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导数系列——零点存在性问题

导数系列——零点存在问题

例1.设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间)0,1??上，()

2,,x x D

f x x x D ?∈=???

其中集合D=

1,n x x n N n +??-=∈??

??，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 __________ .

例2．已知函数f （

x ）=﹣kx 2（k ∈R ）有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是（）

A ．k ＜0

B ．k ＜1

C ．0＜k ＜1

D ．k ＞1

例4.

例5.已知函数f （x ）= {

函数g （x ）=f 2（x ）+f （x ）+t （t ∈R ）

关于g （x ）的零点，下列判断不正确的是（）

A.t=1/4时，有一个零点

B.1/4＞t ＞-2时，有2个零点

C.t=-2时，有3个零点

D.t ＜-2时，有4个零点

log 3

（-x ）

（x ＜0）

3 x

(x ≥0)

例6.已知函数

f(x)=

若关于x 的函数y=f 2（x ）-bf （x ）+1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是_______

例7、设函数f(x)满足f(x)=f(3x),且当x ∈[1,3)时,f(x)=lnx.若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x1,x2,x3，使得f(x1)/x1=f(x2)/x2=f(x3)/x3=t ，则实数t 的取值范围为_______

例8．f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点x ?,x ? 且f(x ?)= x ?,则关于x 的方程3[f(x)]2+2a f(x)+b=0的不同实根个数为

例9.设函数f(x)满足f(x)=f(-x),f(x)=f(2-x)；且当x ∈[0,1]时f(x)=x3；又有g(x)=｜xcos(πx)｜则h(x)=f(x)－g(x)在[－1/2，3/2]上的零点个数为

例10.已知函数f （x ）=x-1+a/e x

（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极值；

（Ⅲ）当a=1时，若直线l ：y=kx-1与曲线y=f （x ）没有公共点，求k 的最大值．

|lg(-x)|，x ＜0 x 3-6x+4，x≥0

例11.函数f （x ）的导函数为f ’（x ）=3x^2-8x-60,求f （x ）零点个数。

例12.有函数f （x ）=x （（2㏑

）+1）-a ，当f （x ）有且仅有两个零点时，求两零点间

函数图像与x 轴围成面积（x=0时面积忽略,可用不带对数的待求项表示）。答案

1.设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间)0,1??上，()

2,,x x D

f x x x D ?∈=???

其中集合D=1

,n x x n N n +??-=∈????，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 __________ .

解答：由于

，则需考虑

的情况，在此范围内，

且

时，设

，且互质，若，则由，可设

，且

互质，因此

，则，此时左边为整

数，右边为非整数，矛盾，因此，因此

不可能与每个周期内

对应的

部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点

除外

其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期

的部分，且

处

，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为8．

解法一：解：分别画出y=与y=kx2的图象如图所示，

当k＜0时，y=kx2的开口向下，此时与y=只有一个交点，显然不符合题意，

当k=0时，此时与y=只有一个交点，显然不符合题意，

当k＞0时，x≥0时，

f（x）=﹣kx2=0，

即kx3+2k2﹣x=0，

即x（kx2+2kx﹣1）=0，即x=0，或kx2+2kx﹣1=0，

此时有唯一的解，即△=4k2+4k=0，解得k=﹣1（舍去），

当k＞0时，x＜0时，

f（x）=﹣kx2=0，

即kx3+2k2+x=0，

kx2+2kx+1=0，

此时有两个解，即△=4k2﹣4k＞0，解得k＞1，

综上所述k＞1

故选：D．

解法二

有四个不同的零点，∴方程有三个不同的根，即方程

有三个不同的根，记函数

，由

题意y=

与y=g （x ）有三个不同的交点，由图知

，∴k>1

4．

例 5.D

例6.（2,17/4】例7

（ln3/9,1/3e ）

8因为

例

，

所以，

且，是的两个根。

又，

所以或。

当是极大值点时，，为极小值点，且。

此时函数图象如图1所示，有两个实根，有一个实根。当是极小值点时，，为极大值点，且。

此时函数图象如图2所示，有两个实根，有一个实根。所以有个不同的实根。

例9在同一坐标系内画出函数在[- 12, 32]上

图象交点的个数既是h(x)零点的个数

y=f(x)和y=g(x)的图象，在

∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数

∵f(x)=f(2-x)

