依概率收敛与弱大数定律
§2 依概率收敛与弱大数定律
一、依概率收敛 二、弱大数定律
一、依概率收敛
尽管分布函数完全反映了随机变量取值的分布规律, 但是两个不同的随机变量可以有相同的分布函数. 例如, 向区间[0,1]上随机等可能投点,ω表示落点的位置，定义
ξω(),,=???10 ωω∈∈[,.](.,]005051
ηω(),,=??
?01 ωω∈∈[,.]
(.,]005051. (1) 则ξ和η具有相同的分布函数
F(x)=???
??,1,2/1,0 .1,10,
0≥<≤ (2) 如果定义ξξn =, n ≥1, 则ξηn d ? →?, 但||ξηn -≡1. 这表明分布函数收敛性并不能反映随机变量序列取值之间的接近程度. 为此需要引入另外的收敛性. 定义1 设ξ和ξn 是定义在同一概率空间 (Ω,F, P)上的随机变量序列. 如果对任意ε>0, lim (||) n n P →∞ -≥ξξε=0, (3) 或 lim (||) n n P →∞ -<ξξε=1, ' )3( 则称ξn 依概率收敛(convergence in probability)于ξ，记作ξn P ? →?ξ. 注 定义1要求所有ξ和ξn 的定义域相同. ξn P ? →?ξ可直观地理解为：除去极小的可能性，只要n 充分大，ξn 与ξ的取值就可以任意接近. 从上面例子可以看出, 由ξn d ? →?ξ并不能导出ξn P ?→?ξ. 关于这两种收敛性之间的关系，我们有下面的定理. 定理1 设ξ和ξn 是定义在概率空间 (Ω,F, P)上的随机变量序列. 1. 如果ξn P ?→?ξ, 则 ξn d ?→?ξ . 2. 如果ξn d c ? →?, c 为常数，则ξn P c ?→?. 证 1. 设F 和F n 分别是ξ和ξn 的分布函数，x 表示F 的连续点. 任意给定ε>0, (ξεξεξξεξ≤-=≤-≤≤->x x x x x n n )(,)(,) ?≤-≥()()ξξξεn n x , 因此 F(x -≤+-≥εξξε)()()F x P n n . 令n →∞, 由于ξn P ? →?ξ, 故P P n n ()(||)ξξεξξε-≥≤-≥→0, 从而 F(x -≤→∞ ε)lim () n n F x . (4) 类似地 ()(,)(,)ξξξεξξεn n n x x x x x ≤=≤≤+≤>+ ?≤+-≥()()ξεξξεx n , 从而 F x F x P n n ()()()≤++-≥εξξε. 令n →∞, 得 lim ()() n n F x F x →∞ ≤+ε. (5) 连接(4) (5)两式，对任意ε>0, 有 F(x -≤→∞ ε)lim () n n F x ≤ lim ()() n n F x F x →∞ ≤+ε. 由于F 在x 点连续，令ε→0, 就得 lim ()() n n F x F x →∞ =, 即ξn d ? →?ξ. 2. 如果ξn d c ? →?，则 lim (),,n n F x →∞=???01 x c x c <≥. 因此对任意ε>0,有 )()(1)()()|(|εξεξεξεξεξ-≤++<-=-≤++≥=≥-c P c P c P c P c P n n n n n =1-+-+-→F c F c n n ()(),εε00 (n →∞). 定理证毕. 例1 设{ξn }独立同分布，都为[0, a]上的均匀分布, ηξξξn n =max{,,,}12 .求证 ηn P a ?→?. 证 由定理1, 只须证明ηn 的分布函数G x D x a n W ()()?→?-, 其中D(x-a)是在a 点的退化分布函数. 从第二章知道：若ξk 的分布函数为F(x), 则ηn 的分布函数为G x F x n n ()[()]=. 现在ξk 的分布函数为 F(x)=?? ? ??, 1,/,0a x .,0,0a x a x x ≥<≤< 故 G x x a n n (),(/), ,=? ??? ?01 x x a x a <≤<≥0 0 → D(x-a)=01,, ??? x a x a <≥ (n →∞). 证毕. 依概率收敛有许多性质类似于微积分中数列极限的性质, 下面仅举两个例子说明这类问题的证题方法. 大部分性质放在习题中留给读者自己证明. 例2 设ξ和ξn 是定义在概率空间 (Ω,F, P)上的随机变量序列. 求证： 1. 若ξn P ? →?ξ，ξn P ?→?η, 则P(ξ=η)=1. 2. 若ξn P ? →?ξ, f 是 (-∞, ∞) 上的连续函数，则f (ξn )P f ?→?()ξ. 证 1. 任意给定ε>0，我们有 (|ξηεξξεξηε-≥?-≥-≥|)(||/)(||/)n n 22 , 从而 P(|ξηεξξεξηε-≥≤-≥+-≥|)(||/)(||/)P P n n 22. 由ξn P ? →?ξ, ξn P ?→?η, 并注意到上式左方与n 无关, 得P(|ξηε-≥|)=0. 进一步, P(| ξηξηξη->=-≥≤-≥=∞ =∞∑|)((||/))(||/) 0111 1 P n P n n n =0, 即P(ξ=η)=1. 2. 任意给定εε,'>0，存在M>0, 使得 P(|ξ|≥≤M )P(|ξ|≥<'M /)/24ε. (6) 由于ξn P ?→?ξ , 故存在N 11≥, 当n ≥N 1时, P (||/)/ξξεn M -≥<'24, 因此 2 /4/4/) 2/|(|)2/|(|)|(|εεεξξξξ'='+'<≥+≥-≤≥M P M P M P n n (7) 又因f (x) 在 (-∞,∞)上连续，从而在[-M, M]上一致连续. 对给定的ε>0, 存在δ>0, 当|x-y|<δ时，|f (x)-f (y)|<ε. 这样 P(|()()|)(||)(||)(||)f f P P M P M n n n ξξεξξδξξ-≥≤-≥+≥+≥. (8) 对上面的δ, 存在N 21≥, 当n ≥N 2时, P (||)/ξξδεn -≥<'4. (9) 结合(6) (7) (8) (9)式, 当n ≥max(,)N N 12时， P(|f f n ()()|)///ξξεεεεε-≥<'+'+'='424, 从而 f (ξn )P f ? →?()ξ. 为了进一步讨论依概率收敛的条件，我们给出下列切比雪夫不等式(第三章§2)的推广. 定理2 （马尔科夫不等式） 设ξ是定义在概率空间 (Ω, F, P)上的随机变量，f (x)是[0, ∞) 上非负单调不减函数，则对任意x >0, P(|ξ| > x)≤E f f x (||)() ξ. (10) 证 当Ef(|ξ|)=∞时，(10)式显然成立. 设Ef(|ξ|)<∞,ξ的分布函数为F(x). 