的直线将?ABCD的面积平分？若存在，请求出所需时间；

若不存在，请说明理由． （3）若点E在线段BC上，BE=2cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 3．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处． （1）如图，已知折痕与边BC交于点E，连结AP、EP、EA．求证：△ECP∽△PDA； （2）若△ECP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （3）在（2）的条件下以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，问在坐标平面内是否存在点M，使得以点A、B、E、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由．

答案 二次函数-矩形的存在性问题

参考答案 1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点O 顺 时针旋转90°得到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ，线段BC 、OC 的长是方程x 2﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ． （1）求直线BD 的解析式； （2）求△OFH 的面积； （3）点M 在坐标轴上，平面内是否存在点N ，使以点 D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？若存在， 请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 1. 分析： （1）解方程可求得OC 、BC 的长，可求得B 、D 的坐标， 利用待定系数法可求得直线BD 的解析式； （2）可求得E 点坐标，求出直线OE 的解析式，联立直线BD 、OE 解析式可求得H 点的横坐标，可求得△OFH 的面积； （3）当△MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点N ，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N 点坐标． 解答： 解：（1）解方程x 2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC 、OC 的长是方程x 2 ﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ， ∴BC=2，OC=4，∴B （﹣2，4），∵△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的， ∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D （4，0），设直线BD 解析式为y=kx+b ， 把B 、D 坐标代入可得，解得，∴直线BD 的解析式为y=﹣x+； （2）由（1）可知E （4，2），设直线OE 解析式为y=mx ， 把E 点坐标代入可求得m=， ∴直线OE 解析式为y=x ，令﹣x+=x ， 解得x=，∴H 点到y 轴的距离为， 又由（1）可得F （0，），∴OF=，∴S △OFH =××=； （3）∵以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形， ∴△DFM 为直角三角形， ①当∠MFD=90°时，则M 只能在x 轴上，连接FN 交MD 于点G ，如图1， 由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF ∽△FOD ， ∴=，即=，解得OM=，∴M （﹣，0），且D （4，0），∴G （，0）， 设N 点坐标为（x ，y ），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N 点坐标为（，﹣）； ②当∠MDF=90°时，则M 只能在y 轴上，连接DN 交MF 于点G ，如图2， 则有△FOD ∽△DOM ， ∴=，即=，解得OM=6， ∴M （0，﹣6），且F （0，）， ∴MG=MF=，则OG=OM ﹣MG=6﹣=， ∴G （0，﹣）， 设N 点坐标为（x ，y ），则=0，=﹣， 解得x=﹣4，y=﹣，此时N （﹣4，﹣）； ③当∠FMD=90°时，则可知M 点为O 点，如图3， ∵四边形MFND 为矩形， ∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N （4，）； 综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）． 2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与

中考数学二次函数存在性问题及参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案 一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线2 =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2 y x =-+. y x h k () 所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 二、二次函数中面积的存在性问题

3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k y x = 相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由． 4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分） （2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。 三、二次函数中直角三角形的存在性问题 5.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点， 抛物线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值；

二次函数中的存在性问题(等腰三角形的存在性问题)

二次函数中的存在性问题(等腰三角形) 1.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点， 已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =． （1）求抛物线的对称轴； （2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式； （3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点， 是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条 件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

2如图，已知抛物线224 233 y x x =- ++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度 的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于（1）求点B 和点C 的坐标； （2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ， 求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围． （3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．

3.已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ）， 请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并 写出0P 点的坐标； （4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．