随机过程_C4马尔可夫链

练习四：马尔可夫链 随机过程练习题

1．设质点在区间[0，4]的整数点作随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，

在其它整数点分别以概率

3

1

向左、右移动一格或停留在原处。求质点随机游动的一步和二步转移的概率矩阵。 2．独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p ，对于2≥n 求，令n X =0，

1，2或3，这些值分别对应于第1-n 次和第n 次抛掷的结果为（正，正），（正，反），

（反，正）或（反，反）。求马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的一步和二步转移的概率矩阵。

3．设}0,{≥n X n 为马尔可夫链，试证： （1）},,,|,,,{11002211n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P ======++++++ }|,,,{2211n n m n m n n n n n i X i X i X i X P =====++++++

（2）}|,,,,,,{11221100++++++======n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P

}|,,,{111100++=====n n n n i X i X i X i X P ==?+++m n n n X i X P ,,{22 }|11+++=n n m n i X i

4．设}1,{≥n X n 为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为==0{X P p i

4,3,2,1,4

1}==i i ，????

??

? ??=4/14/14/14/18/34/18/14/14/14/14/14/14/14/14/14/1P ，试证 }41|4{}41,1|4{12102<<=≠<<==X X P X X X P

5．设}),({T t t X ∈为随机过程，且)(11t X X =，,),(22 t X X = ),(n n t X X =为独

立同分布随机变量序列，令2,,)(,011110≥=+===-n X cY Y X t Y Y Y n n n ，试证

}0,{≥n Y n 是马尔可夫链。

6．已知随机游动的转移概率矩阵为????

? ??=5.005.05.05.0005.05.0P ，求三步转移概率矩阵)

3(P 及

当初始分布为1}3{,0}2{}1{000======X P X P X P 时经三步转移后处于状态

3的概率。

7．已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：

（1）)4.0,2.0,4.0()0(=T

P ，????

? ??=6.02.02.02.07.01.01.08.08.0P ；

（2）)3.0,3.0,2.0,2.0()0(=T

P ，??

?

?

?

?

?

?

?=5.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07.0P ；

求下一、二个月的销售状态分布。

8

后的销售状态分布。

10．讨论下列转移概率矩阵的马尔可夫链的状态分类。

（1）?????

??

? ??=010

06.04.000000

010

0003.07

.0005.03.02.0P ；（2）????

??

? ??=02.02.06.00

07.03.000010100

P ； （3）??????

??

?

?

?

?=10000000

00001

p r q p r q p

r q P ，其中1=++p r q ，},,1,0{b I =

11．设马尔可夫链的转移概率矩阵为（1）????

??3/23/12/12/1；（2）????

?

??33221

10

00p q

q p q p ；计算)(11n f ，)

(12

n f ，3,2,1=n 12．设马尔可夫链的状态空间}7,,2,1{ =I ，转移概率矩阵为

??????????

? ??=2.08.0000007.03.000000003.05.02.000006.004.0000004.06.0001.01.01.02.02.03.01.01.01.01.001.02.04.0P

求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。

13．设马尔可夫链的转移概率矩阵为??????

? ??= 00000010221

1p q p q P ，求它的平稳分

布。

14．艾伦菲斯特(E renfest)链。设甲乙两个容器共有N 2个球，每隔单位时间从这N 2个球中任取一球放入另一容器中，记n X 为在时刻n 甲容器中球的个数，则}0,{≥n X n 是齐次马尔可夫链，称为艾伦菲斯特链，求该链的平稳分布。

15．将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中（甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中），以)(n X 表示经过n 次交换后甲盒中红球数，则}0),({≥n n X 为一齐次马尔可夫链，（1）求一步转移概率矩阵；（2）证明}0),({≥n n X 是遍历链；（3）求

2,1,0,lim )(=∞

→j P n ij n 16．设}1),({≥n n X 为非周期不可约马尔可夫链，状态空间为I ，若对一切I j ∈，其一步转移概率矩阵满足条件：

1=∑∈I

i j

i p

，试证（1）对一切I j ∈，1)(=∑∈I

i n j i p ；（2）

若状态空间},,2,1{m I =，计算各状态的平均返回时间。

17．设河流每天的BOD （生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间}4,3,2,1{=I 是按BOD 浓度为极低、低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一天为单位）

为??

?

?

?

?

?

?

?=4.04.02.001.06.02.01.01.02.05.02.001

.04.05.0P 。若BOD 浓度为高，则称河流处于污染状态。（1）证明

该链是遍历链；（2）求该链的平稳分布；（3）河流再次达到污染的平均时间4μ。

答 案

1．解：质点随机游动的一步转移的概率矩阵为

???????

?????????=100003/13/13/10003/13/13/10003/13/13/100001

P

质点随机游动的二步转移的概率矩阵为

?????

??

?????????==100009/49/29/29/109/19/29/39/29/109/19/29/2/9/400001

2

)2(P P

2．解：马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的一步转移的概率矩阵为

????

?

????

???=q p q p q p q p P 00000000 马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的一步和二步转移的概率矩阵为

????

??

?

