等差数列教学案例分析及教学反思概论

《等差数列》教学案例

一、教学内容分析

本节课是《中等职业教育规划教材》（人教版）第五章数列第二节等差数列第一课时。

数列是中专数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析

我所教的学生是我校2012级计算机2班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

三、设计思想 1．教法

⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；

有利

于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2．学法

引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标

通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。

五、教学重点与难点

重点：

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

关键：

等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

六、教学过程

教

学

环

节

情境设计和学习任务学生活动设计意图

创设情景上节课我们学习了数列。在

日常生活中，人口增长、教

育贷款、存款利息等等这些

大家以后会接触得比较多的

实际计算问题，都需要用到

有关数列的知识来解决。今

天我们就先学习一类特殊的

数列。

倾听课堂引入

探索研由学生观察分析并得出答

案：

在现实生活中，我们经

观察分析，发表各自的

意见

引向课题

究常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：

0，5，___,___,___,___,…

2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举

重被正式列为比赛项目。该

项目共设置了7个级别。其

中较轻的4个级别体重组成

数列（单位：kg）：48，53，

58，63。

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环

境，用定期放水清理水库的

杂鱼。如果一个水库的水位

为18cm，自然放水每天水位

降低2.5m，最低降至5m。那

么从开始放水算起，到可以

进行清理工作的那天，水库

每天的水位组成数列（单位：

m）：18，15.5，13，10.5，8，

5.5

我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为

单利，即不把利息加入本金

计算下一期的利息。按照单

利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：

组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。

发现规律思考：同学们观察一下上面

的这四个数列：

0，5，10，15，20，……①

48，53，58，63 ②

通过分析，激

发学生学习

的探究知识

的兴趣，引导

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③

10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④

看这些数列有什么共同特点呢？揭示数列的共性特点。

总结提高[等差数列的概念]

对于以上几组数列我们称它

们为等差数列。请同学们根

据我们刚才分析等差数列的

特征，尝试着给等差数列下

个定义：

等差数列：一般地，如果

一个数列从第2项起，每一

项与它的前一项的差等于同

一个常数，那么这个数列就

叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公

差，公差通常用字母d表示。

那么对于以上四组等差数

列，它们的公差依次是5，5，

-2.5，72。

学生认真阅读课本相关

概念，找出关键字。

通过学生自

己阅读课本，

找出关键字，

提高学生的

阅读水平和

思维概括能

力，学会抓重

点。

提问：如果在a与b中间插入

一个数A，使a，A，b成等

差数列数列，那么A应满足

由学生回答：因为a，

A，b组成了一个等差数

列，那么由定义可以知

让学生参与

到知识的形

成过程中，获

什么条件？ 道：A-a=b-A 所以就有 2

b

a A +=

得数学学习的成就感。

由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 看来，

73645142,a a a a a a a a +=++=+

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 深入探究，得到更一般化的结论 引领学习更

深入的探究，提高学生的学习水平。

总结

提高 [等差数列的通项公式] 对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下由学生经过分析写出通项公式：

①这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），

学会发现规

律，并加以总

结。

来要学习的内容。

⑴、我们是通过研究数列

}

{

n

a的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是n

a

n

5

=

②这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

)1

(5

48-

+

=n

a

n

③这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是 5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是

)1

(5.2

18-

-

=n

a

n

④这个数列的第一项是

10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1

(

72

10072-

+

=n

a

n

⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项

1

a和公差d，它的通项公式是什么呢？

引导学生根据等差数

列的定义进行归纳：

21

32

43

,

,

(1)

,

a a d

a a d

n

a a d

-=

?

?-=

?

-?

-=

?

??

个等式

所以,

1

2

d

a

a+

=

,

2

3

d

a

a+

=

,

3

4

d

a

a+

=

……

引导学生进

行理性分析

与推导，从而

得出公式。

总结提高思考：那么通项公式到底如

何表达呢？

,

1

2

d

a

a+

=

,

2

)

(

1

2

3

d

a

d

d

a

d

a

a+

=

+

+

=

+

=

,

3

)

2

(

1

3

4

d

a

d

d

a

d

a

a+

=

+

+

=

+

=

……

进一步的分

析。

得出通项公式：由此我们可

以猜想得出：以

1

a为首项，d

思考，并发表各自的意

见。

让学生有自

主思考的时

为公差的等差数列}{n a 的通项公式为

d n a a n )1(1-+=

也就是说，只要我们知道了等差数列的首项1a 和公差d ，那么这个等差数列的通项

n a 就可以表示出来了。

空。

应用巩固

例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 让两个学生分别对这两小题加以分析。

让学生参与课堂。

分析： ⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差

数列的公差，由公差的定义可以求出公差；

⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要

判断这个数是不是数列中的

项，就是要看它是否满足该

数列的通项公式，并且需要

注意的是，项数是否有意义。

解：⑴由1a =8，d=5-8=-3，n=20，得49)3()121(820-=-?-+=a ⑵由1a =-5，d=-9-

（-5）=-4，得这个数列的通项公式为

,

14)1(45--=---=n n a n 由题意知，本题是要回

答是否存在正整数n,使

得-401=-4n-1成立。

解这个关于n 的方

程，得n=100，即-401

是这个数列的第100项。

例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于

n

a、1a、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。聆听教师点评通过教师点

评，提高学生

对关键问题

的认知水平。

随堂练习：课本45页“练习”第1题；完成练习讲练结合，有

利提高学生

的知识应用

水平

例2．某市出租车的计价标准为 1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

解：根据题意，当

该市出租车的行程大于

或等于4km时，每增加

1km，乘客需要支付1.2

元.所以，我们可以建立

一个等差数列}

{

n

a来计

算车费.

令

1

a=11.2，表示

学以致用，将

所学知识应

用到具体生

活中去，加深

对概念的理

解。

4km 处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km 处时，n=11，此时需要支付车费

)

(2.232.1)111(2.1111元=?-+=a 答：需要支付车费23.2元。

例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。

聆听教师点评 通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。

随堂练习：课本45页“练习”第2题；

完成练习 讲练结合，有利提高学生的知识应用水平

例3 已知数列}{n a 的通项公式为,q pn a n +=其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析思考，然后分组讨论，让两组学生代表发表自己的见解。 培养学生分析问题的能力，在小组讨论中提高组长的组织与归纳组内成员想法的能力。

分析：判定}{n a 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看1--n n a a （n ＞1）是不是一个与n 无关的常数。

解：取数列}{n a 中的任意相邻两项1-n n a a 与（n ＞1）， 求差得 1()[{1)]

n n a a pn q p n q --=+--+(]pn q pn p q p =+--+=

它是一个与n 无关的数.

所以}{n a 是等差数列。

课本左边“旁注”：这个等

差数列的首项与公差分别是多少？

这个数列的首项1,a p q =+公差d p =。由此我们可以知道对于通项公式是形如q pn a n +=的数列，一定是等差数列，一次项系数p 就是这个等差数列的公差，首项是p+q. 例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。

对所得结论

进行更深入一步的探究，激发学生的

学习兴趣。