因f (x) 单调不减，故 |y| >x 时, f(|y f x |)()≥,从而 ? ? >>≤ = >x y x y y dF x f y f y dF x P ||||) () (|)(|)()|(|ξ ? +∞ ∞ -≤ ) (|)(|) (1y dF y f x f ) (|)(|x f Ef ξ= . 定理3 ξn P ?→?ξ 当且仅当 E || ||ξξξξn n -+-2 2 1→0. 证 充分性：注意到f (x)=x x 22 1+在[0, ∞]上非负单调不减, 对任意ε>0, 由定理2 P(| ξξεεε ξξξξn n n E ->≤ +-+-|)|| ||112 2 22 →0, 即ξn P ? →?ξ. 必要性：设ξn -ξ的分布函数是F x n (). 对任意ε>0, ) (1)(1)(1| |1| |||2 2||2 22 22 2x dF x x x dF x x x dF x x E n x n x n n n ? ? ? ≥<∞ ∞ -++ += += -+-ε ε ξξξξ ≤ ++ ≥?ε ε ε2 2 1dF x n x () |\=ε ε ξξε22 1++-≥P n (||) . (11) 由于ξn P ?→?ξ, 在(11)式两边先令n →∞, 再让ε→0，即得证E || ||ξξξξn n -+-2 21→0. 二、弱大数定律 考虑随机试验E 中的事件A ，假设其发生的概率为p (0 < p <1), 现在独立重复地做试验n 次——n 重贝努里试验. 令 ξi =?? ?10, , 次试验中不出现 在第次试验中出现在第i A i A , 1≤≤i n . 则P(ξi =1)=p, P(ξi =0)=1-p. S n i i n ==∑ ξ1 是做试验E n 次后A 发生的次数，可能值0,1,2,…,n, 视 试验结果而定. 熟知 E S n n =p. 在第一章§1中曾经指出: 当∞→n 时频率n S n "稳定到"（在某 种意义下收敛于）概率p. 我们想知道S n n 与p 之间的差究竟有多大. 首先应该意识到不可能期望对任意给定的 0<ε<1, 当n 充分大时, |S n n -p|≤ε对所有试验结果成立. 事实上，当0 < p <1, P(S n n =1)=P(ξ1=1,…,ξn =1)=p n , P(S n n =0)=P(ξ1=0,…,ξn =0)=(1-p n ), 它们都不为零. 而在第一种情况，取ε<1-p ，不论n 多大，|S n n -p|=1-p >ε; 在第二种情况，取 ε -p|= p >ε. 然而，当n 充分大后，事件{S n n =1}和{S n n =0}发生的可能性都很小. 一般来说，自然地希望当n 充分大以后，出现{|S n n -p|≥ε}的可能性可以任意地小. 这一事实最早由贝努里发现. 定理4 （贝努里大数定律） 设{ξn }是一列独立同分布的随机变量，P(ξn =1)=p, P(ξn =0)=1-p, 0 < p <1, 记 S n i i n ==∑ ξ1 , 则S n n P p ? →?. 继贝努里之后，人们一直试图对一般的随机变量建立类似的结果. 定义2 设{ξn }是定义在概率空间 (Ω, F, P)上的随机变量序列，如果存在常数列{a n }和{b n }使得 101a b n k n P k n ξ-?→?=∑, (n →∞)， (12) 则称{ξn }服从弱大数定律( weak law of large numbers), 简称{ξn }服从大数定律. 定理5 （切比雪夫大数定律） 设{ξn }是定义在概率空间 (Ω,F, P)上的独立随机变量序列， E ξn =μn , Var ξn =σn 2. 如果1 02 2 1n k k n σ=∑→，则{ξn }服从弱大数定律，即 1 1 01 1 n n k k n k P k n ξμ- ? →?==∑∑. 证 考察随机变量1 1 n k k n ξ=∑, 因E(1 1 n k k n ξ=∑)=1 1 n k k n μ=∑, Var(1 1 n k k n ξ=∑)=1 2 2 1 n k k n σ=∑，用第三章 §2的切比雪夫不等式，得 P(|1 1 n k k k n ()| ξμ-=∑ ≥ε) ≤ 12 ε Var(1 1 n k k n ξ=∑)=12 ε (1 2 2 1 n k k n σ=∑)→0. 此即所证. 注1 贝努里大数定律是切比雪夫大数定律的特例. 注2 如果条件“{ξn }独立”被“{ξn }两两不相关”所代替，定理5依然成立. 更一般地, 由 该定理的证明容易看出：如果取消条件“{ξn }独立”，但条件“1 2 2 1 n k k n σ =∑→0”改为“1 2 n Var( ξk k n =∑1 ) →0”, 则定理5的结论仍然成立, 称为“马尔科夫大数定律”. 如果{ξn }不仅独立，而且同分布，则可以改进定理5如下： 定理6（辛钦大数定律） 设{ξn }是定义在概率空间 (Ω, F, P)上的独立同分布随机变量序列， E|ξ1|<∞. 记E ξ1=μ, S n k k n ==∑ξ1 , 则{ξn }服从弱大数定律，即 S n n P ?→?μ . 证 分别令)(t f 与)(t f n 为ξ1与S n / n 的特征函数. 既然{ξn }相互独立同分布，那么 )(t f n =n n t f ))/((. 另外, E 1ξ=μ, 所以由泰勒展开式知 )(t f =1+i )(t o t +μ, t →0. (13) 对每个t ∈R, )/(n t f =1+i )/1(/n o n t +μ, n →∞, (14) )(t f n =(1+i )/1(/n o n t +μ)n i t e →μ, n →∞. 由于e i t μ恰好是集中单点μ的退化分布的特征函数，运用第一节的逆极限定理即可知道 S n n d /?→?μ. 再根据定理1得S n n P /?→?μ. 定理证毕. 例2 设ξk 有分布列 k k s s -?? ? ??0505.., s<1 /2为常数，且{ξk }相互独立. 试证{ξk }服从弱大数定律. 证 已知ξk 有分布列 k k s s -?? ?? ?0505..，所以E ξk =0, Var ξk =k s 2. 当s<1/ 2时, 12 1 n V ar k k n ξ=∑=1 102 22 21 21 1 n k n n n s s k n s k n < =→=-=∑∑. 另外, {ξk }又是相互独立的，所以{ξk }服从切比雪夫大数定律，即1 1 n k k n ξ=∑P ?→?0. 例3 设{ξk }相互独立, 密度都为 p(x)=201 13/,,x x x ?? ?≥<，求证{ξk }服从大数定律. 