完全平方公式和平方差公式教学文案

完全平方公式和平方

差公式

乘法公式

1．平方差公式

(1)平方差公式的推导：

因为(a ＋b )(a －b )＝a 2－ab ＋ab －b 2＝a 2－b 2，

所以(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.

【例1】 利用平方差公式计算．

(1)(2a ＋3b )(－2a ＋3b )； (2)503×497.

2．完全平方公式

(1)两数和的完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；

两数差的完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.

析规律 完全平方公式的特征 完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．

【例2】 计算：

(1)(4m ＋n )2； (2)(y －12)2； (3)(－a －b )2； (4)(－2a ＋12

b )2.

3．添括号法则

法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

警误区 添括号法则的易错点 添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a －b ＋c ＝a －(b ＋c )，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．

【例3】 填空：(1)(x －y ＋z )(x ＋y －z )

＝[x －( )][x ＋( )]；

(2)(x ＋y ＋z )(x －y －z )

＝[x ＋( )][x －( )]．

【例4】 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式__________．

【例6】 观察下列各式的规律：

12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；

22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；

32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；

…

写出第n 行的式子，并证明你的结论．

类型一：巧用乘法公式 类型二：平方差与完全平方公式混用

22114422x x ????-+ ???????

计算： ()()a b c a b c ++--计算：

类型三：完全平方公式在三角形中的运用

例3、已知△ABC 的三边长a,b,c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状

类型四：利用乘法公式解方程(组)

例4：()()()()222432x y x y x y x y ?+-+=+-??-=-??

解方程组

类型五：多项式的证明

例5：证明无论a,b 为何值，多项式222612a b a b +--+的值恒为正

类型六：灵活运用乘法公式解题

例6、计算22222111111-1-1-11234910??????????-- ????? ?????????????

拓展：

三项完全平方公式：()2

222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ 二次三项式：()()()2+x a x b x a b x ab +=+++

立方和公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+

立方差公式：()()3322-+a b a b a ab b =++

1、若()()234+,,x x x px q p q --=+那么的值分别是

平方差公式教学设计(1)

平方差公式教学设计 一．目标 1.经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 二、教学问题诊断分析 学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解． 三．本节课的教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算． 四、教学过程设计 （一）创设情境，引出课题 问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）（x+1）（x-1）= ； （2）（m+2）（m-2）= ； （3）（2x+1）（2x-1）= ． （二）探索新知，尝试发现 问题２：依照以上三道题的计算回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？ ②②它们的结果有什么特征？ ③能不能用字母表示你的发现？ 师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：．（三）数形结合，几何说理 问题3：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系．

（四）总结归纳，发现新知 问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （五）剖析公式，发现本质 在平方差公式中，其结构特征为： ①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即； ②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b 的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式． （六）巩固运用，内化新知 问题5：判断下列算式能否运用平方差公式计算： （1）（2x+3a）（2x–3b）；（2）； （3）（－m+n）（m－n）；（4）； （5）． 问题6：判断下列计算是否正确： （1）（2a–3b）（2a–3b）=4a2－9b2（） （2）（x+2）（x – 2）=x2－2 （） 3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4 （）

示范教案一172平方差公式(二)

第十二课时 ●课题 §1.7.2 平方差公式(二) ●教学目标 (一)教学知识点 1.了解平方差公式的几何背景. 2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. 3.体会符号运算对证明猜想的作用. (二)能力训练要求 1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感与价值观要求 1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣. 2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美. ●教学重点 平方差公式的几何解释和广泛的应用. ●教学难点 准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能. ●教学方法 启发——探究相结合 ●教具准备 一块大正方形纸板，剪刀. 投影片四张 第一张：想一想，记作(§1.7.2 A) 第二张：例3，记作(§1.7.2 B) 第三张：例4，记作(§1.7.2 C) 第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情景，引入新课 ［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a. 这个正方形的面积是多少？ ［生］a2. ［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？ 图1－23 ［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2). ［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论. (教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法) ［生］老师，我们拼出来啦. ［师］讲给大伙听一听. ［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和

