01、有理数

学生姓名： 年级：七年级 科目：数学 授课教师：贺琴 授课时间： 学生签字：

第一章 有理数

第1课时：正数和负数

教学过程： 一、讲授新课： 1．相反意义的量：

在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）： 例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。 例2：温度是零上10℃和零下5℃。 例3：收入500元和支出237元。 例4：水位升高1.2米和下降0.7米。

例5：买进100辆自行车和买出20辆自行车。

①这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点？（具有相反意义。向东和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、买进和卖出都具有相反意义） 2．正数和负数：

①能用我们已经学的来很好的表示这些相反意义的量吗？例如，零上5℃用5来表示，零下5℃呢？也用5来表示，行吗？

拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃则用―5℃来表示。

为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了―5，―2，―237，―0.7等数。像这样的一些新数，叫做负数（negative number ）。过去学过的那些数（零除外），如10，3，500，1.2等，叫做正数（positive number ）。正数前面有时也可放一个“+”（读作“正”），如5可以写成+5。

注意：零既不是正数，也不是负数。

常将“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

1．数的扩充：

数1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整

数、负整数和零统称为整数；数32，41，854，+5.6，…叫做正分数；―97，―7

6

，―3.5，…叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。

2．思考并回答下列问题： ①“0”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？

②“―2”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ ③自然数就是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ 要求学生区分“正”与“整”；小数可化为分数。

3．有理数的分类 不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类：

①先将有理数按“整”和“分”的定义分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：

{

负分数

正分数分数负整数正整数

整数有理数0?????? ②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：

{

{

负分数

负整数负有理数正分数

正整数

正有理数有理数0

?

?? 注：①“0”也是自然数。②“0”的特殊性。

4．把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集（set of number ）。所有正数组成的集合，叫做正数集合；所有负数组成的集合叫做负数集合；所有整数组成的集合叫整数集合；所有分数组成的集合叫分数集合；所有有理数组成的集合叫有理数集合；所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。

例2：把下列各数填入相应集合的括号内：

29，―5.5，2002，76

，―1，90%，3.14，0，―23

1，―0.01，―2，1 （1）整数集合：{29，2002，―1，0，―2，1 …}

（2）分数集合：{ ―5.5，76

，90%，3.14， ―23

1，―0.01，…} （3）正数集合：{29，2002，76，90%，3.14，1，…}

（4）负数集合：{―5.5，―1，―231，―0.01，―2，…} （5）正整数集合：{29，2002，1，…} （6）负整数集合：{―1，―2，…}

（7）正分数集合：{76

，90%，3.14，…} （8）负分数集合：{―5.5，―23

1，―0.01，…} （9）正有理数集合：{29，2002，76，90%，3.14，1，…}

（10）负有理数集合：{―5.5，―1，―231，―0.01，―2，…}

第2课时：数轴

教学过程：

1．数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要认为规定的。直线也不一定是水平的。

2．例题；

例1：判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？

分析：原点、正方向、单位长度这数轴的三要素缺一不可。 解答：都不正确，（1）缺少单位长度；（2）缺少正方向；（3）缺少原点；（4）单位长度不一致。

例2：把下面各小题的数分别表示在三条数轴上： （1）2，-1，0，3

23 ，+3.5

(2)―5，0，+5，15，20；

(3)―1500，―500，0，500，1000。

例3：比较―3，0，2的大小。

分析一：先在数轴上分别找到表示―3、0、2的点，由“右边的数总比左边的数大”得到―3＜0＜2；

分析二：直接由“正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数”的规律得出―3＜0＜2。

例4：把下列各组数用“＜”号连接起来．

(1) ―10， 2，―14； (2) ―100，0，0.01；

(3) 5

43，―4.75，

3.75。

解：(1) ―14＜―10＜2； (2) ―100＜0＜0.01； (3) ―4.75＜3.75＜5

4

3。

说明：按题意用“＜”号连接，解题中不能用“＞”号连接，否则与题意不符，更不能把“＜”与“＞”混用，如第（1）小题不能写成“―10＜2＞―14”或者写成“2＞―14＜―10”的形式。

第3课时：相反数

教学过程：

1．只有符号不同的两个数称互为相反数 (opposite number)。

代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。

几何定义：在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。0的相反数是0。

说明：“互为相反数”的含义是相反数，是成对出现的，因而不能说“―6是相反数”。“0的相反数是0”是相反数定义的一部分。这是因为0既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是0，这是相反数等于它本身的唯一的数。

2．例题；

例1：判断下列说法是否正确： ①―5是5的相反数； ( ) ②5是―5的相反数； ( ) ③5与―5互为相反数； ( ) ④―5是相反数； ( )

⑤正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 ( ) 解答：√；√；√；×；√。

例2：（1）分别写出5、―7、―32

1、+11.2的相反数； （2）指出―2.4各是什么数的相反数。

答案：(1)5的相反数是―5。 ―7的相反数是7。 ―213的相反数是2

1

3。 +11.2的相反数是―11.2。

我们通常把在一个数前面添上“―”号，表示这个数的相反数。例如―(―4)=4, ―(+5.5)=―5.5，同样，在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身。例如 +(―4)=―4，+(+12)=12。

例3：化简下列各数：

(1)―(+10)； (2)+(―0.15)； (3)+(+3)； (4)―(―20)。

答案：(1)―(+10)=―10。 (2)+(―0.15)=―0.15。 (3)+(+3)=+3 = 3。 (4)―(―20)=20。

第4课时：绝对值

教学过程：

我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值( absolute value )。记作|a |。

例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6 和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。

1. 一个正数的绝对值是它本身；

2. 0的绝对值是0；

3. 一个负数的绝对值是它的相反数。

即：①若a ＞0，则|a |=a ； ②若a ＜0，则|a |=–a ； ③若a =0，则|a |=0；

或写成：)0()0()0(0<=>??

?

??-=a a a a a a 。

2．绝对值的非负性：

由绝对值的定义可知：不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a |≥0。

3．例题；

例1：求下列各数的绝对值：217

-，10

1+，―4.75，10.5。 解：217

-=217；101+=10

1

；|―4.75|=4.75；|10.5|=10.5。

例2： 化简：(1)??

?

??+-21； (2)311--。

解：(1)；21

21211=-=??

? ??+- (2) 311311-=--。

例3：计算：（1）|0.32|+|0.3|； （2）|–4.2|–|4.2|；

（3）|–32|–（–3

2

）。

分析：求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数，然后由绝对值的性质得到。在（3）中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义。

解答：（1）0.62； （2）0； （3）3

4

。

第5课时：有理数的大小比较

教学过程： 一、讲授新课：

1．我们发现：两个负数，绝对值大的反而小.

这样，比较两个负数的大小，只要比较它们的绝对值的大小就可以了。

2．例如，比较两个负数43-和3

2

-的大小：

① 先分别求出它们的绝对值：43-=43=129，32-=32=12

8

② 比较绝对值的大小：

∵128129> ∴3243>

③ 得出结论：3

2

43->-

3．归纳：

联系到2.2节的结论，我们可以得到有理数大小比较的一般法则： (1) 负数小于0，0小于正数，负数小于正数； (2) 两个正数，应用已有的方法比较； (3) 两个负数，绝对值大的反而小.