证 {ξk }独立同分布, E ξk =xp x dx ()-∞ ∞ ?=2, 所以{ξk }服从辛钦大数定律. 例4 设{ξk }独立同分布, E ξk =μ, Var ξk =σ2 . 令 ξξn k k n n = =∑11 , S n n k n k n 22 1 1= -=∑()ξξ. 求证: S n P 22 ?→?σ . 证 S n n k n k n 22 1 1= -=∑() ξξ=1 2 1 n k n k n (()())ξμξμ---=∑ = ---=∑122 1 n k n k n ()()ξμξμ. (15) 由辛钦大数定律知 ξμn P ? →?，从而()ξμn P -?→?2 0. 再因{(ξμk -)2 )独立同分布， E(ξμk -)2 =Var ξk =σ2 , 故{(ξμk -)2 )也服从辛钦大数定律，即∑μ-ξ=n 1 k 2 k ) (n 1 2 P σ?→?. 由(15)式与依概率收敛的性质（习题18），S n P 22 ? →?σ. 注 在数理统计中，ξn 称为样本均值，n n S n -12 称为样本方差. 辛钦大数定律表明样本均值 依概率收敛于总体均值. 上述例子则表明样本方差依概率收敛于总体方差. 最后，给出随机变量序列的另一种收敛性概念. 定义3 设ξ和n ξ, n ≥1, 是定义在同一概率空间(Ω,F, P)上的随机变量序列，E ||ξr <∞, E ||ξn r <∞, n ≥1, 0 < r <∞. 如果 E ||ξξn r -→0， (16) 则称{ξn } r-阶平均收敛(convergence in the mean of order r)于ξ，记作ξξn L r ?→?. 如果存在0< r <∞, ξξn L r ?→?, 令r x x f ||)(=，并对ξξn -应用马尔科夫不等式，可推 出ξξn P ? →?. 然而下例说明其逆不成立. 例5 定义P(ξn =n) =1 3log()n +，P(ξn =0) =1-1 3log()n +, n=1,2,…. 易知，ξn P ? →?0, 但对任何 0 < r<∞, E ||log() ξn r r n n = +→∞ 3, (n →∞). 即 ?→?r L n ξ不成立. 概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。 一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。 §2 依概率收敛与弱大数定律 一、依概率收敛 二、弱大数定律 一、依概率收敛 尽管分布函数完全反映了随机变量取值的分布规律, 但是两个不同的随机变量可以有相同的分布函数. 例如, 向区间[0,1]上随机等可能投点,ω表示落点的位置，定义 ξω(),,=???10 ωω∈∈[,.](.,]005051 ηω(),,=???01 ωω∈∈[,.](.,]005051. (1) 则ξ和η具有相同的分布函数 F(x)=?????,1,2/1, .1,10, 0≥<≤ 第四章 第四章 极限定理 §1 依分布收敛与中心极限定理 一、 一、分布函数弱收敛 二、性质 三、中心极限定理 概率论早期发展的目的在于揭示由于大量随机因素产生影响而呈现的规律性. 贝努里首先认识到研究无穷随机试验序列的重要性，并建立了概率论的第一个极限定理——大数定律，清楚地刻画了事件的概率与它发生的频率之间的关系. 棣莫佛和拉普拉斯提出将观察的误差看作大量独立微小误差的累加，证明了观察误差的分布一定渐近正态——中心极限定理. 随后，出现了许多各种意义下的极限定理. 这些结果和研究方法对概率论与数理统计及其应用的许多领域有着重大影响. 本章着重介绍上述大数定律和中心极限定理等有关内容. §1 依分布收敛与中心极限定理 我们知道，如果ξ是概率空间 (Ω, F , P)上的随机变量，那么它的分布函数F(x)=P(ξ≤x )刻画了它的全部概率性质. 因此，对随机变量序列的研究就必须首先对相应的分布函数序列作深入研究. 一、分布函数弱收敛 定义1 设F 是一分布函数，{F n }是一列分布函数，如果对F 的每个连续点x ∈R ，都有F n (x) →F(x) (n →∞)，则称F n 弱收敛(weak convergence)于F ，记作F n W ? →? F. 设ξ是一随机变量，{ξn }是一列随机变量，如果ξn 的分布函数列弱收敛于ξ的分布函数， 则称ξn 依分布收敛(convergence in distribution)于ξ，记作ξn d ? →?ξ. 注1 注1 分布函数逐点收敛的极限函数未必是分布函数. 例如, F n (x)=???,1,0., n x n x ≥< 该分布函数列处处收敛于0, 但G(x)≡0不是分布函数. 因此对一般的分布函数列，要它们逐点收敛于分布函数，要求是过高了，不得不如定义1加上限制. 注2 定义1中的限制条件“对F 的每个连续点x ，F n (x) →F(x)”是足够宽的，例如, 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第五章 大数定律及中心极限定理 教学要求： 一、了解大数定律的直观意义； 二、掌握Chebyshev 不等式； 三、了解Chebyshev 大数定理和贝努里大数定理； 四、会用中心极限定理估算有关事件的概率． 重点：中心极限定理． 难点：切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理． 综合练习题 一、选择题 1.设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且 1,2,,i n = .令∑==n i i n X Y 1 ，1,2,,i n = ，()x Φ为标准正态分布函数，则 ()=?? ????????≤--∞ →11lim p np np Y P n n （B ）. （A ）0 ； （B ）()1Φ； （C ）()11Φ-； （D ）1.6 . 2.设()x Φ为标准正态分布函数，0,1,i A X A ?=? ?事件不发生， 事件发生， ()100,,2,1 =i ，且 ()8.0=A P ，10021,,,X X X 相互独立.令∑==100 1 i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函 数()y F 近似于（B ）. （A ）()y Φ； （B ）?? ? ??-Φ480y ； （C ）()8016+Φy ； （D ）()804+Φy . 3.