???????==2222

22222

)

2(q pq pq

p

q pq pq p q pq pq

p q pq pq p P P 3．证：

（1）},,,|,,,{11002211n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P ======++++++ }

,,,{}

,,,,,,,{110022111100n n m n m n n n n n n n i X i X i X P i X i X i X i X i X i X P ==========++++++

n n m

n m n n n n n i i i i i i i i i i i i i i p p p p p p p p 1100111100-+-++-=

m n m n n n i i i i p p +-++=11 }

{}

,,,{11n n m n m n n n n n i X P i X i X i X P =====

++++

}|,,,{2211n n m n m n n n n n i X i X i X i X P =====++++++

（2）}|,,,,,,{11221100++++++======n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P

}

{}

,,,,,,,{1122111100++++++++========

n n m n m n n n n n n n i X P i X i X i X i X i X i X P

}

,,|,,{}

{}

,,{110022111100++++++++++========

n n m n m n n n n n n n i X i X i X i X P i X P i X i X P }|,,{1100++====n n n n i X i X i X P }|,,{1122++++++===?n n m n m n n n i X i X i X P

4．证：}

41,1{}

,4,41,1{}41,1|4{10210102<<==<<==<<==X X P X X X P X X X P

}

3,1{}2,1{}

,4,3,1{}4,2,1{1010210210==+=====+====

X X P X X P X X X P X X X P

1311213413124121p p p p p p p p p p ++=16541414141834141414141=?+??

?+??=

}

41{}

41,4{}41|4{11212<<<<==<<=X P X X P X X P

}3{}2{}

4,3{}4,2{112121=+===+===

X P X P X X P X X P }

3{}2{}3{}2{11341241=+==+==X P X P p X P p X P )

(34

1

2

3

4

1

3441

224i i i i i i i i i i p p

p p p p p p p ++=

∑∑∑===

)

(34

1

2

4

1

3

3441224i i i i i i i p p

p p p p ++=

∑∑∑===18

7183

8741+?+?=

6019=

5．解：由题意1--=n n n CY X Y 知n Y 是),,(1n X X 的函数，由于 ,,,1n X X 是相互独立的随机变量，故对0≥?n ，1+n X 与),,,(10n Y Y Y 独立。

},,,0|{11011n n n n i Y i Y Y i Y P ====++

},,,0|{11011n n n n n n i Y i Y Y Ci i CY Y P ===+=+=++ },,,0|{11011n n n n n i Y i Y Y Ci i X P ===+==++

}{11n n n Ci i X P +==++}|{11n n n n n i Y Ci i X P =+==++}|{11n n n n i Y i Y P ===++

由k i ，1,,2,1+=n k 的任意性知}0,{≥n Y n 为马尔可夫链。 6．解：????

?

?????=25.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0)

3(P

，25.0)3(2=p

7．解：)32.0,26.0,42.0()1(=T P ，)286.0,288.0,426.0()2(=T

P

8．解：???

??=249,24150T

P ，???

? ??=38.062.04.06.0)3(P ，)39.0,61.0()3(=T

P 9．解：}9,,2,1{ =I

????

?

??

??

?

????

?

??=010003/103/103/102/102/10001000100001002/102/1002/102/10010O O P

}4,3,2,1{1=C ，}9,8,7,6,5{2=C 两个闭集。

10．解：（1）}3,2,1{1=C ，}5,4{2=C 两个遍历状态闭集。 （2）}3,2,1{=C 遍历闭集，}4{=N 非常返态。

（3）}0{1=C ，}{2b C =是吸收态闭集，}1,,1{-=b N 是非常返集。

11．解：（1）21)

1(11=

f ，6

1)2(11=f ，91)3(11=f ；21)1(12=f ，41)2(12=f ，81)3(12=f ；1)

1(11p f =，

0)2(11=f ，321)3(11

q q q f =；1)1(12q f =，11)2(12q p f =，12

1)3(12q p f =。

12．解：，}2,1{=N 非常返集，}5,4,3{1=C ，}7,6{2=C 是正常返闭集。由转移矩阵

?????

??3.05.02.06.004.004.06.0

解得1C 的平稳分布为}0,0,23

6

,237,2310,0,0{；

同理，2C 的平稳分布为}15

7

,158,0,0,0,0,0{。

13．解：0111ππj

j j q q p p -=

，1≥j ，∑∏∞

=-=++=

11

01

011j j k k k

q p

π

14．解：}0,{≥n X n 的转移概率为 0=ii p ，N i N p i i 221,-=

+，N

i

p i i 21,=-，N i 2,,1,0 =，

其平稳分布}2,,1,0,{N j j =π满足方程组

N j N j N N

N j N j N j 2121221211

1211

20+++-????

?

??????

===+--ππ

πππππ 解此方程组得 02ππj N j C =

由条件

1=∑j

j

π

得

02202021ππN N

j j N C ==∑=

N 202-=π

故}0,{≥n X n 的平稳分布为N

j

N j C 222

-=π，N j 2,,2,1,0 =

15．解：（1）

??

??

?

