高考中离心率问题的几种典型解法
一道最值问题的多种解法
一道最值问题的多种解法 浙江省宁波市李惠利中学 沈国标 求变量的最值，是生产生活中最常见的数学问题．解决最值问题的方法很多，若能精选例题，通过一题多解的形式给出解决问题的方法，既能启迪学生发散性思维，又是让学生掌握数学思想方法的最佳途径．在竞赛辅导过程中，笔者研究了文[1]中的一道练习题，发现此题用作介绍有关解决最值问题的方法甚佳． 例 若x ，y 为实数，且x 2+xy+y 2=19，求x 2+y 2 的最值． 一． 代换法 １．二元对称代换 解：因为约束条件是关于x ，y 的对称式，所以可设x ＝a+b ，y ＝a-b 代入x 2+xy+y 2＝3a 2+b 2＝19，∴0≤b 2 ≤19 这时x 2 +y 2 ＝2(a 2 +b 2 )＝2??? ??+-22b 3b 19＝338+3 4 b 2 ∵0≤b 2 ≤19 ∴3 38 ≤x 2 +y 2 ≤38 ∴当b 2＝19，a 2 ＝0，即x ＝ 19，y ＝-19或x ＝-19，y ＝19时，x 2 +y 2 的最大值 是38．当b 2 ＝0，a 2 ＝3 19 ，即x ＝y ＝ 319，或x ＝y ＝- 3 19 时，x 2+y 2 的最小值是 3 38． ２．三角代换之一 解：∵x 2 +xy+y 2 ＝(x+ 2y )2 +4 3 y 2 ＝19 ∴可设 ?????? ???? ??? ?θ=θ-θ=?π∈θθ=θ=+)sin 332(19y )sin 33 (cos 19x )2,0[(sin 19y 2 3cos 192y x ∴x 2 +y 2 ＝19[)sin 33(cos θ- θ2 +θ2sin 3 4 ] ＝19(θ-θ+θ2sin 3 3sin 35cos 22 ) ＝19( θ-θ-?+θ+2sin 3 322cos 13522cos 1)
全国高考数学复习微专题：离心率问题
圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式：c e a = （其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：2 2 2 a b c =+， ① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：2 2 2 c b a =+ ① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -= ② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题： 例1：设12,F F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线 段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=o ，则椭圆的离心率为 （ ） A ． 33 B ．36 C ．13 D ．16 思路：本题存在焦点三角形12PF F V ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得 2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=o ，则直角三角形12PF F V 中， 1212::2:1:3 PF PF F F =，且 1212 2,2a PF PF c F F =+=，所以 12122323 F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A 小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。 例2：椭圆 () 22 2 102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=o ,则椭圆的离心率为________ 思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中， '''' 1 ::2:1:52 b a b c a =?=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：
两道经典不等式的多种解法
两道经典代数不等式的多种解法 长沙市明德中学 邓朝发 2019年3月6日 有两道道经典的代数不等式，在很多奥数资料上面都出现过，但是用到的解法过于单一，甚至于太繁琐。笔者在竞赛教学中，集学生的智慧偶得灵感，经过研究发现，此两道不等式有多种解法，而且这些解法的过程相当精妙、相当优雅、相当有韵味。高兴之余，情不自禁，特以此文分享，作初等数学学习、鼓励学生交流之用。 题目：已知12123,,..,0,..1n n x x x x x x x >=，证明： 1 1(1)n i i i x n x =≥-+∑ 方法一： 反证法 解1： 不妨假设 11(1)n i i i x n x =<-+∑ ，进一步211 (1)11n i i i x n n n x n x =->≥--+-+∑； 把1x 用23,,...,n x x x 替换，可得： 1 (1)1,2,3..,)11n i i k k i x n n k n n x n x ≠->≥-=-+-+∑； 取他们乘积： 11(1)1n n k k n n n x =->--+∏ 进一步：12...1n x x x <与条件矛盾！，进而原不等式成立！ 解2：不妨假设 =(1)i i i x y n x -+，进一步：(1)(1,2,..)1i i i n y x i n y -= =- 从而 1(1)11n i i i n y y =-=-∏，不妨假设1111(1)n n i i i i i x y n x == ≥-=∑； 对n 个式子做乘积： 1 (1) n n i k y n =>-∏从而： 1 (1)11n i i i n y y =-<-∏ ，矛盾！进而原不等式成立！ 以上两种都是反证法，只是对结构处理不同，所以这里归结为一类方法。对于多元不等式结构的处理，不同的人处理的角度不一样，因此每一种处理方式都是解题实践经历的，自然是很重要的。
椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法
椭圆离心率的三种求法： (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用 22 1a b e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得c a 的值，通常由已知寻求a ， b ， c 的关系式，再与a 2 ＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围. 1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点??? ??0,2b 分成5∶3 的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.1617 B.41717 C.45 D.25 5 解析 依题意，得c ＋b 2c －b 2 ＝5 3，∴c ＝2b ，∴a ＝ b 2＋ c 2＝5b ，∴e ＝ 2b 5b ＝255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率. 2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°， 求椭圆离心率的取值范围. 分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝1 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.② ①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③ 由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 2 3 .④