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，且i X () ,,,2,1n i =都服从参数为 2 1 的指数分布，则当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Z 1 1的概率分布近似服从（B ）. （A ）()4,2N ； （B ）??? ??n N 4,2； （C ）?? ? ??n N 41,21； （D ）()n n N 4,2. 二、填空题 1.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立且同分布，它们的期望为μ，方差为2 σ， 令∑==n i i n X n Z 1 1，则对任意正数ε，有{}=≤-∞→εμn n Z P lim 1 . 2.设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差 ()μ=i X E ，()02>=σi X D ，() ,2,1=i ， 则对任意实数x ， =??? ? ??? ???????≤-∑=∞ →x n n X P n i i n σμ1lim ()x Φ. 3.设()1-=X E ，()4=X D ，则由切比雪夫不等式估计概率{}42P X -<<≥ 9 5 . 4.设随机变量[]1,0~U X ，由切比雪夫不等式可得≤??????≥- 3121X P 4 1. 5.设随机变量() 2.0,100~B X ，应用中心极限定理可得{}≈≥30X P 0062.0.（其中 ()()9938.05.2=Φ） 三、应用题 1. 100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%， 求任一时刻有70至86台车床在工作的概率. 解：设?? ?=台车床没有工作 第台车床正在工作 第i i X i .0.1（100,,2,1 =i ），且()8.0,1~B X i ， 则100台车床中在任一时刻正在工作的机床台数为10021X X X X +++= ，且()80=X E ，()16=X D ，（其中10021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得 ()???? ??-≤-≤-=≤≤168086168016 80708670X P X P 概率论与数理统计概率历史介绍 一、概率定义的发展与分析 1.古典定义的历史脉络 古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比． 2.古典定义的简单分析 古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提． 如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题． “应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评． 3.统计定义的历史脉络 概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布?伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”． 事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯?米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率． 概率论中几种收敛及其联系 西北师范大学数学与应用数学专业 甘肃兰州 730070 摘要：概率极限理论是概率论的重要组成部分,内容十分丰富,本文仅介绍依概率收敛,平均收敛,依分布收敛,a.s.收敛，完全性收敛以及事件序列的无穷次发生之间的联系. 关键词：示性函数 概率 随机变量 收敛 分布函数 Abstract : The probability limit theory is an important part of the probability theory, is rich in content, this article describes only the convergence in probability, the average convergence, converge in distribution, as convergence, complete convergence, as well as the infinite sequence of events occurred between Key words : indicator function probability random variable convergence distribution function 首先，为了研究这几种收敛性，我们需要估计概率。所以首先需要建立必要的概率不等式。我们以I(A)表示事件A 的示性函数，即有 ?? ??∈=. ,0; ,1)(A A A I ωω 那么，显然当B A ?时，有).()(B I A I ≤，并且有).()(A EI A P = 定理 1 （Chebyshev 不等式）设)(x g 是定义在 [)∞,0 上的非降的非负值函数，如果对随机变量η，有∞<)(ηEg ，那么对任何使得0)(>a g 的0>a ，我们都有 .) ()()(a g Eg a P ηη≤≥ 证明：首先，由)(x g 的非降性知 ()()()().a g g a ≥?≥ηη 因此 ()()()()() () ()()().a g g I a g g a g g I a I ≥≤ ≥≤≥ηηηη 其中)(A I 是事件A 的示性函数;其中的第二个不等号是由于在事件()()() a g g ≥η 3.1.3 概率的基本性质（第三课时） 一、教学目标： 1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念； （2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。 3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习 数学的情趣。二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。 