?????=3/13/209/29/59/203/23/1P

（2）由于}2,1,0{=I 是有限的，I 中所有状态是互通的，且状态0是非周期的，故}{n X 为遍历链。

（3）由平稳分布满足的方程组

1319232953292312102

122

1011

00=+++=++=+=πππππππππππππ 解方程组得：510=π，531=π，51

2=π

51lim 0)(0==∞→πn i n p ，53lim 1)(1==∞

→πn i n p ，51

lim 2)(2==∞→πn i n p 16．解：（1）用归纳法。设当m n =时，对一切I j ∈，都有1)

(=∑∈I

i n ij p ，则

)()()

1(∑∑∑∈∈∈+=I

i kj I

k m ik I

i n ij

p p p

)()

(∑∑∈=I

k i

m ik kj p p 1==∑∈I

k kj p

（2）由条件知}1),({≥n n X 为非周期不可分马尔可夫链，且状态空间有限，故

}1),({≥n n X 为遍历链，因此 I j p j

j n ij n ∈>=

=∞

→,01

lim )(μπ，所以

11

lim lim 1

1

)(1

)(==

==∑

∑∑==∞

→=∞

→j

m

i j

m

i n ij

n m

i n ij

n m

p

p

μμ，m j =μ，m j ,,2,1 =

17．解：（2）2112.01=π，3028.02=π，3236.03=π，1044.04=π；

（3）8.84=μ（天）

107509-概率统计随机过程课件-第十三章马尔可夫链第一节第二节(上)

第十三章 马尔可夫链 马尔可夫过程是一类特殊的随 机过程, 马尔可夫链是离散状态的马尔可夫过程,最初是由俄国数学家马尔可夫1896年提出和研究的. 应用十分广泛,其应用领域涉及 计算机,通信,自动控制,随机服务,可靠性,生物学,经济,管理,教育,气象,物理,化学等等. 第一节 马尔可夫链的定义 一．定义 定义 1 设随机过程} ),({T t t X ∈的状态空间S 是有限集或可列集,对任意正整数n ,对于T 内任意1+n 个参数121+<

如果条件概率 })(,,)(,)(|)({221111n n n n j t X j t X j t X j t X P =???===++})(|)({11n n n n j t X j t X P ===++,(13.1) 恒成立,则称此过程为马尔可夫链. 式(13.1)称为马尔可夫性,或称无后效性. 马氏性的直观含义可以解释如下: 将n t 看作为现在时刻,那末,121,,,-???n t t t 就是过去时刻,而1+n t 则是将来时刻.于是,(13.1)式是说,当已知系统现时情况的条件下,系统将来的发展变化与系统的过去无关.我们称之为无后效性. 许多实际问题都具有这种无后 效性. 例如 生物基因遗传从这一代 到下一代的转移中仅依赖于这一代而与以往各代无关. 再如,每当评估一个复杂的计 算机系统的性能时,就要充分利用系统在各个时刻的状态演变所具有

的通常概率特性:即系统下一个将到达的状态,仅依赖于目前所处的状态,而与以往处过的状态无关. 此外,诸如某公司的经营状况 等等也常常具有或近似具有无后效性. 二． 马尔可夫链的分类 状态空间S 是离散的(有限集或可列集),参数集T 可为离散或连续的两类. 三．离散参数马尔可夫链 （1）转移概率 定义2 在离散参数马尔可夫链 },,,,,),({210??????=n t t t t t t X 中, 条件概率 )(})(|)({1m ij m m t p i t X j t X P ===+ 称为)(t X 在时刻(参数)m t 由状态i 一 步转移到状态j 的一步转移概率, 简称转移概率.

随机过程-C4马尔可夫链

练习四：马尔可夫链 随机过程练习题 1．设质点在区间[0，4]的整数点作随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处， 在其它整数点分别以概率 3 1 向左、右移动一格或停留在原处。求质点随机游动的一步和二步转移的概率矩阵。 2．独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p ，对于2≥n 求，令n X =0， 1，2或3，这些值分别对应于第1-n 次和第n 次抛掷的结果为（正，正），（正，反）， （反，正）或（反，反）。求马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的一步和二步转移的概率矩阵。 3．设}0,{≥n X n 为马尔可夫链，试证： （1）},,,|,,,{11002211n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P ======++++++ }|,,,{2211n n m n m n n n n n i X i X i X i X P =====++++++ （2）}|,,,,,,{11221100++++++======n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P }|,,,{111100++=====n n n n i X i X i X i X P ==?+++m n n n X i X P ,,{22 }|11+++=n n m n i X i 4．设}1,{≥n X n 为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为==0{X P p i 4,3,2,1,4 1}==i i ，???? ?? ? ??=4/14/14/14/18/34/18/14/14/14/14/14/14/14/14/14/1P ，试证 }41|4{}41,1|4{12102<<=≠<<==X X P X X X P 5．设}),({T t t X ∈为随机过程，且)(11t X X =，,),(22 t X X = ),(n n t X X =为独 立同分布随机变量序列，令2,,)(,011110≥=+===-n X cY Y X t Y Y Y n n n ，试证 }0,{≥n Y n 是马尔可夫链。 6．已知随机游动的转移概率矩阵为???? ? ??=5.005.05.05.0005.05.0P ，求三步转移概率矩阵) 3(P 及 当初始分布为1}3{,0}2{}1{000======X P X P X P 时经三步转移后处于状态 3的概率。 7．已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下： （1）)4.0,2.0,4.0()0(=T P ，???? ? ??=6.02.02.02.07.01.01.08.08.0P ；

