平方差公式与完全平方公式
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平方差公式与完全平方公式
（a+b ）2 = a 2+2ab+b 2
（a －b ）2=a 2－2ab+b 2
（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2
应用1、平方差公式的应用：
例1、利用平方差公式进行计算：
（1）（5+6x ）（5－6x ） （2）（x ＋2y ）（x －2y ）
（3）（－m ＋n ）（－m －n ）
解：
例2、计算： （1）（y x 41--
）
（y x 4
1
+-） （2）（－m －n ）（m －n ）
（3）（m ＋n ）（n －m ）+3m 2
（4）（x+y ）（x －y ）（x 2－y 2
）
解：
例3、计算：
（1）103×97 （2）118×122 （3）3
220
3119? 解：
应用2、完全平方公式的应用：
例4、计算：
（1）（2x －3）2 （2）（4x+5y ）
2 （3）（y x 2
1-）2 （4）（－x －2y ）2
（5）（－x+y 2
1）2
解：
例5、利用完全平方公式计算：
（1）1022 （2）1972 （3）199992
－19998×20002
解：
试一试：计算：123456789×123456787－
1234567882
=_______________
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应用3、乘法公式的综合应用： 例6、计算：
（1）（x+5）2
－（x+2）（x －2） （2）（a+b+3）（a+b －3） （3）（a －b+1）（b －a+1）
（4）（a+b －c ）2
解： 例7、（1）若
4ax x 4
12
++是完全平方式，则：a=________________
（2）若4x 2
+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平方式，则M=_______________ 例
8、（1）已知：3a
1
a =+
，则：__________a
1
a 22=+
（2）已知：5a 1a =-，则：__________a 1a 22
=+
（3）已知：a+b=5，ab=6，则：a 2
+b 2
=_______
（4）已知：（a+b ）2=7，（a －b ）2
=3，则：a 2+b 2
= ，ab=
例9、计算：
（1）)10
11()411)(311)(211(2222---- （2）)12()12)(12)(12)(12(32
842+++++
解：
例10、证明：x 2+y 2
+2x －2y+3的值总是正的。
【模拟试题】
一、耐心填一填
1、计算：（2+3x ）（－2+3x ）=_____________；（－a
－b ）2
=______________.
*2、一个多项式除以a 2－6b 2得5a 2+b 2
，那么这个多项式是_________________.
3、若ax 2
+bx+c=（2x －1）（x －2），则a=________，b=_______，c=_________.
4、已知 （x －ay ） （x + ay ） = x 2－16y 2
， 那么 a = ______________.
5、多项式9x 2
+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是____________.（填上一个你认为正确的即可）
6、计算：（a －1）（a+1）（a 2
－1）=__________.
7、已知x －y=3，x 2－y 2
=6，则x+y=________.
8、若x+y=5，xy=6，则x 2+y 2
=__________.
9、利用乘法公式计算：1012=___________；1232
－124×122=____________.
10、若A=（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）……（232
＋1）+1，则A 的个位数字是___________.
二、精心选一选（每小题3分，共30分）
1、计算结果是2x 2
－x －3的是（ ） A.（2x －3）（x+1） B.（2x －1）（x －3） C.（2x+3）（x －1） D.（2x －1）（x+3） 2、下列各式的计算中，正确的是（ ）
A.（a+5）（a －5）=a 2－5
B.（3x+2）（3x －2）=3x 2
－4
C.（a+2）（a －3）=a 2－6
D.（3xy+1）（3xy －1）=9x 2y 2
－1
3、计算（－a+2b ）2
，结果是（ ）
A. －a 2+4ab+b 2
B. a 2－4ab+4b 2
C. －a 2－4ab+b 2
D. a 2－2ab+2b 2
4、设x+y=6，x －y=5，则x 2－y 2
等于（ ）
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A. 11
B. 15
C. 30
D. 60
5、如果（y+a ）2=y 2
－8y+b ，那么a 、b 的值分别为（ ） A. a=4，b=16 B. a=－4，b=－16 C. a=4，b=－16 D. a=－4，b=16
6、若（x －2y ）2=（x+2y ）2
+m ，则m 等于（ ） A. 4xy B. －4xy C. 8xy D. －8xy 7、下列式子中，可用平方差公式计算的式子是（ ） A.（a －b ）（b －a ） B.（－x+1）（x －1） C.（－a －b ）（－a+b ） D.（－x －1）（x+1）
8、当a=－1时，代数式（a+1）2
+a （a －3）的值等于（ ）
A. －4
B. 4
C. －2
D. 2
9、两个连续奇数的平方差是（ ）
A. 6的倍数
B. 8的倍数
C. 12的倍数
D. 16的倍数
10、将正方形的边长由acm 增加6cm ，则正方形的面积增加了（ ）
A. 36cm 2
B. 12acm 2
C.（36+12a ）cm 2
D. 以上都不对
三、用心做一做 1、化简求值
（1）（x+4）（x －2）（x －4），其中x=－1
（2）x （x+2y ）－（x+1）2
+2x ，其中x=25
1
，y=－25.
2、对于任意有理数a 、b 、c 、d ，我们规定
c
a
d
b =ad
－bc ，求y y x 3)(- )
(2y x x
+的值。
3、一个正方形的一边增加3cm ，相邻一边减少3cm ，所得矩形面积与这个正方形的每边减去1cm ，所得正方形面积相等，求这矩形的长和宽.
整式单元复习
【知识结构】
【应用举例】
一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！ 1. 下列说确的是（ ）
A. 22
5a b 的次数是5 B. 23
x y
x +-
-不是整式 C. x 是单项式 D. 3243xy x y +的次数是7
2. 已知：1
66
x y =-=，，n 为自然数，则442n n x y
+的值是（ ）
A.
112
B. 136-
C. 136
D. 1
12
-
3. 光的速度为每秒约3×108
米，地球和太阳的距离
约是1.5×1011
米，则太从太阳射到地球需要（ ）
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A. 5×102秒
B. 5×103秒
C. 5×104秒
D. 5×105
秒
4. 如果11
8
m m x x x -+=，则m 的值为（ ）
A. 8
B. 3
C. 4
D. 无法确定
5. 若()(1)x t x ++的积中不含有x 的一次项，则t 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 1-
D. ±1
6. 如图，在边长为a 的正方形部，以一个顶点为圆心，a 为半径画弧经过与圆心相邻的两个顶点，那么阴影部分的面积为（ ）
A.
