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2020届山东新高考数学模拟试卷(解析版)

2020年新高考(山东卷)数学模拟试卷

数学 全解全析

2020届山东新高考数学模拟试卷(解析版)

1.C 【解析】因为{|21}x A x =<={|0}x x <,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以{|0}U

A x x =≥,所

以()

U A B ={|02}x x <<,故选C .

2.A 【解析】因为22

1i 2i 13i 1i i

z =+=--=-+,所以z =13i +,其对应的点为(1,3),位于第一象限.故选A .

3.C 【解析】对于含有量词的命题的否定,只需改量词、否结论即可,故选C.

4.B 【解析】因为角α的终边经过点(1,2)P -,所以cos

α=

=

,sin α==,所以π

cos()3α+=

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ππ1cos cos

sin sin 332αα-+=

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B . 5.A 【解析】由222()lg(101)()lg(1010)x x x f x x x x -=+-+=+-,可知()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,排除D ,由4(2)lg(101)60f =+-<,排除B ,

C ,故选A .

6.B 【解析】由题意得,两地都需要数学和英语教师,表示甲、乙两地都至少有一位数学教师和一位英语

教师,则先组成三人小组(含A 教师)可以直接分给甲地,剩余教师去乙地,共有112

233C C C 9+=种情况,

教师B 和D 同时去乙地有3种情况,所以所求概率为

31

93

=.故选B.

7.D 【解析】由题意知,双曲线C 的渐近线方程为y =,1(F 、2F ,不妨设00()P x ,

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则100200(3,2),()F P x x F P x =+=,所以22212000323(1)0F P F P x x x ?=-+=-<,所以0(1,1)x ∈-,

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故选D .

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8.B 【解析】设P (x ,y )=,化简得22(2)4x y -+=,即点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,又点Q 是圆22(2)(3)3x y -+-=上的动点,则|PQ |的最大值为两圆圆

心距加两个圆的半径,即为5+B .

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9.AB 【解析】甲同学成绩的极差为947618-=,故A 正确; 甲同学的平均成绩为7677889094

855

x ++++=

=甲,

乙同学的平均成绩为7585868893

85.45

x ++++=

=乙,故B 正确;

由图可知,乙同学成绩的中位数是86,故C 错误;

方差主要体现数据的离散程度,也表示数据偏离均值的程度,由图可知,甲同学的成绩波动较大,故方差较大,故D 错误. 故选AB .

10.BC 【解析】由题得2ππ

()2cos cos(2)1cos2sin 2)24

f x x x x x x =-+-=+=+,

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由2y x =的图象向左平移π4

个单位长度,得到))4ππ

2n 2(y x x ++的图象,所以选

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项A 错误; 令ππππ2π422,22x k k k -

≤≤++∈Z ,得其增区间为3ππ[π,π],88k k k -+∈Z ,所以()f x 在(0,π

)8

上单调递增,所以选项B 正确; 令()0f x =得π2π,4x k k +

=∈Z ,得ππ,28k x k =-∈Z ,又[0,π]x ∈,所以x 可取3π7π

,88

,即有2个零点,所以选项C 正确;

由π[,0]2x ∈-得π3πππ2[,],sin(2)[4444x x +∈-+∈-,所以()[f x ∈,所以选项D 错误.

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故选BC.

11.A BD 【解析】如图,连接1C P 并延长与BC 交于点E ,则点E 为BC 的中点,连接AE ,取11A D 的中点

F ,连接AF ,

1C F ,则四边形1AEC F 就是过点1,,A P C 的截面,易得四边形1AEC F 的菱形,

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连接1,AC EF ,所以1AC EF ⊥,且1AC EF ==,所以四边形1AEC F 的面积为A 、D

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均正确;易得1A B

EF ∥,所以1A B ∥平面1AC F ,故B 正确;C 明显错误.故选ABD .

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12.BCD 【解析】根据题意,{()()}N f x g x ?可转化为满足22|log |(1)2x a x <-+的整数x 的个数.

当0a >时,如图,数形结合得()()f x g x <的解集中整数的个数有无数多个,故A 错误.

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当0a =时,()2g x =,数形结合(如图),由()2f x <解得1

44x <<,所以在1(,4)4

内有3个整数解,为1,2,3,故B 和C 都正确.

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当0a <时,作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象,如图所示.

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若{()()}1N f x g x ?=,即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有一个,只需满足(2)(2)

(1)(1)f g f g ≥??

