杨辉三角形及应用

杨辉三角形及应用

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

简单的说一下就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

这就是杨辉三角，也叫贾宪三角

他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式，依次下去。

杨辉三角形有以下性质:

1.杨辉三角以正整数构成，数字左右对称，每行由1开

始逐渐变大，然后变小，回到1。

2.第行的数字个数为个。

3.第行的第个数字为组合数。

4.第行数字和为。

5.除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它

的左上方与右上方两个数字之和（也就是说，第行第个

数字等于第行的第个数字与第个数字的和）。这是因为有组合恒等式：。可用此性质写出整个杨辉三角形。

杨辉三角的规律以及推导公式

杨辉三角的规律以及定理 李博洋 摘要杨辉三角中的一些规律 关键词杨辉三角幂二项式 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所着的《详解九章算法》一书 中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现 在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角”的 规律进行探讨和研究。 内容 1二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121 则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数 为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。 展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为： 14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1(110) 11(111) 121(112) 1331(113)

14641(114) 15101051(115) 1615201561(116) 因此可得出二项式定理的公式为： (a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把带进了。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。 2杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1(1) 11(1+1=2) 121(1+2+1=4) 1331(1+3+3+1=8) 14641(1+4+6+4+1=16) 15101051(1+5+10+10+5+1=32) 1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64) …… 相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂 3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 (1) 1(2)n=1 11(3)n=2 121(4)n=3 1331(5)n=4

杨辉三角

杨辉三角 教学设计思想： 这节课是高三数学（选修II ）的研究性课题，是在高二学过的“二项式定理”的基础上，进一步探讨和研究杨辉三角的性质，实质上就是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。 （1）让学生在教师设计的问题情境中，自己根据已经学过的知识去发现问题→提出问题→解决问题，即观察、猜想、归纳杨辉三角横行、竖向、斜向的数字各数之间的大小关系、组合关系及各数字之间的联系等规律。 （2）在学生自主探究知识的发生发展过程中从中体会到数学世界的神奇和有趣，激发他们对数学的热爱之情。培养他们的交流与协作的能力。 （3）通过向他们介绍杨辉三角的有关历史，让他们了解中国古代数学的伟大成就，增强他们的民族自豪感。 教学 目标： 1 使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质，并能认识到中国古代的数学的辉煌成就。 2 让学生在老师的启发下自己去探讨杨辉三角中行、列的数字的特点， 发现杨辉三角的有关的性质，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3通过讨论，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。在交流中培养学生的协作能力，形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神，为进一步学习作好准备。 教学过程： 一 引入 今天我们在高二学过的杨辉三角的基础上，进一步探索杨辉三角数字中横 向、竖向、斜向…中蕴含的有趣的数量关系。（幻灯片：出示杨辉三角的前3行，余下的让学生补充完整） 二 杨辉简介 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家 和数学教育家。在13世纪中叶活动于 苏杭一带，其著作甚多。其中《详解九章算术》 中的“开方作法本源图”,曾被称为“杨辉三角”， 杨辉指明次系贾宪(约11世纪)所用. 三 探讨杨辉三角的性质 ? ??++++++=++++++=+++++=++++=+++=++=+=+6 43223245665 432234554 3223443 22332 221061520156)(510105)(464)(33)(2)()(1)(b ab b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a a b a b ab b a a b a b ab a b a b a b a b a