24
1a π B. 22
πa a - C. 221π2a a - D. 2
21π4
a a -
7. 如果22
22210x xy y x y ++--+=，则x y +=
（ ）
A. 0
B. 1
C. 1-
D. ±1
二、填一填，要相信自己的能力！
1. 325
x y
-的系数是 次数是 ．
2. =?+3332a a )a ( ．
3. 已知2
a a m -+是关于a 的一个完全平方式，那么m = ．
4. 1003997?= ．
5. 23228)a a (]a )a a [(÷÷?÷ ．
6. 一个正方体的棱长是2×103
毫米，则它的表面积是 平方毫米，它的体积是 立方毫米．
7. 若除式为2
1x +，商式为2
1x -，余式为2x ，则被除式为 ．
8. 三个连续奇数，中间一个是21n +，则这三个数的和是 ．
三、做一做，要注意认真审题呀！ 1. 化简：
(25)(25)(21)(23)m m m m -+---；
解：
2. 化简求值：
2(2)(2)()2(2)(2)a b a b a b a b a b +--+--+·（a+2b ），
其中2b ,21
a -==
解：
3. 已知21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27
=128，28
=256，……
（1）你能按此推测264
的个位数字是多少吗？ （2）根据上面的结论，结合计算，请估计一下：
（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232
+1）的个位数字是多少吗？
解：
6. 已知2326212a b
c ===，
，，试找出a 、b 、c
之间的等量关系．
解：
7. 已知除式是5m 2
，商式是2
341m m --，余式是
23m -，求被除式．
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【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！ 1. 下列运算正确的是（ ）
A. 2
628a a a += B. 22
0a a ÷= C.
D. a a 1a 2=?-
*2. 若单项式41
23a x
y --与31
3
a b x y +是同类项，则两
个单项式的积是（ ）
A. 6
4
x y
B. 3
2
x y -
C. 3283
x y -
D. 6
4
x y -
*3. 如果关于x 的多项式2
ax abx b -+与
22bx abx a ++的和是一个单项式，那么a 与b 的关系
是（ ）
A. a b =
B. a b =-或2b a =-
C. a b =或0b =
D. 1ab =
4. 已知33282n
?=，则n 的值为（ ）
A. 18
B. 7
C. 8
D. 12 5. 计算2002
200120032(1.5)(1)3????- ???
的结果是
（ ） A.
23 B. 23- C. 32 D. 32
- 6. 设(3)(7)(2)(8)A x x B x x =--=--，，则A ，
B 的关系为（ ）
A. A ＞B
B. A ＜B
C. A =B
D. 无法确定
7. 若3
2144
m
n
x y x y x ÷
=，则（ ） A. 51m n ==， B. 50m n ==， C. 60m n ==， D. 61m n ==，
8. 三个连续奇数，最小的一个为n ，则它们的积为（ ）
A. 3
2
68n n n ++
B. 32
32n n n ++
C. 3
3
86n n n ++ D. 3
4n n - 二、填一填，要相信自己的能力！（每小题3分，共30分） 1. 观察下列单项式：
23452481632x x x x x ---，，，，，…根据你发现的规律，
第n 个单项式是 ．第2008个单项式是 ．
2. 多项式3
2
2
2
23x x y y -+是 次 项式，最高次项的系数是 ． 3. )a ()a (a 4
3-?-- ． 4. 已知2()P ab =-，则2
P -= ．
5. 437()()x x -÷-= ，
02(2005)3--+= ．
6. 2
213213x x x ??
--
+-= ???
． 7. 如果22
()4x a x kx +=++，则a = ，
k = ．
8. 22
(6)(6)x x ---= ．
三、做一做，要注意认真审题呀！
1.计算：
344321044)x (5x 2)x 2(x 2)x 2(?+-?+-．
2.化简求值：
2[(2)(2)4(2)]3y x x y x y y
-----÷，其中
13x y ==-，．
3.一个多项式与多项式22
242a b b ab --+的差比
24ab b -小223a b b --，求这个多项式．
4. 在2
8x px ++与2
3x x q -+的积中不含3
x 与x
的项，求p ，q 的值．
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5已知312a b ab +==-，，求下列各式的值． （1）2
2
a b +；（2）2
2
a a
b b -+；（3）2
()a b -． ．
一元一次方程的解法
【典型例题】
例1、已知方程
1
22
x =与38x kx +=的解相同，则k = ．
例2、已知：2x =-是方程2
15(2)3
mx x =+-的解． 求：（1）m 的值；（2）式子2006
2
)1711(+-m m 的值．
例3、若1
34
x x -=，变形为4312x x -=，其依据是
______________．
例4、已知1
9303x y --=，经过观察与思考，可求
得3x y -的值是（ ）
A. 1-
B. 3
C. 1
D.
1
9
例5、下列是一元一次方程的是（ ）
A. 872240+=?
B. 938x x =-
C. 53y -
D. 2
10x x +-=
【能力提升】：
已知2x =时，式子2
34ax x +-的值为10，求当
2x =-时，这个式子的值是多少？
例6、解方程：（１）2131x x +=+；（２）72
x
x =+．
解：
例7、解方程：2559x x -+=-+． 解：
例8、解方程：2(3)5(1)2x x +--=．
解：
例9、解方程：124332
x x x -+--=． 解：
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例10、解方程 221
1632
x x x -+--=+
解：
【
【模拟试题】
一、填一填，要相信自己的能力！
1. 若253x x =-+，则2x + 3=，依据是 .
2. 若
1
34
x x -=，变形为4312x x -=，其依据是 .
3. 下列各数：0， 1，2，1-，2-，其中是一元一次方程71032
x
x -=
+的解的是 . 4. 写出一个一元一次方程，使它的解为2-，这个方
程可以是 .
5. 某数的一半减去3所得的差比该数的2倍大3，若设该数为x ，可列方程为 .