《平方差公式》教学设计

平方差公式的教学设计 【教学目标】 知识与技能 （1）理解平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性，形成正向产生式：“﹙□+△﹚﹙□–△﹚”→“□2–△2”； （2）能运用公式进行计算，达到正用公式的水平。 过程与方法 （1）使学生经历公式的独立建构过程，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，培养学生抽象概括的能力，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想；（2）培养学生的问题解决能力，为学生提供运用平方差公式来研究实际问题的探究空间。 情感态度价值观 体会数学源于实际，高于实际，运用于实际的科学价值与文化价值。 【学情分析】 平方差公式是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上,在学生已经掌握了多项式乘法之后,自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法,是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究,不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法,而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的学习提供了方法. 学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛的理解. 【教学重点】平方差公式的本质的理解与运用； 【教学难点】1.平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性；2.平方差公式的变式运用。 【教学过程设计】 （一）速算王的绝招 在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题： 1．103×97=?； 2. 2001×1999=? 主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于9991，第二题等于3999999。”其速度之快，简直就是脱口而出。同学们，你知道他是如

平方差公式教案

14.2.1平方差公式 [教学目标] 知识与技能：1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算。 过程与方法：1.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 2.在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。 情感态度与价值观：培养学生灵活运用知识、勇于探求科学规律的意识。 [教学重难点] 教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。 教学难点：理解公式中字母的广泛含义，具体问题要具体分析，会运用公式进行计算。 [教学过程] （一）创设情境，引出课题 从前，有一个土财主，一天他把一块边长为50米的正方形土地租给阿凡提。第二年，他对阿凡提说：“我把这块地的一边增加2米，另一边减少2米，再租给你，你也没吃亏，你看如何？”阿凡提一听马上说道：“不行，那样我会吃亏的。”阿凡提是这样想的，(50+2)(50-2)=2496<2500。同学们，你们知道为什么他能如此迅速地计算出结果吗？ （二）探索新知，尝试发现 问题1：多项式与多项式是如何相乘的？ 问题2：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）（x +1）（x -1）= ； （2）（m +2）（m -2）= ； （3）（2x +1）（2x -1）= ． 问题3：依照以上三道题的计算回答下列问题： ①它们的左边具有什么共同特征？ ②它们的结果有什么特征？ ③能不能用字母表示你的发现？ 师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：()()22b a b a b a -=-+． 问题4：同学们猜想出的这个等式一定成立吗 （三）总结归纳，发现新知 平方差公式：()()22b a b a b a -=-+

平方差公式教案(教学设计)

《平方差公式》 【教学目标】 （一）知识与技能： 1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算。 （二）过程与方法： 　1．认识平方差公式及其几何背景，使学生明白数形结合的思想。 　2．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。 （三）情感态度与价值观：培养学生灵活运用知识、勇于探求科学规律的意识。 【教学重点】 平方差公式的推导和应用 【教学难点】 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式。 【教学过程】 新课讲授： 一、创设情境，引出新课 教师活动：播放《周老财与李老汉的故事》视频。 周老财是个贪心狡猾的地主，李老汉是个老实巴交的农民。有一天，李老汉找到周老财租土地。周老财对李老汉说“那我把这块边长为a米的正方形土地租给你吧，每年给我200斤粮食就可以了。”李老汉答应了。和周老财签了三年的合约。租到了土地李老汉非常勤劳，三年的收成都挺好。这时周老财打起了李老汉的主意。于是周老财对李老汉说，土地租期到了，要不这样，我把这块土地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，租金不变，继续租给你怎么样？李老汉一听，觉得没什么问题就爽快答应了。事后李老汉跟村里人说起了这事，大伙都说他被周老财骗了，吃大亏了。李老汉想不明白，土地看上去没什么变化，租金也没变，为什么会吃亏呢？李老汉实在想不明白。 提问：李老汉究竟有没有吃亏呢？（让学生做片刻思考）我相信通过这节课的学习，同学们肯定都能轻松地找到答案。 设计意图：引用小故事，设置课堂悬念，激发学生的求知欲望，让学生有兴趣和信心学习新的知识。同时也为说明平方差公式的几何意义做好铺垫。 二、温故知新，探究发现

平方差公式教案(优质课一等奖)

