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最新勾股定理专题复习(经典辅导一对一学案)

专题复习一勾股定理

专题归类：

专题一、勾股定理与面积 1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=?90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。 2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：。

3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为

4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是

1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于。

S 4

S 3

S 2

S 1

5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。

6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2

+b 2

+c 2

+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为。

7、如图1，?=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？

7、如下图，在?ABC 中，?=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到?ABC 三边距离相等的点，求点P 到?ABC 三边的距离。

8、有一块土地形状如图3所示，?=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7

米，请计算这块土地的面积。（添加辅助线构造直角三角形）

9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。

D C

A A

10、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=?3，BC=7，求：重合部分△EBD的面积

11、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .

(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)

(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；

(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.

1、如图4，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸

片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。

2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿AD 对折，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长？

3、如图6，在矩形纸片ABCD 中，AB=33，BC=6,沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在Q 点处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=?30

(1) 求BE 、QF 的长

(2) 求四边形QEFH 的面积。

专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度

1、如图7，铁路上A 、B 两站相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A 点，CB ⊥AB 于点B ，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村庄到收购站的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多远的距离？

2、一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B 距离底C 为3米，如果梯子的顶端A 沿墙下滑1米到D 处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E 处吗？请给出证明。

3、 △ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，

且AD ⊥AC ，求BD 的长．

专题四、勾股数的应用

1、下列是勾股数的一组是（）

A 4,5,6,

B 5,7,12

C 12,13,15

D 14 ,48,50

2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是。

3、下列是勾股数的一组是（）

A 2,3,4,

B 5,6,7,

C 9,40,41

D 10 24 25

4、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c ，其中a,b,c 为正整数，且a

（1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论（2）：当a=21时，求b,c 的值

专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明

1、在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明：AD ⊥BD

2、CD 是▲ABC 中AB 边上的高，且CD 2

=AD ?DB ，试说明∠ACB=?90

3、在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点且CF=

CD 试说明▲AEF 是直角三角形。

4、▲ABC 三边的长为a,b, c ，根据下列条件判断▲ABC 的形状

（1）：a 2

+b 2

+c 2

+200=12a+16b+20c ；（2）：a 3

-a 2

b+ab 2

-ac 2

+bc 2

-b 3

5、试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）?的三角形是否是直角三角形？

6、如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．

求证：A D2=AC2+BD2．

得出：a2+b2=c2,若▲ABC不是直角三角形，如图(2)与图(3)，请你类比勾股定理

猜想a2+b2与c2的关系，并且证明你的结论。

8、如图A B C ?中，P AC AB BAC ,,90=?=∠为BC 上任意一点，求证：

2222AP CP BP =+．

专题六、勾股定理与旋转

1、在等腰Rt ▲ABC 中，∠CAB=?90，P 是三角形内一点，且PA=1,PB=3,PC=7

求：∠CPA 的大小？

2、如图，在等腰△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 为斜边AB 上的点，

且∠DCE=45°。求证：DE 2=AD 2+BE 2。

3、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。

4、已知，如图△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 。

5、如图，在ABC ?中，0

90B ∠=，M 为AB 上一点，AM=BC ，N 为AB 上一点，CN=BM ，连接AN 、CM 交于点P 。求APM ∠的大小。

B M

C A

专题七、最短路线问题

1、有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行

的最短路线是多少？

2、有一个长方体盒子。它的长是70cm，宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？

3、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？

4、如下图、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为

1.2m,1.2m,1.3m，则他所买的竹竿最大长度是多少？

5、如图,已知圆锥的母线AS=10㎝，侧面展开图的夹角是90°，点C为AS的中点,A处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.