高中数学离心率问题知识+练习
一、基础知识： 1、离心率公式：c e a = （其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+ ① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+ ① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -= ② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率
1.椭圆(22 2 1012x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________ 2.设21F F ，分别为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使 得,4 9 ||||,3||||2121ab PF PF b PF PF = ?=+则该双曲线的离心率为 A 34 B.35 C.4 9 D.3 3.P 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上的一点，12F F ，是焦点，1PF 与渐近线平行， 1290F PF ∠=则双曲线的离心率为（ ） C. 2 4.双曲线)0,0(1: 2 22 2>>=-b a b y a x C 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦 距等于（ ） A.2 B.22 C.32 D.4 5.设12,F F 分别是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线左支上存在一点 M ，使得() 110F M OM OF ?+=，O 为坐标原点，且13 MF MF = ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 1+ B. C. + D. 6.已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则E 的离心率为（ ） A. B. 2 C. D.
一道一元一次方程应用题的多种解法
一、行程问题 行程问题地基本关系：路程速度×时间， 速度，时间. ．相遇问题：速度和×相遇时间路程和 例甲、乙二人分别从、两地相向而行，甲地速度是米分钟，乙地速度是米分钟，已知、两地相距米，问甲、乙二人经过多长时间能相遇？ 解：设甲、乙二人分钟后能相遇,则 （）×, . 答：甲、乙二人钟后能相遇. ．追赶问题：速度差×追赶时间追赶距离 例甲、乙二人分别从、两地同向而行，甲地速度是米分钟，乙地速度是米分钟，已知、两地相距米，问几分钟后乙能追上甲？ 解：设分钟后，乙能追上甲，则 （）， . 答：分钟后乙能追上甲. . 航行问题：顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度. 例甲乘小船从地顺流到地用了小时，已知、两地相距千米.水流速度是千米小时，求小船在静水中地速度. 解：设小船在静水中地速度为,则有 （２）×， （千米小时）. 答：小船在静水中地速度是千米小时. 二、工程问题 工程问题地基本关系：①工作量工作效率×工作时间，工作效率，工作时间；②常把工作量看作单位. 例已知甲、乙二人合作一项工程，甲天独立完成，乙天独立完成，甲、乙二人合作天后，甲另有事，乙再单独做几天才能完成？ 解：设甲再单独做天才能完成,有 （）×， . 答：乙再单独做天才能完成. 三、环行问题 环行问题地基本关系：同时同地同向而行，第一次相遇：快者路程－慢者路程环行周长.同时同地背向而行，第一次相遇：甲路程乙路程环形周长. 例王丛和张兰绕环行跑道行走，跑道长米，王丛地速度是米分钟，张兰地速度是米分钟，二人如从同地同时同向而行，经过几分钟二人相遇？ 解：设经过分钟二人相遇，则 （－）, . 答：经过分钟二人相遇. 四、数字问题 数字问题地基本关系：数字和数是不同地，同一个数字在不同数位上，表示地数值不同.
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜ ｜PD ｜② e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、 F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三
角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正 三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？
解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e? 解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-5 2 (舍去) 变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5 2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个 顶点，求∠ABF ？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e= 5-1 2 的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的
上海市2019年高考数学(理科)专题十八离心率精准培优专练(含答案)
培优点十八 离心率 1．离心率的值 例1：设1F ，2F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴 上，若1230PF F ∠=?，则椭圆的离心率为（ ） A B C ．13 D ． 16 【答案】A 【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=?，则直角三角形12PF F △ 中，1212::2PF PF F F = 且122a PF PF =+，122c F F = ，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+A ． 2．离心率的取值范围 例2：已知F 是双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直 线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．()1,2 C ．(1,1 D ．(2,1 【答案】B 【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ?? ∠∈ ??? 即 可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2 b AF a =，FE a c =+， 所以()()222tan 1112AF b c a c a AEF e FE a a c a a c a --==
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜ ｜BO ｜④ e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜ BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正
三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e?