4．例题：

例1：比较下列各对数的大小： ①－1与－0.01； ②2--与0； ③－0.3与31-

； ④??

? ??--91与101-

-。 解：(1)两个负数比较大小，∵|―1|=1，|―0.01|=0.01，且1>0.01，∴―1<―

0.01。

(2) 化简：―|―2|=―2，因为负数小于0，所以―|―2| < 0。 (3) 这是两个负数比较大小，

∵|―0.3|=0.3，?==-3.03

1

31，且 0.3 < ?3.0，∴313.0->-。

(4) 分别化简两数，得：()71471461762467624=+=???? ??

+=-÷??? ??-

∵正数大于负数，∴10191-->??

?

??--

说明：①要求学生严格按此格式书写，训练学生逻辑推理能力；

②注意符号“∵”、“∴”的写法、读法和用法；

③对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行； ④异分母分数比较大小时要通分将分母化为相同。

第6课时：有理数的加法

教学过程：

一、讲授新课：

1．发现、总结：

我们必须把问题说得明确些，并规定向东为正，向西为负。

(1)若两次都是向东走，很明显，一共向东走了50米，写成算式就是：(+20)+(+30)=+50，

即这位同学位于原来位置的东方50米处。这一运算在数轴上表示如图：

(2)若两次都是向西走，则他现在位于原来位置的西方50

写成算式就是：(―20)+(―30)=―50。

(3)若第一次向东走20米，第二次向西走30

写成算式是(+20)+(―30)=―10，即这位同学位于原来位置的西方10米处。

2．概括：

综合以上情形，我们得到有理数的加法法则：

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2.绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

3.互为相反数的两个数相加得0；

4.一个数同0相加，仍得这个数.

注意：

一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同。

3．例题：

例1：计算：

①(+2)+(―11)；②(+20)+(+12)；③?

?

?

?

?

-

+

?

?

?

?

?

-

3

2

2

1

1；④(―3.4)+4.3。

解：①解原式=―(11―2)=―9；②解原式=+(20+12)=+32=32；

③解原式=

6

1

2

6

4

6

3

1

3

2

2

1

1

3

2

2

1

1-

=

?

?

?

?

?

+

-

=

?

?

?

?

?

+

-

=

?

?

?

?

?

-

+

?

?

?

?

?

-；

④解原式= +(4.3―3.4)=0.9。

总结：让学生总结出加法的交换律、结合律。

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即 a + b = b + a 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即 ( a + b )+ c = a + ( b + c )

这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化。

4．例题：

例1：计算：(1) (+26)+(―18)+5+(―16)；(2) ??? ??-+??? ??-+??? ?

?

+++??? ??-218312417211321。

解 (1)原式=(26+5)+[(―18)+(―16)] = 31+(―34)= ―(34―31)= ― 3。

(2) 原式=41

7218211312321+????????? ??-++????????? ?

?-+??? ??-=()()41774+-+-

=()()??????+-+-41774=()414+-=??? ?

?

--414=433-。

从几个例题中你能发现应用运算律时，通常将哪些加数结合在一起，可以使

运算简便吗?

例2：10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：2，―4，2.5，3，―0.5，1.5，3，―1，0，―2.5。求这10 筐苹果的总重量。

解：由题意得：2+(―4)+2.5+3+(―0.5)+1.5+3+(―1)+0+(―2.5)

= (2+3+3)+(―4)+[2.5+(―2.5)]+[(―0.5)+(―1)+1.5] =8+(―4)= 4 。 30×10 + 4 = 304 。

答：10筐苹果总重量是304千克。

例3：运用加法运算律计算下列各题：

(1)(+66)+(―12)+(+11.3)+(―7.4)+(+8.1)+(―2.5)

(2)(+352)+(―287)+(―3125)+(―181)+(+553)+(+5125

)

(3)(+641)+(+21)+(―6.25)+(+31)+(―97)+(―6

5)

解：(1)原式=(66 + 11.3 + 8.1)+[(―12)+(―7.4)+(―2.5)]

= 85.4 +(–21.9) = 63.5 (2)原式=(3+5

2)+(5+5

3)+[―(2+8

7)]+[―(1+8

1)] +(5+12

5)+[―(3+12

5)

=3+5+5

2+5

3+(–2)+(–1)+(–8

7)+(–8

1)+ 5 +(–3)+12

5+(–12

5)

=2

(3)原式=(+64

1)+(―6.25)+(2

1+ 3

1)+(―6

5)+(―9

7)= ―9

7

二、课堂小结：

三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置，简化运算。常见技巧有：

(1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加； (2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和； (3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；

(4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。

第7课时：有理数的减法

教学过程：

1．有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。 如果用字母 a 、b 表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：a – b = a +（– b ）。

2．例题：

例1：计算： (1)(―32)―(+5)； (2)7.3―(―6.8)； (3)(―2)―(―25)； (4)12―21 . 解：

(1)(―32) 5)=―37。 3 + 6.8 =14.1。

减数变相反数 减数变相反数

(注意：两处必须同时改变符号.)

(3)(―2)―(―25)=(―2)+25=23。 (4)12―21 = 12+(―21)= ―9。

第8课时：有理数的加减混合运算

教学过程： 一、讲授新课：

1．加减法统一成加法算式： 2．例题：

例1：把()131515432+-??

?

??--??? ??+-??? ??-+??? ??+写成省略加号的和的形式，并把

它读出来。

解：原式=()131515432-+???

??++??? ??-+??? ??-+??? ??+=131515432-+-- 读作：

“131

515432---、、、、的和”。

3．加法运算律的运用：

既然是代数和，当然可以运用有理数加法运算律：a +b=b+a ，(a +b)+c= a +(b+c)。

例2：计算：―20+3―5+7。 解：原式=―20―5+3+7 =―25+10 =―15。

注意这里既交换又结合，交换时应连同数字前的符号一起交换。 例3：计算：

(1)31―21―43+3

2

； (2)(+9)―(+10)+(―2)―(―8)+3。 解：(1) 原式=31+32―21―4

3

(2) 原式=9―10―2+8+3 =1―141 =9+8+3―10―2 =―4

1； =20―12=8。 4．例题：

例1：计算：

①－24＋3.2―16―3.5+0.3； ②

()25.03243332210+-??

?

??--??? ??++-

解：(1)因为原式表示―24，3.2，―16，―3.5，0.3的和，所以可将加数适当交换位置,并作适当的结合进行计算，即原式=―24―16+3.2+0.3―3.5 =―40+3.5―3.5 =―40+0=―40。

(2) 原式==???

