函数的连续性
数学总结(函数连续性)
命题：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数 关键词：初等函数，定义区间，连续函数 相关词：基本初等函数，复合函数，函数极限 一．6个基本初等函数： ①常量函数②幂函数③指数函数④对数函数⑤三角函数⑥反三角函数 形式： ①f （x ）＝C （C 为常数） ②f （x ）＝x a ③f （x ）＝a x （1,0≠>a a ） ④f （x ）＝log a x （1,0≠>a a ） ⑤f （x ）＝sinx f （x ）＝cosx f （x ）＝tanx …… ⑥f （x ）＝arcsinx f （x ）＝arccosx f （x ）＝arctanx 二．函数连续的定义： 设函数)(x f 在 x 的某个邻域U （ x ）上有定义，若 )()(0lim x f x f x x =→ ，则称函数)(x f 在x 0处连续 注：定义中涉及“)(lim 0 x f x x → ”即为函数之极限 三．函数极限的定义：
为极限 极限存在，且以时当，则称A x )(A )(0::,0,0x 00→<-?<-?>?x f x f x x x εδδε 由此也可用""δε-定义)(x f 在x 0处的连续性： εδδε<-?<-??>?>?)()(::,0,000x x f x f x x 四．初等函数的定义： 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数 要证明原命题，先解决以下几个问题： （Ⅰ）复合函数的连续性 定义：若函数)(x f 在点x 0处连续，函数g （u ）在点u 0连续， u 0 ＝)(0 x f ，则复合函数g （f （x ） ）在点x 0 连续 证明： ∵ g （u ）在点u 0连续 ∴ εεδδ<-?<-?>?>?)()(:,0,00101u u g u g u 而)(x f 在点x 0处连续， 取δδδδε102021' )()(:,0,0<-?<-?>?>=x x f x f x 即δ10)(<-u x f 故：ε<-))(())((0x f g x f g 综上：εεδδ<-?<-?>?>?))(())((:,0,00202x x f g x f g x 即：g （f （x ））在x 0处连续 证毕！ （Ⅱ）反函数的连续性 定义：若函数)(x f 在[]b a ,上严格单调且连续，则其反函数 )(1 y f - 在其定义域[])(),(b f a f 或[])(),(a f b f 上连续且单调性与原函数相同
函数-在一点的连续概念
第2章 连续函数 §2.1 连续函数的概念 【导语】 连续是客观世界中最常见的现象，如岁月的流逝、植物的生长、物体的运动等都是连续的．函数的连续性反映了函数在一点的值与这点附近的函数值之间的关系，是函数在一点的性质．如何刻画函数的连续性，连续函数具有什么性质，这就是第2章要解决的问题．本讲主要介绍函数在一点连续的定义。 【正文】 一、函数在一点连续的概念 定义1 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，如果0 0lim ()()x x f x f x →=成立，那么就称函 数()f x 在0x 处连续，0x 称为函数()f x 的连续点． 一般地，0x x x ?=-称为自变量的改变量，0000()()()()()f x f x f x f x x f x ?=-=+?-称为函数()f x 在0x 处的改变量．函数()f x 在0x 连续指的是：当0x ?→时，有0()0f x ?→，即00 lim ()0x f x ?→?=． 也就是说，函数()f x 在0x 连续指的是：对任意的正数ε，都存在正数δ，使得当x δ?<时，就有0()f x ε?<成立． 从定义可以看出，连续性是函数的一种点性质．函数()f x 在0x 处是否连续与它在其他点是否连续没有关系． 例如对于函数 ,, (),,x x f x x x ∈?=? -?? Q Q 因为0 lim ()0x f x →=，且(0)0f =，所以()f x 在0x =处连 续．由于在00x ≠时极限0 lim ()x x f x →不存在，所以()f x 也 x 0 x 0y=x y x O
只有0x =这一个连续点． 从运算的角度看，连续性保证了函数求值运算与极限运算满足交换律，即 0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==． 例1 若函数21 ,1,()1,1x x f x x a x ?-≠-? =+??=-? 在1x =-处连续，求a 的值． 解 因为()f x 在1x =-处连续，所以 1 lim ()(1)x f x f →-=-． 又因为 2111 1lim ()lim lim(1)21x x x x f x x x →-→-→--==-=-+，(1)f a -=， 所以 2a =-． 例2 利用定义证明：若函数()f x 在0x 处连续，则函数()f x 在0x 处连续． 证 对任意的正数ε，因为函数()f x 在0x 处连续，所以存在正数δ，当0||x x δ-<时，有 0()()f x f x ε-<。 又因为00()()()()f x f x f x f x --≤，所以当0||x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<。 所以函数()f x 在0x 处连续． Remark:1,, ()1,.x f x x ∈?=?-?? Q Q 例3 利用定义证明函数()e x f x =在任意点0x 处连续． 证 对任意实数0x 和x ，000e e e (e 1)x x x x x --=-． 对任意正数ε，不妨设0e x ε<．要使 0e e x x ε-<， 即要使 00e (e 1)x x x ε--<， 即 0001e e 1e x x x x εε----<<+，
(整理)函数的一致连续性63604