杨辉三角及其空间拓展

杨辉三角及其空间拓展 株洲市二中G0216 刘子儒郭时伟 摘要 本文首先对杨辉三角中特有的数学规律作了初步探索，发现了其奇偶排列的等边三角形现象。然后，在研究中，我们在空间杨辉三角的问题上迈出了第一步——由平面杨辉三角走向三维杨辉三角。我们在研究过程中推导出了三维杨辉三角数坐标公式，并总结出其与三项式系数的关系。在三维杨辉三角模型的基础上我们又续而导出四维杨辉三角和N维杨辉三角。经过努力的研究，最后归纳出了四维及N维杨辉三角数坐标公式。由此得出了N 项式展开项系数定理。在研究过程中我们还有机地结合现代计算机技术协助公式的推导，并将其付之实用，进一步完善了课题的研究。对此,还有几名著名的数学教授提出了宝贵的意见。 这些都是前人从未涉足过的领域，而这篇论文把这次研究的新颖性给淋漓尽致地体现出来了。 关键词：杨辉三角空间公式系数 杨辉三角，作为中国古代数学中的奇迹。在数学计算中，日常生活中，无时不刻地展示着自己的魅力。从古至今，从中国到外国，有无数的学者为之着迷。 但是，以往的学者们的研究只限于平面内的杨辉三角。如果考虑到空间上的拓展，那在学术上是突破性的。所以我们决定对杨辉三角进行全面、深刻地分析，将其拓展到三维、四维乃至N维。 研究杨辉三角，是在偶然中想到的。对于多次出现在数学课本上的“杨辉三角”，不对其有些想法才是奇怪了。而恰好我的母亲又叫“杨辉”。所以，小时候第一次在《十万个为什么》中看到时就留下了深刻的印象。再加上多次、再次地在高中数学课本中“相遇”，愈发觉得亲切。 一．杨辉三角的相关信息 看似简单的一个数字列表，却蕴藏着很深的奥秘。这无疑是我国古代劳动人民智慧的结晶，也集中地体现了数学的奥妙无穷。有了它，我们可以轻易地计算两个数的和的几次方，甚至用来开一个数的几次方。 杨辉（约十三世纪）字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，是我国南宋时的数学家，杨辉的数学著作有《讲解九章算法》十二卷，流传至今的只是其中的一部分，其中“开方作法本源”载有二项式系数三角形，后人称为杨辉三角形，此外，他还著有《日用算法》二卷，《乘除通变算宝》三卷，《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等。

杨辉三角形

有趣的杨辉三角形 【教学目的】 1．初步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律； 2．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力； 3．了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感． 【教学手段】 课堂教学，以学生自学为主，教师引导探索。 【教学思路】 →学生自学教材，然后思考几个问题。 →分组探讨杨辉三角的性质。 →展示学生探究成果 →教学小结 【自学教材】； 1．什么是杨辉三角？ 二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（表1） 例如，它的兩項的係數是1和1； ，它的三項係數依次是1、2、1； ，它的四項係數依次1、3、3、1。 2．杨辉——古代数学家的杰出代表 杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。 “杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明 我国发现这个表不晚于11世纪． 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的 （Blaise Pascal,1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就

杨辉三角

研究性课题：杨辉三角 ●教学目标 (一)教学知识点 1.理解杨辉三角的性质 2.掌握有关杨辉三角的基本性质1 1 1C C C ,C C +++-=+=r n r n r n r n n r n . (二)能力训练要求 会应用杨辉三角的基本性质证明杨辉三角新的性质. (三)德育渗透目标 1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力，让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦. 2.培养学生实际动手操作实践创新的能力，培养学生的创新精神，探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想，相信科学. ●教学重点 杨辉三角新的性质的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，研究和探索杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的. ●教学难点 杨辉三角新的性质的探索和发现是本节课教学难点。 ●教学方法 由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的，而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味，学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制，所以学生主动探索，发现和证明(失败时总结经验，另寻他路，重新启动，走向成功)的全程的尝试是最为主要的，这样不是被动的接受，而是主动的建构，学生的认知结构得到了较好的发展和培养，他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难，走向成功的高峰的非智力因素的调节作用，要求同学们不仅是个体参与，而且是集体参与，智力参与. ●教具准备 实物投影仪(多媒体课件) ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课我们学习了杨辉三角中的有关性质，杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡，它和勾股定理，圆周率的计算等其他中国古代数学成就，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质. Ⅱ.讲授新课 一般的杨辉三角如下表.