??-+??? ??++??? ??++-413243332210=41324333221-++-

=41433323221-++-=2

1321+-=21

17-

例2：―3、+5、―7的代数和比它们的绝对值的和小多少？

分析：让学生理解代数和的概念、绝对值的和、比……小的问题的求法。 解：由题意得：(|―3|+|+5|+|―7|)―(―3+5―7) =(3+5+7)―(―5)=15+5=20

第9课时：有理数的乘法

教学过程：

④综合上面各种情况，引导学生自己归纳出有理数乘法的法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数同0相乘，都得0

⑤继而教师强调指出： “同号得正”中正数乘以正数得正数就是小学学习的乘法，有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”。

用有理数乘法法则与小学学习的乘法相比，由于介入了负数，使乘法较小学当然复杂多了，但并不难，关键仍然是乘法的符号法则：“同号得正，异号得负”，

符号一旦确定，就归结为小学的乘法了。

因此，在进行有理数乘法时更需时时强调：先定符号后定值。 例如： 再如： (－5)×(－3)···········同号两数相乘 (－6)×4········异号两数相乘 (－5)×(－3)＝＋( )············得正 (－6)×4＝－( )········得负 5×3＝15·············把绝对值相乘 6×4＝24······把绝对值相乘 2．例题：

例1：计算：①(－5)×(－6) ②4

1

21????? ??-

解：①原式=+(5×6)=+30=30。 ②原式=―(4121?)=―8

1

③总结：让学生总结出乘法的交换律、结合律。

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即 a b = b a

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(a b)c=a (bc)

④根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.

3．例题：

例1：①计算：(―10) ×3

1

×0.1×6。

解：原式= [(―10) ×0.1] ×??

?

???631= (―1) ×2 = ―2。

②能直接写出下列各式的结果吗?

(―10) ×3

1

×0.1×6 = ；

(―10) ×??

?

??-31×(―0.1)×6 = ；

(―10) ×??

?

??-31×(―0.1)×( ―6 )= 。

③观察以上各式，能发现几个正数与负数相乘，积的符号与各因数的符号之间的关系吗?

④再试一试：

―1×1×1×1×1=______；

―1×(―1)×1×1×1=______；

―1×(―1)×(―1)×1×1=______；

―1×(―1)×(―1)×(―1)×1=______； ―1×(―1)×(―1)×(―1)×(―1)=______。

⑤一般地，我们有几个：不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.

几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。

试一试：

()()?223215=?-????

?

??-?-

()()?014.31.85=??-?-

几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.

例2：计算：

(1) ()()4

3

85.08?-?-+； (2)

()()25.0541653-???

?

?

?-??-

解：(1) 原式=843

218??+

= 8+3=11； (先乘后加) (2)原式=41

59653???- (先定符号)

=8

1

1- (后定值)

乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a(b ＋c)＝ab ＋ac.

4．例题：

例1：计算：(1) ???

??+-?4.0322130； (2) ()54.98-?。

解：(1)原式5

2

3032302130?+?-?=7122015=+-=；

(2) 原式=()()()9.241.025502.0554.98-=+-=-?-=-?。

例2：计算：①4×(―12)+(―5)×(―8)+16； ②??

?

??--?1514311843。

解：①原式=8×(―6)+8×5+8×2=8×(―6+5+2)=8×1=8；

②原式=10

3

41071615144334438431514311843=--=?-?-?=??? ??--?。

由上面的例子可以看出，应用运算律，有时可使运算简便. 也有时需要先把

算式变形，才能用分配律，如例1(2)，还有时需反向运用分配律，如例2(1)。

第10课时：有理数的除法

教学过程：

③总结：让学生总结倒数的概念、除法法则。

倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数(reciprocal)。

例如，2与21、(23-)与(3

2

-)分别互为倒数。

这样，对有理数除法，一般有

有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数.

注意：0不能作除数. 2．例题：

例1： (1) ()618÷-； (2) ???

??-÷??? ??-5251； (3) ??

? ??-÷54256。

解：①原式=()()3618618-=÷-=÷-；

②原式=2

125515251=??? ??-???? ??-=??? ??-÷??? ??-； ③原式=10

34525654256-=??? ??-?=

??? ??-÷。 因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0.

例2：化简下列分数：(1) 3

12-； (2) 1624

--。

解：(1)原式=()()4312312312

-=÷-=÷-=-； (2)原式=()2

1

11624)16(241624=÷=-÷-=-- 例3：计算：

(1) (―53)÷(―23)； (2) ()67624-÷??? ??

-； (3)??? ??-?÷-43875.3。

解；(1) 原式=53÷23=53×32=2； 或原式=(―3)×(―2)=5

2；

(2)原式=()776767624?? ?

-÷??? ??-(3)原式=4

3

782743875.3=??=??? ??-?÷-

第11课时：有理数的乘方

教学过程：

1．概念：

一般地，我们有：n 个相同的因数a 相乘，即

个

n a a a a ??，记作n a 。 例如，2×2×2＝23；(－2)(－2)(－2)(－2)＝(－2)4。

这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方(involution)， 乘方的结果叫做幂(power)。在a n 中，a 叫作底数，n 叫做指数， a n 读作a 的n 次方，a n 看作是a 的n 次方的结果时，也可 读作a 的n 次幂。

例如，23中，底数是2，指数是3，23读作2的3次方，或2的3次幂。 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，通常指数为1时省略不写。

2．例题：

例1：计算：(1) ()32-； (2) ()42-； (3) ()52-。 解：(1) 原式=(－2)(－2)(－2)=－8，

(2) 原式= (－2)(－2)(－2)(－2)=16(3) 原式= (－2)(－2)(－2)(－2)(－3根据有理数乘法运算法则，我们有： 正数的任何次幂都是正数；

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

你能把上述的结论用数学符号语言表示吗? 当a ＞0时，a n ＞0(n 是正整数)；

当a <0时，?????)

(0)

n (0是正整数＜是正整数＞n a a n n ；

当a =0时，a n =0(n 是正整数)

a 2n =(―a )2n (n 是正整数)；12-n a =―(―a )2n-1(n 是正整数)；a 2n ≥0(a 是有理数，n 是正整数)。

4．试一试：

(―2)6读作什么?其中底数是什么?指数是什么? (―2)6是正数还是负数?

()=34； ()=??? ??-2

31； ()()=-51； ()()=-3

1.0。

第12课时：科学记数法

教学过程：

一、讲授新课：

1．科学记数法：

(1)任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n 次幂的形式。

如：100=1×100=1×102；600=6×1000=6×103；7500=7；5×1000=7.5×103。

第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识，我们现在要做的就是把100，1000，变成10的n 次幂的形式就行了。

一般地，把一个大于10的数记成a ×n 10的形式，其中a 是整数数位只有一位的数（即1≤a <10），n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法。 2．例题：

例1：用科学记数法记出下列各数：

(1)696 000； (2)1 000 000； (3)58 000； (4)―7 800 000。

解：(1)原式＝6.96×105；(2) 原式＝106

；(3) 原式＝5.8×104；(4) 原式＝―7.8×106。

第13课时：有理数的混合运算

教学过程：

1．观察：

下面的算式里有哪几种运算? 3＋50÷22×(5

1

-)－1。

这个算式里，含有有理数的加减乘除乘方多种运算，称为有理数的混合运算。

2．有理数混合运算的运算顺序规定如下： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②同级运算，按照从左至右的顺序进行；

③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。 注意：①加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。

②可以应用运算律，适当改变运算顺序，使运算简便。

例1：计算：10

1

4112131÷÷??? ??-

解：原式=3

4

105

46110

1411213

1-=????? ??-=÷÷??