6. 甲、乙两运输队，甲队32人，乙队28人，若从乙队调x 人到甲队，那么甲队人数恰好是乙队人数的2倍，列出方程322(28)x x +=-所依据的相等关系是 . （填题目中的原话）
7. 已知4x =是关于x 的一元一次方程（即x 为未知数）332
x
a x -=
+的解，则a = . 8. 甲、乙两个工程队共有100人，甲队人数比乙队人数的4倍少10人，求甲、乙两个工程队各有多少人？如果设乙队有x 人，那么甲队有 人，由题意可得方程为 .
二、选一选，看完四个选项后再做决定呀！
1. 在①231x y +-；②171581+=-+；③
1
112
x x -=+；④23x y +=中，方程有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 2. 下列是一元一次方程的是（ ）
A. 872240+=?
B. 938x x =-
C. 53y -
D. 2
10x x +-=
3. 2x =是下列哪个方程的解（ ） A. 26x = B. (3)(2)0x x --= C. 2
30x -=
D. 063=?x
4. x y ，是两个有理数，“x 与y 的和的2倍等于4”用式子表示为（ ）
A. 24x y ++=
B. 24x y +=
C. 2()4x y +=
D. 以上都不对
5. 根据下列条件可列出一元一次方程的是（ ） A. a 与1的和的3倍 B. 甲数的2倍与乙数的3倍的和
C. a 与b 的差的20%
D. 一个数的3倍是5 6. 下列方程求解正确的是（ ）
A. 32x =-的解是2
3
x =- B. 232x x +=-的解是1x =
C. 351x x =-的解是1
2
x =-
D. 3
34
x =的解是3x =
7. 对于等式1
213x x +=，下列变形正确的是（ ）
A. 1213x x -=-
B. 1
213x x -=-
C. 1
213
x x -= D. 32x x -=
8. 下列等式必能成立的是（ ） A. 2
470y +=
B. 12p p +=-
C. 2332a b b a +=+
D. 7
|11|8x -=-
三、做一做，要注意认真审题呀！
1.已知2x =时，式子2
34ax x +-的值为10，求当
2x =-时，这个式子的值是多少？
2.某风景区集体门票的收费标准是：20人以（含20人）每人25元；超过20人的，超过的人数每人10元.
（1）对有x人（x大于或等于20人）的旅行团，应收多少门票费?（用含x的式子表示）.
（2）班主任老师带领初一（2）班的全体同学去该风景区游玩，买门票共用去840元，问他们共有多少人?
平行线与相交线单元复习
1、余角与补角的定义，判定方法。
例1、一个角的补角与它的余角的度数之比为3∶1，则这个角的大小为_________．
2、对顶角的定义及判定。
例2、如图，∠1和∠2是对顶角的图形个数有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3、同位角、错角、同旁角的定义及图中正确的查找。
例3、如图，能与∠α构成同旁角的角有（）
A. 1个
B. 2个
C. 5个
D. 4个
4、平行线的判定与性质及它们的联系与区别。
判定：
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）错角相等，两直线平行。（3）旁角互补，两直线平行。
（已知条件推平行为判定）
性质：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，错角相等；
两直线平行，同旁角互补。
（由平行推出其它等量关系）
例4、（1）已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，∠1与∠2互余，AB∥CD吗？
说明理由.（判定的应用）
E
2
1
D
C
B
A
（2）如图：AB∥CD ，EF⊥CD，∠1=50°，求∠2的度数.（性质的应用）
F
2
1
E
D
C
B
A
【典型例题】
1. 如图，已知：∠1=∠2，∠1=∠B，求证：AB∥EF，DE∥BC．
E
D
C
1
2
证明：由∠1=∠ 2 （已知），根据： .
得AB∥EF.
又由∠1=∠B（）. 根据：同位角相等，两直线平行
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得 ∥
2、如图，已知：∠1+∠2=180°，求证：AB ∥CD.
4 1
2
3 A B
C
E
F
D
证明：由：∠1+∠2=180°（已知）， ∠1=∠3（对顶角相等）. ∠2=∠4（ ） 根据：等量代换
得：∠3+ =180°.
根据：同旁角互补，两直线平行 得： ∥ .
3. 如图，已知：∠DAF=∠AFE ，∠ADC+∠DCB=180°，求证：EF ∥BC
A
D
B
C
F
E
证明：由：∠DAF=∠AFE （ ）
根据： . 得：AD ∥ .
由：∠ADC+ =180°（已知）. 根
据： .
得：AD ∥ .
根据： .
得：EF ∥BC
4. 如图，已知：AC ∥DE ，∠1=∠2，试说明AB ∥CD.
A D B
E
1 2
C
证明：由AC ∥DE （已知）， 根据：两直线平行，错角相等.
得∠ACD= .
又由∠1=∠2（已知）.
根据： . 得∠1=∠ACD .
再根据： . 得 ∥ .
5. 如图：已知AB ∥CD ，∠B=100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF ，求∠BEG 和∠DEG 的度数．
解：∵AB ∥CD ，
∴∠ ____+∠_______=180°． ∴∠BEC=180°－100°=80°． ∴∠_______=
2
1
∠_______=40°． ∵EG ⊥EF ，∴∠BEG=?=?-?504090． ∴
∠
DEG=
?
180－∠BEC －∠
BEG=?=?-?-?505080180．
6. 如图：AB ∥CD ，∠B=115°，∠C=45°，求∠BEC 的度数．
E
D
C B
A
7. 已知：如图，AE 平分∠BAC ，EF ∥AC ，EG ∥AB ．说明：EA 平分∠FEG
B E
F
G
C
A
【模拟测试】）
一、选择题 1、∠1的对顶角是∠2，∠2与∠3互补。如∠3=45°，则∠1的度数为（ ）
A. 45°
B. 135°
C. 45°或135°
D. 90°
2、已知：如图，AB ∥CD ，CE 平分∠ACD ，∠A=110°，则∠ECD 的度数为（ ）
A. 110°
B. 70°
C. 55°
D. 35
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3、如图，AB ∥CD ，∠1+∠2+∠3=（ ）
A. 180°
B. 360°
C. 540°
D. 720°
4、如图，直线c 与直线a 、b 相交，且a ∥b ，则下列
结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠2=∠3中正确的个
数为（ ）
A. 0
B. 1
C.
