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2016_2017学年高中数学第二章函数第12课时函数单调性的概念课时作业

2016_2017学年高中数学第二章函数第12课时函数单调性的概念课时作业
2016_2017学年高中数学第二章函数第12课时函数单调性的概念课时作业

第12课时 函数单调性的概念

课时目标

1.了解函数单调性的概念.

2.会求函数的单调区间.

识记强化

1.函数y=f(x)的图象上任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2),自变量的改变量Δx=x2-x1,函数值的改变量Δy=y2-y1.

2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M?A.

如果取区间M中的任意两个值x1,x2.

改变量Δx=x2-x1>0,

则当Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数.当Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数.

3.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性.区间M称为单调区间.

课时作业

(时间:45分钟,满分:90分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)

1.下列说法正确的是( )

A.定义在(a,b)上的函数f(x)若存在x1、x2∈(a,b),使得x1

B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1、x2∈(a,b),使得

x1

C.若函数f(x)在区间I1上为减函数,在区间I2上也为减函数,那

么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数

D.若函数f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)

么x1

答案:D

2.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )

A.y=3-x B.y=x2+1

C.y=-x2 D.y=x2-2x-3

答案:B

解析:(排除法)选项A,y=3-x在R上是减函数;选项C,y=-x2在(0,+∞)上是减函数;选项D,y=x2-2x-3=(x-1)2-4,当x≤1时,y是x的减函数,当x≥1时,y是x的增函数,而在(0,2)上并不严格单调.故选B.

3.已知f(x)=(3a-1)x+b在(-∞,+∞)上是增函数,则a的取值范围是( )

A. B.

C. D.

答案:B

解析:由3a-1>0,得a>,故选B.

4.若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,则下列关系式一定成立的是( )

A.f(a)>f(2a)

B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a)

D.f(a2+1)<f(a2)

答案:D

解析:因为f(x)是区间(-∞,+∞)上的减函数,且a2+1>a2,所以f(a2+1)<f(a2).故选D.

5.函数y=的单调递增区间是( )

A.(-∞,-2) B.-5,-2]

C.(-2,+∞) D.-2,1]

答案:B

解析:设y=,则u∈0,+∞),y=单调递增,

令u=5-4x-x2,u≥0.

则x∈-5,1]

x∈-5,-2]时,u=5-4x-x2为增函数,由复合函数单调性得y=的递增区间为-5,-2].

6.函数f(x)=的单调性为( )

A.在(0,+∞)上是减函数

B.在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数

C.不能判断其单调性

D.在(-∞,+∞)上是增函数

答案:D

解析:f(x)=的定义域为R,由图象可知,f(x)在R上是增函数.

二、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分)

7.二次函数y=2x2+3mx-6在(-∞,6]上是减函数,则m的取值范围是________.

答案:(-∞,-8]

解析:依题意,抛物线开口向上,

因为在(-∞,6]上是减函数,

所以由-=-m≥6,得m≤-8.

8.设x1,x2为函数f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题:

①x1-x2>0;②x1-x2<0;③>0;④<0.

其中能推出函数f(x)为增函数的命题为________.

答案:③

解析:对于③,因为>0,即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即若x1

>x2,f(x1)>f(x2),若x1<x2,f(x1)<f(x2),故函数f(x)为增函数.其他几个命题均不能推出f(x)为增函数,故填③.

9.若函数f(x)的图象如图所示,则其单调递减区间是________.

答案:(-1,1)

解析:由函数f(x)的图象可知,函数f(x)的单调递减区间为(-1,1).

三、解答题(本大题共4小题,共45分)

10.(12分)画出下列函数的图象,并写出单调区间:

(1)f(x)=|x|·|x-2|;

(2)f(x)=.

解:(1)由题意,得f(x)=,作出图象如图1,由图象知,函数的单调递减区间是(-∞,0)和(1,2),单调递增区间是0,1]和2,+∞).

(2)作出图象如图2,由图象知,函数的单调递减区间是(-∞,0]和(0,+∞).

11.(13分)(1)证明:函数f(x)=在(-∞,0)上是减函数;

(2)证明:函数f(x)=x3+x在R上是增函数.

证明:(1)设x1,x2是(-∞,0)上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.

因为x1,x2∈(-∞,0),所以x1x2>0,又因为x1<x2,所以x2-x1>0,则>0.

于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

因此函数f(x)=在(-∞,0)上是减函数.