? ??-。

这里要注意三点：

①小括号先算；

②进行分数的乘除运算，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法； ③同级运算，按从左往右的顺序进行，这一点十分重要。

例2：计算：27

8

2411813318833?÷??? ??-?

分析：本例按常规运算顺序，应先算小括号里的减法，运算较繁，观察算式

中的数字特征，可发现首尾两数互为倒数，根据这一迹像，抓住算式的结构特点及数与数之间的关系，利用运算定律，适当改变运算顺序，可得如下新颖解法：

解原式=

??

? ??-???8253252524278827=825

25243252524?-?

=8―3=5

例3：计算：3＋50÷22×(5

1

-)－1 解：原式=3＋50÷4×(51

-

)－1············(先算乘方) =3＋50×41×(51

-)－1···············(化除为乘)

=2

1

125315141503-=--=-??-···(先定符号，再算绝对值)

例4：计算：()[]

2

32315.011--?????????? ?

??--

解原式=[]926111-??

?

???

???? ?

?--=()()6

77617651-=-?=-???

? ?

?- 也可这样来算：解原式=[]9

26111-???

???

???? ?

?--=()926111-???

? ?

?+-=()6

7761-=-?。 练习：

①??

?

???÷-51250； ②()236?÷；

③236?÷； ④()()342817-?+-÷-；

⑤1101250322-??

? ???÷-； ⑥

911325.0321÷??? ??-?-；

⑦()[]3

45.0111?----； ⑧ 101

4112131÷÷??

? ??-。

第14课时：近似数和有效数字

教学过程： ①精确度：

在实际问题中，我们经常要用近似数.使用近似数就有一个近似程度的问题，也是就精确度的问题。

我们都知道，14159.3=π···。我们对这个数取近似数：

如果结果只取整数，那么按四舍五入的法则应为2，就叫做精确到个位； 如果结果取1位小数，则应为1.7，就叫做精确到十分位(或叫精确到0.1)； 如果结果取2位小数，则应为 1.67，就叫做精确到百分位(或叫精确到0.01)；……。

概括：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

②有效数字：

这时，从左边第一个不是0的数起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant digits)。

象上面我们取1.667为的近似数，它精确到千分位(即精确到0.001)，共有4个有效数字1、6、6、7。

例1：下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位?各有哪几个有效数字? (1)132.4； (2)0.0572； (3)2.40万

解：(1)132.4精确到十分位(精确到0.1)，共有4个有效数字1、3、2、4；

(2)0.0572精确到万分位(精确到0.0001)，共有3个有效数字5、7、2； (3)2.40万精确到百位，共有3个有效数字2、4、0。

注意：由于2.40万的单位是万，所以不能说它精确到百分位.。

例2：用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数。

(1)0.34082(精确到千分位)； (2)64.8 (精确到个位)； (3)1.504 (精确到0.01)；

(4)0.0692 (保留2个有效数字)； (5)30542 (保留3个有效数字)。 解：(1)0.34082 ≈ 0.341。 (2)64.8 ≈ 65。 (3)1.504 ≈ 1.50。

(4)0.0692 ≈ 0.069。 (5)30542≈ 3.05×104。

注意：(1)例2的(3)中，由四舍五入得来的1.50与1.5的精确度不同，不能随便把后面的0去掉；

(2)例2的(5)中，如果把结果写成30500，就看不出哪些是保留的有效数字，所以我们用科学记数法，把结果写成3.05×104。

第15课时：用计算器进行数的简单运算

教学过程：

例1：①用计算器求31.2÷(－0.4)。

解：用计算器求31.2÷(－0.4)的按键顺序是：

显示结果为―78，∴31.2÷(－0.4)=78。

注意：(1)31.2÷(－0.4)不能按成3 1. 2 ÷－0.4 ＝，那样计算器会按31.2－0.4进行计算的。

(2)输入0.4时可以省去小数点前的0，按成.4 。

②做一做按例2的方法，用计算器求8.2×(－4.3) ÷2.5。

例2：①用计算器求62.2－4×(－7.8)。

这是减法和乘法的混合运算.对于加、减、乘、除法和乘方的混合运算.只要按算

式的书写顺序输入，计算器会按要求算出结果.因此，本题的按键顺序是：

。∴62.2－4×(－

7.8)＝93.4。

②做一做按例3的方法，用计算器求(－59)×2÷4.2÷(－7)。

例3：①用计算器求2.73。

用计算器求一个数的正整数次幂，一般要用乘幂运算键y x。

解：用计算器求2.73的按键顺序是

∴2.73＝19.683。

七年级上册数学《有理数》有理数的运算 知识点整理

有理数的运算 一、本节学习指导 有理数的运算和我们小学学习的四则运算很相似，运算规律也一样，不同的是有理数运算中有负数参与，所以相对要复杂一些，本节要多加练习。 二、知识要点 1、有理数的加法 （1）、有理数加法法则： ① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ② 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③ 一个数与0相加，仍得这个数。 （2）、加法计算步骤：先定符号，再算绝对值。 （3）、有理数加法的运算律： ① 加法的交换律：a+b=b+a; ② 加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 （4）、为了计算简便 ,往往会采取以下方法： ①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加； ④几个数相加能得到整数，可以先相加。 2、有理数的减法 （1）、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+

（-b）。（有理数减法运算时注意两“变”:①减法变加法；②把减数变为它的相反数。） 注：有理数的减法实质就是把减法变加法。 3、有理数的乘法 （1）、有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同零相乘都得零； （2）、一个数同1相乘，结果是原数；一个数同-1相乘，结果是原数的相反数。 （3）、乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数；若ab=1<====>a、b互为倒数。 （4）、几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。 （5）、有理数乘法的运算律： ① 乘法的交换律：ab=ba; ② 乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； ③ 乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac. 4、有理数的除法 （1）、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 （2）、有理数除法符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0. （3）、乘除混合运算的步骤：①先把除法转化为乘法；②确定积的符号； ③运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。 5、有理数的乘方 （1）、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a n中，

人教版七年级数学第一章有理数教案

第一章有理数 1．1正数和负数(2课时) 第1课时正数和负数的概念 了解正数和负数的产生；知道什么是正数和负数；理解正负数表示的量的意义；知道0既不是正数，也不是负数． 重点 正、负数的意义． 难点 1．负数的意义． 2．具有相反意义的量． 一、新课导入 活动1：创设情境，导入新课 教师投影展示教材第2页图片，让学生体验自然数的产生，分数的产生离不开生产和生活的需要，可以让学生自由发表意见和感想． 二、推进新课 活动2：体验负数的引入的必要性 教师出示温度计： 安排三名同学进行如下活动：研究手中的温度计上刻度的确切含义，一名同学手持温度计，一名同学说出其中三个刻度，一名同学在黑板上速记． 教师根据活动情况，如果学生不能引入符号表示，教师也可参与活动，逐步引入负数．强调：0既不是正数，也不是负数． 活动3：分组活动，感受正负数的意义 各组派一名同学进行如下活动：按老师的指令表演，看哪一组获胜． 1．老师说出指令：向前2步，向后3步，向前－2步，向后－3步，学生按老师的指令表演． 2．各小组互相监督，派一名同学汇报完成的情况． 活动4：深入理解正负数的意义，提高分析解决问题的能力