平方差公式教案(优质 课一等奖) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

八年级数学《15.2.1平方差公式》教学设计 桂平市西山一中覃娟娟 教学目标： 1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并运用公式进行简单的运 算. 2.在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。 3.在计算的过程中发现规律,并能用符号表达,从而体会数学语言的简洁美.教学重点、难点： 重点：平方差公式的推导及应用. 难点：平方差公式的应用. 教具准备： 多媒体课件 教学过程： 一、创设情景，复习导入 回顾思考： 1、多项式乘法法则： ( m + a )( n + b ) = m n + m b + a n + a b x+(a+b)x+ab 2、如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:(x+a)(x+b)=2 二、新课引入 1、计算下列各题,看谁做的又快又准确: (1)(x＋y)(x－y) (2)(2a＋b)(2a－b) 2、教师提问：1）上述式中都有什么样的规律

2）能不能用字母来表现它呢？学生活动：讨论，并回答出教师提问. 3、师生共同归纳出平方差公式 2 2 ) )( (b a b a b a- = - + 4、师生共同探讨用面积说明平方差公式（课件演示图形）. 5、师生共同分析平方差公式的结构特征. 6、练习： 判断下列式子可用平方差公式计算吗 ①(a?b)(b?a) ；② (a+2b)(2b+a)； ③(a?b)(a+b) ；④ (2x+y)(y?2x). 三、例题讲解 例1 运用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5?6x)； (2) (b+2a)(2a?b)； (3) (-x+2y)(-x?2y). 评析:1）认清结构，找准a、b 2）运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相同的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式； 例2：计算： （1）102 × 98 ；（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5). 评析：1）巧妙的化为公式形式 ;

《平方差公式》案例分析

《平方差公式》案例分析 xxx 20XX年12月29日 10:31 浏览数：270 | 评论数：0 一、教材分析： [本小节在教材中的作用和地位]： 本节内容是在学习整式乘法的基础上进行的，它是代数以至整个数学中应用最广泛的公式之一，是构建学生代数知识结构，培养学生化归的数学思想和换元的数学方法的重要载体，在教材中起着承上启下的作用. 二、目标分析： [教学目标]： 1、知识与技能目标 (1)经历探索平方差公式的过程，熟悉平方差公式； (2)能说出平方差公式的结构特征，会用平方差公式进行简单运算； (3)会推导验证平方差公式，能灵活运用平方差公式进行运算. 2、过程与方法目标： 通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.养学生的数学建模能力，抽象思维能力，感悟换元变换的思想方法，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维，从而提高学生灵活运用公式的能力. 3、情感态度价值观目标： 让学生感受到数学既来源于生活实际，又是解决生活中许多问题的工具，学习是有价值的学习，从而促使学生热爱数学研究数学. [教学重点和难点]： 重点：理解和掌握平方差公式. 难点：灵活应用平方差公式. 三、教法分析与学法分析： [学情分析]： 学生在知识方面已掌握了整式的概念、整式的加减与乘法运算.在情感态度方面个性活泼、思维活跃，已初步具有对熟悉问题进行合作探究的能力.在思维方面逐渐具有一定的抽象思维能力，并能较好地利用数形结合的思想解决一些数学问题. [教法分析]：

基于本节课内容的特点和八年级学生的特征.遵循教必须以学为立足点的教学理念.我以探究体验的教学法为主，为学生创造一个良好的学习情境，通过学生的自主探究，加深对公式的理解.同时，考虑到学生的个体差异，在各个环节采用分层教学. [学法分析]： 以问题为线索，让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识，让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法. 四.教学过程 1.创设情境 将一个边长为m的正方形草坪一边减少4米,一边增加4米,改建后的草坪形状发生了怎样的变化? （从实际生活中引出数学知识,感受数学处处存在） 2.探索活动 师：形的面积怎样变化? 生:面积不变. 师:那就请你通过剪拼手中的长方形纸片与正方形纸片来验证你的猜想! (学生认为一边减少4边增加4米, 一边减少4米,少的与加的一样,所以面积不变,此时,就势提出让学生来验证自己的猜想,学生通过课前准备的10cm×10cm 与8cm×12cm的纸片来剪纸拼图) 师展示学生拼图：谁的面积大? 生:正方形. (学生通过剪纸拼图的方式对自己先前的猜想予于否定) 师:多的这部分在拼成的图形中是哪一块的面积? 生:…… 师:它是一个什么图形? 生: …… 师:多出的面积是多少? 生: …… 师:如果原来的正方形减少与增加的长度都是n呢？