隐马尔科夫链及其应用

隐马尔科夫链及其应用学习概率的时候，大家一定都学过马尔科夫模型吧，当时就觉得很有意思，后来看了数学之美之隐马模型在自然语言处理中的应用后，看到隐马尔科夫模型竟然能有这么多的应用，并且取得了很好的成果，更觉的不可思议，特地深入学习了一下，这里总结出来。马尔科夫过程 马尔科夫过程可以看做是一个自动机，以一定的概率在各个状态之间跳转。考虑一个系统，在每个时刻都可能处于N 个状态中的一个，N 个状态集合是 {S1,S2,S3,...SN}。我们现在用q1,q2,q3,…qn 来表示系统在t=1,2,3,…n 时刻下的状态。在t=1时，系统所在的状态q 取决于一个初始概率分布PI ，PI(SN)表示t=1时系统状态为SN 的概率。马尔科夫模型有两个假设： 1. 系统在时刻t 的状态只与时刻t-1处的状态相关；（也称为无后效性） 2. 状态转移概率与时间无关；（也称为齐次性或时齐性）第一条具体可以用如下公式表示： P(q t =S j |q t-1=S i ,q t-2=S k ,…)= P(q t =S j |q t-1=S i )其中，t 为大于1的任意数值，Sk 为任意状态第二个假设则可以用如下公式表示：P(q t =S j |q t-1=S i )= P(q k =S j |q k-1=S i )其中，k 为任意时刻。下图是一个马尔科夫过程的样例图：卷问题，而且可保障各类管路习题到位。在管对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组

可以把状态转移概率用矩阵A 表示，矩阵的行列长度均为状态数目，aij 表示P(Si|Si-1)。 隐马尔科夫过程 与马尔科夫相比，隐马尔科夫模型则是双重随机过程，不仅状态转移之间是个随机事件，状态和输出之间也是一个随机过程，如下图所示：此图是从别处找来的，可能符号与我之前描述马尔科夫时不同，相信大家也能理解。通过管线敷设技术不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

随机过程——马尔可夫过程的应用

随机过程——马尔可夫过程的应用 年级：2013级 专业：通信工程3班 姓名：李毓哲 学号：31

摘要：随机信号分析与处理是研究随机信号的特点及其处理方法的专业基础， 是目标检测、估计、滤波灯信号处理理论的基础，在通信、雷达、自动检测、随机振动、图像处理、气象预报、生物医学、地震信号处理等领域有着广泛的应用，随着信息技术的发展，随机信号分析与处理的理论讲日益广泛与深入。 随机过程是与时间相关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取值称作其样本函数，所有样本函数构成的集合称作随机过程的样本函数空间，所有样本函数空间及其统计特性即构成了随机过程。通信工程中存在大量的随机现象和随机问题。如：信源是随机过程；信道不仅对随机过程进行了变换，而且会叠加随机噪声等。 马尔可夫过程是一类非常重要的随机过程。随着现代科学技术的发展，很多在应用中出现的马氏过程模型的研究受到越来越多的重视。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，马尔可夫过程在研究质点的随机运动、自动控制、通信技术、生物工程等领域中有着广泛的应用。我们可以通过对马尔可夫过程的研究来分析马尔可夫信源的特性。 关键词：随机过程，马尔可夫过程，通信工程，应用

目录 一、摘要 二、随机过程 、随机过程的基本概念及定义 、随机过程的数学描述 、基于MATLAB的随机过程分析方法三、马尔可夫过程 马尔可夫过程的概念 马尔可夫过程的数学描述 四、马尔可夫过程的应用 马尔可夫模型在通信系统中的应用 马尔可夫模型在语音处理的应用 马尔可夫模型的其他应用 五、结论 参考文献

二、随机过程 、随机过程的基本概念及定义 自然界变换的过程通常可以分为两大类——确定过程和随机过程。如果每次试验所得到的观测过程都相同，且都是时间t的一个确定函数，具有确定的变换规律，那么这样的过程就是确定过程。反之，如果每次试验所得到观测过程都不相同，是时间t的不同函数，没有为确定的变换规律，这样的过程称为随机过程。 、随机过程的数学描述 设随机试验E的样本空间Ω，T是一个数集（T∈(-∞,∞)），如果对于每一个t ∈T，都有一个定义在样本空间Ω上的随机变量 X(w,t)，w∈Ω，则称依赖于t的一族随机变量{X(w,t)，t∈T}为随机过程或随机函数，简记为{X(t)，t∈T }或X(t)，其中t称为参数，T称为参数集。当T={0,1,2,…}，T={1,2,…}，T={…,-2,-1,0,1,2,…}时，{X(w,t)t∈T}称为随机序列或时间序列。 、基于MATLAB的典型随机过程的仿真 信号处理仿真分析中都需要模拟产生各种随机序列，通常都是先产生白噪声序列，然后经过变换得到相关的随机序列，MATLAB有许多产生各种分布白噪声的函数。

随机过程与马尔可夫链习题答案

信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链 1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？ 分析： 天气情况用随机变量X 表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y 表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z 表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知 已知[]5.00,0|0====Y X Z P ，[]5.00,0|1====Y X Z P []1.00,1|1====Y X Z P ，[]9.00,1|0====Y X Z P []4.01,1|0====Y X Z P ，[]6.01,1|1====Y X Z P []9.01,0|1====Y X Z P ，[]1.01,0|0====Y X Z P []3.00==X P ，[]7.01==X P []2.00==Y P ，[]8.01==Y P 即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率 [][][][]0,0|00|000===?==?===X Y Z P X Y P X P Z P [][][]0,1|00|10===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,0|01|01===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,1|01|11===?==?=+X Y Z P X Y P X P 由于X ，Y 相互独立，则有 [][][][]0,0|0000===?=?===X Y Z P Y P X P Z P [][][]0,1|010===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,0|001===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,1|011===?=?=+X Y Z P Y P X P []5.02.03.00??==Z P 1.08.03.0??+9.02.07.0??+1.08.07.0??+ =? 注意：全概率公式的应用 2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示， 且()Y X Y X g Z +==2 11,，()Y X Y X g Z /,22==， 求：

markov链在天气中的应用

北方民族大学 信息与计算科学学院 课程名称: 应用随机过程 姓名：___ 何义连方芳朱雪梅阿热孜古丽 学号： 20093241 20093208 20093284 20093177 专业：数学与应用数学 班级： 09级（5）班