D. 3
5、如图，已知：下列条件中，不能判断直线1l ∥2l 的是（ ）
A. ∠1=∠3
B. ∠2=∠3
C. ∠4=∠5
D. ∠2+∠4=180°
l 1
1 2
3
4
5
l 2
二、填空题 1、如图，直线AB 、CD 相交于O ，∠AOD+∠BOC=200°，则∠AOC=______.
2、如图，当∠1=______时，AD ∥BC ；当∠1=______时，DC ∥AB 。
3、一个角的补角是这个角的对顶角的2倍，则这个角的度数为_______.
4、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则与∠B 相等的角有_______个。
5、如图，有梯形上底的一部分，已知量得∠A=115°，
∠D=100°，梯形的另外两个角的度数分别是
____________.
6、如图，直线m 1∥m 2，AB ⊥m 1，垂足为O ，BC 与m 2相交于点E ，若∠1=43°，则 ∠2=_______.
A B C 1
O E 2 m 1
m 2
三、解答题（每小题10分，共40分）
*1、如图，∠1=∠2，AC ∥DF ，
（1）DB 与CE 平行吗？为什么？
相等吗？为什么？
2、已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数。
3、如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE ⊥CD ，问：CD ∥AB 吗？为什么？
A
B
C
D
F
E
A D
B
C O A B C
D 1 A D B C F
E D A
8.5.2乘法公式(完全平方公式)
乘法公式（完全平方公式） 问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 2222(1)(p 1)(1)(p 1)________________; (2)(m 2)___________________; (3)(1)(1)(1)_______________; (4)(2)____________________.p p p p m +=++=+=-=--=-= 上面几个运算都是形如2()a b ±的多项式相乘，则可得： 2()()()____________________________;a b a b a b +=++== 2()()()____________________________;a b a b a b -=--== 问题2 你能用式子表示发现的规律吗？ 完全平方公式：________________________ ________________________ 问题3 你能用文字语言表述完全平方公式吗？ 两个数的和（或差）的________，等于它们的________，加上（或减去） 它们的__________。这两个公式叫做完全平方公式。 【归纳总结】 完全平方公式特点： 左边：两个数的_____（或_____）的______; 右边：①是____次______项式； ②有两项为两数的________; ③中间项是两数积的_____倍，且与左边乘式中间的符号____； ④公式中的字母a ，b 可以表示数，单项式和多项式. 【巩固练习】 练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）222();x y x y +=+ （2）222();x y x y -=- （3）222()2;x y x xy y -=++ （4）222();x y x xy y +=++
最新完全平方公式变形公式专题
半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()22 2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 (1)1=+y x ，则222 121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2 222)()1(则= (二）公式变形 (1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (3)如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 (4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 (5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是
完全平方公式变形的应用练习题
乘法公式的拓展及常见题型整理 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+ a a a a 2)1(1222 +-=+a a a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()2 2 2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求 ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 2 2 a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则2221 21y xy x ++= ⑶已知xy ２ y x ，y x x x -+-=---2 22 2)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________
完全平方公式之恒等变形
§1．6 完全平方公式（2） 班级： 姓名： 【学习重点、难点】 重点： 1、弄清完全平方公式的结构特点； 2、会进行完全平方公式恒等变形的推导． 难点：会用完全平方公式的恒等变形进行运算． 【学习过程】 ● 环节一：复习填空 ()2_____________a b += ()2_____________a b -= ● 环节二： 师生共同推导完全平方公式的恒等变形 ①()222_______a b a b +=+- ②()222_______a b a b +=-+ ③()()22_______a b a b ++-= ④()()22_______a b a b +--= ● 典型例题及练习 例1、已知8a b +=，12ab =，求22a b +的值 变式训练1：已知5a b -=，22=13a b +，求ab 的值 变式训练2：已知6ab =-，22=37a b +，求a b +与a b -的值 方法小结：
提高练习1：已知+3a b =，22+30a b ab =-，求22a b +的值 提高练习2：已知210a b -=，5ab =-，求224a b +的值 例2、若()2=40a b +，()2=60a b -，求22a b +与ab 的值 小结： 课堂练习 1、（1）已知4x y +=，2xy =，则2)(y x -= （2）已知2()7a b +=，()23a b -=，求=+22b a ________，=ab ________ （3）()()2222________a b a b +=-+ 2、（1）已知3a b +=，4a b -=，求ab 与22a b +的值 （2）已知5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。 （3）已知224,4a b a b +=+=，求22a b 与2()a b -的值。
平方差公式完全平方公式拓展
平方差公式完全平方公 式拓展 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
平方差公式、完全平方公式 一、填空 1、（－2x+y ）（－2x －y ）=______ 2、（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4 3、（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2 4、两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么较大正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____ 5、计算：（a+1）（a －1）=______ 6、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=________ 7、一个长方形的长为(2a +3b ),宽为(2a －3b ),则长方形的面积为________ 8、5－(a －b )2的最大值是________，当5－(a －b )2取最大值时，a 与b 的关系是________ 9、要使式子+4 1y 2成为一个完全平方式，则应加上________ 10、(4a m+1－6a m )÷2a m －1=________. 29×31×(302+1)=________ 11、已知x 2－5x +1=0,则x 2+21x =________ 12、已知(2005－a )(2003－a )=1000,请你猜想(2005－a )2+(2003－a )2=________ 13、若x2－7xy+M 是一个完全平方式，那么M 是 14、若x 2－y 2 =30，且x －y=－5，则x+y 的值是 15、若x 2－x －m = (x －m)(x+1)且x ≠0,则m 等于 16、(x +q )与(x +5 1)的积不含x 的一次项，则q 应是 17、计算［(a 2－b 2)(a 2+b 2)］2等于 18、已知(a +b )2=11,ab =2,则(a －b )2的值是 19、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，则m+n 的值是 20、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，则y x 的值是 21、已知 2()16,4,a b ab +==则22 3a b +的值是 、2()a b -的值是 22、已知()5,3a b ab -==，则2()a b +的值是 、223()a b +的值是 23、已知6,4a b a b +=-=，则ab 的值是 、22a b +的值是 24、已知224,4a b a b +=+=，则22a b 的值是 、2()a b -的值是 25、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，则a 2+b 2的值是 、a b 的值是