平方差公式教案(优质课一等奖)

八年级数学《15.2.1平方差公式》教学设计 桂平市西山一中覃娟娟 教学目标： 1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并运用公式进行简单的 运算. 2.在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。 3.在计算的过程中发现规律,并能用符号表达,从而体会数学语言的简洁美. 教学重点、难点： 重点：平方差公式的推导及应用. 难点：平方差公式的应用. 教具准备： 多媒体课件 教学过程： 一、创设情景，复习导入 回顾思考： 1、多项式乘法法则： ( m + a )( n + b ) = m n + m b + a n + a b x+(a+b)x+ab 2、如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:(x+a)(x+b)=2 二、新课引入 1、计算下列各题,看谁做的又快又准确: (1)(x＋y)(x－y) (2)(2a＋b)(2a－b) 2、教师提问：1）上述式中都有什么样的规律？

2）能不能用字母来表现它呢？学生活动：讨论，并回答出教师提问. 3、师生共同归纳出平方差公式 2 2 ) )( (b a b a b a- = - + 4、师生共同探讨用面积说明平方差公式（课件演示图形）. 5、师生共同分析平方差公式的结构特征. 6、练习： 判断下列式子可用平方差公式计算吗? ①(a?b)(b?a) ；② (a+2b)(2b+a)； ③-(a?b)(a+b) ；④ (-2x+y)(y?2x). 三、例题讲解 例1 运用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5?6x)； (2) (b+2a)(2a?b)； (3) (-x+2y)(-x?2y). 评析:1）认清结构，找准a、b 2）运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相同的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式； 例2：计算： （1）102 × 98 ；（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5). 评析：1）巧妙的化为公式形式 ; 2）只有符合公式才能应用公式，否则，只能应用多项式与多项式乘法法则进行运算。 四、随堂练习，巩固新知 1、指出下列计算中的错误： (1) 2 2 1 ) 2 1 )( 2 1(x x x- = - +

完全平方公式和平方差公式教学文案

完全平方公式和平方 差公式

乘法公式 1. 平方差公式 (1)平方差公式的推导： 因为(a+ b)(a- b)= a2—ab+ ab—b2= a2—b2, 所以(a+ b)(a —b)= a2—b2. 【例1】利用平方差公式计算. (1)(2a + 3b)( —2a+ 3b); (2)503 x 497. 2. 完全平方公式 (1)两数和的完全平方公式：(a + b)2= a2+ 2ab+ b2; 两数差的完全平方公式：(a—b)2= a2—2ab+ b2. 析规律完全平方公式的特征完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在 中央. 【例2】计算： 1 1 (1)(4m + n)2; (2)( y—刁2；(3)( —a—b)2; (4)( —2a+ 尹)2 3. 添括号法则 法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括 到括号里的各项都改变符号. 警误区添括号法则的易错点添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符 号，不可只改变部分项的符号，如： a —b+ c = a —(b + c)，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的. 【例3】填空：(1)(x —y+ z)(x+ y—z) =[x —( )][x+ ()];

(2)(x+ y+ z)(x—y—z)

=[X + ( )][X- ( )] ? 【例4】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a>b）,把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式________________ . 【例6】观察下列各式的规律： 12+ (1 X 2)2+ 22= (1 X 2+ 1)2； 2 + (2 X 3)2+ 32= (2 X 3+ 1)2; 32+ (3 X 4)2+ 42= (3 X 4+ 1)2; 写出第n行的式子，并证明你的结论. 类型一：巧用乘法公式式混用 计算：4x2—丄4x2 2 2类型二：平方差与完全平方公计算：a b c a b c