《勾股定理》复习学案(单元复习)

《勾股定理》复习学案 ★知识汇总 1．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为：方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为：方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ，化简过程为： 2.面积问题： ⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系是小练习： 1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。 2.如图2，①若S 1=2π S 3= 258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=3 2 π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。 3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。 4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。 5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为。 3．勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 4. 勾股数条件：①满足a 2+b 2=c 2；②a,b,c 为三个正整数，则a,b,c 为一组勾股数。请写出一些常见的勾股数（至少写出5组）： 5.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边：在ABC ?中，90C ∠=?，则c 2=a 2+b 2，b 2=c 2-a 2，a 2=c 2-b 2 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ④在空间图形中求不在同一平面上两点的距离，需要将立体图形展开，使两点放入同一平面内，然后用勾股定理计算。 ★练习题一. 选择题 1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2.等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为（） A 、10 B 、12 C 、15 D 、20 3.下列说法正确的是（） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2 B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2 C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2 ＋b 2 ＝c 2 D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2 4.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（） A ． 2倍 B ． 4倍 C ． 6倍 D ． 8倍 5.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（）. A. 50元 B. 600元 C. 1200元 D. 1500元图4 图5

勾股定理复习课教学设计

许镇中心初中电子备课教学设计

解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型， ∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的 a,BF=a,那么在Rt

详细解题步骤如下：解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a 在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20 a2 同理EF2=5a2, DF2=25a2 在△DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2 ∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°. 注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度—— 例题4 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下：解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF ∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE 设CE=x cm，则DE=EF=CD－CE=8－x 在Rt△ABF中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102， ∴BF=6cm ∴CF=BC－BF=10－6=4(cm) 在Rt△ECF中由勾股定理可得： EF2=CE2+CF2，即(8－x) 2=x2+42 ∴64－16x+x2=2+16 ∴x=3(cm),即CE=3 cm 注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直—— 例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD= 80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在A B上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长

勾股定理全章复习与小结

第17章勾股定理小结与复习一、课件说明本课是对全章知识的回顾和复习，通过知识整理，进一步理解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理在距离（线段长度）计算中的作用，理解勾股定理与它的逆定理之间的关系，并尝试综合运用这两个定理解决简单的实际问题．二、学习目标：知识与技能： 1、进一步理解勾股定理入其逆定理，弄清两定理之间的关系。 2、回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构；过程与方法： 1、} 2、复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。 2、思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用. 情感态度恶劣与价值观：通过运用勾股定理及其逆定理解决问题，体会到数学来源于生活，应用于生活。三、学习重点：勾股定理及其逆定理的应用．四、教学过程：（一）创设情境引出课题 ;

问题1 如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学联想（出示图形）（背景介绍：我们知道，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理．在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．人们为了纪念这位伟大的科学家，在他的家乡建了这个雕像．）（二）层层提问，讲练相融追问1 在本章我们学习了直角三角形一个重要的定理，你能叙述这个定理吗如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 知识点一：勾股定理的运用: 1.已知直角三角形两边,直接利用勾股定理求出第三边. 基础练习1 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c 的长为． ' 变式在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为．温馨提示:求第三边时应看清题目中所说的边是直角边还是斜边,如果题中没有说明,则应分两种情况求. 2.未已知直角三角形的两边,则一般通过设未知数列方程解决。基础练习2 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）． A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m

勾股定理导学案

A B 17.1.1 《勾股定理》第一课时导学案学习目标：1、了解多种方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。 2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算。学习过程：活动一动手做一做 1、在右边空白处画出Rt△A B C 令∠C = 90°，直角边A C = 3cm ，B C = 4cm ，（1）用刻度尺量出斜边A B = ________（2）计算：__________,_____,222===AB BC AC 2、探究：222,,AB BC AC 之间的关系：活动二毕达哥拉斯的发现 1、图中两个小正方形分别为A 、B ，大正方形为C ，则三个正方形面积之间的关系：_______________ 2、设三个正方形围成的等腰直角三角形的直角边为a ，斜边为c ，则图中等腰直角三角形三边长度之间的关系：_____________________ 活动三探索与猜想观察下面两幅图：(每个小正方形的面积为单位1) （1）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流一下。（2）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________ 活动四认识赵爽弦图活动五证明猜想已知：如图，在边长为c 的正方形中，有四个两直角边分别为a 、b ，斜边为c 全等的直角三角形，求证： 222 a b c +=（提示：大正小正＝S S S Rt +?4）证明：

勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________ 归纳直角三角形的主要性质：在Rt △A B C 中，∠C = 90°，（1）两锐角的关系：∠ A + ∠ B = _____° （2）斜边与直角边的关系：若∠A = 30°，则 ________________ （3）三边之间的关系：______________________ 活动六活学活用 1、如右图，在直角三角形中， x ＝______，y ＝______ 2、下列各图中所示的正方形的面积为多少。 (注：下列各图中的三角形均为直角三角形) 3、在Rt △A B C 中，∠C = 90°, （1）若a = 2，b = 3, 则c = _______ （2）若a = 1，c = 2, 则b = _______ （3）若c = 5，b = 4, 则a = _______ 4、在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4，则第三边的长为______________ 5、（1）在Rt △A B C 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 4，则BC = _______, 则AC = _______ （2）在Rt △A B C 中，∠A = 90°，BC = 7，AC = 5，则 AB = _________ x 8 6 13 5 y A B C

勾股定理全章复习学案

勾股定理全章复习主备人: 审核人：初二数学组课型:新授学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形. 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。学习难点：利用定理解决实际问题。学习过程一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边 1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，ο 90=∠C ，则。公式变形①：若知道a ，b ，则=c ；公式变形②：若知道a ，c ，则=b ；公式变形③：若知道b ，c ，则=a ；例1：求图中的直角三角形中未知边的长度： =b ，=c . (1)在Rt ABC ?中，若ο 90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c . (2)在Rt ABC ?中，若o B 90=∠，9=a ，41=b ，则=c . (3)在Rt AB C ?中，若ο 90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c . 二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。例2：在数轴上画出表示5的点. 在数轴上作出表示10的点．三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。 1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（） A ．12，15，17 B ．9，16，25 C ．5a ，12a ，13a （a>0） D ．2，3，4 2、判断由下列各组线段a ，b ，c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）5.6=a ，5.7=b ，4=c ；（2）11=a ，60=b ，61=c ； 9 15 b 24 c

(完整版)勾股定理专题复习(经典一对一教案哟)

卓越教育教案专用学生姓名授课时间：授课科目：数学教学课题勾股定理知识点解析（二）重点、难点能准确证明勾股定理，并能将以灵活运用。教师姓名年级：初二课型:复习课一、作业检查作业完成情况：优□良□中□差□ 二、课前回顾对上次家庭作业进行检查并评讲三、知识整理知识点1.勾股定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边（即：a2+b2＝c2）注意：○1勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只适用于直角三角形。○2应用勾股定理时，要注意确定那条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在Rt△ABC中，斜边未必一定是c，当∠A=90时，a2＝b2 +c2 ；当∠B=90时，b2＝a2 +c2 例1．（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=5，BC=12，求AB的长；（2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AB=25，AC=20，求BC的长（3）在Rt△ABC中,AC=3，BC=4，求AB2的值 A C B 图1 C B A 图2

知识点2.勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。思路： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 知识点3.直角三角形的判别条件（1）如果三角形的三边长啊a ，b ，c ，满足a 2+b 2＝c 2足，那么这个三角形为直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理）注意：○1在判别一个三角式是不是直角三角形时，a 2+b 2是否等于c2时需通过计算说明，不能直接写成a 2+b 2＝c 2。○2验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：（较小边长）+(较长边长)=（最大边长）时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形. 例1. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（） c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