天气变化情况是人们普遍关注的重点问题之一。借助随机过程中著名的马尔可夫链模型，以某日天气的状态转移数据为算例，建立了天气情况预测模型，并借助该模型对未来天气的变化趋势作出了预测分析。马尔科夫过程应用广泛，它的重要特征是无后效性。事物第t 次出现的状态，只与其第t一1次的状态有关，它与以前的状态无关。因此，运用马尔科夫链，只需要最近或现在的动态资料则可按转移概率可预测将来。这一基本思想可应用于天气预报、作物产量预报、病虫害预报等，也可应用于水文、通信技术和遗传学研究中。 1马尔科夫链预测的数学模型 1．1马尔科夫链和马尔科夫预测法概念 马尔科夫链是与马尔科夫过程紧密相关的一个概念。满足马尔可夫链的事物过程具有如下的三个特点： a．过程的离散性．事物的发展在时间上可离散化为有限或可列个状态。 b．过程的随机性．系统内部从一个状态转移到另一个状态是随机的，转变的可能由系统内部的以前历史情况的概率值表示。 c．过程的无后效性．系统内部的转移概率只与当前状态有关而与以前的状态无关。 设有随机过程{X(t)，t∈T)，若对任意的整数t∈T，{X(t)，t=0，1，2 ，3】(状态空间为I)参数为非负整数， 把这类过程称为马尔科夫链。马尔科夫链指出事物系统的状态由过去转变到现在，再由现在转变到将来，一环接一环像一根链条，而作为

马尔科夫链的动态系统将来是什么状态，取什么值，只与现在的状态、取值有关，而与它以前的状态、取值无关。为了描述马氏链的(n+1)维概率分布，最重要的是条件概率P{X （t +1)=j ，X(t)=i )，称这条件概率为在时刻t 时的一步转移概率P 它表示在时刻t 时，X(t)=i 条件下，下一时刻t+l 时X(t +1) =j 的概率。将Pi ，依次排序，可得一步转移概率矩阵 ????? ???? ???=3332 31 30 2322212013 121110 03020100 p p p p p p p p p p p p p p p p p 我们称概率分布)i (I ∈，π为马尔可夫链的平稳分布，其中I 为状态空间，它满足下列关系： ) 0(>=∑∈i i ij I i i p πππ 1 =∑∈I i i π 1．2多步状态转移概率矩阵的计算 与起始时刻无关的马尔科夫链成为齐次马尔科夫链，m 步转移概率矩阵可以从一步转移概率矩阵P 自乘m 次得到，也可通过切普曼一柯尔莫格洛夫(c —k)方程得到。设P ∞)代表m 步转移概率矩阵，则根据切普曼一柯尔莫格洛夫(C 一k)方程可得 m 1() (P) (P =??==-） m m P p 其中 ) 1(p 即是一步转移概率矩阵P 。这样，如果知道了马尔科夫链的 初始概率分布，即初始时刻各个状态的概率，并且知道它的一步转移

随机过程-C4马尔可夫链复习过程

随机过程-C4马尔可 夫链

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 练习四：马尔可夫链 随机过程练习题 1．设质点在区间[0，4]的整数点作随机游动，到达0点或4点后以概率1 停留在原处，在其它整数点分别以概率3 1 向左、右移动一格或停留在原 处。求质点随机游动的一步和二步转移的概率矩阵。 2．独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p ，对于2 ≥n 求，令n X =0，1，2或3，这些值分别对应于第1-n 次和第n 次抛掷的结果为（正，正），（正，反），（反，正）或（反，反）。求马尔可夫链},2,1,0,{Λ=n X n 的一步和二步转移的概率矩阵。 3．设}0,{≥n X n 为马尔可夫链，试证： （1）},,,|,,,{11002211n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P ======++++++ΛΛ }|,,,{2211n n m n m n n n n n i X i X i X i X P =====++++++Λ （2）}|,,,,,,{11221100++++++======n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P ΛΛ }|,,,{111100++=====n n n n i X i X i X i X P Λ==?+++m n n n X i X P ,,{22Λ }|11+++=n n m n i X i 4．设}1,{≥n X n 为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为 ==0{X P p i 4,3,2,1,4 1}==i i ，???? ? ? ? ??=4/14/14/14/18/34/18/14/14/14/14/14/14/14/14/14/1P ，试证 }41|4{}41,1|4{12102<<=≠<<==X X P X X X P 5．设}),({T t t X ∈为随机过程，且)(11t X X =，,),(22Λt X X =Λ ),(n n t X X =为独立同分布随机变量序列，令 2,,)(,011110≥=+===-n X cY Y X t Y Y Y n n n ，试证}0,{≥n Y n 是马尔可夫链。 6．已知随机游动的转移概率矩阵为??? ?? ??=5.005.05.05.0005.05.0P ，求三步转移概率矩 阵)3(P 及当初始分布为1}3{,0}2{}1{000======X P X P X P 时经三步转 移后处于状态3的概率。 7．已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下： （1）)4.0,2.0,4.0()0(=T P ，???? ? ??=6.02.02.02.07.01.01.08.08.0P ；