平方差公式教学案例

数学教学案例（人教版八年级数学上册14.2.1） 案例名称：《平方差公式》 所属课程：数学 所属专业：初中数学 授课课时：一课时

《平方差公式》教学案例 一、教学内容与分析 1．内容 平方差公式——两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2.内容分析 本节内容主要研究的是平方差公式的推导和应用。平方差公式是学生学习了整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在已经掌握了单项式乘法、多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为完全平方公式的学习提供了方法，同时也为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础。因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有承上启下的作用。 3．教学重点与难点 本节课的重点：理解平方差公式，掌握其结构特点，并能运用公式进行运算。 本节课的难点：①理解公式中字母的含义，即公式：22))((b a b a b a -=-+中的字母a ，b 可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。正确找准哪个数或式相当于公式中的a ，b.②平方差公式的变式应用。 二、教学目标与解析 1.目标 （1）知识目标：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行计算。 （2）能力目标：在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象研究问题的方法；在验证平方差公式的过程中，感知数形结合的思想，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生的思维能力和数

学应用意识。 （3）情感目标：让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦，培养学生勇于探索、善于观察、大胆猜想的创新思维品质。 2.目标解析 （1）理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，加深学生对公式的理解。 （2）让学生经历具体——抽象的过程。从中发现、体会、理解公式，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、观察、归纳、猜想、推理能力，利用几何图形的面积验证公式的过程中，感知数形结合的思想。在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生的思维能力和数学应用意识。 （3）通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，在解决问题过程中与他人合作交流的重要性，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。 三、学生情况分析 学生已经较熟练地掌握了多项式乘法，为学习本节知识做了知识准备；学生已经具备了小组合作能力、探究能力、归纳分析能力，能通过合作交流完成学习任务；通过创造问题情境，让学生探索相应问题，建立并运用公式，从而拓展学生知识技能成为可能。 四、教学问题诊断分析 学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义的解。因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解。

平方差公式教学设计知识讲解

《14.2.1平方差公式》教学设计 明水二中刘培国 一、内容和内容解析 内容 人教版数学八年级上册“14.2乘法公式”（第一课时） 内容解析 《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式. 本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算. 二、目标和目标解析 目标 1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 目标解析： 1、让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性. 2、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.

《平方差公式》第一课时优秀教案

平方差公式(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. (二)能力训练要求 1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感与价值观要求 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美. ●教学重点 平方差公式的推导和应用. ●教学难点 用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式. ●教学方法 探究与讲练相结合. 使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用. ●教具准备 投影片四张 第一张：做一做，记作(§1.7.1 A) 第二张：例1，记作(§1.7.1 B) 第三张：例2，记作(§1.7.1 C) 第四张：练一练，记作(§1.7.1 D) ●教学过程 Ⅰ.创设情景，引入新课 ［师］你能用简便方法计算下列各题吗？ (1)2001×1999；(2)992－1

［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800. ［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即 (2000+1)(2000－1)=20002－12. 那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？ 我们不妨看下面的做一做. Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律 ［师］出示投影片(§1.7.1 A) 做一做：计算下列各题： (1)(x+2)(x－2); (2)(1+3a)(1－3a); (3)(x+5y)(x－5y); (4)(y+3z)(y－3z). 观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？ ［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法. ［生］上面四个算式每个因式都是两项. ［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积. ［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们

平方差公式(第二课时)教案

平方差公式 （第二课时） 一、学习目标： 1.了解平方差公式的几何背景. 2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. 3. 了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法. 二、重点： 会推导平方差公式，并掌握公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算和推理. 三、难点： 会推导平方差公式，并掌握公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算和推理. 四、讲授新课： 前面利用了两课时的时间，学习了平方差公式。课后我抽查了学生的学习情况，大部分学生反映，对三项及更多项能够运用平方差公式解决的问题，还存在一定的困惑，不容易找到整体项。于是，我搜集和整 理了一些类似的题型，如 )32)(32(),)(+--++--+y x y x c b a c b a （，然后给学生讲解。 下面是一些实际例子：