勾股定理导学案

勾股定理 1 勾股定理（一）学习目标： 1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的容，会用面积法证明勾股定理。 2. 利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三条边的长。学习重点：探索和验证勾股定理。学习难点：证明勾股定理。导学流程：一、自主学习前置学习：自学指导：阅读教材第64至66页，完成下列问题。 1. 教材第64至65页思考及探究。 2. 画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。（勾3，股4，弦5）。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。你是否发现23+24与25的关系，25+212和2 13的关系，即23+24_____25，25+212_____213，那么就有____2+____2=____2。(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？要点感知：如果直角三角形的两直角边长分别是a 、b ，斜边为c ，那么，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的。二、展示成果活动1 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：222a b c +=。证明：如爽弦图，思考：除此之外，还有证明勾股定理的其他办法吗？活动2 如果将活动1中的图中的四个直角三角形按如图所拼，又该如何证明呢？知识点归纳：上述问题可视为命题1的证明命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边为c ，那么。总结：经过证明被确认正确的命题叫。命题1在我国称为，而在西方称为。三、合作探究活动3 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则（1）a = 。（已知c 、b ，求a ）（2）b = 。（已知a 、c ，求b ）（3）c = 。（已知a 、b ，求c ）活动4 △ABC 的三边a 、b 、c ，（1）若满足222a b c +=，则∠C 是角；（2）若满足222a b c +>，则∠C 是角；（3）若满足222a b c +<，则∠C 是角。四、当堂自测基础训练： 1. 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，若=5a ，=12b ，则=c 。 2. 在直角三角形ABC 中，若=3a ，=5b ，则=c 。 3. 若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2倍，则其斜边扩大到原来的。 4. 在ABC ?中，90C ∠=?． b b

北师大版勾股定理复习学案

E C D B A 勾股定理本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：。勾股逆定理：如果直角三角形三边长a 、b 、c 满足，那么这个三角形是三角形。（且∠ =90°） 2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个，称为勾股数。常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。（记忆 11～30二十个数的平方值） 3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。题型一直角三角形中已知两边，求第三边。例1、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm 和4cm,第三边得长为________ 例2、已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，求△ABC 的周长为_________ 课堂训练 1.已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的和为____. 2、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为。 3、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。 4..如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？题型二勾股定理逆定理的应用如何判定一个三角形是直角三角形： ① 先确定最大边（如c ）； ② 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 ③ 若2 c =2 2b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠2 2b a +，则△ABC 不是直角三角形。例1、如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．例2、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CF=4 1 CD ．求证：△AEF 是直角三角形．

《勾股定理》复习课教学设计

《勾股定理》复习课教学设计南湖中学孙沛磊

【点拨】：题干没图，应根据题意画图，注意不要遗漏可能的情况。 ^ 思考：通过这些题，你认为在运用勾股定理时有哪些注意点 2．探究二：勾股定理逆定理的应用问题1：判断以线段a 、b 、c 为边的△ABC 是不是直角三角形若是，并说明哪条边为斜边（1）a=7 b=3 c=2 （2）a=3 b=4 c=5 （3）a=3 b=4 c=5 【点拨】：利用勾股定理逆定理时主要准确判断斜边，注意区别（2）、（3）。问题2:三角形三边长为a ，b ，c ，且满足等式ab c b a 22 2=-+)（，则此三角形是什么三角形【点拨】：注意等式变形，找出三边数量关系。问题3：一个三角形三边长比为1：3：2，这个三角形是直角三角形吗 # 【点拨】：对于比例问题，可以通过设未知数方式来解决。探究小结：通过这些题，你有哪些体会 3．探究三：勾股定理及其逆定理综合应用题型一：折叠问题问题1：如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与 AE 重合，求CD 的长．变式1：在矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按图所示方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长。 , 探究一、二：独立思考并回答问题，最后学生通过练习总结知识应用过程的方法、思想。 - 探究三：独立思考观察、计算、探讨、归纳出在解决折叠问题、展开问题时的方法和数学思想。、高学生口头表达能力探究一、二意在让学生通过观察、计算、归纳进一步理解和总结知识应用所蕴含的方法和数学思想．】探究三意在巩固提升学生综合应用勾股定理及其逆定理的能力，培养学生归类能力和数学思想。 [

2013新版北师版数学八年级(上)上第一章勾股定理导学案

第一章勾股定理第1课时探索勾股定理（1）一、三角形的边角关系：边：角：引例：二、探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一个直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系? 勾股定理：三、利用拼图验证勾股定理：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。 2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。 3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？