§2.9 函数的一致连续性 定义 2.21 设f 是X 上的单变量函数.若0,0εδ?>?>,使得当 12,x x X ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<,则称f 是X 上的一 致连续函数.显然,若f 是X 上的一致连续函数,则f 一定是X 上的连续函数(反之通常不正确). 命题1 (不一致连续的充要条件) X 上的单变量函数f 不一致连续 0ε??>和{},{}n n x y X ?,使得lim()0n n n x y →∞ -=,并且()()n n f x f y - ,n ε* ≥?∈ . 证: “?”.假定f 不是X 上的一致连续函数,则0ε?>,n * ?∈ , n x ?,n y X ∈满足1 n n x y n -< 和()(),n n f x f y n ε* -≥?∈.这说明右 边成立. “?”.假定0ε?>和{}n x ,{}n y X ?,使得l i m ()0 n n n x y →∞ -=,并且()(),n n f x f y n ε* -≥?∈ .这时,0δ?>,,,N N N N x y X x y δ ?∈-<使得()()N N f x f y ε-≥.这说明f 不是X 上的一致连续函数.□ 命题 2 若f 是区间．．I 上的一致连续函数,00δ>是常数,则必存在 0M >使得当,x y I ∈,0x y δ-≤时总成立()()f x y M -≤. 证:对于固定的0,0εδ>>取,使得当12,x x I ∈,12x x δ-<时总成立 12()()f x x ε-<.再取n * ∈ 使得 ,M n n δδε<=令.当,,x y I ∈x y - 0δ≤时,()()f x f y -1 1(())(())n k k k f x y x f x y x n n =-≤+ --+-∑n ε< M =.□ 命题 3 有限开区间(,)a b 上的连续函数f 一致连续?存在有限单侧
高等数学函数极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
极限的概念_函数的连续性详解
第二章.极限概念函数的连续性 对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解， 因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正 严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。 对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种描述作为一般的判别标准。 这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。 数列的极限描述（数列存在极限判别定理，定义法、柯西法、子数列法、夹逼法、单调有界法） 设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜 作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：a i,a2，a3,?…，或者简单地记成｛a n｝。 观察这个数列取值变化，有的数列变化具有下面的变化规律： 对于数列a i，a2,a3,.…，假设存在一个确定的常数a，现在我们考虑变量a n a （显然这是一个反映数列数值变化的，随着n而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数，无论它的数值有多么大或者多么小， 我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N，使得在这个a N元素后面 的所有的数列元素，都使得相应的变量a n a的值小于， 换一句话来说，对于任意的，总是存在一个N，当n>N时， 总是有a n a成立 这时我们就把a称为数列a1, a2,a3，...的极限。并且称数列 lim a n a a i，a2，a3,.…收敛于极限a。我们使用记号n 来表示该数列极限。 否则我们就说数列｛a n｝是发散的。
这就是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。 在这个定义里面，最为关键的地方，也是初学者最为困难的地方有两个： 1。数值是任意的。就是说只要存在一个的数值不满足定义的条件， 就不能说数列收敛于极限a。 这里初学者感到非常困难的地方是，我们是不是一定要对所有可能的 都进行检验，才能得到最后的判断呢？不是的，在实际问题中，由于我们的 目的是希望知道变量a n a是否越来越小，一般只要取大于0,并且足够小（我们在有关极限的定义当中，总是先假设了这点，），当然这样不能减少 我们对的任意取值进行验证的任务，但是我们所处理的数列，总是按照某 种特定的规律来变化，一般从这个数列的变化规律本身就可以找到由决定 的N的值，使得a n a小于，或者是找到反例。从而实现对所有可能的们进行判断?不过，我们的课程在这个方面的要求并不是过高的，因此我们只是需要 考虑一些比较简单的例子，而我们的精力应该集中在对于极限思想的理解。 2.满足条件的n必须取遍所有大于N的自然数。 初学者往往会觉得这是不可能的，实际上，我们并不需要对所有大于N 的n值进行检验，同样由于数列的变化是具有规律的，从数列本身的规律，我们一般总是能够通过有限的步骤，来得到所需要的判断。 那么数列的规律是什么呢？一般说来，一个数列的元素总是一个由变量 n决定的函数，这里变量n取遍自然数，就生成了数列的全部项。这个函数的表达式称 为通项a n的通项公式。 不过通项公式有时候并非完全只是n的函数，有时由变量n和第n项之 前的项所决定，这时，通项公式表现为一个递推公式，这种情况的处理比较 复杂，我们不过多的涉及。 利用极限的定义和应用不等式（绝对值不等式?）对一个数列进行检验是否存在极限，实际上是预先假设知道了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否是这个给出的极限值。 答疑解难。 1 .数列的极限的定义当中，与N的取值是一一对应的吗？ ［答］:不是。 初学者对于极限的定义的叙述往往理解不够深入，并且常常产生歧义，这个问题就是最为典型的。 尽管在根据定义进行具体的极限分析时，常常是由推出N的表达式， 但这并不是意味着这两个变量之间具有一定的函数关系，这两个变量之间确 实是具有一定的关系，但决不是函数的关系，而是一种两个区间的相互影响与决定的关系，实际上，我们给出一个的意思，实际上是给出了一个区间， 同样由此而得到的N，也是一个区间的概念，而不是两个数值变量的关系，因此N的求法是很多形式的，实际问题当中，我们只是选择了最为方便的形式而已。 那么在不知道预先极限值时，有没有方法验证数列是否有极限，这就是相当重要的柯西收敛原理：
函数一致连续性的判定及应用论文
数学建模论文（设计）题目函数一致连续性的判定及应用 学院 专业 年级 学号 姓名xx 指导教师xx 成绩 2007 年4 月19 日