完全平方公式变形公式专题
半期复习(3)—- 完全平方公式变形公式及常见题型 一、公式拓展: 拓展一: 拓展二: 拓展三: 拓展四:杨辉三角形 拓展五: 立方与与立方差 二。常见题型: (一)公式倍比 例题:已知=４,求。 (１),则= (2)已知＝ (二)公式变形 (1)设(5a ＋3b)2＝(5a －3b)2+Ａ,则A ＝ (２)若()()x y x y a -=++22 ,则a 为 (３)如果,那么M 等于 (４)已知(a ＋b)２=m,(ａ—b)2＝n,则a ｂ等于 (５)若,则N 得代数式就是 (三)“知二求一” 1.已知ｘ﹣y=1,ｘ2+y 2=２５,求ｘy 得值. 2。若ｘ+ｙ=３,且(x ＋２)(ｙ＋2)=12. (1)求ｘy 得值; (2)求x 2+３xy+y 2得值. ３.已知:x ＋y=3,xy=﹣8,求: (1)ｘ２＋y 2 (2)(x 2﹣１)(y ２﹣1). 4.已知a ﹣b=3,ab=2,求: (1)(a+ｂ)2 (2)a 2﹣6ａｂ+b 2得值、 (四)整体代入 例1:,,求代数式得值、 例2:已知a ＝ x ＋2０,ｂ=x ＋19,c=ｘ+21,求a 2＋ｂ2+c 2－ab-bc-ac 得值 ⑴若,则＝ ⑵若,则＝ 若,则= ⑶已知a 2+b ２=6ab 且a 〉b ＞0,求 得值为
⑷已知,,,则代数式得值就是、 (五)杨辉三角 请瞧杨辉三角(1),并观察下列等式(２): 根据前面各式得规律,则(a+b)6= . (六)首尾互倒 １.已知m2﹣6m﹣1=0,求2ｍ２﹣6m＋＝。 2、阅读下列解答过程: 已知:ｘ≠０,且满足ｘ2﹣3ｘ=1.求:得值。 解:∵x2﹣３x=1,∴x2﹣3x﹣1=0 ∴,即. ∴==32+2=11. 请通过阅读以上内容,解答下列问题: 已知a≠０,且满足(2a+１)(1﹣2a)﹣(3﹣2a)２+９a２=14ａ﹣7, 求:(1)得值;(2)得值。 (七)数形结合 1、如图(1)就是一个长为2m,宽为２ｎ得长方形,沿图中得虚线剪开均分成四个小长方形,然后按图(2)形状拼成一个正方形。 (1)您认为图(2)中得阴影部分得正方形边长就是多少? (2)请用两种不同得方法求图(2)阴影部分得面积; (3)观察图(2),您能写出下列三个代数式之间得等量关系不? 三个代数式:(m＋n)2,(m﹣ｎ)2,mn. (4)根据(3)题中得等量关系,解决下列问题:若a+ｂ=7,ａb=5,求(a﹣b)2得值. 2.附加题:课本中多项式与多项式相乘就是利用平面几何图形得面积来表示得,例如:(2a＋ｂ)(a+ｂ)＝2a2+3ab＋b２就可以用图1或图２得面积来表示. (１)请写出图3图形得面积表示得代数恒等式; (２)试画出一个几何图形,使它得面积能表示(ａ+b)(a+3b)=ａ2+4ab+3ｂ2。 (八)规律探求 15.有一系列等式:
平方差公式 完全平方公式 拓展
平方差公式、完全平方公式 一、填空 1、（－2x+y ）（－2x －y ）=______ 2、（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4 3、（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2 4、两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么较大正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____ 5、计算：（a+1）（a －1）=______ 6、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=________ 7、一个长方形的长为(2a +3b ),宽为(2a －3b ),则长方形的面积为________ 8、5－(a －b )2的最大值是________，当5－(a －b )2取最大值时，a 与b 的关系是________ 9、要使式子+41 y 2成为一个完全平方式，则应加上________ 10、(4a m+1 －6a m )÷2a m －1=________. 29×31×(302+1)=________ 11、已知x 2－5x +1=0,则x 2 +21x =________ 12、已知(2005－a )(2003－a )=1000,请你猜想(2005－a )2+(2003－a )2=________ 13、若x2－7xy+M 是一个完全平方式，那么M 是 14、若x 2 －y 2 =30，且x －y=－5，则x+y 的值是 15、若x 2－x －m = (x －m)(x+1)且x ≠0,则m 等于 16、(x +q )与(x +5 1 )的积不含x 的一次项，则q 应是 17、计算［(a 2－b 2)(a 2+b 2)］2等于 18、已知(a +b )2=11,ab =2,则(a －b )2的值是 19、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，则m+n 的值是 20、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，则y x 的值是 21、已知 2 ()16,4,a b ab +==则22 3 a b +的值是 、2()a b -的值是 22、已知()5,3a b ab -==，则2()a b +的值是 、223()a b +的值是
整式的乘法完全平方公式
完全平方公式 一、填空题： () 22)(9 1291=+ -a a （2）1-6a+9a 2 =( )2 22)(4 1 ) 5(=++x x （6）x 2 y 2 -4xy+4=( ) 2 (7)x 2+( )+9y 2=(x+ )2 (8)(a+b)2-( )=(a-b)2 (9)(5x+3)2(3-5x)2=_______________________ (10)若(x-3y)2+K=x 2-5xy+8y 2,则K=_________ 二、选择题： （1）已知4x 2+kx+9是一个完全平方式，那么k 值为 （ ） （A ）12 （B ）±18 （C ）±12 （D ）±6 (2)下列多项式中，是完全平方式的为（ ） （A ）1-4m+2m 2 （B ）a 2+2a+4 () ab b a C 34 192 2-+ （D ）x 2+2xy+1 二、 1、计算 （1）(3a+2b)2 （2）(5x-y)2 （3）(-4x+3a)2 （4）(-y-6)2 2、计算 （1）99.82 (2）20052 （3）1042 （4）982
3、计算 (1)(2x-3)(3-2x) (2) (5a-4b) (-5a+4b) (3) (2m2+3n) (2m2-3n) (4) (2m2+3n) (-2m2-3n) 四、填空 (1)(x-y)(x+y)=________ (2)(x-y)(x-y)=________ (3)(-x-y)(x+y)=________ (4)(-x-y)(x-y)=________ (5)(a-1)·( )=a2-1 (6) (a-1)·( )=a2-2a+1 (7)(a+b)2-( a-b)2=________ (8)(a+b)2+( a-b)2=________ 五、计算 （1）（a-2b-3c）2(2)(x+y-2)(x-y+2) (3)(a+2b-3c) (a-2b+3c) (4) (a+2b-3c) (a-2b-3c) (5)(2a+b-5c)(2a-b-5c）(6)(2a+b+5c)(-2a-b+5c）
初中数学完全平方公式的变形与应用
完全平方公式的变形与应用 提高培优完全平方公式 222222()2,()2a b a a b b a b a a b b 在使用时常作如下变形： (1) 222222()2,()2a b a b a b a b a b a b (2) 2222()()4,()()4a b a b a b a b a b a b (3) 2222 ()()2()a b a b a b (4) 2222 1 [()()]2a b a b a b (5) 22 1 [()()]2a b a b a b (6) 222222 1 [()()()]2a b c a b b c ca a b b c c a 例1 已知长方形的周长为 40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 解设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75. 由公式(1)，有： α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250. (答略，下同) 例2 已知长方形两边之差 为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积. 解设长方形长为 α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和， 证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和 . 证明设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).