()()()[]()[] ()2 222) 222(22 21c bc b a c bc b a c b a c b a c b a c b a c b a -+-=+--=--=---+=+--+、 你会发现：在解题过程中，通过变形，把()c b -看作一个整体。 ()()()[]()[] ()()91249 1243232323232222222 2-+-=+--=--=---+=+--+y y x y y x y x y x y x y x y x 、 通过变形，把()32-y 看作一个整体。 当我讲完第二个题后，突然，有一个学生就提问了：“老师，怎么才能一下就看出整体项，有没有简单的方法，对于类似的题，我还不易掌握？”。 我一下愣住了，怎么能一下就看出整体项，简单的方法？ 我想了想：既然平方差公式是两项和与两项差的积，那么这两项就是符号上的差别。对于三项，我们也可以找出它们之间的符号差别，例如在()()c b a c b a +--+中，对比观察两组括号里的各项，相同的项a ，相反的项b +与b -,c -与c +。然后把相同的项a 看成一个整体，相反的项c b -看作另一个整体。 所以对于任意给出的三项，我们都可以按照以上方法来做，如：

热门-平方差公式教学设计

平方差公式教学设计 平方差公式教学设计范文 教学目的 进一步使学生理解掌握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异。 教学重点和难点： 公式的应用及推广。 教学过程： 一、复习提问 1、（1）用较简单的代数式表示下图纸片的面积。 （2）沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积。 讲评要点： 沿hd、gd裁开均可，但一定要让学生在裁开之前知道 hd＝bc＝gd＝fe＝a－b， 这样裁开后才能重新拼成一个矩形。希望推出公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） 2、（1）叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；

（2）试比较公式的两种表达式在应用上的差异。 说明：平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点： （1）公式具体，易于理解； （2）公式的特征也表现得突出，易于初学的人“套用”； （3）形式简洁。但数学表达式中的'a与b有概括性及 抽象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误解。 依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子： 经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括。因而也就“欠”明确（如结果不知是谁与谁的平方差）。故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，灵活运用公式的两种表达式，比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a与b，这样才能使 自己的计算即准确又灵活。 3、判断正误： （1）（4x＋3b）（4x－3b）＝4x2－3b2；（×）（2）（4x＋3b）（4x－3b）＝16x2－9；（×） （3）（4x＋3b）（4x－3b）＝4x2＋9b2；（×）（4）（4x＋3b）（4x－3b）＝4x2－9b2；（×） 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，是特 殊的多项式与多项式相乘的一种简便计算。通过复习多项式乘以多项式的计算导入新课，为探究新知识奠定基础。在重难点

平方差公式教案(优质课一等奖)教程文件

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 八年级数学《1521平方差公式》教学设计 桂平市西山一中覃娟娟 教学目标： 1. 经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并运用公式进行简单的 运算? 2. 在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。 3. 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简洁美.教学重点、难点： 重点：平方差公式的推导及应用? 难点：平方差公式的应用? 教具准备： 多媒体课件 教学过程： 一、创设情景，复习导入 回顾思考： 1、多项式乘法法则：(m + a )( n + b ) = m n + m b + a n + a b 2 2、如果m=n且都用x表示，那么上式就成为：(x+a)(x+b)= X +(a+b)x+ab 二、新课引入 1、计算下列各题,看谁做的又快又准确： (1) (x + y)(x - y) (2) (2a + b)(2a —b)

2、教师提问：1) 上述式中都有什么样的规律？ 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 2)能不能用字母来表现它呢？ 学生活动：讨论，并回答出教师提问? 2 2 3、师生共同归纳出平方差公式(a b)(a b) a b 4、师生共同探讨用面积说明平方差公式(课件演示图形) 5、师生共同分析平方差公式的结构特征. 6练习： 判断下列式子可用平方差公式计算吗？ ①(a-b)(b-a):②(a+2b)(2b+a)； ③ (a - b)(a+b)；④(2x+y)(y - 2x). 三、例题讲解 例1运用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5 - 6x)；⑵(b+2a)(2a - b) ；(3) (-x+2y)(-x - 2y). 评析:1 )认清结构，找准a、b 2)运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相同的“项”和符号相反 的“项”，然后应用公式； 例2:计算： (1) 102 X 98 ; (2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5). 评析：1)巧妙的化为公式形式； 2)只有符合公式才能应用公式，否则，只能应用多项式与多项式乘法 法则进行运算。 四、随堂练习，巩固新知 1、指出下列计算中的错误：

