小概率事件的仿真与预测方法

目录

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第一章绪论1

1.1问题的研究意义 (1)

1.2问题的已有研究 (1)

1.3问题研究的预备知识 (2)

1.3.1失败事件的数学表示 (3)

1.3.2线性状态函数 (3)

1.3.3非线性特定状态函数 (4)

1.3.4非正态分布随机变量 (5)

1.3.5蒙特卡洛模拟方法 (6)

1.4本文的主要研究内容 (9)

第二章交叉熵方法10

2.1重要性采样 (10)

2.2Kullback-leibler(KL)交叉熵方法 (12)

2.3交叉熵方法在小概率事件预测上的运用 (14)

2.4交叉熵方法的一个简单运用 (15)

第三章目标函数的径向基函数近似19

3.1径向基(RBF)神经网络简介 (19)

3.2梯度下降法 (20)

3.3梯度下降法的效果 (21)

第四章交叉熵和径向基函数逼近在一类电网模型中的运用25

4.1模型建立 (25)

4.2打靶法 (27)

4.3RBF替代模型 (28)

4.4问题的模拟结果 (30)

上海交通大学硕士学位论文

第五章总结与展望33参考文献34附录一致谢36

第一章绪论

§1.1问题的研究意义

在我们的生活中有一些小概率事件,它们看起来微不足道,但是很多情况下却起着至关重要的作用,有的甚至会带来重大的事故,造成严重的后果.如地震,小行星撞地球，吐鲁番地区下暴雨等等.这些都是在自然界中出现的小概率事件.至于在日常社会生活中,也有很多这样的例子,比如历史上几次重要的金融危机,切尔诺贝利核泄漏事件,非典的爆发,最近马航飞机的失事等等,这些事件本身发生概率虽然很小,但通常具有很大的破坏性.因此,这些小概率事件是不可忽视的.

对于究竟发生概率为多少被定义为小概率事件,这个没有确切的定义.如果对于一些没有大破坏的事件,可能概率小于0.01就被认为是小概率事件.但对于一些可能带来严重后果的,如上文提到的核泄漏,概率小于10?4,10?5,甚至更低都被认为具有重要的研究意义.

对于预测问题,最传统也是最有效的方法就是蒙特卡洛模拟.当代高性能的计算机允许通过生成大量样本数据来模拟以获得我们想要的概率,这在社会各个领域中都有广泛的应用,尤其在金融领域,蒙特卡洛模拟方法在银行风险评估,金融衍生品的定价中都发挥着重要的作用.然而,对于发生概率极低的事件,如概率小于10?6,简单的蒙特卡洛模拟不再适用,因为每生成一次我们有效样本就需要平均106次的采样,更不用说要得到我们所求的概率需要的大量有效样本,计算量是及其庞大的.这就需要我们找到其他方法来解决这类问题.

§1.2问题的已有研究

小概率事件的仿真计算本质就是减小传统蒙特卡洛模拟的方差.已有的成熟方法包括控制变量法,拟蒙特卡洛方法,条件蒙特卡洛方法,马尔科夫链蒙特卡洛模拟(MCMC)等.这些方法本质都是基于重要性采样。控制变量法主要是通过找到一个与原函数相近重要性函数，通过相除或者相减后降低采样标准差.拟蒙特卡罗方法是使用低差异列（一种确定生成的超均匀分布列,也称为拟随机列、次随机列）来进行数值积分和研究其它一些数值问题的方法.条件蒙特卡洛将原本求期望的问题变为求条件期望，如能找到合适的条件分布，则能降低采样的方差.而普通的蒙