三、学法与教学用具：1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；2、教学用具：投灯片四、教学设想： 1、 创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等； （2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C 1={出现1点}，C 2={出现2点}，C 3={出现1点或2点}，C 4={出现的点数为偶数}……师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？ 2、 基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115； （2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥； （3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．3、 例题分析： 例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环； 事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环. 分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。解：A 与C 互斥（不可能同时发生），B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件（至少一个发生）. 例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P(A)=21，P(B)=2 1，求出“出现奇数点或偶数点”． 概率论中的大数定律及中心极限定理 唐南南 摘要 概率论是从数量上研究随机现象的规律的学科，概率论的特点是先提出数学模型，然后去研究它的性质，特点和规律。它在自然科学，技术科学和社会科学等科学中有广泛的应用。而大数定律和中心极限定理的内容是概率论中极限理论极为重要的一部分内容。在这篇文章中，我们从贝努力试验中的频率出发，讨论了独立随机变量和分布的极限问题。在一定条件下，这些分布弱收敛于退化分布，这就是大数定律。在另一些条件下，这些分布弱收敛于N(0,1)分布,这一类收敛于N(0,1)分布的定理统称为中心极限定理.大数定律说明了随机现象都具有稳定性而中心极限定理是研究相互独立随机变量序列{}i x 的部分和∑== n i i n x S 1 的分布，在适当条件下向正态分布收放的问题。在这篇文章 里，我们只介绍了一些定理的提出，内容以证明以及在其他学科上的应用，而大数定律和中心极限定理还有许多更深入，更广泛的内容，限于篇幅这里就不再介绍了。掌握定理的结论是重要的，这些结论一方面使频率稳定于概率，n 次观察的算术平均值稳定于数学期望都有了明确的含义和理论依据；另一方面，又将给数理统计中大样本的统计推断等提供理论依据。 关键词 大数定律 中心极限定理 随机现象 随机变量 引言 大数定律和中心极限定理是概率论中重要的一部分内容，但对读者来说，多数人对于这部分内容感到很难掌握，这篇文章就是对这部分内容进行浅入的分析，但对其内容进行详细的说明，而且进行了归纳性的总结，指出了各定律之间的联系及其差别，希望通过本篇文章内容的介绍，能使读者对于这部分知识有一个清晰的印象，能整体地把握这部分内容。 一 、大数定律 （一）、问题的提法（大数定律的提法） 重复实验中事件的频率的稳定性，是大量随机现象的统计规律性的典型表现。人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在；由频率的性质推断概率的性质，并在实际应用中（当n 《概率的基本性质》教案 使用教材：人教版数学必修3 教学内容：1、事件间的关系及运算 2、概率的基本性质 教学目标：1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系； 2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简 单的概率计算； 3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。 教学的重点：事件间的关系，概率的加法公式。 教学的难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。 教学的具体过程： 引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。今天我们要来研究概率的基本性质。在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。 一、事件的关系与运算 老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件（即可能出现的结果） 学生可能回答：﹛出现的点数＝1﹜记为C 1， ﹛出现的点数＝2﹜记为C 2， ﹛出现的点数＝3﹜记为C 3， ﹛出现的点数＝4﹜记为C 4， ﹛出现的点数＝5﹜记为C 5， ﹛出现的点数＝6﹜记为C 6. 老师：是不是只有这6个事件呢？请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜（记为D 1）是不是该试验的事件？（学生回答：是）类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D 2，﹛出现的点数小于5﹜记为D 3，﹛出现的点数小于7﹜记为E ，﹛出现的点数大于6﹜记为F ，﹛出现的点数为偶数﹜记为G ，﹛出现的点数为奇数﹜记为H ，等等都是该试验的事件。 那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢？ 1、 学生思考若事件C 1发生（即出现点数为1），那么事件H 是否一定也发生？ 学生回答：是，因为1是奇数 我们把这种两个事件中如果一事件发生，则另一事件一定发生的关系，称为包含关系。具体说：一般地，对于事件A 和事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ），记作B A ?（或A B ?） 特殊地，不可能事件记为 ?，任何事件都包含 ?。 练习：写出 D 3与E 的包含关系（D 3 ?E ） 2、再来看一下C 1和D 1间的关系：先考虑一下它们之间有没有包含关系？即若C 1发生，D 1 是否发生？（是，即C 1 ?D 1）；又若D 1发生，C 1是否发生？（是，即D 1? C 1） 两个事件A ，B 中，若A B B A ??，且，那么称事件A 与事件B 相等，记作A ＝B 。所以C 1 和D 1相等。 “下面有同学已经发现了，事件的包含关系和相等关系与集合的这两种关系很相似，很好，下面我们就一起来考虑一下能不能把事件与集合做对比。” 