师投影展示问题，讲解课本例题． 例：1.一个月内，小明体重增加2千克，小华体重减少1千克，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值． 2．某年，下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是： 美国减少6.4%，德国增长1.3%， 法国减少2.4%，英国减少3.5%， 意大利增长0.2%，中国增长7.5%. 写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率． 学生讨论后解决． 活动5：练习与小结 练习：教材第3页练习． 小结：这堂课我们学习了哪些知识？你能说一说吗？ 活动6：作业 习题1.1第4，5，6，8题 本课是有理数的第一课时，引入负数是数的范围的一次重要扩充，学生头脑中关于数的结构要做重大调整(其实是一次知识的顺应过程)，而负数相对于以前的数，对学生来说显得更抽象，因此，这个概念并不是一下就能建立的．为了接受这个新的数，就必须对原有的数的结构进行整理。负数的产生主要是因为原有的数不够用了(不能正确简洁地表示数量)，书本的例子或图片中出现的负数就是让学生去感受和体验这一点． 第2课时正数、负数以及0的意义 进一步理解正、负数及0的意义，熟练掌握正负数的表示方法，会用正、负数表示具有相反意义的量． 重点 进一步理解正、负数及0表示的量的意义． 难点 理解负数及0表示的量的意义．

专题01 有理数章末重难点题型(举一反三)(解析版)

专题01有理数章末重难点题型（举一反三） 【考点1科学记数法及近似数】 【方法点拨】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，解决此类问题只需确定a与n的值，其中1≤|a|＜10，n为整数位数减1，如若数带单位可先将其还原；（2）一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位，但有一个易错点需注意，如2.019×105很多同学错误的认为这个数是精确到千分位，解决此类问题需将这个数还原成整数201900，这时能确定这个9应在百位上，因此这个数精确到百位. 【例1】（2018?浉河区校级期中）2018年河南省全年生产总值48055.86亿元，数据“48055.86亿”用科学记数法表示为（） A．4.805586×104B．0.4805586×105 C．4.805586×1012D．4.805586×1013 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【解答】解：48055.86亿用科学记数法表示为4.805586×1012． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 【变式1-1】（2018秋?沭阳县期末）某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg，关于这个近似数，下列说法正确的是

A．它精确到百位B．它精确到0.01 C．它精确到千分位D．它精确到千位 【分析】根据近似数的精确度求解． 【解答】解：1.36×105精确到千位． 故选：D． 【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 【变式1-2】（2018?凉州区校级期中）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态生活环境，我省2017年一季度清理垃圾约1.16×107方，数字1.16×107表示（） A．1.16亿B．116万C．1160万D．11.6亿 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1.16×107＝11600000＝1160万． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式1-3】近似数3.5的准确值a的取值范围是（） A．3.45≤a≤3.55B．3.4＜a＜3.6 C．3.45≤a＜3.55D．3.45＜a≤3.55 【分析】根据四舍五入法，可以得到似数3.5的准确值a的取值范围，本题得以解决． 【解答】解：近似数3.5的准确值a的取值范围是3.45≤a≤3.54， 故选：C． 【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义． 【考点2表示相反意义的量】 【方法点拨】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解. 【例2】（2018秋?襄州区期中）一箱苹果的重量标识为“10±0.25”千克，则下列每箱苹果重量中合格的是

有理数的概念知识点整理

。圆周率不是有理数；

（3）自然数<==>0和正整数；a>0 <==>a是正数；a<0 <==>a是负数； a≥0<==>a是正数或0<==>a是非负数；a≤0<==>a是负数或0<==>a是非正数。 3、数轴【重点】 （1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： ①在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； ②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2,-3… （2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 （3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。 （4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 4、相反数 （1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。如：5和-5，-2和2，它们数字相同符号相反，所以互为相反数。 求任何一个数或式子的相反数，只需要在这个数或式子前面加上“负号”，然后适当化简即可。 如：a+b的相反数是-（a+b）=-a-b （2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a,我们说这两点关于原点对称。 （3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0,正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0.

最新试题 七年级数学上册 从有理数第一节到绝对值训练每周一练

最新试题七年级数学上册 从有理数第一节到绝对值训练每周一练一、选择题（4′×6 = 24′） 1．下列数22 7 ，– 3.17，π，– 0.4，0.7中，正有理数的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 2．A为数轴上表示–1的点，将点A沿数轴向右平移4个单位长度后到点B，则点B所表示的数为（） A．– 5 B．0 C．2 D．3 3．下列各组数中，互为相反数的是（） A．– (– 6)和–6 B．–1 7 和0.7 C． 1 3 和– 0.3 D．– 1 4 和4 4．下列说法中正确的是（） ①互为相反数的两个数绝对值相等；②正数和零的绝对值都等于它本身； ③只有负数的绝对值是它的相反数；④一个数的绝对值的相反数一定是负数． A．1个B．2个C．3个D．4个 5．大于– 4的非正整数的个数是（） A．无数个B．2个C．3个D．4个6．下列化简错误的是（） A．– [– (– 8)] = –8 B．+[– (+1 2 )] = – 1 2 C．–|– (+ 1 3 )| = 1 3 D．|– (– 4)| = 4 二、填空题（3′×12=36′） 7．如果将中午12：00记作0小时，下午5：00记作+ 5小时，那么上午5：00可记作小时． 8．如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点 有个． 9．数轴上，到原点的距离为2个单位长度的点所表示的数是． 10．在数轴上，互为相反数的两个数表示的点之间的距离为 4.8，则这两个数分别为． 11．比较大小：– (– 4) – |– 4| 12．若|x| = |– 3|，则x = ． 13．如果a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a + b = ．14．某粮店库存三种品牌的面粉多袋，袋上分别标有质量为(20±0.1)kg，(20±0.3)kg，(20±0.5)kg的字样，从中任意取出两袋，它们的质量最多可能相差kg． 15．设a= 2007 2008 ，b= 2008 2009 ，c= – 2009 2010 ，d= – 2010 2011 ，则将a、b、c、d用“＜”连接为． 16．已知a与b互为倒数，c与d互为相反数，且|x| = 3，则|-3ab| – (c + d) + 2x = ．17．下列说法正确的有(填序号) ①若|a| = a，则a＞0；②若|a| = |b|，则a =±b；③若|a|＞a，则a＜0；④若|a|≥a，则a ≤0 18．若|a– 3| + |b– 2| + |c| = 0，则ab + c = ． 三、解答题（8′×5 = 40′） 19．画出数轴并标出表示下列各数的点，再用“＜”把下列各数连接起来． – 3 1 2 ，4，– 2.5，0.5 20．计算：（1）) 24 ( ) 37 ( ) 19 ( ) 52 (- - + - - + -（2）|– 32|–|– (– 4)| –|– 2| 21．今年入夏以来，某河流的一段水位一直不稳，下面是工作人员5天内记录的与标准水位的差距（单位：米）：– 0.5，+ 0.1，+ 0.2，0，– 0.1．观察结果，哪个水位与标准水位的差距最小，哪个最大？这5天最高水位和最低水位的差距是多少米？ 22．某市治安巡逻员乘汽车沿东西方向的一条道路上进行巡逻，若约定向东为正方向，则当天的行驶记录如下（单位：km）：+ 18，– 9，+ 7，– 14，– 6．若汽车行驶时每千米耗油0.4升，那么这一天该汽车共耗油多少升？ A B 1