(2)设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1<x2,则x2-x1>0,

而f(x2)-f(x1)=(x+x2)-(x+x1)

=(x2-x1)(x+x2x1+x)+(x2-x1)

=(x2-x1)(x+x2x1+x+1)

=(x2-x1)(x2+)2+x+1].

因为(x2+)2+x+1>0,x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)

>f(x1).

因此函数f(x)=x3+x在R上是增函数.

能力提升

12.(5分)设函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则( )

A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)

答案:D

解析:判断出自变量值的大小即可由单调性得到函数值的大小关系.

13.(15分)已知f(x)的定义域为(0,+∞),且在其定义域上为增函数,满足f(x·y)=f(x)+f(y)且f(2)=1,试解不等式f(x)+f(x-2)<3.

解:∵f(x·y)=f(x)+f(y)且f(2)=1

∴f(4)=f(2)+f(2)=2

f(8)=f(4)+f(2)=3

f(x)+f(x-2)<3

∴fx(x-2)]

∵f(x)在(0,+∞)上单调递增

∴解得2

∴f(x)+f(x-2)<3的解集{x|2

函数定义域、值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y = (2 )01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为 ________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈

⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且 1 ()()1 f x g x x += -,求()f x 与()g x 的解析表达式

高中数学中对称性问题总结.doc

对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-(若等式两端的两自变量相加为常数,如 ()()a x b x a b ++-=+),则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称;当a b =时,若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或,则()f x 关于x a =轴对称; 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-(若等式两端的两自变量相减为常数,如 ()()x a x b a b +--=+),则()f x 是周期函数,其周期T a b =+;当a b =时,若()()f x a f x a +=-,则()f x 是周期函数,其周期2T a =; 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或;函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或; 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数,且2T a =是函数的一个周期;偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数,且4T a =是函数的一个周期; 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数,且4T a =是函数的一个周期;偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数,且2T a =是函数的一个周期; 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数,且 2()T a b =-是函数的一个周期; 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数,且 2()T a b =-是函数的一个周期。

高中数学《函数的单调性》教案

《函数的单调性》说课稿 各位评委老师,上午好,我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单调性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容,该节中内容包括:函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用;在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点,也是对函数单调性概念的深层理解,且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法,给出一定的步骤是必要的,有利于学生理解概念,也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外,这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路,现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标: 根据新课标的要求,以及对教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构及心理特征,制定如下教学目标: 1、知识目标: (1)使学生理解函数单调性的概念,能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 (2)通过函数单调性的教学,逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力;2、能力目标: (1)通过本节课的学习,通过“数与形”之间的转换,渗透数形结合的数学思想。 (2)通过探究活动,明白考虑问题要细致、缜密,说理要严密、明确。 3、情感目标:在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交流、合作与

高中数学函数概念

函数 1、 函数的概念 定义:一般地,给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ,使得A 中任一元素x ,都有B 中唯一确定的y 与之对应,那么从集合A 到集合B 的这个对应,叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作:x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域,记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域,记为C 。定义域,值域,对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域,则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 两个函数相同只需两个要素:定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域 一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ,值域:当 2、 函数图象 定义:对于一个函数y=f(x),如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标,把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标,那么,这个函数y=f(x),无论x 取何值,都同时确定了一个点,由于x 的取值范围是无穷大,同样y 也有无穷个,表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象,简称图象。 常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法 已知函数的解析式,若未加特殊说明,则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况: 分式中的分母不为零; 偶次根式下的数或式大于等于零; 实际问题中的函数,其定义域由自变量的实际意义确定; 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。 ②反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x -10-x)的值域。 ③配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3:求函数y=√(-x 2+x+2)的值域。 练习:求函数y=2x -5+√15-4x 的值域. ④判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法 通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法 以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。 例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习:求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法 例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数 设y=f(u ),u=g(x ),当x 在u=g(x )的定义域Dg 中变化时,u=g(x )的值在y=f(u )的定义域D f 内变化,因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系,记为:y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数,其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量(即函数)。 6、函数的表示方法:列表法,解析法,图像法 7、分段函数:对于自变量x 的不同的取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法 例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法 若已知函数为某种基本函数,可设出解析式的表达形式的一般式,再利用已知条件求出系数。 例2已知f(x)是一次函数,f(f(x))=4x+3,求f(x) ③换元法 ④特殊值法 例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立,且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值;(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域: 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是 。 4已知:x x x f 2)1(2 += +,求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x .