求离心率取值范围方法总结与典型例题
求离心率取值范围—常见6法 在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。 一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标的取值范围，构造关于a,b,c的不等式 例1 若椭圆上存在一点P，使，其中0为原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围。 解：设为椭圆上一点，则 . ①因为，所以以OA为直径的圆经过点P，所以 . ②联立①、②消去并整理得 当时，P与A重合，不合题意，舍去。 所以又，所以， 即得，即又，故的取值范围是 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c不等式 例2 已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2，左准线为,l P是双曲线左支上一点，并且，由双曲线第二定义得，
所以. ①由又曲线第一定义得 ②由①-②得 在中，所以， 即.又，从而解得的取值范围是。 三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式 例3 设椭圆的两焦点为F1、F2，问当离心率E在什么范围内取值时，椭圆上存在点P，使=120°. 解：设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义知. 在中，由余弦定理得 ==（ 所以所以. 又，故的取值范围是 四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a,b,c的不等式 例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y轴为准线，且左顶点在抛物线上，求椭圆离心率e的取值范围。 解：设椭圆的中心为，并延长交y轴于N，则=
圆周率π的计算方法
圆周率π的计算方法 圆周率的计算方法 古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen 用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。 1、 Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 用马青公式计算Pi至小数点后100位程序 program Pi_Value; {$APPTYPE CONSOLE} //将Pi计算精确小数点后100位 //Machin公式
//Pi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239) uses SysUtils; const N=100; S=2*N+50; aNum=5; bNum=239; type Num=array [1..S] of byte; //初始化数组 procedure AZero(var arr:Num); var i:smallint; begin for i:=1 to S do arr:=0; end; //除法 procedure Division(var arr:Num;const b:smallint); var c,y,i:smallint; begin c:=0; for i:=1 to S do begin y:=arr+c*10; c:=y mod b; arr:=y div b; end; end; //加法 procedure Addition(var arr:Num;const b:Num); var i,y,c:smallint; begin c:=0; for i:=S downto 1 do
巧解椭圆离心率的取值范围
巧解椭圆离心率的取值范围 河北容城中学 牛文国 邮编071700 在椭圆问题中经常会遇到下面一类问题，就教学中的一些体会提供此类问题的常规解法，供大家参考。 设椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的两焦点为21,F F ，若在椭圆上存在一点p ，使21PF PF ⊥，求椭圆e 的取值范围。 解析1：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-?+c x y c x y ，即222x c y -=，代入12222=+b y a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥ 即222c a c -≥，2 2≥=∴a c e 又1 222a c b a c b <≤?<≤ ∴2222a c c a <≤-12 2<≤∴ e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长。 解析4：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大 此题是否可以得到启示呢？ 无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <090 2 245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10< 圆锥曲线离心率专题复习 离心率的几种求法 椭圆的离心率10< 高考数学选填专题-离心率 1．设12F F 、是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF ?是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．45 2．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F 、，点P 是12C C 与的一个公共点， 12PF F ?是以一个以1PF 为底的等腰三角形，114,PF C =的离心率为3 7 ，则2C 的离心 率是（ ） A ．2 B ．3 C ． 3．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22 22x y a b +=1（a ＞b ＞0）上的一点，且12PF PF ?