六年级寒假班-第1讲：有理数-教师版

有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关 概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．预习阶段，我们会针对基础知识部分进行着重讲解，相关难点会在春季班课程中讲解． 1、 正数和负数 在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量． 2、 有理数的概念 整数和分数统称为有理数． 3、 有理数的分类 按意义分：???? ?????? ???????正整数 整数零负整数 有理数正分数分数负分数；按符号分：????????? ?????? 正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数． 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2 ）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． 有理数 内容分析 知识结构 模块一：有理数的意义 知识精讲

【例1】如果把收入80元记作80元，那么下列各数分别表示什么意义？ （1）10元；（2）3.5元；（3）100 -元；（4）0元． 【难度】★【答案】（1）收入10元；（2）收入3.5元； （3）支出100元；（4）没有收入也没有支出． 【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性，确定一对具有相反意义的量，常见的具有相反意义的量：收入与支出、上升与下降、前进与后退、向东与向西等．【总结】本题考查了正数和负数的意义． 【例2】下列说法错误的是（） A．收入200元和支出300元是相反意义的量 B．向北走6千米和向南走6千米是相反意义的量 C．节约20千克粮食和浪费20千克水是相反意义的量 D．存款2000元和取款3160元是相反意义的量 【难度】★【答案】C 【解析】粮食和水是两回事，故C错误． 【总结】本题考查了具有相反意义的量． 【例3】下列说法中正确的是（） A．正有理数和负有理数组成了全体有理数 B．在有理数中，零的意义仅表示没有 C．所有的小数都是有理数 D．0既不是正数也不是负数 【难度】★【答案】D 【解析】有理数按正负可分为：正有理数、零、负有理数；有理数按意义可分为：整数和分数；无限不循环小数是无理数． 【总结】本题考查了有理数的分类及意义． 【例4】把下列各数填入它所属的圈内： 10 -，69， 1.7 -，4 5 ， 2 7 9 ，0，46%，0．76， 2 3 -， 15 8 ． 例题解析 正数负数

七年级第一章有理数知识点总结

有理数知识点总结 0的数叫做正数。 1. 0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，一、正数和负数自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） 2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 有理数：整数和分数统称有理数。 概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。 （有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非 负整数，负整数和零统称为非正整数。 ⑵按整数、分数分类： 正有理数正整数正整数 正分数整数0 零有理数负整数 负有理数负整数分数正分数 负分数负分数 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 三、数轴 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 3.应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号）

代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 1.概念（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 四、相反数 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 3.多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数， 当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号 1.概念：乘积为1的两个数互为倒数。 （倒数是它本身的数是±1；0没有倒数） 五、倒数 2.性质若a与b互为倒数，则a·b=1；反之，若a·b=1，则a与b互为倒数。 若a与b互为负倒数，则a·b=-1；反之，若a·b= -1则a与b互为负倒数。 a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0 a = 0，|a|=0 |a|＝﹣a，则a≦0 a＜0，|a|=‐a 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 |a|≥0。几个非负数之和等 于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 七、比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。

有理数第1-3节测试

第一章第一节正、负数课堂练习 1、如果水位升高5m时水位变化记作+5m，那么水位下降3m时水位变化记作，水位不升不降时水位变化记作 。 1.1甲、乙两人同时从A地出发，如果向南走48m,记作+48m，则乙向北走32m，记为。这时甲乙两人相距 1.2小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________．1.3零下15℃，表示为_________，比O℃低4℃的温度是_________． 1.4如果温度上升3℃记作+3℃，那么下降5℃记作____________． 1.5海拔高度是+1356m，表示____________，海拔高度是-254m，表示____________． 1.6如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学考了85分，记作+2分，得分90分和80分应分别记作 _________________________． 2、向东行进-30米表示的意义是 A.向东行进30米 B.向东行进-30米 C.向西行进30米 D.向西行进-30米 2.1如果向西走12米记作+12米，则向东走-120米表示的意义是__________________． 3、某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在℃至℃范围内保存才合适。 3.1一种零件的内径尺寸在图纸上是30±0.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过标准尺寸______毫米，最小不低于标准尺寸______毫米． 3.2味精袋上标有“500±5克”字样中，+5表示_____________，-5表示____________． 3.3一种零件的内径尺寸在图纸上是9±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是9mm,加工要求最大不超过标准尺寸；最小不小于标准尺寸。 4、下列说法正确的是（） A、零是正数不是负数 B、零既不是正数也不是负数 C、零既是正数也是负数 D、不是正数的数一定是负数 第二节数轴 一、数轴定义：； 二、三要素：①；②；③； 三、请画一条数轴：练习：1、下列数轴的画法正确的是（）错误的请用红笔改错 2、画出数轴并表示出下列有理数： 2； -4； -6； 5 ； 0； -1； 3 .0, 3 2 , 2 9 ,5.2 ,2,2 ,5.1- - - 3、在数轴上表示-4的点位于原点的边，与原点的距离是个单位长度。 4.数轴上与原点距离是5的点有个，表示的数是。 5.已知x是整数，并且-3＜x＜4，那么在数轴上表示x的所有可能的数值有。 6.在数轴上，点A、B分别表示-5和2，则线段AB的长度是。 7.从数轴上表示-1的点出发，向左移动两个单位长度到点B，则点B表示的数是，再向右移动两个单位长度到达点C,则点C表示的数是。 8.数轴上的点A表示-3，将点A先向右移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，那么终点到原点的距离是个单位长度。 第三节有理数数的分类 一、有理数的定义： 二、有理数的分类： 按定义分：按性质分： 练习：1、已知下列各数： 5 1 -， 4 3 2 -，3.14，+3065，0，-239．则正数有_____________；负数有__________． 2、给出下列各数：-3，0，+5， 2 1 3 -，+3.1， 2 1 -，2004，+2008．其中是负数的有个 3、把下列各数分别填在相应的大括号里：+9，-1，+3， 3 1 2 -，0， 2 1 3 -，-15， 4 5 ，1.7． 正数集合：，负数集合：．分数集合：． 整数集合：；正整数集合：；非负整数集合：；非负数集合：； 4、下列说法正确的是（） A、零是正数不是负数 B、零既不是正数也不是负数 C、零既是正数也是负数 D、不是正数的数一定是负数 0 1 D

专题01 有理数(专题测试)(原卷版)