试验的可能结果的全体 ←→ 全集 ↓ ↓ 每一个事件 ←→ 子集 这样我们就把事件和集合对应起来了，用已有的集合间关系来分析事件间的关系。 3、集合之间除了有包含和相等的关系以外，还有集合的并，由此可以推出相应的，事件A 和事件B 的并事件，记作A ∪B ，从运算的角度说，并事件也叫做和事件，可以记为A+B 。我们知道并集A ∪B 中的任一个元素或者属于集合A 或者属于集合B ，类似的事件A ∪B 发生等 吕泽锋 理学院 随即变量序列两种收敛方式 两种收敛： i) 依概率收敛：用于大数定律（大数定律讨论的就是依概率收敛） ii) 按分布收敛：用于中心极限定理. 一：背景与定义 1、背景 2、依概率收敛定义，随机变量序列ΛΛ,,,1n X X ，如果对于任何0>ε， ()0||??→?≥-∞ →n n X X P ε，记X X n ?→? Pr ，等价于：对于任何0>ε，()0||??→?>-∞ →n n X X P ε，称随机变量序列ΛΛ,,,1n X X 依概率收敛于X 。 即： ()1lim =<-∞ →εX X P n n ⑴依概率收敛的意义： 或者说：Xn 对X 的绝对偏差不小于一个任意小的给定量ε的可能性将随着n 增大而越来越小，或者说绝对偏差X X n -小于一个任意给定量ε的可能性将随n 增大而越来越接近于1，上述定义也等价于 ()()1n p X X n ε-<→→∞ 特别的当X 为退化分布时，即()1==c X P ，则称序列{}n X 依概率收敛于c 即：c X n → ⑵依概率收敛与微积分中的收敛的不同在于：微积分中的收敛是确定的，即对于任给的成立。时，必有当εε<->>a x N n n ,0而依概率收敛是，对任给的{}，发生的概率为很大时，事件当1.0εε<->a x n n 但不排除偶然事件{}ε≥a x n 的发生。 3、性质 （1）b a Y X b Y a X P n n P n P n +?→?+??→??→? ,：证明 一种说法。确定现象中关于收敛的所以说依概率收敛是不”发生不排除小概率事件“但正因为是概率，所以，”的概率接近于很大时，事件“，当，说明对于任给的 收敛于依概率收敛。随机变量序列依概率收敛即依概率."1"0}{"1"εεε≥-<->x x x x n x X n n n 3.1.3《概率的基本性质》 【学习目标】 1.说出事件的包含，并，交，相等事件，以及互斥事件，对立事件的概念； 2..能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系 3. 说出概率的三个基本性质；会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率。 【重点难点】 教学重点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。 教学难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算，概率的几个基本性质 【知识链接】 1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还 记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？ 2我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的 关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识．育网 【学习过程】 1. 事件的关系与运算 思考：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件： C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，D1＝｛出现的点数不大于1｝，D2＝｛出现的点数大于4｝，D3＝｛出现的点数小于6｝，E＝｛出现的点数小于7｝，F＝｛出现的点数大于6｝，G＝｛出现的点数为偶数｝，H＝｛出现的点数为奇数｝，等等. 你能写出这个试验中出现其它一些事件吗？类比集合与集合的关系，运算，你能发现 它们之间的关系和运算吗？ 上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件? (1) 显然，如果事件C1发生，则事件H一定发生，这时我们说事件H包含事件C1，记作H C1。一般地，对于事件A与事件B，如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）？特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系怎样约定？ 如果当事件A发生时，事件B一定发生，则B A ( 或A B )；任何事件都包含不可能事件. [来源:https://www.wendangku.net/doc/e113577238.html,]（2）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关 系应怎样描述？ 一般地，当两个事件A、B满足什么条件时，称事件A与事件B相等？ 若B A，且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B. （3）如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？[来源:https://www.wendangku.net/doc/e113577238.html,] 事件D2称为事件C5与事件C6的并事件（或和事件），一般地，事件A与 事件B的并事件（或和事件）是什么含义？ 当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作C=A∪B(或A+B). （4）类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B 的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？ 例如，在掷骰子的试验中D2∩D3=C4 （5）两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生 例如，上述试验中的事件C1与事件C2互斥，事件G与事件H互斥。 （6）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，其含义是： 事件A与事件B有且只有一个发生. 