由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证 例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？ 解设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为 S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116 (x 2+y 2) =132 [(x+y)2+(x-y)2] =132 [642+(x-y)2]. ∵(x-y)2 ≥０，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为 64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为 10，平方和为52，求这两数的积. 解设这两数分别为α、b ，则α+b =10，α2+b 2 =52. 由公式(5)，有： αb=12 [(α+b)2-(α2+b 2)] =12 (102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3. 求：α2+b 2+c 2-αｂ-bc-c α的值. 解由公式(6)有： α2+b 2+c 2-αｂ-bc-αｃ =12 [(α-b)2+(b-c )2+(c-α）2] =12 [(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.
【名师导航】七年级数学下册 完全平方公式拓展训练专项教程导学案(无答案) 北师大版
9、《完全平方公式》导学案 一、探索公式 问题１.利用多项式乘多项式法则，计算下列各式，你又能发现什么规律？ （1）()()()=++=+1112 p p p __________________________. （2）()____________22 =+m ＝_______________________. (3) ()()()=--=-1112 p p p _____ _______________. (4) ()____________22 =-m =_________________________. (5) ()____________2 =+b a =_________________________ . (6) ()____________2 =-b a =________________________. 问题２.上述六个算式有什么特点？结果又有什么特点？ 问题3．尝试用你在问题３中发现的规律，直接写出()2b a +和()2 b a -的结果. 即：2()a b +＝ 2()a b -＝ 问题4：问题3中得的等式中，等号左边是 ，等号的右边： ，把这个公式叫做（乘法的）完全平方公式 问题5. 得到结论: (1)用文字叙述： （3）完全平方公式的结构特征： 问题6：请思考如何用图１５.２－ ２和图１５.２－３中的面积说 明完全平方公式吗？ 问题8. 找出完全平方公式与平方差公式结构上的差异 二、例题分析 例１：判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来. (1)(a +b )2=a 2+b 2； （ ） (2)(a -b )2=a 2-b 2； （ ） (3)(a +b )2=(-a -b )2； （ ） (4)(a -b )2=(b -a )2. （ ） 例2.利用完全平方公式计算 (1) ()24n m + (2)2 21??? ??-y (3) (x +6)2 (4) (-2x +3y )(2x -3y ) 例3.运用完全平方公式计算： (5) 2102 (6) 2 99 三、达标训练 1、运用完全平方公式计算：
乘法公式(基础)知识讲解
乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘 法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
完全平方公式变形公式专题
半期复习（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展： 2a2b2(a b)22ab 22 拓展一：a b(a b)2ab 11211 2 2 2 a(a)2a(a)2 22 a a a a 2a b2a b22a22b2 2 拓展二：(a b)(a b)4ab 22(a b)2(a b)24ab (a b)(a b)4ab 2222 拓展三：a b c(a b c)2ab2ac2bc 拓展四：杨辉三角形 33232 33 (a b)a a b ab b
444362243 4 (a b) a a b a b ab b 拓展五：立方和与立方差 3b a b a ab b 3223b3a b a ab b 22 a()()a()() 第1页（共5页）
二．常见题型： （一）公式倍比 。 2 2 a b 例题：已知 a b =4，求ab 2 1 1 (1) x y 1，则 2 2 x xy y = 2 2 2 2 x y 2 ) 2 (2) 已知x x x y ，xy ( 1) ( 则= ２ ( 二）公式变形 (1) 设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则A= 2 2 (2) 若( x y) ( x y) a ，则a 为 (3) 如果 2 ( ) 2 (x y) M x y ，那么M等于(4) 已知(a+b) 2=m，(a —b) 2=n，则ab 等于 2 (2 3 ) 2 ( ，则N的代数式是(5) 若2a b a b N 3 ) （三）“知二求一” 1．已知x﹣y=1，x 2+y2=25，求xy 的值． 2．若x+y=3 ，且（x+2）（y+2）=12． （1）求xy 的值； 2+3xy+y 2 的值． （2）求x
完全平方公式常考题型(经典)
完全平方公式典型题型 一、公式及其变形 1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2） 公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意： 222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。 2、公式变形 (1)+（2）得:22 22 ()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22 ()()4 a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=- 3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 二、题型 题型一、完全平方公式的应用 例1、计算（1）（－ 21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2 是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 题型三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．
完全平方公式的拓展