高中数学总结归纳 抽象函数的对称性

抽象函数的对称性 关于抽象函数图象的对称问题,下面给出四种常见类型及其证明。 一、设y f x =()是定义在R 上的函数,若f a x f b x ()()+=-,则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 证明:设点A (m ,n )是y f x =()图象上任一点,即f m n ()=,点A 关于直线x a b = +2的对称点为()A a b m n '+-,。 []∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--== ∴点A'也在y f x =()的图象上,故y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 二、设y f x =()是定义在R 上的函数,则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 证明:设点A (m ,n )是y f a x =+()图象上任一点,即f a m n ()+=,点A 关于直线x b a =-2 的对称点为()A b a m n '--,。 ∵f b b a m f a m n [()]()---=+= ∴点A'在y f b x =-()的图象上 反过来,同样可以证明,函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2 的对称点也在函数y f a x =+()的图象上,故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 说明:可以从图象变换的角度去理解此命题。

易知,函数y f x a b =++? ? ???2与y f x a b =-++?? ?? ?2的图象关于直线x =0对称,由y f x a b =++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--?? ???++?? ????=+22()的图象,由y f x a b =-++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---?? ???++????? ?=-22()的图象,它们的平移方向和长度是相同的,故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 三、设y f x =()是定义在R 上的函数,若f a x c f b x ()()+=--2,则函数y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2,对称。 证明:设点() A m n ,是y f x =()图象上任一点,则f m n ()=,点A 关于点a b c +?? ?? ?2,的对称点为()A a b m c n '+--,2。 []∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222 ∴点A'也在y f x =()的图象上,故y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2,对称 说明:(1)当a b c ===0时,奇函数图象关于点(0,0)对称。(2)易知此命题的逆命题也成立。 四、设y f x =()是定义在R 上的函数,则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -?? ?? ?2,对称。 证明:设点A (m ,n )是y f a x =+()图象上任一点,即f a m n ()+=,点A 关于点b a c -?? ?? ?2,的对称点为()A b a m c n '---,2

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

高中数学中的对称性问题

高中数学中的对称性与周期性 一、函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-(若等式两端的两自变量相加为常数,如 ()()a x b x a b ++-=+),则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称;当a b =时,若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或,则()f x 关于x a =轴对称; 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-(若等式两端的两自变量相减为常数,如 ()()x a x b a b +--=+),则()f x 是周期函数,其周期T a b =+;当a b =时,若()()f x a f x a +=-,则()f x 是周期函数,其周期2T a =; 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或;函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或; 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数,且2T a =是函数的一个周期;偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数,且4T a =是函数的一个周期; 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数,且4T a =是函数的一个周期;偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数,且2T a =是函数的一个周期; 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数,且 2()T a b =-是函数的一个周期; 7. 7函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数,且 2()T a b =-是函数的一个周期。 二、关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题 若点A 11(,)x y , B 22(,)x y , 则线段AB 中点M 的坐标是( 1212 ,22 x x y y ++);据此可以解求点与点的中心对称,即求点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点' M 的坐标(,)x y ,利用中点坐标公式可得 00, 22 x x y y a b ++= =,解算的' M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。

高一数学 函数单调性讲解

高中数学必修一函数——单调性 考纲解读: 了解单调函数及单调区间的意义,掌握判断函数单调性的方法;掌握增,减函数的意义,理解函数单调函数的性质。 能力解读:函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性,利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点: 1.函数单调性的定义, 2.证明函数单调性; 3.求函数的单调区间 4.利用函数单调性解决一些问题; 5.抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 (1)设函数)(x f y =的定义域为A ,区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ,2x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f <,那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数,I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ,2x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数,I 称为)(x f y =的单调减区间 (2)设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0,使得对于任意A x ∈,有)()(0x f x f ≤恒成立,那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值; 如果存在定值A x ∈0,使得对于任意A x ∈,有)()(0x f x f ≥恒成立,那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点:函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域; (1)定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ,2x 有三个特征:一是任意性;二是大小,即 )(2121x x x x <<;三是同属于一个单调区间,三者缺一不可;