杨辉三角应用

1杨辉三角概述 1.1 杨辉三角的产生 唐代以来一些数学著作的失传，大概是五代十国分裂战乱所造成的文化后果。到了宋代，雕版印数的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期（公元960—1368），重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。商业的繁荣、手工业的兴盛以及由此引起的技术进步（四大发明中有三项——指南针、火药和活字印刷是在宋代完成并获得广泛应用），给数学的发展带来新的活力。这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，他的主要贡献是创造了'贾宪三角'和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”（如下图）。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 同时，这也是多项式(a+b)n打开括号后的各个项的二次项系数的规律。因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y nCr x）。我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2x-1 (即(a+b)x中a,b都为1的时候) 。上述(a nCr b) 指组合数。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。 简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。 这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。 杨辉三角于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去。 杨辉三角里面数字排列的规则里面数字排列的规则如下：

杨辉三角的规律以及推导公式

杨辉三角的规律以及定理 1二项式定理与杨辉三角 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1 则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。 展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (110) 1 1 (111) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) 杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1）,（1,2,1）,（1,3,3,1）,（1,4,6,4,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。 由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。系数是杨辉三角里的系数。 2杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …… 相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…n次幂，即杨辉三角第n 行中n个数之和等于2的n-1次幂 3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系

浅谈杨辉三角的奥秘及应用

浅谈杨辉三角的奥秘及应用 摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。 关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂 0 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。 1 杨辉三角与数字11的幂的关系 我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。 假设y=11n 当n=0时： y=1； 当n=1时： y=11； 当n=2时：y=121； 当n=3时：y=1331； 当n=4时：y=14641； 以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下： 当n=5时： 1 4 6 4 1 ? 1 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 当n=6时： 1 5 10 10 5 1 ? 1 1 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

…… 由上可知：11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证 明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图 形。如下图： 1 (110 ) 1 1 (111 ) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) …… 其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。我们知道初中时老师教 我们记11的幂时，有一句口诀：头尾不变(即为1)，左右相加放中间。其实是错位相加，而 扬辉三角中头尾为1，中间的数是其肩上的两数之和，也是错位相加得到的。 2 杨辉三角与2的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …… 我们知道相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5， 6，…次幂，即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2的n-1次幂。 刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合，归纳如下： 1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列 }{R N C 。 2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即 r n n r n c C -=。

杨辉三角的规律以及推导公式-杨辉三角规律

杨辉三角的规律以及定理 1 二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。 由上式得出： (a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a 此代数式的系数为： 1 2 1 则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢？答案为： a 由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1 但 4 似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b) 的展开式。 展开式为： a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4 由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (11 0) 1 1 (11 1) 1 2 1 (11 2) 1 3 3 1 (11 3) 1 4 6 4 1 (11 4) 1 5 10 10 5 1 (11 5 ) 1 6 15 20 15 6 1 (11 6) 杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10,10,5,1 ）,（1,6,15,20,15,6,1 ）, （1,7,21,35,35,21,7,1 ）所以： (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。 由上式可以看出， (a+b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2? n -n ，b 的次数依次上升， 0、1、2? n 次方。系数是 杨辉三角里的系数。 2 杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) ? ? 相加得到的数是 1，2， 4，8，16，32， 64，? 刚好是 2 的 0，1，2，3，4，5， 6，? n 次幂，即杨辉三角第n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂 3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系

杨辉三角的规律以及推导公式定稿版

杨辉三角的规律以及推 导公式 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

杨辉三角的规律以及定理 李博洋 摘要杨辉三角中的一些规律 关键词杨辉三角幂二项式 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所着的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。 内容 1二项式定理与杨辉三角 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 由上式得出： (a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1 则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。

展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (110) 1 1 (111) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) 因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n- 1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。 2杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 )