专题01 有理数 （满分：100分 时间：90分钟） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分) 1．﹣2的绝对值是（ ） A ．2 B ．12 C ．1 2- D ．2- 2．﹣3的相反数是（ ） A ．1 3- B ．1 3 C ．3- D ．3 3．如果a 与1互为相反数，则|a+2|等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-1 4．如图，数轴上有三个点A 、B 、C ，若点A 、B 表示的数互为相反数，则图中点C 对应的数是（ ） A ．﹣2 B ．0 C ．1 D ．4 5．今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（ ） A ．2.147×102 B ．0.2147×103 C ．2.147×1010 D ．0.2147×1011 6．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ） A ．|a|＞|b| B ．|ac|=ac C ．b ＜d D ．c+d ＞0 7．若数轴上表示﹣1和3的两点分别是点A 和点B ，则点A 和点B 之间的距离是( ) A ．﹣4 B ．﹣2 C ．2 D ．4 8．我国首艘国产航母于2018年4月26日正式下水，排水量约为65000吨，将65000用科学记数法表示为（ ） A ．6.5×10﹣4 B ．6.5×104 C ．﹣6.5×104 D ．65×104 9．一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．10 10．已知1=a ，b 是2的相反数，则+a b 的值为( ) A ．-3 B ．-1 C ．-1或-3 D ．1或-3 二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分) 11．中国的领水面积约为370 000 km 2，将数370 000用科学计数法表示为：__________． 12．计算：8-=__________.

有理数及其运算知识点汇总

?????????有理数?????)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、 2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） 4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0） 5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。 数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。 6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。 7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。 ?????<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ???<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 9、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 10、绝对值的性质： ①对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 11、有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 12、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 0 -1 -2 -3 1 2 3 越来越大

第一节巧算有理数(含解答)-

实数 在初中阶段，我们从有理数开始逐步对实数有了认识，知识有理数和无理数统称实数，并掌握了有关有理数、无理数的运算．我们关于数学问题的讨论范围，也慢慢地从有理数到了实数．关于实数其数系如下表所示： 实数??? ? ??? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ??? ? ??? ? ?? ? ??? ??? ??? ? 正整数 整数0 负整数 有理数有限小数或无限循环数 正分数 分数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 在本章中，我们主要讨论有理数的重要概念（相反数和绝对值）的应用，以及有理数运算中的一些技巧，并对有理数中的整数，从知识拓展的角度，研究整数的性质，如整除性、质数与合数、完全平方数等．然后对实数的另一部分无理数的一些运算，进行适当强化，应对升入高一级学校继续学习的需求． 第一节巧算有理数 内容讲解 当负数引进后，数的范围扩大到有理数，我们学习了有理数及其运算．在实际进行有理数运算时，常常根据算式的特点，分析参加运算的各数的特征和排序规律．试一试用运算律，或者改变一下排序，以及采取有条件地先算一部分，后再算另一部分等不同方法．巧妙地简化运算过程，机智地获得解答，达到提高观察和分析能力的目的．例题剖析 例1 计算135295 37373737 ++++．

分析：容易看出，分母相同，分子是1，3，5，…，295都是奇数．而1+295?恰好是37的8倍．如果把这个式子“倒过来写”，两式处于相同位置的项相加其和均为8．?注意到这样的和有74个，问题容易得解． 解：原式= 13529537373737++++ =（12953737+）+（32933737+）+…（1471493737 +） =74×29637 =592． 评注：本例求和可用公式S=1()2 n n a a +．其中a 1表示首项，a n 表示末项，n 表示项数．上式中的两项和（12953737+），…，（1471493737+），共有74个，即项数的一半2n ． 例2 计算（12+13+…+12006）（1+12+…+12005）-（1+12+…＋12006）（12＋13 ＋…＋12005）． 分析：观察上式括号内的各项，把两式各加上1就与另外两式相同．根据这一特点，可用字母代换而化简． 解：设x=1+12＋…＋12005，y=1+12＋…＋12006，则y-x=12006 ． 原式=（y-1）x-y （x-1） =xy-x-xy+y=y-x ． ∴原式=12006 ． 评注：观察问题中各算式的特点，巧妙地用字母进行代换，使问题大大简化，变得易解． 例3 计算1200500001个×2006999个9-12006999个9． 分析：我们采取“同形缩数”的办法，先解决计算101×99-199的问题，容易得知，这个问题可仿照（100+1）×99-199=9900+99-199=9900-100=9800来做，然后类比，原式易解．

有理数知识点总结

有理数基础知识 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如： 有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 正整数正整数 整数 0 正有理数 负整数正分数 有理数有理数 0 （0不能忽视） 正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数

人教版七年级数学上第一章有理数第1节《正数和负数》习题含答案

人教版数学上册第一章有理数 1.1《正数和负数》 一、选择题（本题共有5个小题，每小题都有A 、B 、C 、D 四个选项，请你把你认为适当的选项前的代号填入题后的括号中，每题4分，共20分） 1.下列说法：①零是整数；②零是正数；⑶零是偶数；④零是非负数，其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.零上13℃记作+13℃，零下2℃可记作（ ） A ．2 B ．-2 C ．2℃ D ．-2℃ 3.某市2016年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，这天最高气温比最低气温高（ ） A ．-10℃ B ．-6℃ C ．6℃ D ．10℃ 4.向东行进-50米表示的意义是（ ） A ．向东行进50米 B ．向东行进-50米 C ．向西行进50米 D ．向西行进-50米 5.下列说法正确的是（ ） A ．整数就是正整数和负整数 B ．负整数的相反数就是非负整数 C ．有理数中不是负数就是正数 D ．零是自然数，但不是正整数 二、填空题（每个空3分，共30分） 6.把 以外的数分为正数和负数。引入 不仅可以表示具有相反意义的量，而且还拓展了减法运算的范围。 7.向东走20米记作-20米，那么向西走15米，记作____________． 8.某城市白天的最高气温为零上7℃，到了晚上8时，气温下降了9℃，该城市当晚8时的 气温为_________． 9.收入-500元的实际意义是_____________________． 10.5 2 1,76,106,14.3,732.1,34,5.2,0,1----+ -中， 正数有__________．负数有___________． 11.如果水位升高5m 时水位变化记作+5m ，那么水位下降3m 时水位变化记作_______m ，水位不升不降时，水位变化记作0m 。 12.在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有_______的意义。 13．把下列各数分别填在对应的横线上：3， －0.01， 0，－ 2 , +3.333, －0.010010001…,

浙教版初一奥赛培训第01讲 有理数的巧算

第一讲有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算： 分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．

注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算． 例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 解原式＝(211×555+211×445)+(445×789+555×789) ＝211×(555+445)+(445+555)×789 ＝211×1000+1000×789 ＝1000×(211+789) ＝1 000 000． 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3计算：S＝1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 解 S＝(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 下面需对n的奇偶性进行讨论： 当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有 当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n＝n，所以有 例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然