四、典型例题例1、求出下列各图中x 的值。例2、如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？例3、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？例4、求下图中字母所代表的正方形的面积。 x 15 17C B A

例6、直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 五、知识巩固： 1．在△ABC 中，∠C=90°，（1）若BC =5，AC =12，则AB = ；（2）若BC =3，AB =5，则AC = ；（3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = . 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 . 3．若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为。 4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2 . 5．一个直角三角形的两直角边长为3cm 、4cm ，斜边长为 a cm ，则以斜边为半径的圆的面积是。 6．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其面积为．

勾股定理习题课教学设计

勾股定理复习教案课题：勾股定理习题课授课类型：复习课日期：3月17日一、教学目标： 1.会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。 2.经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。二、教学重点：勾股定理及逆定理的综合应用三、教学难点：利用方程解决翻折问题四、教学方法：例题讲解法五、典型例题（一）勾股定理及逆定理的综合应用 1.（1）如图，分别以Rt △ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则S 1，S 2，S 3之间的关系为。．（2）以△ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，如果S 1 +S 3=S 2 则此三角形是三角形。 2.教材29页13题（二）利用方程解决翻折问题 3.如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D 为BC 上一点，将AC 沿AD 折叠，使点C 落在AB 上，求CD 的长。（三）勾股定理的应用 4.一根70cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm 、40cm 、30cm 的长方体木箱中，能放进去吗？（长方体的高垂直于底面的任何一条直线） S S S 3 A C B D C ′

5.教材29页14题（四）最短路程-展开图六、家庭作业 1.教材39页9题 2.设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a,b 及h.求证：2 22111h b a =+ 3.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、 3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_____________。七、教学反思

新北师大版八年级数学上册第一章勾股定理导学案(自编)已审

第一章勾股定理导学案第1课时探索勾股定理（1）一、学习目标：掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。二、预习设计： 1、三角形按角的大小可分为：、、。 2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。 3、直角三角形的两个锐角； 4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。 5、自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系? （3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。猜想：三、课堂探究：：

如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。勾股定理：直角三角形等于；几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中， C＝ 90°，则：；若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为：。图1.1-1 课堂练习： 1、求下图中字母所代表的正方形的面积

落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？三、师生互动：例题.在△ABC 中,AB=AC=5cm ，BC=6cm,求△ABC 的面积. C B A

四、训练达标：基础巩固： 1．在△ABC 中，∠C=90°，（1）若BC =5，AC =12，则AB = ；（2）若BC =3，AB =5，则AC = ；（3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = . （4) 若AB=8.5，AC=7.5，则BC= 。 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 . 3．在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC= ,该直角三角形的面积为。 4．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 5.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为。能力提升： 6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2 . 7.一个直角三角形的三边长为3、4和a ，则以a 的面积是。 8.如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是。9．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其面积为． 10．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，求△ABC 的周长。课堂检测 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，（l ）若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝（2）若c ＝41，a ＝9，则b ＝ 2．等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为，面积为第4题

勾股定理专题复习(经典一对一学案)

专题复习一勾股定理第一课时本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。如果用字母a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为: 。２、勾股数:满足a 2＋ｂ2=c 2的三个 ,称为勾股数。常见勾股数如下： 3121112=; 144122=; 169132=； 196142=; 225152=;256162= 289172=； 324182=; 361192=； 400202=;441212=； 484222= 529232=; 576242=; 625252=； 676262=;729272= 专题归类：专题一、勾股定理与面积 1、、在Ｒt ▲A ＢＣ中，∠C=?90,ａ＝5,c ＝３.，则Rt ▲ＡBC 的面积 S= 。２、一个直角三角形周长为12米,斜边长为5米,则这个三角形的面积为：。 3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若ａ和 c 的面积分别为5和11，则b 的面积为 4、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是Ｓ1、Ｓ２、S ３、S 4，则S 1+S 2＋S 3＋S 4等于。 l 3 2 1 S 4 S 3 S 2 S 1