杨辉与杨辉三角

数学家杨辉 杨辉，中国南宋末年杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭 一带，其著作甚多。 他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。 其中在《详解九章算法》一书中载有二项（a+b）n展开系数的数字三角形，被称为“杨辉三角”，它的发现比国外同类发现至少早3O0年。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。 他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。 他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。 ================================================================= 杨辉介绍 杨辉，字谦光，中国南宋（1127～1279）末年钱塘（今杭州市）人。其生卒年月及生平事迹均无从详考。据有关著述中的字句推测，杨辉大约于13世纪中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过苏州、台州等地。是当时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题。 杨辉一生编写的数学书很多，但散佚也很严重。据史料记载，他至少有以下书，曾在国内或国外刊行： 《详解九章算法》12卷（1261）

杨辉三角的规律以及推导公式

精心整理 杨辉三角的规律以及定理 李博洋 摘要杨辉三角中的一些规律 展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为： 14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1(110) 11(111) 121(112)

1331(113) 14641(114) 15101051(115) 1615201561(116) 因此可得出二项式定理的公式为： (a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 。2 相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂 3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 (1) 1(2)n=1

11(3)n=2 121(4)n=3 1331(5)n=4 14641(6)n=5 15101051n=6 1615201561 由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n 行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)

中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、…、(n-3)中第n行之前的数字之和、1。 总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点： 杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所着的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。在我国古老的文明中，人们发现了很多有趣的规律，而杨辉三角就是其中一个。

杨辉三角的规律以及推导公式

精心整理杨辉三角的规律以及定理 1二项式定理与杨辉三角 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 222 则 为： 1 1(11 ）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。 由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。系数是杨辉三角里的系数。 2杨辉三角的幂的关系

首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1(1) 11(1+1=2) 121(1+2+1=4) 1331(1+3+3+1=8) 6，…n 3 1615201561 把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15 把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20

把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15 把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6 把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1 将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全 相同的。 n (3)中第 2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。 3、第n行的数字有n+1项。 4、第n行数字和为2(n-1)。（2的(n-1)次方） 5 (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。 [1]

6、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质

趣味数学049杨辉三角

杨辉三角 人教版小学数学五年级下期第115页第10题，涉及著名的“杨辉三角”， 对此，教参中已有所介绍。为了提高学生的学习兴趣，加深对“杨辉三角”的理解，增强学生的民族自豪感和爱国热情，下面推荐一个有趣的数学游戏。 老师出示一张图(有条件的可以使用多媒体)： 宣布：“现在和同学们玩一个有趣的数学游戏。请一位同学在这个图的最下面一行6个圆圈里任意各填一个一位数，我随即在顶端那个圆圈里写一个数。然后，大家按照图中的连线，算出最下面那行相邻两个圆圈里的数的和，填入上一行的圆圈里。自下而上照这样进行下去，直到算出顶端那个圆圈里应该填的数，一定跟我已经填好的数一样。哪位同学愿意试一试？” 等那位同学把最下面一行的6个数填好以后，老师迅速算出左起第三、四两个数的和的10倍，加上第二、五两个数的和的5倍，再加上第一、六两个数，得数就是顶端那个圆圈里应该填的数。 比如，从左到右，学生所填的数是4、1、8、6、2、3，老师就应该填10 ×(8＋6)＋5×(1＋2)＋(4＋3)＝140＋15＋7＝162。 这是为什么呢？原来，“杨辉三角”中的数是有规律的。 规律是：自上而下，每个圆圈里的数等于与它相连的，上一行圆圈里的数的和。比如，第三行中间圆圈里的数之所以是2，就因为与它相连的第二行两个圆圈里的数都是1，1＋1＝2。依此类推。 游戏相当于把上面的过程倒回去，所以要把圆圈里的数分别乘上1、5、10、10、5、1。