马尔可夫链预测方法及其一类应用【文献综述】

文献综述 数学与应用数学 马尔可夫链预测方法及其一类应用 马尔可夫性是俄国数学家A.A.Mapkov 在1906年最早提出的. 但是, 什么是马尔可夫性呢? 一般来讲,认为它是“相互独立性”的一种自然推广. 设有一串随机事件,...,,...,,121n n A A A A -中（即n A 属于概率空间（P ,,ξΩ）中的σ代数ξ，1≥n ）, 如果它们中一个或几个的发生, 对其他事件的发生与否没有影响, 则称这一串事件是相互独立的（用概率空间（P ,,ξΩ）的符号表示, 即))()(11n m n m n n A P A P X I ===, 推广下, 如果在已知,...,1+n n A A 中的某些事件的发生, 与,,...,,121-n A A A 中的事件发生与否无关, 则称这一串事件{1:≥n A n }具有马尔可夫性. 所以说, 马尔可夫性可视为相互独立性的一种自然推广. 从朴素的马尔可夫性, 到抽象出马尔可夫过程的概念, 从最简单的马尔可夫过程到一般的马尔可夫过程, 经历了几十年的发展过程. 它有极其深厚的理论基础, 如拓扑学、函数论、几何学、近世代数、泛函分析. 又有很广泛的应用空间, 如随机分形、近代物理、公共事业中的服务系统、电子信息、计算技术等. 在现实世界中, 有很多过程都是马尔可夫过程, 如软件可靠性测试、传染病受感染的人数、农村剩余劳动力流动趋势预测、液体中微粒所作的布朗运动、产品市场占有率及利润率的变动, 车站排队问题等等, 都可视为马尔可夫过程. 所谓马尔可夫链是指时间连续(或离散)、状态可列、时间齐次的马尔可夫过程. 之所以要研究这种过程, 一方面是由于它的理论比较完整深入, 可以作为一般马尔可夫过程及其他随机过程的借鉴; 二是由于它在自然科学和许多实际问题(如遗传学、教育学、经济学、建筑学、规则论、排队论等)中发挥着越来越大的作用. 自从我国著名数学家、教育家、中科院王梓坤院士在上世纪50年代将马尔可夫理论引入国内以后, 我国数学家对马尔可夫过程的研究也取得了非常好的效果, 在生灭过程的构造和它的积分型泛函的分布、马尔可夫过程的零壹律、Martin 边界与过份函数、马尔可夫过程

随机过程报告——马尔可夫链.doc

马尔可夫链 马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由 A.A .M arkov 所研究。它的直观背景如下 : 设有一随机运动的系统 E ( 例如运动着的质点等 ) ，它可能处的状态记为E 0 , E1 ,..., E n ,.... 总共有可数个或者有穷个。这系统只可能在时刻t=1,2, n, 上改变它的状态。随着的运动进程，定义一列随机变量 Xn,n=0,1, 2, ?其中Xn=k，如在 t=n 时，位于 Ek。 定义 1.1 设有随机过程 X n， n T ，若对任意的整数 n T 和任意的 i 0 , i1 ,...i n 1 I , 条件概率满足 { i n 1 X i ,..., X n i n }{ i n 1 X n i n } P X n 1 0 P X n 1 则称 X n， n T为马尔可夫链，简称为马氏链。 实际中常常碰到具有下列性质的运动系统。如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在 n时以前所处的状态的补充知识，对预言在 n时以后所处的状态，不起任何作用。或者说，在己知的“现在”的条件下，“将来”与“过去”是 无关的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性” 。假设马尔可夫过程 X n， n T 的参数集T是离散时间集合，即T={0,1,2, }, 其相应 Xn可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。 定义 1.2 条件概率 P( n) { j X n i } ij p X n 1 称为马尔可夫链X n， n T 在时刻n的一步转移矩阵，其中i，j I ，简称为转移概率。 一般地，转移概率 P ij( n )不仅与状态 i,j 有关，而且与时刻 n有关。当 P ij( n)不依赖于时刻 n时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。若对任意的 i ，j I，马尔可夫

隐马尔科夫链及其应用

隐马尔科夫链及其应用 学习概率的时候，大家一定都学过马尔科夫模型吧，当时就觉得很有意思，后来看了数学之美之隐马模型在自然语言处理中的应用后，看到隐马尔科夫模型竟然能有这么多的应用，并且取得了很好的成果，更觉的不可思议，特地深入学习了一下，这里总结出来。 马尔科夫过程 马尔科夫过程可以看做是一个自动机，以一定的概率在各个状态之间跳转。 考虑一个系统，在每个时刻都可能处于N个状态中的一个，N个状态集合是{S1,S2,S3,...SN}。我们现在用q1,q2,q3,…qn来表示系统在t=1,2,3,…n时刻下的状态。在t=1时，系统所在的状态q取决于一个初始概率分布PI，PI(SN)表示t=1时系统状态为SN的概率。 马尔科夫模型有两个假设： 1.系统在时刻t的状态只与时刻t-1处的状态相关；（也称为无后效性） 2.状态转移概率与时间无关；（也称为齐次性或时齐性） 第一条具体可以用如下公式表示： P(q t=S j|q t-1=S i,q t-2=S k,…)= P(q t=S j|q t-1=S i) 其中，t为大于1的任意数值，Sk为任意状态 第二个假设则可以用如下公式表示： P(q t=S j|q t-1=S i)= P(q k=S j|q k-1=S i) 其中，k为任意时刻。 下图是一个马尔科夫过程的样例图：