=0，tan ∠PF 1F 2= 1 2 ，则此椭圆的离心率为（ ） A C ．13 D ．12 4．已知椭圆()222210x y T a b a b +=>>：，过右焦点F 且斜率为() 0k k >的直线与T 相交于,A B 两点，若3AF FB =，则k =（ ） A ．1 B C ．2 5．若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线x 2 +m y 2 =1的离心率是（ ） A.2 3 B.5 C. 2 3或 2 5 D. 2 3或5 圆周率的几种计算方法 姓名李至佳 学号 06205013 专业基础数学 摘要：本文简要的介绍了圆周率的起源及其计算方法，正是圆周率这个数的特殊性，致使从古到今许多数学家为之奉献毕生的经历来研究的精确值。因此，用什么样的方法计算使其值更加精确，这是一个很值得研究的问题。 关键词：圆周率，计算方法，正多边形，连分数 一、很早以前就有了 从人类祖先的祖先诞生在这个地球上算起，经历了几千万年的时间。我们看见的太阳几乎总是圆的，而月亮由于地球的遮挡，有圆有缺。 椭圆、抛物线，双曲线等都是很晚才发现的曲线。地球诞生之前,太阳就是圆形的。月亮大概是和地球同时诞生的. 在使用工具和火不久,人类对太阳和月亮，或者对动物和鱼类的眼睛是圆的,也就是说对圆这种形状一定感到很奇妙。远古，数刚诞生时，肯定只在1和许多个之间有区别。而且，很早以前，就只考虑1和2这两个数。以后因为1个人有2只脚和2只手，2个人就有4只脚和4只手，1头家畜有4只脚，2头家畜有8只脚，等等。不久，就知道了比例的概念。 到了这个阶段人们自然关顾圆周的长度与圆的直径之间一定的比例常数。尽管圆有大有小，但对一个圆来说，其周长与直径之间的比例常数就是圆周率 二、的几种计算方法 有一个关于圆周率的歌谣，盛行于古代："山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐。" 圆周率是圆的周长与直径之比，表示的是一个常数，符号是希腊字母。人们为了计算圆周率，公元前便开始对它进行计算。魏晋时期刘徽曾于公元263年用割圆术的方法求到3.14，这被称为"徽率"。 在公元460年，祖冲之应用了刘徽的割圆术（也就是下面提到的正多边形的方法），算得圆周率为3.1415926。祖冲之所求的值，保持了1000多年的世界纪录。 1596年，荷兰数学家鲁道夫经过长期的努力和探索，把值推算到15位小数，打破了祖冲之长达1000多年的纪录，后来他本人又把这个数推进到35位。 18世纪初，圆周率达到72位。19世纪时，圆周率又求到140位、200位、500位。1873年，威廉欣克用了几十年时间，将π值算到707位。 到了1946年，世界上第一台电子计算机(ENIAC)问世美国，有人在计算机上用了70个小时，算出圆周率达到2035位。1955年达到10 017位，1962年达到10万位。1973年达到100万位，1981年日本数学家把它推算到200万位。1990年美国数学家继续新的计算，将值推到新的顶点4.8亿位。 经过长时间艰苦的计算，值只是个近似值，这是一个永不循环的数学计算，也是数学史上的马拉松。 下面介绍几种计算的方法： （一）公元前利用正多边形计算 公元前1650年，埃及人著的兰德纸草书中提出＝（4/3） 3=3.1604。但是对的第一次科学的尝试应归功于阿基米德。阿基米德计算值是采用内接和外切正多边形的方法。数学上一般把它称为计算机的古典方法。 椭圆离心率的解法 椭圆离心率的解法 椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离 心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜ ｜BA ｜ ⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2 c ∴ 有③。 题目1：椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ 思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，点 P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，AB 为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜ = b a 又∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 5 5 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦 点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? 1对1课程辅导教案 学员姓名 科目 数学 年级 授课时间 课 时 授课老师 陈老师 圆锥曲线离心率专题复习 离心率的几种求法 椭圆的离心率0 e 1，双曲线的离心率 e 1，抛物线的离心率 e 1 ? 一、直接 求出a 、c ,求解 已知圆锥曲线的标准方程或 c 易求时，可利用率心率公式 c e 来解决。 a 2 例1:已知双曲线— 2 a 则该双曲线的离心率为（ 2 1（a 0）的一条准线与抛物线 y 2 6x 的准线重合, 二、构造a 、 根据题设条件, 进而得到关于 ) 3 B.- 2 C ； 2 c 的齐次式，解出e 借助a 、b 、c 之间的关系， e 的一元方程，从 而解得离心率 2 笃 1 （ a 0,b 0）的两焦点，以线段 b 2 MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 2 X 例2 :已知F 1、F 2是双曲线一2 a 为边作正三角形 ，若边 （ ） A. 4 2 3 B. 3 1 C. .3 1 4 X 7 3」 （特别是齐二次式）， 构造a 、c 的关系 e 。 F 1MF 2 1200，则 双曲线的离心率为（ ) A . 