2.11 定积分与微积分基本定理(word)

2.11 定积分与微积分基本定理

一、学习目标 明确考纲要求

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.

2.了解微积分基本定理的含义．

二、整合教材知识，落实基本能力

知识点一 曲边梯形的面积

(1)曲边梯形：直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图①)

(2)求曲边梯形面积的方法：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．

(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．

知识点二 定积分的几何意义与性质

1．定积分的相关概念：()?b

a

x f d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．

2．定积分的几何意义

(1)在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝()?b a x f d x ，即()?b

a x f d x ＝S ，如图(1)所示．

(2)在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－()?b a x f d x ，即()?b

a x f d x ＝－S ，如图(2)所示．

(3)若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝

()?c a x f d x －()?b

c x f

d x ，如图(3)所示，即()?b a

x f d x ＝S A －S B (S A ，S B 表示所在区域的面积)．

3．定积分的性质(1)()??b

a x f k d x ＝k ()?b

a x f d x (k 为常数)； (2)?

b a f 1[(x )±f 2(x )]d x ＝

?b a f 1(x )d x ±?b

a f 2f 2(x )d x ；(3)()?

b a x f d x ＝()?

c a x f

d x ＋()?b

c x f

d x (其中a

如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么()?b

a x f d x ＝F (x )|

b a ＝F (b )－F (a )．

函数f (x )与其一个原函数的关系：(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ；

(2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1

·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)； (4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x

，则F (x )＝a x

ln a (a >0且a ≠1)； (6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ；(7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x

三、精研高考题点，提升备考知能

考点一 定积分的计算

在高考中，定积分的计算是考查定积分的一种常见形式，能否快速、准确地求解原函数是解决问题的关键，属于基础题.

方法(一) 定理法求定积分

1.??1

2????x －1x d x ＝________.

2.??0

π (sin x －cos x )d x ＝________.

方法(二) 性质法求定积分

3.??0

2|1－x |d x ＝________.

4．若f (x )＝?????

x ，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2]，则??02f (x )d x ＝________.

方法(三) 几何法求定积分

5.??011－x 2d x ＝________.

6.??-2

2(4－x 2＋x )d x ＝________.

方法(四) 奇偶性法求定积分

7.??-1

1(x 2tanx ＋x 3＋1)d x ＝________.

8.??-2

2|x |d x ＝________.

考点二 定积分的应用

定积分的应用体现在两个方面，一是求曲边梯形的面积，二是求变速运动的路程，特别是求曲线梯形的面积是近几年高考的热点，考查题型为选择题或填空题，难度较小，属中低档题.

1．已知f (x )＝?????

x 2，－1≤x ≤0，1，0

反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式．(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以．

2．(2018·新疆第二次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( )

A ．3 B.103C.73

D.83

3．(2014·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163

D ．6

利用定积分求曲边梯形面积的步骤

(1)画出曲线的草图．

(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．

(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．

(4)计算定积分，写出答案

4．曲线y ＝2x

与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( ) A ．2ln 2 B ．2－ln 2C ．4－ln 2

D ．4－2ln 2

5．(2018·历城二中模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.

6．如图所示的阴影部分是由轴，直线及曲线围成，现向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）

A.

B.

C.

D.

四、高考真题 方向，比努力更重要

1．定积分??0

1(3x ＋e x )d x 的值为( ) A ．e ＋1 B ．E C ．e －12 D ．e ＋12

2．若f (x )＝?????

x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，3，1＜x ≤2，则??-12f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．1C ．2 D ．3

3.-?2

2π

π

(1＋cos x )d x ＝( )

A ．π

B ．2

C ．π－2

D ．π＋2

4．若??0

1(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( ) A ．－13 B ．－23

C ．－1

D ．－2

5．已知f (x )为偶函数且??06f (x )d x ＝8，则??-6

6f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4C ．8 D ．16

6．若函数f (x )＝x ＋1x ，则??1

e f (x )d x ＝________.

7．若??1

a ????2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是________．

9．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积

定积分与微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

知识讲解_微积分基本定理

微积分基本定理 编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。 2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 （1）导数和定积分的直观关系： 如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？ 一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。 另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有： ()d b a v t t =? s （b ）－s （a ） （2）导数和定积分的直观关系的推证： 上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下： 如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间： [t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为

1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图，可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然，n 越大，即Δt 越小，区间[a ，b]的分划就越细，1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），那么v （t ）=s ＇（t ）在 区间[a ，b]上的定积分就是物体的位移s （b ）―s （a ）。 一般地，如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理： 一般地，如果'()()F x f x =，且()f x 在[a ，b]上可积，则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中，()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便，我们常把()()F b F a -记作()b a F x ，即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。

高中数学~定积分和微积分基本原理

高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程：

规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。

高中数学之定积分与微积分基本定理含答案

专题06 定积分与微积分基本定理 1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（） A．B．4C．D．6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S． 故选:A． 2．设f（x）=|x﹣1|，则=（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为 ，故选A.