5、三条边分别是５，12，13的三角形的面积是。６、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+ｃ2＋５0=６a+８b+10c ，则这个三角形的面积为。７、如图1，?=∠90ACB ，BC ＝8，AB=1０，CD 是斜边的高，求ＣD 的长？ 7、如下图,在?AB Ｃ中,?=∠90ABC ，AB=8ｃｍ,ＢC=１５cm ，Ｐ是到?AB Ｃ三边距离相等的点，求点P 到?A ＢＣ三边的距离。 8、有一块土地形状如图3所示,?=∠=∠90D B ，AB=2０米，BC=１５米，CD=7 米,请计算这块土地的面积。(添加辅助线构造直角三角形) 9、如右图:在四边形A ＢＣD 中，ＡB ＝2，ＣD=1,∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。 A B C P

人教版八年级下册数学17.3 勾股定理复习教案

第17章勾股定理教学目标 1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边. 2.勾股定理的应用. 3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 教学过程一.复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下： 1.勾股定理： (1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理． (2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据． 22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=． 2.勾股定理逆定理 “若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三

边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立. 3.勾股定理的作用： (1）已知直角三角形的两边，求第三边； (2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想． (3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．二.课堂展示例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少? 例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．三.随堂练习 1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A ．7，24，25 B ．321，421，521 C ．3，4，5 D ．4，721，82 1 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍

勾股定理全章综合复习

A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个 (2)已知a, b, c为厶ABC三边，且满足(a2—b2)(a2+b2—c2)= 0,则它的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 (3)三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( ) 2 2 2 A. a: b: c=8 : 16 :仃 B. a - b =c C. a2=(b+c)(b-c) D. a: b: c=13 : 5 : 12 (4)三角形的三边长为(a+b ) 2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A.等边三角形； B.钝角三角形； C.直角三角形； D.锐角三角形 (5)直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为________ (6)若厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2+c2 +200 = 12a + 16b + 20c,试判断△ ABC的形状。

例3:求最大、最小角的问题 (1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。 (2)已知三角形三边的比为 1 : 3 : 2,则其最小角为。考点三：勾股定理的应用

例1:面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、 B 、C 、D 的边长分别是3、 3）（2）如图，△ ABC 为直角三角形，分别以为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（） A. S 1+ S 2> S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S I D.以上都不是（3 ）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S 、S 、S,贝陀们之间的关系是（） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+Sv S 1 D. S 2- S 3=S 5、2、3,则最大正方形E D. （图 AB, BC 47 2)

17.1.1勾股定理导学案

17.1 勾股定理（1）学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。重点：勾股定理的内容及证明。难点：勾股定理的证明。学习过程：一.预习新知（阅读教材第64至66页，并完成预习内容。） 1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系？ 2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。 A B C (1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？ (2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。 (3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？ (4)对于更一般的情形将如何验证呢？

二.课堂展示方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二；已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2＋b 2=c 2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边S=______________ 右边S=_______________ 左边和右边面积相等，即化简可得。方法三：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 c 2. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________ 归纳：勾股定理的具体内容是。 2 12 1 b b b

勾股定理复习课导学案

勾股定理复习学案一、知识要点： 1、勾股定理勾股定理：;____________________________________________________________________________也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么_____________________________。公式的变形：a2 = _________， b2= ____________。 2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足______________，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。常用的勾股数组有:______________________________________________________________________ 注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。 ②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积例1：求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．例2.如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形、半圆、等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，试探索S1、S2、S3之间的关系．

练习：例1.如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和为 _________________________________. 例2.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=_________．考点二：在三角形中，已知两边或三边长，求各边上的高。例1.已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．例2.已知等腰三角形等腰中，，若，求各边上的高. 例3.已知中，AB=15，AC=13，BC=14，求各边上的高。【强化训练】： 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是____________ （结论：直角三角形的两条直角边的积等于____________________ 3.已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为_______________ 考点三、图形的折叠问题例：折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。. 对应练习：如图，矩形纸片ABCD 中，AB=3厘米，BC=4厘米，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF 。试确定重叠部分△AEF 的面积 A B C E F D

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