等玩过两三次以后，学生一定会急于知道老师是怎样做到未卜先知的，甚至有些爱动脑筋的学生，已经在开始探求其中的奥秘了。这时，可以启发学生用学过的“用字母表示数”的方法，看看最下面那行所填的6个数，在整个计算过程中究竟各用了几次。 设：第六行所填的6个数依次为A、B、C、D、E、F。第五行就是A＋B、B ＋C、C＋D、D＋E、E＋F；第四行就是A＋2B＋C、B＋2C＋D、C＋2D＋E、D＋2E＋F；第三行就是A＋3B＋3C＋D、B＋3C＋3D＋E、C＋3D＋3E＋F；第二行就是A＋4B＋6C＋4D＋E、B＋4C＋6D＋4E＋F；顶端的数就是A＋5B＋10C＋10D ＋5E＋F，即10(C＋D)＋5(B＋E)＋(A＋F)。从而得出前面所总结出的方法。 “杨辉三角”在数学中有着重要作用，同时又具有直观形象的特点，对于培养学生的思维能力很有好处，值得给学生提供一个加深印象的机会。 杨辉三角 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …… 中还隐藏着许多奥秘： 请看这些斜线上的数： 自然数 1 三角形数 1 1 四面体数 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …… 一、自然数：1，2，3，4，… 求前n个自然数的和，无需使用公式，答案就在第n个自然数的左下方。比如，前4个自然数的和，就在第4个自然数4的左下方，是10。前5个自

杨辉三角

杨辉三角 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。 他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。 杨辉三角 简单的说一下就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）2=x2+2xy+y2，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 这就是杨辉三角，也叫贾宪三角 他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ...................................................... 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为?开方作法本源?图。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。 杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用?贾宪三角?进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了?贾宪三角?，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了?贾宪三角?成?古法七乘方图?。 时间上:杨辉(一二六一)朱世杰(一三○三)也明显就可以知道是杨辉发现的 朱世杰只是扩充了其中的内容 同时这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律即为 0 (a+b)^0 (0 nCr 0) 1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1) 2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2) 3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3) . ... ... ... ... ... 因此杨辉三角第x层第y项直接就是（y nCr x） 我们也不难得到第x层的所有项的总和为 2^x (即(a+b)^x中a,b都为1的时候) [ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指组合数] 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为?开方作法本源?图。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。具体的用法我们会在教学内容中讲授。 在国外,这也叫做"帕斯卡三角形". S1：这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是1 S2：从右往左斜着看，第一列是1，1，1，1，1，1，1；第二列是，1，2，3，4，

C杨辉三角

杨辉三角 1、使用C#控制台编写； 2、要求：首先在键盘输入数字N行，回车后，储存并输出杨辉三角各元素。 3、什么是杨辉三角？例如： 4、1 11 121 1331 14641 15101051 …… 数组有什么规律？其规律为：数组中第一列的数值都是1，接着后面的每一个元素的值都等于该行上一行对应元素和上一行对应前一个元素的值之和。如：上面的红色部分。 C#实现代码： using System; using using System.Linq; using System.Text; namespace yanghuisanjiao { class Program { staticvoid Main(string[]args) {//杨辉三角的前N行。 //constintN=5; Console.Write("请输入杨辉三角的前N行的个数："); int N=Convert.ToInt32(Console.ReadLine()); int[][]yhsj=newint[N][];//定义变量存放杨辉三角数组。 int i,j; for(i=0;i

{//j=1，意思是从第2项开始，其值等于上一行的前一列和上一行当前列的和。yhsj[i][j]=yhsj[i-1][j-1]+yhsj[i-1][j]; } } for(i=0;i

杨辉三角

、在杨辉三角形中，第行中从左至右第 2、杨辉三角形第几行会出现相邻三个数，其比值为3:4:5？

3、杨辉三角形就是一个特殊的数库，把杨辉三角形做改动，如图所示 第一行 1 第二行 2 2 第三行 3 4 3 第四行 4 7 7 4 第五行 5 11 14 11 5 第六行 6 16 25 25 26 6 ..... 它满足：①第n行首位两数均为n: ②表中的递推关系类似杨辉三角。 则第n行（n≥2）第二个数是。

4、把正数排列成如图甲的三角形数阵，如图甲所示，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，若a n=2017，则n=．