平方差公式教案

人教版义务教育教科书《数学》 八年级上册 《平方差公式》 教 学 设 计 积石山县癿藏中学黄春青 2014年11月17日

人教版义务教育教科书《数学》八年级上册《平方差公式》 教学设计 【教材分析】 《平方差公式》是义务教育教科书《数学》八年级上册第十四章第二节《乘法公式》的第一课时内容。平方差公式是在学习多项式乘法等知识的基础上，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，体现教材从一般到特殊的意图。教材为学生在教学活动中获得数学的思想方法、能力、素质提供了良好的契机。对它的学习和研究，不仅得到了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解，分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法，因此，平方差公式在教材中有承上启下的作用，是初中阶段一个重要的公式。 【学生分析】 学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感。经过半学期的培养，学生已经具备小组合作、交流的能力。本节课的教学能培养学生的推理能力，使学生通过大胆而又合情合理的推测，有条理地表达自己的思考过程。在学习多项式乘法运算时常常会确定错某些项的符号及漏项等问题。学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛的理解，当公式中a、b是整式时，要把它括号再平方。 【学习目标】 1、知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行运算． 2、过程与方法：在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和归纳能力、推理能力．在计算的过程中发现规律，掌握平方差公式的结构特征，并能用符号表达，从而体会数学语言的简洁美． 3、情感、态度与价值观：激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索，有意识地培养学生的合作意识与创新能力． 【学习重点】 平方差公式的推导和应用 【学习难点】 理解掌握平方差公式的结构特点以及灵活运用平方差公式解决实际问题 【学习方式】 探究合作 【教学准备】 多媒体课件

初中数学教学案例：完全平方公式与平方差公式

（一）教材分析： 完全平方公式是在学习了一般整式的乘法之后，为了学习因式分解、分式加减运算而学习的关于多项式乘法的两个公式，学好了这两个公式，接下来一段时间的学习便容易了。因此，完全平方公式与平方差公式既是一般整式乘法的特例又是后续学习的重要基础，在本章乃至本套教材的学习中具有举足轻重的地位和作用。 （二）学习任务分析： “完全平方公式”在新课标的教学要求中要求较高，学生要做到理解并能熟练运用。为了达到这一目标，最重要的前提是要正确理解公式，而让学生自己发现公式，是正确理解公式的有效措施之一；同时还要扫除正确理解的障碍，即消除一些容易混淆之处。 （三）学习起点能力分析 从学生的知识情况来看，已经学习了多项式的乘法运算法则，但是由于学习进度紧凑，增加了巩固认识法则的困难，有学生掌握不够。 从学生的能力和情感来看，通过一个多学期的培养，大多

数同学已具有对知识的主动探究意愿，但由于基础知识和经验 的限制，思维品质还不够成熟，思维方法欠灵活。 （四）教学目标 1.知识目标：①理解完全平方公式公式以及它们的几何意义；②能正确地运用同完全平方公式公式，并初步应用它解决 一些简单问题。 2.能力目标：经历探索完全平方公式与平方差公式的过 程，并从公式的推导过程中,培养学生观察、发现、归纳、猜想、验证等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达 能力。 3.情感目标：通过完全平方公式与平方差公式的推导和应用，使学生初步理解“特殊——一般——特殊”的认知规律，体会数形结合的科学思想方法，激发学生探索创新精神。 （五）教学重点、难点 重点：完全平方公式的推导和应用 难点：完全平方公式的应用 （六）教具准备 制作边行为a和b的正方形以及边长为（a+b）的正方形和长为a,宽为b的纸板 （七）教学方法