∴f(-x+2)=f(-x)

∴f(x)=f(x+2)

∴f(x)是周期函数，周期为2

∵当x∈[0,1]时，f（x）=x3

∴当x∈[-1,0]]时，f（x）=-x3

∴x∈[1,3/2]时，f(x)=f(x-2)=-(x-2)3

g（x）=|xcos(πx)|

g(-x)=g(x)，g(x)是偶函数

x∈[- 12, 12], πx∈[-π2,π2],cosπx>0

g(x)=xcos(πx), g'(x)=cos(πx)-πsin(πx)=0

x∈[1, 32],πx∈[π, 3π2],cosπx<0

g(x)=-xcos(πx)

在同一坐标系内画出函数在[- 12, 32]上

的简图，观察交点个数为6个

∴h(x）=g（x）-f（x）在[- 12, 32]上的零

点个数有6个

例10解:(1)由,可得导数

①当时,,

为上的增函数,则无极值;

②当时,由,得,即

,,, ,

即有在上单调递减,在

上单调递增,

故在处取到极小值,且极小值为

,无极大值.

综上,当时,无极值;

当时,在处取到极小值,无极大值;

(2)当时,,

令

则直线与曲线没有公共点,

等价于方程在R上没有实数解.

假设,此时,

又函数的图象连续不断,由零点存在定理可知在R上至少有一解,

与“方程在R上没有实数解”矛盾,故.

又时,,知方程在R 上没有实数解,

所以的最大值为.

例11.解：由f’（x）=3x^2-8x-60可知，f（x）=x^3-4x^2-60x-a a为常数项,a∈R

可得当f（x）=0，X^3-4x^2-60x=a绘出图像

f （x ）的零点个数即y=a 与x^3-4x^2-60x 的交点由3x^2-8x-60=0 △＞0 可解得两极值点

①f （

310 ）=273200

②f （6）=-288

当a<-288 f （x ）有一个零点当a=-288 f （x ）有两个零点

当-288

f （x ）有三个零点当a=273200 f （x ）有两个零点

当a>27

3200 f （x ）有一个零点

例12.有函数f （x ）=x （（2㏑x ）+1）-a ，当f （x ）有且仅有两个零点时，求两零点间函数图像与x 轴围成面积（x=0时面积忽略,可用不带对数的待求项表示）。

解：当x<0 当x>0 f （x ）=x （（2㏑（-x ））+1）-a

f ’（x ）=2㏑（-x ）+3 f （x ）=x((2㏑（x ）+1)-a

f ’（x ）=2㏑（x ）

当f （x ）=0 即x （（2㏑x ）+1）=a 有两个解

y=a 与其图像有两个交点，即过一个极值点 x=

或e

f （x ）=x （（2㏑x ）+1）-

或x （（2㏑x ）+1）+

二者所得面积相同不妨f （x ）=x （（2㏑x ）+1）+e

积分得H （x ）=

)ln(2

x x +e

-x

令f （x ）=0 x 1=e

f （

--2

）＜0 f （

3--

）＞0

则在[

--2

，

223

--]间有f （

x 0

）=0即使x （

（2㏑x ）+1）=e 22

3--

)ln(002

x x =x

3--

-x 02

2 面积S=0-（

)ln(00

x +

e 0

）+

e e

443

)232(ln --+-=x 0

12x

e 0

e e

243

2ln ---

高考数学(理)总复习：利用导数解决函数零点问题

题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝????? f (x )，f (x )≥ g (x )，g (x )，f (x )0)的零点个数．【解】 (1)∈函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∈f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1 ＝0或x 2＝2 a ，∈a >0，∈x 1

即不等式2a ≤1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1 x 3(x ∈[1,2])， ∈y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∈y ＝1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上单调递减， ∈当x ＝1时，y ＝1x 3＋3 x 的最大值为4， ∈2a ≤4，即a ≤2. (3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ?? ? ??a 2＝1－4a 2， ∈当1－4 a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋ ∞)上无零点． ∈当1－4 a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0. 又g (1)＝0，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ∈当1－4 a 2<0，即00， ∈存在唯一的x 0∈?? ? ??1,1e ，使得φ(x 0)＝0， (∈)当0