5、将杨辉三角中的每一个数C n r都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从 莱布尼茨三角形可看出，其中x= ，令，则n a=． 6、在游艺场，可以看到如图的子弹游戏，小球（黑色）向容器内跌落，碰到第一层阻挡物（图中小圆圈表示）后等可能的向两侧跌落，碰到第二阻挡物在等可能地向两侧跌落，如此一直下落，最终小球落入底层条状的格子内，根据具体区域获得奖品。 小明看中了设置在格子A中的手机，想参与游戏，你帮小明算算获得手机的概率？

7、如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖． （I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%．记随变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Εξ； （II）若有3人次（投入l球为l人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P（η=2）．

对杨辉三角的研究

对杨辉三角的研究 看似数学是无聊的，无非是一列列数字，一个个几何，一道道习题，其实只要善于发现，善于发掘，数学中蕴含了无数优美的规律和神秘的排列，例如“杨辉三角”。 什么是杨辉三角 杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 杨辉三角的历史 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。 杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。 在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。===================================================================== 1）初步认识杨辉三角 二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角． 2）杨辉三角所蕴含的数量关系 （用Excel制作的杨辉三角的另一表现形式）

1）二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)^2的展开式来探讨。 由上式得出： (a+b)^2＝a^2+2ab+b^2 此代数式的系数为： 1 2 1 则(a+b)^3的展开式是什么呢？答案为：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 由此可发现，此代数的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)^4的展开式。 展开式为：a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (11^0) 1 1 (11^1) 1 2 1 (11^2) 1 3 3 1 (11^3 1 4 6 4 1 (11^4) 1 5 10 10 5 1 (11^5) 1 6 15 20 15 6 1 (11^6) 所以，可得出二项式定理的公式为： (a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。 2）杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …… 相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64， 刚好是2的0，1，2，3，4，5次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂

《杨辉三角》教案

杨辉三角及其简单应用 高新第二学校 张晨 教学目标 1.了解杨辉三角的简单历史，理解杨辉三角的数字规律，培养学生从特殊到一般的数学归纳、猜想能力. 2.进一步巩固多项式乘多项式的运算，明确 ().n n n b a b a +≠+ 3.在小组讨论的过程中培养合作意识，在独立思考的过程中发展创造思维能力. 4.通过课前的阅读、计算和网络学习，培养学生的自学能力. 教学重点：杨辉三角的发现和理解. 教学难点：杨辉三角的理解和应用. 教学过程 一、课前准备 1.阅读课本25—26页《杨辉三角》的内容，并上网搜集有关杨辉三角的资料； 2.利用多项式×多项式法则计算3)(b a +和4)(b a +； 3.观看网络视频《涂鸦数学之数字游戏》. 二、杨辉三角的历史简介：学生对话小品 三、杨辉三角及其特征的探究 1.计算并观察 ()10=+b a ()b a b a +=+1 2222)(b ab a b a ++=+ 3 223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 展开式中共有几项？：问题n b a )(1+ 呢？的次数有什么特点？每项中，字母问题b a :2

问题3：展开式中各项的系数依次是什么？他们有什么特征？ 结论： 1.n b a )(+展开式中共有1+n 项，每项的次数都是n . 2.各项系数依次组成的图形就是杨辉三角，他们的主要特征是： （1）杨辉三角具有对称性； （2）每一行的首、末都是1； （3）中间各数都等于它们两肩上的数的和. 四、辨析： ()?555吗b a b a +=+ 结论：它们不相等，543223455510105)(b ab b a b a b a a b a +++++=+. 五、杨辉三角的简单应用 ()66.55.45.36.10 D C B A b a ）是（的展开式第三项的系数请你猜想+ 2.你能利用杨辉三角来计算 72吗？n 2吗？ 3.“纵横路线图”问题 如图（1），我校的几个学生放学后，分别要乘坐608、29、312路公交车回家，规定只能由南向北走或由西向东走，请问他们分别有几种走法？ 图（1） 图（2） 图（3） 如图（2），我想从学校到科技三路和沣惠南路交叉口附近的聚宾楼去吃烤鸭，