完全平方公式教学案例

14.2.2完全平方公式（一） 教学目标： 知识与能力： 1、通过运算多项式乘法，来推导完全平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则 的能力。 2、初步学会运用完全平方公式进行计算。 过程与方法：通过亲自动手、观察并发现完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。 情感、态度与价值观：体会科学的思想方法，接收数学文化熏陶，激发学生的探求精神。教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点，灵活应用． 教学难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算． 教学方法：师友探究、教师点拨 教学用具：课件 教学课型：新授课 教学课时：一课时 教学过程： 一、回顾旧知 1、平方差公式 2、练习 二、交流预习 师友交流预习结果，互相补充，指定一组师友回答，其他师友补充。 三、互助探究 1、（1）探究 由学生独自完成计算后，找其规律，同时师友之间相互合作，交流得出完全平方公式。 即：文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2 （2）观察完全平方式的结构特征 公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍． 巧记为：首平方，末平方，首末两倍在中央 （3）思考：你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？ 师友合作完成，利用数形结合得出上述公式的正确性。 2、典例

出示例3、例4 （学生试着独立完成，检查对公式的掌握情况，不会做的，师友讨论完成后，集体对症。）四、拓广探索 出示P110思考题 （师友或小组互相讨论后发言，这是一个难点，适当时间教师要给予指导。） 五、分层提高 P110练习题 六、小结 谈谈你的收获？还有什么疑惑？ 七、布置作业 习题14.2 2题及相关习题 板书设计： 课后反思：

《平方差公式》教学设计

《平方差公式》教学设计 教学目的 进一步使学生理解掌握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异. 教学重点和难点：公式的应用及推广. 教学过程： 一、复习提问 1.(1)用较简单的代数式表示下图纸片的面积. (2)沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积. 讲评要点： 沿HD、GD裁开均可，但一定要让学生在裁开之前知道 HD=BC=GD=FE=a-b， 这样裁开后才能重新拼成一个矩形.希望推出公式： a2-b2=(a+b)(a-b) 2.(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式; (2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异. 说明：平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点.(1)公式具体，易于理解;(2)公式的特征也表现得突出，易于初学的人套用(3)形式简洁.但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误解. 依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子： 经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括.因而也就欠明确(如结果不知是谁与谁的平方差).故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，灵活运用公式的两种表达式，比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a与b，这样才能使自己的计算即准确又灵活.

3.判断正误： (1)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-3b2;()(2)(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9;() (3)(4x+3b)(4x-3b)=4x2+9b2;()(4)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-9b2;() 二、新课 例1 运用平方差公式计算： (1)102 (2)(y+2)(y-2)(y2+4). 解：(1)10298 (2)(y+2)(y-2)(y2+4) =(100+2)(100-2) =(y2-4)(y2+4) =1002-22=10000-4 =(y2)2-42=y4-16. =9996; 2.运用平方差公式计算： (1)103 (2)(x+3)(x-3)(x2+9); (3)59.8 (4)(x- )(x2+ )(x+ ). 3.请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目. 例2 填空： (1)a2-4=(a+2)();(2)25-x2=(5-x)();(3)m2-n2=()(); 思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积? (某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积) 练习 填空： 1.x2-25=()(); 2.4m2-49=(2m-7)(); 3.a4-m4=(a2+m2)()=(a2+m2)()();

《平方差公式》公开课教案

课程教学教学设计（课时） 课题：§15．2．1 平方差公式 课型：新授课 课时：第课时（总第课时） 授课班级：八年级 授课时间：年月日（第周） 教学目标： 一、知识与技能1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算． 二、过程与方法1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2．培养学生观察、归纳、概括的能力 三、情感、态度与价值观在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美． 教学重点：平方差公式的推导和应用． 教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 教学方法：讲练结合 教学过程： Ⅰ、学生动手，归纳公式 1．计算下列多项式的积． （1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）解：（1）（x+1）（x-1）=x2+x-x-1=x2-12 （2）（m+2）（m-2）=m2+2m-2m-2×2=m2-22 （3）（2x+1）（2x-1）=（2x）2+2x-2x-1=（2x)2-12 2．观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？ 规律：等号的一边是两个数的和与这两个数的差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差，它们都是形如(a+b)的多项式与形如(a-b)的多项式相乘，由于(a+b)(a?b) = a2?ab+ab?b2 = a2?b2 所以，对于具有与此相同的形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果即(a+b)(a?b) = a2?b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做(乘法的)平方差公式． 3．公式的特点： 等号的左边：相乘的两个二项式中，有一项完全相 同，另一项互为相反数，右边：完全相同项的平方减符 号相反项的平方