2log 22

02a ≥+??

,解得1a ≤-,所以{()()}1N f x g x ?=时,实数a 的取值范围是(,1]-∞-.故D 正确.

132

【解析】由5?=a b 得,2115t ?+?=,解得3t =,故(1,3)=b .所以||||==a b cos ,=a b

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||||?=?a b a b .

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14.6 1215 【解析】令1x =,得2646n

n =?=,则1

366622

1

6

6

C (3)

()(1)C 3

r r r

r

r

r r

r T x x x

-

---+=-=-,令3

632

r -=,

得2r =,3x 的系数为224

6

(1)C 31215-=.

15.3 【解析】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数,则()()f x f x -=-,又因为(1)(1)f x f x -=+,所以

(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=-,则(4)(2)()f x f x f x +=-+=,所以函数()f x 是周期为4的周

期函数,所以ln 2ln 2(2020ln 2)(ln 2)(ln 2)e e 28a

a a f f f -=-=-=-=-=-=-,解得3a =. 16

【解析】由AB AD ⊥

,2,AB AD ==,可得4BD =

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,由BC CD ==,可得BC CD ⊥,所以BD 为三棱锥A BCD -外接球的直径,所以三棱锥A BCD -外接球的体积314π32π233

V =?=,当三棱锥A BCD -的体积最大时,平面ABD ⊥平面BCD ,此时三棱锥A BCD -的高为点A 到BD 的距离,

=,所以三棱锥A BCD -的体积的最大

值21132V =??=

,所以

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12V V =. 17.(本小题满分10分)

【解析】(1)由题意得,11415

32

3182

a d a d +=??

??+=??,解得133a d =??=?.(2分) ∴3(1)33n a n n =+-?=.(4分) (2)选条件①:∵199111

33(1)(1)1n n n b a a n n n n n n +====-?+++,(6分) ∴111

11111223

111

n n S n n n n =-

+-++

-=-=+++.(10分) 选条件②:∵3n a n =,(1)n n n b a =-, ∴36912(1)3n n S n =-+-+-+-,(6分)

当n 为偶数时,

3(36)(912)[3(1)3]322

n n n

S n n =-++-++

+--+=?=;(8分)

当n 为奇数时,n -1为偶数,

13

(36)(912)[3(2)3(1)]333(1)22

n n S n n n n n -=-++-++

+--+--=

?-=-+. ∴3,2

3(1),2

n n

n S n n ???=?

?-+??为偶数为奇数.(10分) 选条件③:∵3n a n =,2n a

n n b a =?,∴32338n n n b n n =?=?,(6分)

∴1233(1828388)n n S n =??+?+?++?,① 234183(1828388)n n S n +=??+?+?+

+?,②

由①-②得,

123

1

1

18(18)8873(88888)3[8]3(8)187

n n n

n n n n S n n n ++++?---=?+++

+-?=?-?=?-?--,(8分)

∴11113883324242424

(

8)8888777494974949

n n n n n n n S n n n ++++-=-?-?=?-?+=?-?+.(10分) 注:最后结果只要正确均给分. 18.(本小题满分12分)

【解析】(1)方法一:因为A +B +C =π,所以sin sin()A B C =+,

所以2sin cos 2sin()sin C B B C B =+-,化简可得2sin cos sin B C B =,(2分) 又因为0

cos 2

C =,(4分) 又因为0

3

C =

.(6分) 方法二:由2sin cos 2sin sin C B A B =-,及正弦定理和余弦定理得222

222a c b c a b ac

+-?

=-, 化简得222a b c ab +-=,(2分)

可得

2221

22

a b c ab +-=,即1cos 2C =,(4分) 又因为0

3

C =.(6分)

(2)因为1sin 2ABC S ab C ===

△,所以6ab =,(8分)

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则a b +≥(当且仅当a b =时,取等号).(9分)

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由(1)得22226c a b ab ab ab ab =+-≥-==(当且仅当a b =时,取等号),解得c 分) 所以

a b c ++≥当且仅当a b c ==),

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所以ABC △的周长的最小值为分) 19.(本小题满分12分)

【解析】(1)如图,取AP 的中点E ,连接BE 、EM . ∵M 是PD 的中点,∴1

2

EM AD =,EM ∥AD ,(2分) 又1

2

BC AD =

,BC ∥AD ,所以EM =BC ,EM ∥BC , ∴四边形BCME 为平行四边形,∴CM ∥BE ,(4分) 又BE ?平面P AB ,CM ?平面P AB , ∴CM ∥平面P AB .(5分)

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(2)由题意知P A ,AB ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z

轴建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知PA AB ==22AD BC ==,

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∴(0,0,0),A C M ,∴(2,1,0)AC =

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,AM =,(7分) 设平面MAC 的法向量为(,,)x y z =n ,

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则由00

AC AM ??=???=??n n

,即0

0y y +=?+=??