3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为 ，故选D 4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为 A．B．C．1D． 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx ＝

∴ 故选：C 5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A．B．1C．D． 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B. 6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A. 7．（） A．B．-1C．D． 【答案】C 【解析】 解：

． 故选：C． 8．，则T的值为 A．B．C．D．1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π， ∴， ∴． 故选A． 9．下列计算错误 ．．的是（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 在A中，， 在B中，根据定积分的几何意义，， 在C中，， 根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C.

人教新课标版数学高二-2-2限时练 1.6 微积分基本定理

1.6 微积分基本定理 周；使用时间17年 月 日 ；使用班级 ；姓名 一、选择题 1．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3 B ．F (x )＝x 3 C ．F (x )＝13x 3＋1 D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数) 2．?0－4|x ＋2|d x 等于( ) A ．?0－4(x ＋2)d x B ．?0－4(－x －2)d x C ．?－ 2－4(x ＋2)d x ＋?0－2(－x －2)d x D ．?－ 2－4(－x －2)d x ＋?0－2(x ＋2)d x 3．若S 1＝?21x 2d x ，S 2＝?211x d x ，S 3＝?21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1

2020年全国高考数学·第15讲 定积分和微积分基本定理

2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<<

定积分与微积分基本定理

教学过程

一、课堂导入 问题：什么是定积分？定积分与微积分基本定理是什么？ 二、复习预习 1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．

2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负． 5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷． 三、知识讲解 考点1 定积分的概念 设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点a＝x0

在每个小区间内任取一点ξi，作和式I n＝∑n－1 i＝0 f(ξi)Δx i.当λ→0时，如果和式的极限存在，把和式I n的极限叫做函数f(x) 在区间[a，b]上的定积分，记作?b a f(x)d x，即?b a f(x)d x＝lim λ→0∑n－1 i＝0 f(ξi)Δx i，其中f(x)叫做被积函数，f(x)d x叫做被积式，a 为积分下限，b为积分上限．

(1)?b a kf(x)d x＝k?b a f(x)d x (k为常数)． (2)?b a[f(x)±g(x)]d x＝?b a f(x)d x±?b a g(x)d x. (3)?b a f(x)d x＝?c a f(x)d x＋?b c f(x)d x (a

定积分与微分基本定理

定积分与微积分基本定理 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义. ● 直观了解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分. ● 应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值. 重点难点： ● 重点：正确计算定积分，利用定积分求面积. ● 难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题. 学习策略： ● 运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念. ● 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数. ● 求导运算与求原函数运算互为逆运算. 二、学习与应用 常见基本函数的导数公式 （1）()f x C =（C 为常数），则'()f x = （2）()n f x x =（n 为有理数），则'()f x = （3）()sin f x x =，则'()f x = （4）()cos f x x =，则'()f x = （5）()x f x e =，则'()f x = （6）()x f x a =，则'()f x = “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（7）()ln f x x =，则'()f x = （8）()log a f x x =，则'()f x = 函数四则运算求导法则 设 ()f x ，()g x 均可导 （1）和差的导数：[()()]'f x g x ±= （2）积的导数：[()()]'f x g x ?= （3）商的导数：()[]'() f x g x = （()0g x ≠） 知识点一：定积分的概念 如果函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，用分点b x x x x x a n n =<

专题13 定积分与微积分基本定理知识点

考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0

()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . （2）在 ()d b a f x x ? 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??； （3） ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a

定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理 [考纲传真] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义． 【知识通关】 1．定积分的有关概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在 每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1 b －a n f (ξi )，当n →∞ 时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定 积分，记作??a b f (x )d x ，即??a b f (x )d x ＝lim n →∞∑n i ＝1 b －a n f (ξi )． 在??a b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． (2)定积分的几何意义 图形 阴影部分面积 S ＝??a b f (x )d x S ＝－??a b f (x )d x S ＝??a c f (x )d x －??c b f (x )d x S ＝??a b f (x )d x －??a b g(x )d x ＝??a b [f (x )－g(x )]d x 2.(1)??a b kf (x )d x ＝k ??a b f (x )d x (k 为常数)；

(2)??a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝??a b f 1(x )d x ±??a b f 2(x )d x ； (3)??a b f (x )d x ＝??a c f (x ) d x ＋??c b f (x )d x (其中a