可以把状态转移概率用矩阵A表示，矩阵的行列长度均为状态数目，aij表示P(Si|Si-1)。 隐马尔科夫过程 与马尔科夫相比，隐马尔科夫模型则是双重随机过程，不仅状态转移之间是个随机事件，状态和输出之间也是一个随机过程，如下图所示： 此图是从别处找来的，可能符号与我之前描述马尔科夫时不同，相信大家也能理解。

马尔可夫过程的发展和应用

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：马尔可夫过程的发展与应用 院系：电子信息与工程学院 班级：通信一班 设计者： 学号： 指导教师：田波平 设计时间： 2009/12/17 马尔可夫链(过程)的发展与应用

1. 随机过程发展简述 在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。 一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 2. 马尔可夫过程发展 2.1 马尔可夫过程简介 马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。 2.2 马尔可夫过程的发展 20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程──扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径。

马尔可夫链

马尔可夫过程 编辑词条 一类随机过程。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。 目录 马尔可夫过程 离散时间马尔可夫链 连续时间马尔可夫链 生灭过程 一般马尔可夫过程 强马尔可夫过程 扩散过程 编辑本段马尔可夫过程 Markov process 1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。 类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用X0,X1,X2，…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗

马尔科夫链模型的应用研究

管理预测与决策马尔科夫链模型的应用研究 姓名： 学号： 专业： 指导教师： 2012年11月1日

摘要 预测春运客流量是铁路部分的一项重要工作。运用马尔科夫链模型可以对 春运期间一天中的客流量进行预测。 首先，介绍了马尔科夫链模型及其预测的基本原理；其次，分析了**火车站2011年春运期间每天的客流量，并按照**火车站突发事件三级预警方案将客流量数据处理为三个状态；最后，运用马尔科夫链模型对2011年的春运客流进行预测，结果表明，运用马尔科夫链模型具有良好的预测结果。 关键词：马尔科夫链模型；火车站；客流量

马尔科夫链模型的应用研究 **站每年春运都面临着大规模客流。大量人群的聚集会带来许多安全隐 患，相关领导部门非常重视。如果能够根据以往的客流量，对下一年的春运客流量做出正确预测，就能够为领导决策层提供有力的信息支持，使他们能够提前做好应对高峰客流的准备，从而降低风险。影响春运客流的因素很多，并且各个因素的作用机制无法用精确的熟悉模型描述。目前常用的预测方法主要有数学模型方法和人工经验模型法。对客流量做预测，目前所知道的是以前客流量的记录。 如何从大量已知的数据中挖掘出有用的信息或知识，为下一步工作服务，这是数据挖掘技术所完成的工作。数据挖掘领域中有许多新的研究成果，如关联规则、Web挖掘、马尔科夫链模型等。其中马尔科夫链模型是近年来在数据挖掘方法的 一个研究热点。本文运用该方法对**站春运客流进行预测。 1.马尔科夫链模型 1．1马尔科夫链 马尔科夫链，是数学领域中具有马尔科夫性质的离散时间随机过程。该过 程中，在给定当前指示或信息的情况下，过去（即现在时期以前的历史状态）对 与预测将来（即现在时期以后的状态）是无关的。如果n个连续变动事物在变动过程中，其中任一次变动的结果都具有无后效性，那么，这n个连续变动事物的集合就叫做马尔科夫链，这类事物演变的过程称为马尔科夫过程。 1.2 马尔科夫预测的基本原理 对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必 须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的 可能性程度。这就是关于事件发生的概率预测。马尔科夫预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。

随机过程 第五章 连续时间的马尔可夫链

第五章 连续时间的马尔可夫链 5.1连续时间的马尔可夫链 考虑取非负整数值的连续时间随机过程}.0),({≥t t X 定义5.1 设随机过程}.0),({≥t t X ,状态空间}0,{≥=n i I n ,若对任意 121...0+<<<≤n t t t 及I i i i n ∈+121,...,,有 })(,...)(,)()({221111n n n n i t X i t X i t X i t X P ====++ =})()({11n n n n i t X i t X P ==++ (5.1) 则称}.0),({≥t t X 为连续时间马尔可夫链. 由定义知,连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程,即过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下,将来时刻1+n t 的状态只依赖于现在状态而与过去无关. 记(5.1)式条件概率一般形式为 ),(})()({t s p i s X j t s X P ij ===+ (5.2) 它表示系统在s 时刻处于状态i,经过时间t 后转移到状态j 的转移概率. 定义5.2 若(5.2)式的转移概率与s 无关,则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率,此时转移概率简记为 ),(),(t p t s p ij ij = 其转移概率矩阵简记为).0,,()),(()(≥∈=t I j i t p t P ij 以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔可夫链都具有齐次转移概率.简称为齐次马尔可夫过程. 假设在某时刻,比如说时刻0,马尔可夫链进入状态i,而且接下来的s 个单位时间单位中过程未离开状态i,(即未发生转移),问随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少呢?由马尔可夫我们知道,过程在时刻s 处于状态i 条件下,在区间[s,s+t]中仍然处于i 的概率正是它处于i 至少t 个单位的无条件概率..若记 i h 为记过程在转移到另一个状态之前停留在状态i 的时间,则对一切s,t 0≥有 },{}{t h P s h t s h P i i i >=>+> 可见,随机变量i h 具有无记忆性,因此i h 服从指数分布. 由此可见,一个连续时间马尔可夫链,每当它进入状态i,具有如下性质: (1) 在转移到另一状态之前处于状态i 的时间服从参数为i v 的指数分布;