有理数加减法知识点归纳

有理数加减法知识点归 纳 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

一、有理数的加法 1、两个有理数相加有以下几种情况： ①两个正数相加；②两个负数相加； ③异号两数相加；④正数或负数或零与零相加。 2、有理数的加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数。 注： ①有理数的加法和小学学过的加法有很大的区别，小学学习的加法都是非负数，不考虑符号，而有理数的加法涉及运算结果的符号； ②有理数的加法在进行运算时，首先要判断两个加数的符号，是同号还是异号是否有零接下来确定用法则中的哪一条； ③法则中，都是先强调符号，后计算绝对值，在应用法则的过程中一定要“先算符号”，“再算绝对值”。 3、有理数加法的运算律 （1）加法交换律：a＋b＝b＋a； （2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。

根据有理数加法的运算律，进行有理数的运算时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数加起来，利用有理数的加法运算律，可使运算简便。 4、有理数减法的意义 有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。 5、有理数的减法法则 设，则， ． 因此，． 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 例5、计算 （1）；（2）； （3）；（4）． [分析]根据有理数的加法法则，先定符号，再算绝对值． 解：（1）原式=；

第一节 有理数及相关概念-学而思培优

第一节 有理数及相关概念 一、课标导航 注：负倒数课标不作要求， 二、核心纲要 1.有理数：整数与分数统称有理数 2．有理数的分类 注：①小学学过的π不是有理数． ②“四非”：非负数，非负整数，非正数，非正整数．（不要丢掉“O”） ③“0”既不是正数也不是负数． 3．数轴：规定了原点、正方向和单l 立长度的直线叫 做数轴． 4．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．特别地，0 的相反数是0 ． 5．绝对值 (1)绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离．数a 的绝对值记 作.||a (2)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值 是0． 6.(1)倒数：若a 与b 的乘积是1，则称a 与b 互为倒数；反之，若a 与b 互为倒数，则.1=ab 注：① O 没有倒数； ②求带分数的倒数时要先将其变成假分数，然后再求倒数． (2)负倒数：若a 与b 的乘积是-1，则称a 与b 互为负倒数；反之，若a 与b 互为负倒数，则 .1-=ab

7．比较有理数大小的常用方法 ①代数法：正数大于非正数，零大于一切负数． ②数轴法：数轴右边的数比左边的数大， ③绝对值法：对于两个负数，绝对值大的反而小． ④特殊值法：给题目中的字母一个特定的值，然后代入求值，进而比较大小． 8．数学思想方法 (1)初步理解分类讨论的思想， 分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对 每一类分别研究得出每一类的结果，最后综合各类结果得到整个问题的解答，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略． (2)体会数形结合思想． 数形结合思想是一种重要的数学方法，数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，本章中的“数”就是有理数，“形”就是数轴，由于任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，就把数和形巧妙的结合起来了，数轴是数形结合常用的工具，运用数形结合思想可解决与数轴有关的各种问题， 本节重点讲解：一个方法 （比较太小)两个思想（分类讨论.数形结合）六个概念（有理数、数轴、 相反数、绝对值、倒数和负倒数） 三、全能突破 基 础 演 练 1．(1)下列说法中，正确的是( ) A ．正数和负数统称为有理数 B ．任何有理数均有倒数 C.绝对值相等的两个数相等 D ．任何有理数的绝对值一定是非负数 (2)下列语句正确的是( ) A ．数轴上的点只表示整数 B ．不同的有理数可能用数轴上的同一点表示 C.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 D .有些分数；在数轴上不能表示 2．下列各对数中，不是相反数的是( ) )]3([)3(.----+与A |1|)]1([.--++与B |8|)8(.----与C )]2.5([2.5.-+--与D 3．(1)有下列四个命题：①最大的负整数是-1；②最小的整数是1；③最小的负整数是-1;④最小的正 整数是1．其中正确的说法有 ． (2)下列数中：,|,05.0|,420.0%,23,322,8.3,5,722, 83,15π------负有理数有 ，分数有 4．-a 的相反数是2，则=a ；若3m+7与-10互为相反数，则=m 1;+-m 的相反数是 . 5．数轴上，若点M 、N 表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6，则这两点所表示的数为 ． 6．绝对值小于|5.4|-的整数有 ，和为 . 7．已知,2||,3||==y x 且,y x >求y x +的值．

沪科版七年级数学上第一章《有理数》第1节《正数和负数》例题与讲解

1.1正数和负数 1．相反意义的量 (1)生活中存在大量具有相反意义的量 生活中，有许许多多具有相反意义的词语，例如向东和向西、西北和东南、向前和向后、向左和向右、上升和下降、零上和零下、收入和支出、盈利和亏本、买进和卖出等．生活中存在着数不清的具有相反意义的量，如前进3m与后退5m，收入300元与支出80元等． (2)具有相反意义的量的特点 ①具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能成为相反意义的量； ②与一个量成相反意义的量不止一个，如与上升2m成相反意义的量就很多，如：下降1m，下降0.2m等； ③相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反；二是它们都具有数量．如前进8 m与前进5m，上升与下降都不是相反意义的量，因为前者意义不相反，后者缺少数量； ④相反意义的量中的两个量必须是同类量，如节约汽油3吨与浪费1吨水就不是具有相反意义的量． (3)应用方法 相反意义的量可用正数和负数表示．至于哪一种量为正，可以自由确定，当已知一个量用正数表示时，与其相反意义的量就用负数表示，反之亦然．习惯上把“前进、上升、零上温度、增加”等规定为正，而把“后退、下降、零下温度、减少”等规定为负．谈重点对相反意义的量的理解 表示相反意义的量必须具有相反的意义，且数量必须带单位．表示相反意义的量的数值可以不同． 【例1－1】添上恰当的词，使前后构成具有相反意义的量． (1)库存增加1000千克与________500千克； (2)商店买进50支铅笔与________20支铅笔； (3)股票上涨a元与__________b元． 解析：所填的词必须使前后的量具有相反的意义．增加与减少、买进与卖出、上涨与下跌分别具有相反的意义． 答案：减少卖出下跌 【例1－2】(1)如果零上3℃记为＋3℃，那么－8℃表示的意义是__________； (2)如果下降3米记为－3米，那么上升5米应记为__________； (3)如果前进5千米，记为＋5千米，那么后退6千米应记为__________； (4)支出10元人民币记账为－10元，那么＋20元表示的意义是__________； (5)某仓库运出货物20千克记为－20千克，那么运进35千克货物应记为__________． 解析：(1)零上3℃记作＋3℃，即“＋”号表示“零上”，那么与它相反意义的量“零下”就记作“－”； (2)本小题的“－”号表示“下降”，因此，“上升”应记为“＋”，也就是说，具有相反意义的两个量，把其中的一个规定为正时，那么另一个即为负； (3)～(5)小题类似． 答案：(1)零下8℃(2)＋5米(3)－6千米(4)收入20元人民币(5)＋35千克 析规律正数、负数的实际应用 本题中的“零上、上升、前进、收入、运进”表示的量均为正数，与它们意义相反的量则都用负数表示． 2.正数与负数 (1)正数的概念：为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中一种意义的量，如零上温度、高于海平面高度等规定为正的，用原来熟悉的数如1,6,7,9,8844来表示它们，这样的数叫做正数．正数的前面也可添上正号“＋”，如＋1，＋5，＋16，通常情况下，正数前的正号可省略不写．