概率论大数定律及其应 用 Revised as of 23 November 2020 概率论基础结课论文 题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问题。 《概率的基本性质》教学设计 蓟县第四中学于海存 一、说教材： 1、教材的地位及作用： 本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第一节第三课时概率的基本性质，本节课主要是结合具体实例以螺旋上升的方式由浅入深地学习概率的一些基本性质，学生在前面已经学习了集合的表示方法（Venn图）和随机事件的概率，已具有一定的归纳、抽象的能力，这些都是学习本节内容的基础。 本节在教材中起着承上启下的作用。一方面把所学的概率知识应用于实际生活，另一方面为今后学习概率其他知识做了理论上的准备。 2、教学目标： 知识与技能：（1）了解事件之间的相互包含关系、相等关系，知到和事件、积事件 的意义， （2）通过实例，理解互斥事件、对立事件的概念及实际意义； （3）掌握概率的几个基本性质并能简单应用。 过程与方法：类比集合，揭示事件的关系与运算，培养学生的类比与归纳的数学思想，情感态度与价值观：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的热情和兴 趣，在参与探究活动中，培养学生的合作精神.在观察发现中树立探 索精神，在探索成功后体验学习乐趣。 3、教学重点与难点： 根据本节课内容即尚未学习排列组合，以及学生的心理特点和认知水平，制定如下教学重难点。 重点：互斥事件、对立事件的概念及概率的加法公式的应用。 难点：正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 4、课时安排：1课时 二、说教法： 根据本节课的内容、教学目标和学生的实际水平等因素，在教法上，本节课我采用“开放性教学”，充分了解学生的最近发展区，精心创设问题情景，以导为主，重视多媒体的作用，充分调动学生，展示学生的思维过程，使学生能准确理解、判断和运用所学知识。 1) 立足基础知识和基本技能，掌握好典型例题，做到重点突出； 2）紧扣数学的实际背景，多采用学生日常生活中熟悉的例子来突破难点。 三、说学法： 引导学生用观察、类比、归纳、推导方式来实现预定教学目标。创设、再现知识发生的情境，让每个学生都能动手、动笔、动口、动脑、动心、动情。从而在知识产生迁移中发现规律，进一步把知识纳入学生已有认知结构中，形成新的认知结构。达到教育学“最近发展区”要求，并培养学生学会观察、分析、归纳、等适应客观世界的思维方法，养成良好学习习惯和思维习惯。 四、说教学程序： 概率论基础结课论文 题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者：信计1301班王彩云130350119 摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。 10.1.4 概率的基本性质 课标要求素养要求 通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.通过具体实例，抽象出概率的性质，掌握概率的运算方法，发展数学抽象及数学运算素养 . 教材知识探究 甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3. 问题甲获胜的概率是多少？ 提示甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3，则甲胜的概率是p＝0.6－0.3＝0.3. 概率的基本性质一般地，概率有如下性质： 概率的基本性质是解决与概率问题有关问题的重要依据，望同学们一定要牢记 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B). 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 教材拓展补遗 [微判断] 1.任一事件的概率总在(0，1)内.(×) 2.不可能事件的概率不一定为0.(×) 3.必然事件的概率一定为1.(√) 4.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的 概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，恰好是正品的概率为0.96.(√) 5.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于2 3.(√) 提示 任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故1、2错. [微训练] 1.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( ) A.16 B.13 C.12 D.1 解析 事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是16，所以“向上的数字是5或6”的概率是16＋16＝13. 答案 B 2.事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.2，则P (B )＝________. 解析 因A 与B 是对立事件，所以P (A )＋P (B )＝1，即P (B )＝1－P (A )＝0.8. 答案 0.8 3.事件A 与B 是互斥事件，P (A )＝0.2，P (B )＝0.5，求P (A ∪B ). 解 因为A 与B 互斥，故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.2＋0.5＝0.7. [微思考] 1.在同一试验中，设A ，B 是两个随机事件，若A ∩B ＝?，则称A 与B 是两个对立事件，此说法对吗？ 提示 不对，若A ∩B ＝?，仅能说明A 与B 的关系是互斥的，只有A ∪B 为必然事件，A ∩B 为不可能事件时，A 与B 才互为对立事件. 2.在同一试验中，对任意两个事件A ，B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )一定成立吗？ 提示 不一定.只有A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )才成立. 