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说说圆与高考题

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知之者不如好之者

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,好之者不如乐之者.

说说圆与高考题

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?????????????????????????(上接第5页)

由题意,排在最后一位的人必是最高或最矮

的.否则,前(n -1)

个人中既有比第n 位高的人,又有比第n 位矮的人,这与已知条件矛盾.所以,第

n 位上的人只有2种可能.

设在n 个人情形下,符合题意的排法有x n 种,则x n +1=2x n ,又x 1=1,所以x n =2n -1,

即符合条件的排法共有2n -1种.例8一从1,2,3, ,14中按由小到大的顺序取出

a 1二a 2二a 3,且同时满足a 2-a 1?3,a 3-a 2?3,那么符合上述要求的不同取法有多少种?

由于a 2-a 1?3,a 3-a 2?3,

两式相加得a 3-a 1?6.将1,2,3, ,14这14个数看作14个

小球,则a 2与a 1至少相隔2个小球,a 3与a 2至少相隔2个小球,a 3与a 1至少相隔5个小球.构建数学模型:取10个相同的白球排成一排,5个相同的黑球按从左到右的顺序,按2个,2个,1个分成3组,插入白球的10个空中(不含最左端的一个空),共有C 310种.再将排好的黑白球按顺序编号为1,2,3, ,14(

最后一个黑球不编号),每个排法中被3个黑球阻隔开的白球

组里,前3

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个白球组中排在各组的最后一个白球,视作

a 1,a 2,a 3.这样,每一种球的排法就代表着一次数的取法,故符合要求的不同取法共有C 310种,

即120种.例7是根据题意,构造了一个等比数列递推关系的数学模型.例8则将一个含复杂条件

的数字不等式问题,构建成一个黑白球排列组合问题模型,化虚为实,达到了形象直观地解题这一目的.

(作者单位:

1.湖南省溆浦县第一中学

2.

北京市第八十中学)?一湖北一廖庆伟

一一圆是同学们熟悉的,

圆与高考题有着不解之缘.在近几年的高考题中,圆与直线二圆二椭圆二双曲线二抛物线二立体几何,以及选考中的与圆有关的问题已经成为热点题型,这些知识广泛 牵手 ,构成了变化多

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端二引人入胜的各种变式题,使数学更加丰富多彩.1一圆与直线

例1一(2013年安徽卷)直线x +2y -5+5=0被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长为(一一).

A一1;一一B一2;一一C一4;一一D一46

圆的方程x 2+y 2-2x -4y =0可变形为

(x -1)2+(y -2)2

=5,

则圆心的坐标为(1,2),半径r =5,圆心到直线x +2y -5+5=0的距离

d =|1+2?2-5+5|

5

=1.

设弦长为m ,由勾股定理得m 2

=

r 2-d 2=

5-1=2,

故弦长m =4,答案为C .总结一直线与圆相交求弦长问题,有3种思考方法:①几何法:

当直线和圆相交

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时,设弦长为l ,弦心距为d ,半径为r ,则有(l 2

)2

+d 2=r 2;②代数法:

设l 的斜率为k ,直线与圆的交点分别为A (x 1,y 1)

,B (x 2,y 2)

,弦长|AB |=1+k 2(x 1+x 2)2

-4x 1x 2;③联立方程组,

求出交点的坐标,再用两点间的距离公式求解.

2一圆与圆

例2一(2013年重庆卷)已知圆C 1:(x -2)2

+

(y -3)2=1,圆C 2:(x -3)2+(y -4)2

=9,M 二N 分别是圆C 1二C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM |+

|P N |的最小值为(一一).

A一52-4;一一一B一17-1;C一6-22;一D一17

一图1

如图1,作圆C 1关于x 轴

的对称圆C ?1:

(x -2)2

+(y +3)2

=1,N ?与N 关于x 轴对称,则|PM |+|P N |=|PM |+

|P N ?|.由图1可知,当C 2二M 二

P 二N ?二C ?1在同一直线上时,|PM |+|P N |=|PM |+|P N ?|取得最小值,即为|C ?1C 2|-1-3=52-4,

故选A .总结一这类动点问题,一般

是作其中一个圆C 1关于x 的对称圆C ?1,连心线C ?1C 2

与x 轴的交点为满足条件的点P ,|C ?1C 2|

-r 1-r 2的长为所求的最小值.3一圆与抛物线

例3一(2013年新课标卷)设抛物线C :y 2

=2p x

(p >0)

的焦点为F ,点M 在C 上,|MF |=5.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则抛物线C 的方程为(一一).

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