完全平方公式的变形 一、完全平方公式 ()b a +2=a 2+b 2+ab 2 () b a -2=a 2+b 2—ab 2 二、拓展一 1、()b a +2—（b a 2 2+）= 。 例已知a+b=5,ab= —6，求 b a 22+的值 2、（b a 22+）—()b a -2= 。 例若x —y=3,xy=10,则y x 22+ 的值是多少？ 延伸题：已知x —y=4，y x 22+ =20，求xy 的值, 拓展二 3、()b a +2—()b a -2 == 。 例：已知 ()y x +2=12，xy= —1求：()y x -2 的值 延伸题：例已知 ()n m +2=11，()n m -2=7，求mn 的值 4、()b a +2+ ()b a -2= 。 例： ()b a +2=15，()b a -2=7求：a 2+b 2的值
5、??? ??+x x 12=x 2+2x x 1 .+x 21=x 2+2+x 21 =x 2+x 21 +2（1） 由（1）式变形可以得到x 2+x 21=??? ??+x x 12—2 ??? ??-x x 12 =x 2+x 21—2 则??? ??+x x 12—?? ? ??-x x 12= 。 例：如果 ??? ??+x x 1=3,则x 2+x 21的值是多少： 延伸题：??? ??+x x 1=3 且x>x 1 则??? ??-x x 12的值为多少 6、拆项法（一般是拆常数项,来拼凑完全平方公式，进行完全平方公式的逆运用） 例： a 2+ b 2+4a —2b+5=0 求a 、b 的值 解：a 2+4a+b 2—2b+5=0 a 2+2?a ?2+4+b 2—2?b ?1+1.=0。。。。。。。。。。。。在这里将常数项5拆成4和1的和 ()22 +a +()12-b =0.。。。。。。。。。。。。。。。。。。完全平方公式的逆运用
最新乘法公式(平方差公式,完全平方公式)题
一、选择题 1、计算的结果是（） A．B．1000 C．5000 D．500 2、计算(x4＋y4)(x2＋y2)(x＋y)(y－x)的结果是（） A．x8－y8B．x6－y6 C．y8－x8D．y6－x6 3、下列计算，结果错误的是（） A．x(4x＋1)＋(2x＋y)(y－2x)＝x＋y2 B．(3a＋1)(3a－1)＋9＝0 C．x2－(5x＋3y)(5x－3y)＋6(2x－y)(y＋2x)＝3y2 D．＝－54x3y 4、下列算式中不正确的有（） ①(3x3－5)(3x3＋5)＝9x9－25 ②(a＋b＋c＋d)(a＋b－c－d)＝(a＋b)2－(c＋d)2
③ ④2(2a－b)2·(4a＋2b)2＝(4a－2b)2(4a＋2b)2＝(16a2－4b2)2 A．0个B．1个 C．2个D．3个 5、下列说法中，正确的有（） ①如果(x＋y－3)2＋(x－y＋5)2＝0，则x2－y2的值是－15； ②解方程(x＋1)(x－1)＝x2＋x的结果是x＝－1； ③代数式的值与n无关. A．0个B．1个 C．2个D．3个 B 卷 二、填空题 6、已知，则＝___________． 7、如果x2＋kx＋81是一个完全平方式，则k＝___________． 8、如果a2－b2＝20，且a＋b＝－5，则a－b＝___________． 9、代数式与代数式的差是___________．
10、已知m2＋n2－6m＋10n＋34＝0，则m＋n＝___________． 隐藏答案 答案： 6、7 7、±18 8、－4 9、xy 10、－2 提示： 6、∵，∴， ∴，∴． 7、∵x2＋kx＋(±9)2是完全平方式． ∴k＝2×(±9)＝±18． 8、∵a2－b2＝20，∴(a＋b)(a－b)＝20. 又∵a＋b＝－5，∴a－b＝－4． 10、[m2＋2·m·(－3)＋(－3)2]＋(n2＋2·n·5＋52)＝0， (m－3)2＋(n＋5)2＝0． ∴ ∴ ∴m＋n＝－2．
完全平方公式变形公式专题
半期复习(3)—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一.公式拓展: 拓展一: 拓展二: 拓展三: 拓展四:杨辉三角形 拓展五: 立方与与立方差 二.常见题型: (一)公式倍比 例题:已知=4,求。 (1),则= (2)已知= (二)公式变形 (1)设(5a ＋3b)2=(5a －3b)2＋A,则A= (2)若()()x y x y a -=++22 ,则a 为 (3)如果,那么M 等于 (4)已知(a+b)2=m,(a —b)2=n,则ab 等于 (5)若,则N 得代数式就是 (三)“知二求一” 1.已知x ﹣y=1,x 2+y 2=25,求xy 得值. 2.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12. (1)求xy 得值; (2)求x 2+3xy+y 2得值. 3.已知:x+y=3,xy=﹣8,求: (1)x 2+y 2 (2)(x 2﹣1)(y 2﹣1). 4.已知a ﹣b=3,ab=2,求: (1)(a+b)2 (2)a 2﹣6ab+b 2得值. (四)整体代入 例1:,,求代数式得值。 例2:已知a= x ＋20,b=x ＋19,c=x ＋21,求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 得值 ⑴若,则= ⑵若,则= 若,则=
⑶已知a2＋b2=6ab且a＞b＞0,求得值为 ⑷已知,,,则代数式得值就是. (五)杨辉三角 请瞧杨辉三角(1),并观察下列等式(2): 根据前面各式得规律,则(a+b)6=. (六)首尾互倒 1.已知m2﹣6m﹣1=0,求2m2﹣6m+=. 2.阅读下列解答过程: 已知:x≠0,且满足x2﹣3x=1.求:得值. 解:∵x2﹣3x=1,∴x2﹣3x﹣1=0 ∴,即. ∴==32+2=11. 请通过阅读以上内容,解答下列问题: 已知a≠0,且满足(2a+1)(1﹣2a)﹣(3﹣2a)2+9a2=14a﹣7, 求:(1)得值;(2)得值. (七)数形结合 1.如图(1)就是一个长为2m,宽为2n得长方形,沿图中得虚线剪开均分成四个小长方形,然后按图(2)形状拼成一个正方形. (1)您认为图(2)中得阴影部分得正方形边长就是多少？ (2)请用两种不同得方法求图(2)阴影部分得面积; (3)观察图(2),您能写出下列三个代数式之间得等量关系吗？ 三个代数式:(m+n)2,(m﹣n)2,mn. (4)根据(3)题中得等量关系,解决下列问题:若a+b=7,ab=5,求(a﹣b)2得值. 2.附加题:课本中多项式与多项式相乘就是利用平面几何图形得面积来表示得,例 如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2得面积来表示. (1)请写出图3图形得面积表示得代数恒等式; (2)试画出一个几何图形,使它得面积能表示(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2. (八)规律探求 15.有一系列等式:
乘法公式-----完全平方公式
《乘法公式--完全平方公式》教学设计 教学目标： 探索完全平方公式的过程，进一步发展推理能力；在变式中，拓 展提高；通过积极参与数学学习活动，培养学生自主探究能力，勇于 创新的精神和合作学习的习惯； 教学重点与难点： 重点是正确理解完全平方公式2)(b a ±=222b ab a +±，并初步运用。 难点是完全平方公式的运用。 教学过程： 一、创设情境，探求新知 前面学习了平方差公式，同学们对平方差公式的结构特点、运用 以及学习公式的意义有了初步的认识。今天，我们继续学习、研究另 一种“乘法公式”——完全平方公式。 问题1（投影显示图形）一块边长为a 米的正方形实验田，因需 要将其边长增加10米。形成四块实验田。问 ：你能用不同的形式表 示实验田的总面积,并进行比较吗？ （活动：教师巡视，检查学生的解题情况） 探索：直接求：2)10(+a 间接求：22101010+++a a a (选取一中等学生和一后进生学生把答案写在黑板上) 得出结论： (a +10)2=a 2+2 10a+102 猜一猜： (a +b )2 =？ 从而引出课题：完全平方公式。 ?