高一数学函数的概念及表示方法

全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点:理解函数的概念;区间”、“无穷大”的概念,定义域的求法,映射的概念教学难点:函数的概念,无穷大”的概念,定义域的求法,映射的概念 教学目标1.理解函数的定义;明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素; 2.能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号;掌握分式函数、根式函数定义域的求法,掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念,会判断一些简单的对应是否是映射,会求象或原象. 5.会结合简单的图示,了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况: 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入: 初中(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数? 设在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的 值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域,和自变量x的值对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1:()是函数吗? 问题2:与是同一函数吗? 观察对应: 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课:

(完整版)常见函数对称性和周期性

(一)函数)(x f y =图象本身的对称性(自身对称) 若()()f x a f x b +=±+,则()f x 具有周期性;若()()f a x f b x +=±-,则()f x 具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。 推论1:)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 (二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

高中数学函数的定义域教案人教版必修一

第二章--------函数的定义域 函数的独立元素:解析式 定义域 值域 性质 一、由函数解析式求定义域 基础练习A: 1.求下列函数的定义域: (1)y=lg(4x+3) (2)y=1/lg(4x+3) (3)y=(5x-4)0 (4)y=x 2/lg(4x+3)+(5x-4)0 2.用长为L 的铁丝弯成下部的矩形,上部分为半圆的框架(如图),若矩形的底边长为2x ,求此框架围成面积y 与x 的函数,写出的定义域。 例1、求下列函数的定义域 变1:使解析式 无意义的x 的取值范围是 变2:已知y 是x 的函数t t t t t t y x -+----+=+=222244,22其中t ∈R ,求 y=f(x)的函数解析式及其定义域 x x y )2lg(1-=、02)45()34lg(2-++=x x x y 、)39lg(|2|713x x y -+--=、3)12(23log )(4-=-x x f x 、x x y cos lg 2552+-=、C B 3442log 22+-+--x x x x

二、由y=f(x)的定义域,求复合函数y=f(g(x))的定义域;或者反过 来。 例2、设函数f(x)的定义域为[-2,9),求下列函数的定义域: (1)f(x+2) (2)f(3x) (3)f(x2) (4)f(lgx+5) (5) g(x)=f(-x)+f(x) 实质:已知中间变量u=g(X)的值域,求x的范围。 变:已知函数f(x)的定义域为[-1,1),则F(x)=f(1―x)+f(1―x2)的定义域为__。 例3、(1) 函数f(3x-2)的定义域是[-2,1),则f(x)的定义域为 (2)函数f(x2)的定义域是[-1,1),则f(x)的定义域为 x)的定义域为 (3)函数f(x2)的定义域是[-1,1],则f(log 2 ______ 例4、已知函数f(x)=1/(x+1),则f[f(x)]的定义域为 实质:由中间变量u=g(x)的值域求f(x)的定义域

高中数学-函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导 单调性: 设函数y =f (x )定义域为A ,区间M ?A ,任取区间M 中的两个值x 1,x 2,改变量Δx =x 2-x 1>0,则当Δy =f (x 2)-f (x 1)>0时,就称f (x )在区间M 上是增函数,当Δy =f (x 2)-f (x 1)<0时,就称f (x )在区间M 上是减函数. 如果y =f (x )在某个区间M 上是增(减)函数,则说y =f (x )在这一区间上具有单调性,这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间. 函数的单调性是函数的一个重要性质,在给定区间上,判断函数增减性,最基本的方法就是利用定义:在所给区间任取x 1,x 2,当x 1<x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小. 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法,教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的. 对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性,可通过换元,令u =φ(x ),然后分别根据u =φ(x ),y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断,一般有“同则增,异则减”这一规律. 此外,利用导数研究函数的增减性,更是一种非常重要的方法,这一方法将在后面的复习中有专门的讨论,这里不再赘述. 奇偶性: (1)设函数f (x )的定义域为D ,如果对D 内任意一个x ,都有-x ∈D ,且f (-x )=-f (x ),则这个函数叫做奇函数;设函数f (x )的定义域为D ,如果对D 内任意一个x ,都有-x ∈D ,且f (-x )=f (x ),则这个函数叫做偶函数. 函数的奇偶性有如下重要性质: f (x )奇函数?f (x )的图象关于原点对称. f (x )为偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称. 此外,由奇函数定义可知:若奇函数f (x )在原点处有定义,则一定有f (0)=0,此时函数f (x )的图象一定通过原点. 周期性: 对于函数f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f (x +T )=f (x )成立,则函数f (x )叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. 关于函数的周期性,下面结论是成立的. (1)若T 为函数f (x )的一个周期,则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数). (2)若T 为y =f (x )的最小正周期,则 | |ωT 为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期,其中ω≠0. 对称性: 若函数y =f (x )满足f (a -x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2 b a x += 对称,若函数y =f (x )满足f (a -x )=-f (b +x )则y =f (x )的图象关于点( 2 b a +,0)对称. 函数的图象: 函数的图象是函数的一种重要表现形式,利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质,我们首先要熟记一些基本初等函数的图象,掌握基本的作图方法,如描点作图,三角函数的五点作图法等,掌握通过一些变换作函数图象的方法.同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用. (1)利用平移变换作图:

高一数学函数的单调性知识点

高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1.函数单调性的定义,2.证明函数单调性;3.求函数的单调区间 4.利用函数单调性解决一些问题;5.抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1<x2时,都有f(x1 ) <f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1<x2时,都有f(x1 ) >f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1<x2 ,且f(x1 ) <f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1<x2 , f(x1 ) <f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) <f(x2 ), x1<x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比

高中数学-函数的概念及表示练习

高中数学-函数的概念及表示练习 【考情分析】 高考在本考点的常考题型为选择和填空,分值5分,中高等难度 【考纲研读】 1.了解构成函数的要素,了解映射的概念 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数 3.了解简单的分段函数,并能简单应用 一、选择题 1.(·全国卷Ⅱ)设函数f (x )=??? 1+log 2(2-x ),x <1,2x -1,x ≥1, 则f (-2)+f (log 212)=( ) A .3 B .6 C .9 D .12 2.(·浙江高考)存在函数f (x )满足:对于任意x ∈R 都有( ) A .f (sin2x )=sin x B .f (sin2x )=x 2+x C .f (x 2+1)=|x +1| D .f (x 2+2x )=|x +1| 3.(山东)设f (x )={√x ,0

高中数学函数的对称性与周期性讲义

高中数学函数的对称性与周期性讲义 一、引例:若)(x f 是定义在R 上的函数,对于满足下例条件中,)(,x f r x ∈?某一个,那么对于每个条件下的)(x f ,各具有哪些特殊性质? (1),)1()1(x f x f -=+ (4),)1()1(x f x f --=+ (7),)1()1(-=+x f x f (2),)2()(x f x f -= (5),)2()(x f x f --+ (8),)()2(x f x f =+ (3),)3()1(x f x f -=+- (6),)2(4)(x f x f --= (9),)()1(x f x f -=+ 二、 函数的对称性 1、轴对称 )()()() 2()() ()()(] 0[x f x f y x f x a f x f x a f x a f a x x f a =-?-=?-=+?=?=轴对称关于对称关于 2、点对称 0 )()()()()00()(] 0[) ()()2()()0,()(] 0[2)()()2(2)(),()(=-+?--=?=-=+?--=?==-++?--=?x f x f x f x f x f a x a f x a f x a f x f a x f b b x a f x a f x a f b x f b a x f 对称,关于对称关于对称关于 3、本质特征: 【自变量】 为常数) (定义域)且a a x x D x x (2212,1=+∈? 【函数值】 a x x x x x f x f =→+=→→=对称轴对称轴轴对称性2 )()(2121 ),)22,2(2)()(2121b a b x x b x f x f 对称中心(对称中心中心对称 →+→→=+ 模型:对称关于2 )()()(,b a x x f x b f x a f D x +=?-=+∈? 对称关于)0,2 ()()()(,b a x f x b f x a f D x +?--=+∈? 三,函数的周期性 定义:设定义在D 上的函数,),(D x x f ∈?对于都存在非零常数T ,使得)()(x f T x f =+则函数)(x f 为周期函数,T 为)(x f 的一个周期, 【自变量】 D x x ∈?21,(定义域)且T x x =-21(T 为非零常数)

高一数学知识点总结:函数的定义域

高一数学知识点总结:函数的定义域 导语:高中数学相对于初中来说在学习方法和解题难度上都会有所增加,所以我们要熟悉每个重点知识点,以此来找到更好的学习方法。以下是为大家精心的高一数学知识点总结:函数的定义域,欢迎大家参考! 定义域 (高中函数定义)设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域; 值域 名称定义 函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合 常用的求值域的方法 (1)化归法;(2)图象法(数形结合), (3)函数单调性法, (4)配方法,(5)换元法,(6)反函数法(逆求法),(7)判别式法,(8)复合函数法,(9)三角代换法,(10)基本不等式法等 关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中,实行“定义域优先”的原则,无可置疑。然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识。 “范围”与“值域”相同吗? “范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值),而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说:“值域”是一个“范围”,而“范围”却不一定是“值域”。