函数一致连续性的判定及应用 摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。 关键词：函数；连续；一致连续函数 Decisions of uniformly continuous function and application TANG Yong The School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: From the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function with many variables in different region. Key words: function; continuity; uniformly continuity 1. 引言 我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数() f x在某区间内连续，是指函数() f x在该区间上一点 f x在该区间内每一点都连续，它反映函数() 附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数() f x在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数() f x的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。 现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论： 2. 函数连续与一致连续的关系 2.1 函数连续与一致连续的区别 2.1.1 函数连续的局部性
浅谈函数的一致连续性的性质
浅谈函数的一致连续性的性质 张亚男,数学计算机科学学院 摘要: 本文探讨了具有一致连续性函数的基本性质,对函数一致连续性的性 质进行深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一直连续性.首先介绍了一致连续的概念，并给出了非一致连续的定义。其次给出了一致连续函数的有界性质。再次给出了两个一致连续函数和商积差，具有一致连续性的条件。最后探讨了同一函数在两个区间上一致连续性的叠加。在每个性质后面都附有例题，使读者可也更好的理解所给出的性质。 关键词：函数；一致连续；非一致连续；有限区间; 有界; Discusses the properties of the uniform continuity function Name：zhang ya nan Number：0707216 College：College of Mathematics and Computer Science Abstract: In this paper, we discuss the properties of function of uniform continuity. We analyze the properties of uniform continuity of functions deeply, aiming to readers can better control uniform continuity of function. Firstly, we introduce the function uniform continuity concept and give the definition of non- uniform continuity of function. Then, we give the bound of uniform continuity of functions. Once again, we give the condictions, to be uniform continuity of function,of function four fundamental operations. Finally discusses the same function in the two identical continuity on the interval of superposition. In each propertyes we give examples, behind that readers can better understanding of the nature of given. Key Word: function; uniform continuity; non- uniform continuity; limited interval; bounded;
§6+函数的一致连续性概念与应用练习参考解答
§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答 1． 若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。 2． 试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在 [],a b 上也一致连续。 3． 证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。 4． 证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。 (2) 函数2 )(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。 5． 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。 6． 求证下列函数在指定区间上一致连续： (1) ()1 f x x =， ()0a x <≤<+∞； 2) ()3f x x =， ()0x ≥。 证 (1) 0ε?>，取2a δε=， 则当212x x a ε-<时， 有 12122121211 x x x x x x x x a ε---=≤<， ()12,x x a ?≥。 即得()1 f x x =在[),a +∞上一致连续。 (2) 设210x x >≥， 则有 ()3 333 221 1211x x x x x x x = -+≤-+。 即有 3 3 3 2121x x x x -≤-。 于是， 对0ε?>， 30δε?=>， 对12,0x x ?≥， 当21x x δ-<时， 有 3 33 2121x x x x ε-≤ -< 即得()f x 在0x ≥上一致连续。 7． 求证下列函数在指定区间上不一致连续。 (1) ()()1 sin 01f x x x =<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。
(整理)函数、极限、连续重要概念公式定理
一、函数、极限、连续重要概念公式定理 （一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2, n x x n ≠=,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +- →→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==.