二. 探索新知 1.推导验证两数和的完全平方公式 （1）乘法公式 (a +b )2 =(a +b ) (a +b ) = a 2+ab +ab +b 2 =a 2+2ab +b 2 （2）图形法 结论：(a +b )2=a 2+2ab +b 2 2.两数差的完全平方公式 （1）乘法公式 ( a －b )2 =(a －b ) (a －b ) = a 2－ab －ab +b 2 =a 2－2ab +b 2 （2）两数和的完全平方公式 (a －b )2 =a 2－2ab +b 2 （3）图形法(学生自己探索) 结论：(a －b )2=a 2－2ab +b 2 （3）归纳总结 完全平方公式： (a +b )2=a 2+2a b +b 2 []2 )(b a -+=2 2)(2b b a a +-??+=
完全平方公式变形公式专题
半期复习(3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+ a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二:a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2 222---++=++ 拓展四:杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二.常见题型： （一）公式倍比 例题:已知b a +=4,求ab b a ++2 2 2。 (１)1=+y x ,则222 121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2 222)()1(则= （二)公式变形 (１)设(５a ＋3b ）2=(5ａ－３b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (３)如果2 2)()(y x M y x +=+-,那么M 等于 （4）已知(ａ+b)2=m ，(a —b)２=n ，则ａb 等于 (５)若N b a b a ++=-22)32()32(,则N 的代数式是 （三）“知二求一” 1．已知ｘ﹣ｙ=1,x ２+y ２＝25，求xy 的值. 2.若x ＋y=3,且（x+2)（y ＋2）=12. （1)求ｘｙ的值； （2）求x 2＋3x ｙ+ｙ2的值．
完全平方公式的变形与应用
完全平方公式的变形与应用 完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+在使用时常作如下变形： (1) 222222()2,()2a b a b ab a b a b ab +=+-+=-+ (2) 2222()()4,()()4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+- (3) 2222()()2()a b a b a b ++-=+ (4) 22221[()()]2 a b a b a b +=++- (5) 221[()()]2 ab a b a b =+-- (6) 2222221[()()()]2 a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+- 例1 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 解 设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75. 由公式(1)，有： α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250. (答略，下同) 例2 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积. 解 设长方形长为α，宽为b ，则α-b=4，αb=12. 由公式(2)，有： (α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和. 证明 设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).
由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证 例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？ 解 设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为S ，则由公式(4)，有： S=(x 4)2+(y 4)2=116 (x 2+y 2) =132 [(x+y)2+(x-y)2] =132 [642+(x-y)2]. ∵(x-y)2≥0， ∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为64232 =128(cm 2). 例5 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积. 解 设这两数分别为α、b ，则α+b=10，α2+b 2=52. 由公式(5)，有： αb=12 [(α+b)2-(α2+b 2)] =12 (102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3. 求：α2+b 2+c 2-αb -bc-cα的值. 解 由公式(6)有： α2+b 2+c 2-αb -bc-αc =12 [(α-b)2+(b-c)2+(c-α)2] =12 [(-1)2+(-1)2+22] =12 ×(1+1+4)=3.
平方差和完全平方公式教学与拓展
第一章 整式的乘除 一、平方差公式 教学目标 平方差公式的特征 平方差公式 利用平方差公式简便计算 复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的 计算下列各题： (1) ()()22-+x x ； (2) ()()a a 3131-+； (3) ()()y x y x 55-+； (4) ()()z y z y -+22. 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现 再举两例验证你的发现. 1、平方差公式： （1）平方差公式的推导：()()2222b a b ab ab a b a b a -=++-=-+ （2）文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. （3）符号语言：()()22b a b a b a -=-+. 例1 利用平方差公式计算： （1）()()x x 6565-+； （2）()()y x y x 22+-； （3）()()88-+ab ab . （4）面积表示： 例2如图①，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪 开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形． (1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a ，b 的代数式表示S1，S2； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
2、公式变形: ()()22b a b a b a -=--+- 注：（1）这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等； （2）逆运算也是成立的. 例3 利用平方差公式计算： （1）()()n m n m --+- . （2）?? ? ??+-??? ??--y x y x 4 141 ； （3）()()()1112+-+x x x （4）?? ? ? ?+??? ? ?+??? ? ?-2141212x x x 例4 利用平方差公式计算： （1）()()z y x z y x ++-+- （2）()()z y x z y x -+++- （3）()()1212+--+y x y x （4）()()939322+++-x x x x 3、利用平方差公式简便计算 (1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点: (2)从以上的过程中，你发现了什么规律 (3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗 例5 用平方差公式进行计算： (1)103×97； (2)118×122. 例6 运用平方差公式计算： (1) 2 014×2 016－2 0152； (2) ×； (3) 3 1393 2 40?. 拓展提高 相同为a 合理加括号 7×9= 8×8= 11×13= 12×12= 79×81= 80×80= b