,令y =,则1,2x z =-=-,

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∴(2)=--n 为平面MAC 的一个法向量.

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∵P A ⊥底面ABCD ,∴可取平面ACD 的一个法向量为(0,0,1)=m ,(10分)

∴cos ,||||?=

=?n m n m n m

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由图可知二面角M AC D --为锐角, ∴二面角M AC D --

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.(12分) 20.(本小题满分12分)

【解析】(1)设d 为点P 到2

p

x =-

的距离,则由抛物线定义知,||PF d =, 所以当点P 为过点M 且垂直于准线的直线与抛物线的交点时,||||PM PF +取得最小值,(3分) 即352

p

+

=,解得p =4, 所以抛物线C 的标准方程为28y x =.(6分)

(2)设直线l 的方程为(,0)x ny m n m =+∈≠R ,1122(,),(,)A x y B x y ,(7分)

由22y px x ny m

?=?=+?得2220y pny pm --=,由根与系数的关系可得122y y pm =-

,(9分)

所以222

1212121222

(2)2044y y pm OA OB x x y y y y pm p p

-?=+=+=-=,解得2m p =.(11分) 所以直线l 的方程为2()x ny p n =+∈R , 所以0OA OB ?=时,直线l 过定点(2,0)p .(12分) 21.(本小题满分12分)

【解析】(1)由已知得,()f x 的定义域为(0,)+∞, 当a =1时,ln ()x f x x x =

+,则2

1ln ()1x f x x -'=+.(2分) 所以(1)1f =,且在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)2k f '==. 故所求切线方程为12(1)y x -=-,即210x y --=.(4分)

(2)22()()2(12)1ln ()2g x xf x x a a x x a x x =-+--=-+,(0,)x ∈+∞.

(21)()

()212a x x a g x x a x x

-+'=

-+-=-,(5分) 令(21)()()0x x a g x x -+'=-

=,得1

,2

x x a ==-. ①当1

2a =-时,()0g x '≤恒成立,所以()g x 在(0,)+∞上单调递减.(6分)

②当12a <-时,在1(0,)2

和(,)a -+∞上()0g x '<;在1

(,)2a -上()0g x '>,

所以()g x 在1(0,)2

和(,)a -+∞上单调递减,()g x 在1

(,)2a -上单调递增.(8分)

③当102a -<<时,在(0,)a -和1(,)2+∞上()0g x '<;在1

(,)2

a -上()0g x '>,

所以()g x 在(0,)a -和1(,)2+∞上单调递减,()g x 在1

(,)2a -上单调递增.(10分)

④当0a ≥时,在1(,)2+∞上()0g x '<;在1

(0,)2上()0g x '>,

所以()g x 在1(,)2+∞上单调递减,()g x 在1

(0,)2

上单调递增.

综上所述:当12a =-时,()g x 在(0,)+∞上单调递减;当12a <-时,()g x 在1

(0,)2

和(,)a -+∞上单调递

减,在1(,)2a -上单调递增;当102a -<<时,()g x 在(0,)a -和1(,)2+∞上单调递减,在1

(,)2

a -上单调递

增;当0a ≥时,()g x 在1(,)2+∞上单调递减,在1

(0,)2

上单调递增.(12分)

注:1

,2a -处写成闭区间也给分.

22.(本小题满分12分)

分)

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设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件,则7

~(10,

)27

B ξ, (5分) 则1010720()

C ()()2727k

k k P k ξ-==,

1

19101010720C (

)()

(1)7072727720()2020C ()()2727

k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得50

27k <,所以当1k =时,

(2)1(1)P P ξξ=>=,即(2)(1)P P ξξ=>=, 由

70712020k k -<+得50

27

k >,所以当2k ≥时,(1)()P k P k ξξ=+<=,

所以当2k =时,()P k ξ=最大,即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.(8分) ②由上可得一件手工艺品质量为

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所以X 的分布列为

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