3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ?φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在 常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ? ?? ?? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2(1)1~x x x x ααα-+- 是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ?φ≤≤（,且 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=．
函数连续性
第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 Ⅰ. 教学目的与要求 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数连续性的概念. 难点: 函数连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数． 从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我 们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数 的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性． 一 函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0 lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续． 例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为 2lim →x ()x f =2 lim →x ()()2512f x ==+ 又如，函数()x f ???=0 ,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为 ()()001sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=?，称为自变量x (在点 0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为: ()()()()0000y y x f x x f x f x f y -=-?+=-=? 注 自变量的增量x ?或函数的增量y ?可以是正数，也可以是0或负数．引进了增 量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0 =?→?y x . 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用δε-方式来叙述， 即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有 ()()ε<-0x f x f (2) 则称函数f 在点0x 连续．
函数的极限及函数的连续性典型例题
函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知
的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ②
要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知
极限的概念函数的连续性
第二章.极限概念 函数的连续性 如果说对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。 对于极限的观念，最为关键的问题是，极限的模糊形象是谁都有的，但是如何定量地加以描述，从而是可以应用来作为一般的判别标准的呢？ 这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。 数列的极限。 数数是人类最原始的数学活动，应该说，对于数数我们没有更多的数学方面的分析可言的了，或者说至少从数学的角度而言，数数是一个足够清楚而明确的行为。因此我们引入极限这么一个抽象概念就从数数开始。 最为主要的一种事物运动变化的方式，是一种给人以连续性的感觉的变化。对于这样的变化方式，我们可以有两种研究方式，一是属于物理学范畴的研究方式，就是说去探讨事物变化发展中表现出来的连续性，究竟是一个什么样的过程。另一种研究方式是并不考虑所谓连续性究竟是什么回事，而是首先人为地定义一种明确的可以定量处理的连续性，使得我们对于一般事物变化发展的描述都具有这种连续性的特点，并且总是在这种应用当中，随时对实际过程与理论推理进行验证与对比，从而得到使用这种人为连续性的观念的合理性，一直到实验表明再也不能使用这个人为前提为止。 确实，我们应该学会承认，当我们对客观事物进行描述与分析时，肯定是要基于一些前提条件或者说假设的，问题的关键，不是在于我们是不是应该首先证明了这些前提的正确性，才能再来进行随后的工作，而是承认任何的理论工作都只是相对的，是否有用必须经过实验的证明才能决定。 现在我们的主要工作就是建立一个关于日常生活的连续性的严格表述。而这个概念是可以从我们进行最为简单的数数开始的。 设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时，每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：,....,,321a a a ，或者简单地记成{}a n 。 显然，可以想象，随着我们的数数，这个数列的取值，就会发生某种变化，（当然，对于总是取同一个数值的数列，我们没有什么兴趣。）这种变化的过程应该说是相当明确而没有任何含糊与抽象的地方。 然后，我们来规定一种具有特定规律的数列变化过程： 对于数列,....,,321a a a ，假设存在一个确定的常数a ，现在我们考虑变量a a n -（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n 而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数ε，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N ，使得在这个元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量a a n -的数值小于ε，换一句话来说，就是，对于任意的ε，总是存在一个N ，使得当n>N 时，总是有 ε<-a a n 成立，这时我们就把a 称为数列,...,,321a a a 的极限。并且称数列,....,,321a a a 收敛于极限a 。我们使用记号a a n n =∞→lim 来表示这点。否则我们就说数列{}a n 是发散的。 这就是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。 在这个定义里面，最为关键的地方，也是初学者最为困难的地方有两个： 1。数值ε是任意的。实际上也就是说，只要存在一个ε的数值不满足定义的条件，就