高中数学函数的单调性

一、选择题 1.若),(b a 是)(x f 的单调增区间,()b a x x ,,21∈,且21x x <,则有( ) A . ()()21x f x f < B . ()()21x f x f = C . ()()21x f x f > D . ()()021>x f x f 2.函数()2 2-=x y 的单调递减区间为( ) A .[)+∞,0 B .(]0,∞+ C .),2[+∞ D .]2,(-∞ 3.下列函数中,在区间)2,0(上递增的是( ) A .x y 1= B .x y -= C .1-=x y D .122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .()0,∞- B .()+∞,0 C .()0,1- D .()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数,则有( ) A .2 1≥ a B .2 1≤ a C .2 1> a D .2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数,那么实数a 的取值范围是( ) A .3≤a B .3≥a C .3-≥a D .3-≤a 二、填空题 7.函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8.已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数,则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9.函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10.若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数,在区间),1(+∞- 上是增函数,则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12.判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性,并给出证明.

高中数学函数的概念与性质(T)

函数的概念与性质 【知识要点】 1.函数的概念及函数的三要素 2.怎么判断函数的单调性 3.怎么判断函数的奇偶性 【典型例题】 例1.求下列函数的解析式,并注明定义域. (1)若x x x f 2)1(+=-,求)(x f . (2)若31 )1(44-+=+x x x x f ,求)(x f . 例2.求下列函数的值域. (1))1(1 3 2≥++=x x x y (2)1)(--=x x x f (3)232--=x x y (4)246 (),[1,4]1 x x f x x x ++= ∈+

例3.已知函数f (x )=m (x +x 1)的图象与函数h (x )=41(x +x 1 )+2的图象关于点A (0,1)对称. (1)求m 的值; (2)若g (x )=f (x )+ x a 4在区间(0,2]上为减函数,求实数a 的取值范围. 例4.判断下列函数的奇偶性 (1)334)(2-+-=x x x f (2)x x x x f -+?-=11)1()( 例5.设定义在[-2,2]上的偶函数,)(x f 在区间[0,2]上单调递减,若)()1(m f m f <-,求实为数m 的取值范围。

例6.已知函数f (x )=x + x p +m (p ≠0)是奇函数. (1)求m 的值. (2)当x ∈[1,2]时,求f (x )的最大值和最小值. 例7.(2005年北京东城区模拟题)函数f (x )的定义域为D ={x |x ≠0},且满足对于任意x 1、x 2∈D , 有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2). (1)求f (1)的值; (2)判断f (x )的奇偶性并证明; (3)如果f (4)=1,f (3x +1)+f (2x -6)≤3,且f (x )在(0,+∞)上是增函数,求x 的取值范围.

高中数学函数对称性和周期性小结

高中数学函数对称性和周期性小结 一、函数对称性: 1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称 2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称 3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点(a,0)对称 4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点(a,b)对称 5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[(a+b)/2 ,c/2] 对称 6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称 7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称 8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称 例1:证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。 【解析】求两个不同函数的对称轴,用设点和对称原理作解。 证明:假设任意一点P(m,n)在函数y = f(a+x) 上,令关于x=t 的对称点Q(2t – m,n),那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)] ∴b – 2t =a ,==> t = (b-a)/2 ,即证得对称轴为x=(b-a)/2 . 例2:证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。 证明:假设任意一点P(m,n)在函数y = f(a - x) 上,令关于x=t 的对称点Q(2t – m,n),那么n =f(a-m) = f[ (2t – m)– b] ∴2t - b =a ,==> t = (a + b)/2 ,即证得对称轴为x=(a + b)/2 . 二、函数的周期性 令a , b 均不为零,若: 1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x+a) ==> 函数最小正周期T=|a| 2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a| 3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a| 4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==>函数最小正周期T=|2a| 5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==>函数最小正周期T=|4a| 这里只对第2~5点进行解析。 第2点解析: 令X=x+a ,f[a +(x –a)] = f[b +(x – a)] ∴f(x) = f(x + b – a) ==> T=b – a

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