马氏链的应用

马氏链的应用 ----转移矩阵的应用 一摘要 随机过程，作为对一连串随机事件动态关系的定量描述，在自然科学、工程科学以及社会科学各领域具有重要应用。 数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。随机过程的概念很广泛，因而随机过程的研究几乎包括概率论的全部。虽然不能给出一个有用而又狭窄的定义，但是概率论工作者在使用随机过程这个术语时，通常想到的是其随机变量具有某种有意义的相互关系的随机过程。由于这些过程类在数学上和非数学上的应用中十分重要，用这种理论工具，可以对常见的过程进行分析，进行一系列随机计算，从而可以将随机过程这一理论工具应用到实际中去，可以进行预测与决策，是相关数学模型的理论基础。 马尔可夫链，因安德烈·马尔可夫得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来是无关的。马尔可夫链通常用来建模排队理论和统计学中的建模，还可作为信号模型用于熵编码技术，如算法编码。企业的经济活动分析在企业的经营管理中发挥着日益重要的作用，马氏链

对事后实事求是地分析、总结企业完成的经济活动和事前科学地预测、判断企业未来的经济活动都是必不可少的[2]。一般情况下，经济预测的定量方法要用到数学模型，而定性方法则不需要。马尔可夫链为经济领域中运用数学模型对定性问题进行预测提供了一种思路，丰富了经济预测方法的内容。企业是一个动态变化的系统，在这一系统中，有一些变量和因素会随时间的推移而不断的随机变化。而马尔可夫链预测法又是一种适用于随机过程的科学、有效的动态预测方法，它立足于当前通过市场调查等途径所获现实资料的基础上，运用马尔可夫链的基本原理和方法对数据资料进行运算得出预测结果，因此很适用于企业的经济预测。本文就是运用马尔可夫链理论建立了一系列预测模型，使之能够给企业提供更大的帮助。 二实验目的 通过对马氏链理论的叙述，对其深入了解，将其应用到实际生活中，解决一些相关的问题。比如单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。本文主要研究的是马氏链的转移矩阵问题，这在课本上有讲到。课本中例题也有讲到，通过多做习题，也可以加深对转移矩阵的理解。三理论分析

随机过程报告——马尔可夫链

马尔可夫链 马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上改变它的状态。随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ?其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。 定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足 }i {},...,i X i {1n 100 01n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。 实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。 假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。 定义1.2 条件概率 }{P 1)(i X j X p n n n ij ===+ 称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转移概率。 一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。当)(P n ij 不依赖 于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫

基于马尔科夫链在金融中的应用

基于马尔科夫链在金融中的应用 摘要：讨论了我国金融的发展现状及趋势，针对金融中常见的经济问题，建立相应的马尔可夫链模型，并运用马尔可夫链的相关理论为金融的经济活动进行了定量的研究，同时也阐述了马尔可夫链在经济预测中的基本思想、应用、模型预测的结果说明。实例表明，马尔可夫链模型及方法在金融活动分析中是可行和适用的，可广泛应用于解决金融中常见的预测及决策问题。 关键词：马尔可夫链；市场预测；平均利润预测；转移概率矩阵 1引言 马尔可夫链最初由俄国数学家Markov于1906年的研究而得名,Kolmogorov，Feller和Doob等数学家继续发展了这一理论，它是随机过程的重要组成部分，同时它在自然科学、工程技术、金融及经济管理等各领域中都有着广泛的应用[1]。随着我过社会主义市场经济的不断发展，科学技术的进步，经济管理体制改革的深入和金融经营机制的转变，金融不仅要利用经济活动分析这一管理经济的重要方法，分析金融的生产经营活动，而且还要分析金融的经济环境，了解国内外市场情况和社会需求的变化，以便随着其不断变化，及时调整生产经营活动，增强竞争力，从而使金融能够适应商品经济的要求而健康发展。因此，金融的经济活动分析在金融的经营管理中发挥着日益重要的作用，它对事后实事求是地分析、总结金融完成的经济活动和事前科学地预测、判断金融未来的经济活动都是必不可少的[2]。一般情况下，经济预测的定量方法要用到数学模型，而定性方法则不需要。马尔可夫链为经济领域中运用数学模型对定性问题进行预测提供了一种思路，丰富了经济预测方法的内容。金融是一个动态变化的系统，在这一系统中，有一些变量和因素会随时间的推移而不断的随机变化。而马尔可夫链预测法又是一种适用于随机过程的科学、有效的动态预测方法，它立足于当前通过市场调查

随机过程报告记录——马尔可夫链

随机过程报告记录——马尔可夫链

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马尔可夫链 马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为 ,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上 改变它的状态。随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ?其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。 定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的 ,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足 }i {},...,i X i {1n 100 01n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。 实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。 假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。 定义1.2 条件概率 }{P 1)(i X j X p n n n ij ===+ 称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转 移概率。 一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。当)(P n ij 不依赖于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