题型一 互斥事件概率公式的应用 应用公式时要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和 复习 (1) 教材14P 频率与概率的关系：只要n 相当大，频率)(1ωn f 与概率 )(1ωP 是会非常靠近的，频率是概率的一个近似； (2) 教材68P 普哇松定理：当np 很大时怎么办呢？； (3) 教材115P ：一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是一个正态变量，在下一章中我们将讨论这个问题； (4) 契贝晓夫不等式：2 )|(|ε ξ εξξD E P ≤ ≥-； (5) 《实变函数》中依测度收敛的定义：对0>?σ，有 0]|[|lim =≥-σf f mE n n ，则称函数列)}({x f n 依测度收敛于)(x f ，记 作)()(x f x f n ?。 第四章大数定律与中心极限定理 极限定理是概率论与数理统计学中最重要的理论结果。本章简单地介绍两类极限定理---“大数定律”和“中心极限定理”。 通常，把叙述在什么条件下一随机变量序列的算术平均值（按某种意义）收敛于某数的定理称为“大数定律”；把叙述在什么条件下大量的随机变量之和近似服从正态分布的定理称为“中心极限定理”。本教材只介绍极限定理的经典结果。分布函数、矩和特征函数是解决经典极限定理的主要工具。 一、教学目的与要求 1．掌握四个大数定律的条件、结论及数学意义； 2．理解随机变量序列的两种收敛性的定义及其关系，了解特征函数的连续性定理； 3．掌握独立同分布中心极限定理的条件、结论，并会用来解决一些实际问题。 二、教学重点和难点 教学重点是讲清大数定律的条件、结论和中心极限定理的条件、结论。 教学难点是随机变量序列的两种收敛性及大数定律和中心极限定理的应用。 3.1.3 概率的基本性质 一、基础过关 1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为 ( ) A ．“都是红球”与“至少一个红球” B ．“恰有两个红球”与“至少一个白球” C ．“至少一个白球”与“至多一个红球” D ．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球” 2. 给出事件A 与B 的关系示意图，如图所示，则 ( ) A ．A ?B B ．A ?B C ．A 与B 互斥 D ．A 与B 互为对立事件 3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两 次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是 ( ) A ．A ?D B ．B ∩D ＝? C ．A ∪C ＝D D ．A ∪B ＝B ∪D 4．下列四种说法： ①对立事件一定是互斥事件； ②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； ④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件． 其中错误的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概 率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______． 6．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是1 3，则乙不输的概率是________． 概率论和统计中的收敛总结 概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。 设{X n,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种： 以概率1收敛若,则称｛X n,n≥1｝以概率1收敛于X。强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。 依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{X n,n≥1}依概率收敛于X。它表明随机变量X n与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。 r阶平均收敛对r≥1,若X n-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{X n,n≥1}r阶平均收敛于X。特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。 弱收敛设X n的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有,则称{X n,n≥1}弱收敛于X，由平均收敛可以推出弱收敛。 从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。 分布弱收敛设F n、F分别表示随机变量X n、X的分布函数,若对F的每一个连续点x 都有，则称X n的分布F n弱收敛于X的分布F,也称X n依分布收敛于X。分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数?(x)， img src="image/254-6.gif" align="absmiddle">。 分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。大样本统计中也要讨论各种统计量依分布收敛的问题。 分布淡收敛设{F n(x)，n≥1}为分布函数列，而F(x)为一非降右连续函数（不一定是 分布函数），若对F(x)的每一个连续点x都有，则称F n淡收敛于F。 上述各种收敛之间有如下蕴含关系（A=>B表示由A可推出B）,若r′≥r≥1,则有:。 此外，依概率收敛于常数与依分布收敛于常数是等价的。当是独立随机变量序列{Y j,j≥1}的部分和时，X n依分布收敛、依概率收敛和以概率1收敛三者是等价的。概率论大数定律及其应用
依概率收敛和弱大数定律
依分布收敛与中心极限定理
概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计概率历史介绍
概率论中几种收敛及其联系1
6概率的基本性质
概率论中的大数定律及中心极限定理
概率的基本性质教案
依概率收敛
高中数学必修三3.1.3《概率的基本性质》
概率论大数定律及其应用
《概率的基本性质》教学设计
概率论大数定律及其应用
10.1.4 概率的基本性质
《实变函数》中依测度收敛的定义(精)
概率的基本性质练习题
概率论和统计中常用的收敛极限小结