函数的一致连续性
哈尔滨师范大学 学年论文 题目关于函数一致连续的探究学生万鑫 指导教师曾伟梁副教授 年级 2008级 专业信息与计算科学 系别信息系 学院数学学院 哈尔滨师范大学 2011年 6 月
关于一致连续函数的判据 万鑫 摘 要：连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题，现实问题。我们经常观察的自然现象，如生物的连续生长，反映的是事物连续不断的变化的过程，如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义，从而对函数的一致连续性进行探讨。 关键词：一致连续 非一致连续 判别依据 比较判别法 比值判别法。 一 函数)(x f 一致连续的概念 定义1：设函数()x f 在()a u 上有定义，若函数()x f 在点a 上存在极限，且极限是()a f ， 即()()a f x f a x =→lim ，则称函数()x f 在点a 上连续，也称a 是函数()x f 的连续点. 用“δε—”语言叙述：函数()x f 在a 上连续?0>?ε,0>?δ， x ?：,δ<-a x 时，有()()ε?ε,0>?δ，I x x ∈?21,, δ<-X X 2 1 时，有()()ε
函数的连续性
第九节 函数的连续性和间断点 有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。如气温T 随时间t 的变化而连续变化，铁棒长度l 随着温度u 的变化而连续变化等。它们的共同特性是：一方面在变化，另一方面是在逐渐变化的。可在很短一段时间内，T 的变化很小；同样当温度u 变化很小时，l 的变化也很小。这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时，函数的变化也是微小的。下面我们就专门来讨论这种概念。 一、函数的连续性 1. 预备知识 改变量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21u u -，就叫u 的改变量，记作21u u u ?=-。改变量也叫增量。 注意：①1u ，2u 并不是u 可取值的起点和终点，而是u 变化过程中从1u 变到 2u 。 ②u ?可正可负。 ③u ?是一个整体记号，不是某个量?与变量u 的乘积。 2. 函数()y f x =在0x x =定义1 当自变量x 在点0 x 的改变 量x ?为无穷小时，相应函数的改变量 ()()()()000y f x x f x f x f x ?=+?-=- 也是同一过程中的无穷小量，即0 lim x y ?→?则称()f x 在0x 处连续，见图1-37. 定理1 ()f x 在0x 处连续的充要条 件是()()0 0lim x x f x f x →=。 证明 由定义1， ()()()()()000 000lim 0lim lim lim 0lim . x x x x x x x x x y f x f x f x f x f x ?→→→→→?=??? ?-=?= 由定理1，我们可将定义1改写为以下定义2. 定义2 如果0ε?>，0δ?>，当0x x δ-<时，有()()0f x f x ε-<，则()f x 在0x 处连续。 3. 函数()y f x =在点0x 连续的要求 ⑴()f x 在点0x 有意义，即有确定的函数值()0f x ； ⑵()0 lim x x f x →存在； ⑶极限值=函数值，即()()0 0lim x x f x f x →=。
函数一致连续性及其应用
1 函数一致连续性[1] 设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意 的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续. 1.1 函数一致连续的相关定理与证明 定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是 ()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x I x x δ δ. 证明 ①必要性 因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>?>?δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()2 21ε < -x f x f ,故可得出()()2 21,0 2121ε δ≤ -<-∈x f x f SUP x x I x x . 因为当00δδ<<时，有 ()()()()εε δδ <≤ -≤-<-<-∈∈2 21,21,0 21212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x I x x I x x . 故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x I x x δ δ. ②充分性 由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x I x x δ δ,所以0,00>?>?δε，对任意的1x ，I x ∈2只要 021δ<-x x ，就有 ()()εδ<-<-∈21,0 2121x f x f SUP x x I x x . 故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到 ()()()()()()εδδ <-≤-≤-<-<-∈∈21,21,210 21212121x f x f S U P x f x f S U P x f x f x x x x I x x I x x , 所以()x f 在区间I 上一致连续. 定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列n x '，n x ''，只要使0lim =''-'∞ →n n n x x ，就有()()0lim =''-'∞ →n n n x f x f 证明 ①必要性 因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>?>?δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .
连续函数及连续函数的性质
连续函数及连续函数的性质 张柏忱 数学与统计学院 09级汉本 （三） 班 09041100434 摘要：数学分析的发展史告示我们，无论在理论上或在应用中都应从连续函数开始。这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数多是连续函数；另一方面，我们常常直接或间接地借助于连续函数讨论一些不连续的函数。于是连续函数就成为数学分析研究的主要对象。 关键词：连续 该变量 间断点 有界性 最值性 介值性、 一． 连续函数概念 已知函数f(x)在a 存在极限b ，即a b x f a x ,)(lim =→可能属于函数f(x)的定义域；f(a)也 一定等于b 。但是，当f(a)=b 时,有着特殊意义。 定义 设函数f(x)在U(a)有定义。若函数f(x)在a 存在极限，且极限就是f(a)，即 )()(lim a f x f a x =→ （1） 则称函数f(x)在a 连续，a 是函数f(x)的连续点。 函数f(x)在a 连续，不仅a 属于函数f(x)的定义域，且有（1）式极限。因此函数f(x)在a 连续比函数f(x)在a 存在极限有更高的要求。 用极限的“δε- 定义”，函数f(x)在a 连续（即（1）式极限）.|f(a)-f(x)|,|:|,0,0εδδε<<-?>?>??有a x x 将（1）式极限改写为、 0)]()([lim =-→a f x f a x （2） 设x a x x x a x ?-=??+=.或称为自变数a x 在的改变量。设 ),()()()(a f x a f a f x f y -?+=-=? y ?称为函数y 在a 的改变量.如图3.1..0→??→x a x 于是，由（2）式 函数.0lim )(0 =??→?y a x f x 连续在 有时只需要讨论函数a x f 在)(左侧或右侧的连续性，有下面左右连续概念： 定义 设函数a x f 在以)(为左（右）端点的区间有定义。若 ))0()()(lim )(0()()(lim -==+==- + →→a f a f x f a f a f x f a x a x
函数f(x)一致连续的条件及应用解读
函数f (x)一致连续的条件及应用 （数学与应用数学2003级 张志华 指导教师 刘敏思） 内容摘要：本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，还将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去． 关 键 词：一致连续 拟可导函数 基本初等函数 二元函数 Abstract ：This paper is more completely to summarize the methods of judging uniform continuity of functions, and apply them to analyze some examples, moreover, we discuss uniform continuity of fundamental primary functions in detail, and extend these methods to the case of functions of two variables. Key words: uniform continuity perederivatable functions fundamental primary functions functions of two variables 1．引言 函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的.G 康托定理，内容篇幅较少，不够全面和深入；虽然有些论文对函数一致连续性的判断作了一些拓展和补充，但是显得不够系统和应用得不够广泛．因此，对一般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料，作一个比较系统和全面的总结，并作适当的拓展，如将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，无疑这一工作是十分必要和具有现实意义的． 2．预备知识 2.1一致连续和非一致连续的定义 一致连续：设()f x 为定义在区间I 上的函数.若对任给的0ε>，存在()0δδε=>，使得对任何,x x I '''∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<,则称 函数()f x 在区间I 上一致连续.