2.微积分基本定理

§2. 微积分基本定理 ※ 学习目标 1．理解掌握微积分基本定理； 2．能根据微积分基本定理解较为简单的积分题目. 积分的概念 复习2： 求函数积分的基本方法、步骤 二、研读课本 微积分基本定理： 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)=F / (x)，则有 ? b a dx x f )(=F(b )－F(a) 定理中的式子成为牛顿-莱布尼兹公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数. 在计算定积分时，常常用记号F(x) b a 来表示F(b ) －F(a)，于是牛顿—莱布尼兹公式也可以写作： ? b a dx x f )(= F(x) b a =F(b )－F(a) 常用关于积分的结论： 1、速度的积分等于路程； 2、加速度的积分等于速度； 3、力的积分等于功； 4、曲线的积分等于面积（这里要注意面积并非完全意义上的面积------x 轴上的面积为正，x 轴下的面积为负）； 5、面积的积分等于体积 课本例一、计算下列定积分： （1）? 1 02xdx （2）?1 2dx x （3） ? π20 cos xdx (4) ? 2 1 dx e x 新知总结 微积分基本定理建立了积分与导数间的密切联系.它使求定积分的问题变得简捷，在求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以利用牛顿-莱布 尼兹公式求出这个函数的积分，这是求定积分的一种非常重要的方法. 积分问题的关键就是找到导函数的一个原函数. 课本例二 求定积分 ? 1 dx x 课本例三 求定积分 ? π cos xdx ，并解释其意义 三 典型例题 例3、 求下列函数的导函数，并利用所求结果求 ?1 2xdx （1）x 2 （2）x 2+5 （3）x 2－π （4）x 2 －a （其中a 是一个常数） 解：∵（x 2）/=2x ； （x 2+5）/=2x ； （x 2 －π）/ =2x ； （x 2 －a ）/ =2x ． ∴ ?1 2xdx = x 2 10 =（12 ）－（02 ）=1 ?1 2xdx =（x 2 +5） 10 =(12 +5)－(02 +5)=1 ?1 2xdx = （x 2 －π）10 =(12 －π)－(02 －π)=1 ?1 2xdx =（x 2 －a ） 10 =(12－a )－(02 －a )=1 小结：由上可知，题中4个不同函数得到函数都是2x ，而计算定积分 ?1 2xdx 时，选择不同的原函数， 结果却都一样．观察不难发现，这些原函数之间只是差了一个常数，而常数的导数为零，故导函数相同；积分时“－”的前后算式中都有这个常数，故常数并不影响定积分的结果． 故，为了计算简便一般在选择原函数计算定积分时，选择常数是0的原函数． 例4 、将一根弹性系数为0.5N/m 的弹簧自80cm 压缩至60cm ．求这一过程中弹簧弹力所做的功． 解：由胡克定理知F=kx=0.5x ，而功W=Fx ，由积分的意义可知克服弹力所做的功就是变力对弹簧改变长度x 的积分，80cm=0.8m ，60cm=0.6m ．

定积分与微积分含答案

定积分与微积分基本定理 基础热身 1．已知f (x )为偶函数，且 ??0 6f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2． 设f(x)＝??? x 2，x ∈[0，1]， 1 x ，x ∈1，e ] (其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) B ．2 C ．1 3．若a ＝??0 2x 2d x ，b ＝??0 2x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A ．a

A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函 数f K (x )＝????? K ，fx ≤K ，fx ，fx >K ， 则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分??214f K (x)d x 的值为________． (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式． 图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t (00)，

微积分基本定理 教案

1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基 本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差

(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解()

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解 一、选择题 1．(2010·山东日照模考)a ＝??0 2x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 2，c ＝? ?0 2sin x d x ＝－cos x |02＝1 －cos2∈(1,2)， ∴c

微积分定积分练习题(有答案)

1利用定积分的几何意义计算」''1 - x2dx. 2. 计算定积分"2(x+ 1)dx. J i 3. 定积分"bf(x)dx的大小() ?a A .与f(x)和积分区间［a, b］有关，与E的取法无关 B.与f(x)有关，与区间［a，b］以及&的取法无关 C .与f(x)以及8的取法有关，与区间［a, b］无关 D .与f(x)、区间［a，b］和8的取法都有关 4. 在求由x= a，x= b(a

8. 10 利用定积分的几何意义求 —9 — x — 3 2dx. (1)| 2(x 2+ 2x + 1)dx ; 广n (2) 1 (sinx — cosx)dx ； (3)| J* 2 / 、 1 x — X 2 +_ 1 丿。 1 < X 丿 (4) 0-?cosx + e x )dx. ⑹p (2x + 1)dx ; ⑺ 丿0 1 2x + 一 dx x 广1 ⑺f; x (8) 1x 3dx ; ■ 0 (9) 1e x dx. 11 求 y = — x 2与 y = x — 2围成图形的面积S. 15 A.— 4 17 B.— 4 1 C.—|n 2 2 D . 2ln2 已知"2 f(x)dx = 3，贝U 2 [f(x) + 6]d 1 1 12 .由直线x =2，x =2，曲线y =严x 轴所围图形的面积为 13.已知 f 1— 1(x 3 + ax + 3a — b)dx= 2a + 6 且 f(t) = f (x 3 + ax + 3a — b)dx 为偶函数， 求下列定积分: dx ; 2 1 x 2dx

定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定 理 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

课题：定积分与微积分定理使用时间：2011-10-11 【使用说明及学法指导】 1.先仔细阅读教材选修2-2：,再思考知识梳理所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树； 2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法. 【学习目标】 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义。 2．直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。 3．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值.？ 学习重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。 学习难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题。 学习策略： ①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念。 ②求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数. ③求导运算与求原函数运算互为逆运算. 【课前预习】 一、基础知识梳理： 知识点一：定积分的概念

如果函数在区间上连续，用分点 将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点 （i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分与积分，区间 叫做，函数叫做，叫做，叫做 . 说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 知识点二：定积分的几何意义： 设函数在区间上连续. 在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的； 在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积 的；