3 <6 B 一 C —— .3 D —— 2 3 3 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 变式练习：双曲线虚轴的一个端点为 M ，两个焦点为F 1、F 2 , 例3:设椭圆的两个焦点分别为 F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 若 F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 _____________ 高考数学选填专题-离心率 F 2PF 1是底角为30。的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ） 率是（ ） A' 3 A . 1 A. -3 B. 、5 C. 甘或舟 D. -2 或、5 2 2 x y 1 ?设F r F 2是椭圆二 2 a b 1 a b 0的左、右焦点, P 为直线x 3a 上-一 ?占 —I~*■ 八 、、： 2 4 - D 3 - 4 C 2 - 3 B 2 ?已知椭圆 C i 与双曲线 C 2有相同的焦点 F i 、F 2，点P 是G 与C 2的一个公共点, PF 1F 2是以一个以PF 1为底的等腰三角形, PF 1 4,C 1的离心率为一，贝V C 2的离心 A . 3 C . 2、、3 D P 是以 F 1, F 2为焦点的椭圆 UUT （a >b >0） 上的一点，且 PF | uur PF 2 =0, tan 1 PFF 2=, 2 则此椭圆的离心率为 4.已知椭圆 2 T?：- 2 a 的离心率为 3 ，过右焦点F 且斜率为k k 0 2 的直线与T 相交于 uuv 代B 两点，若AF UJV 3FB , 5 .若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线 的离心率是（ E D P C B A E D P C B A 一题几何题的多种解法 易永彪 浙江省苍南县新星学校 325800 从不同的角度、不同的思路去探寻题目时，往往会得到多种精妙的解法，精彩纷呈，殊途同归。这种一题多解的做法能充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧，锻炼学生思维的灵活性，开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。现在笔者从一道几何题出发探究解法的多样性，一同体验数学的乐趣。 题目：如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=80°，点P 在AB 上， 且∠BPC=30°，求证：AP=BC 。 1、巧用“三线合一”性质 等腰三角形“三线合一”定理，在几何计算和论证过程中有着很重要的 作用。这个定理虽然很普通，但平凡的背后却有奇妙的作用，若能巧妙地利用这个性质解题，将起到事半功倍的效果。 分析：这道题的条件中有∠ABC=∠ACB=80°，可得AB=AC ，就可以利用“三线合一”性质，故联想到过A 作BC 边上的垂线AD 。根据“三线合一”性质，BD=CD 。本题要让我 们证AP=BC ，所以就要构造出一条边的长度为1 2AP 。又知∠BPC=30°， 容易想到过A 作CP 延长线的垂线AE 。利用30°所对边的直角边 为斜边的一半，可得AE= 1 2 AP 。易证△AEC ≌△CDA ，∴AE=CD 。 AP=2AE ，BC=2CD ，∴AP=BC 。 2、巧作等边三角形 作等边三角形可以使一些与等腰三角形有关的几何问题 变简单，给人以柳暗花明之感。 分析： AB=AC ，∴可以以AB 为边向外做等边△ABD ， 可多制造一些相等条件，利于证明结论。 AD=AB=AC 。我们较易想到作辅助圆： 以A 为圆心、AB 为半径的⊙A 。 ∵ BC BC ，∴∠BDC=12∠BAC=10°，同理∠BCD=12 ∠BAD=30°， P C B A 专题：椭圆的离心率 一，利用定义求椭圆的离心率（a c e = 或 2 21?? ? ??-=a b e ） 1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率=e 3 2，椭圆1422=+m y x 的离心率为2 1，则=m [解析]当焦点在x 轴上时， 32124=?=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316 214=?=-m m m ， 综上3 16 = m 或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 5 3 4，已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 [解析]由??? ???≠=+=0 222 2mn n m n n m n ?? ?==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 5，已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 6，设椭圆22 22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的 距离，则椭圆的离心率是2 1 。 二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e 1，在?Rt ABC 中，ο 90=∠A ，1==AC AB ，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 ( ) 36-= e 2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο 901=∠BDB , 则椭圆的离心率为( ) [解析] =?=-?-=-?e ac c a c b a b 221)(21 5- 3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13- 变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13- 有关圆的简便计算和简便方法 吉林市龙潭区教师进修学校附属小学孙晓杰 摘要：小学六年级在有关圆的计算中，圆周率与其它数量相乘属于较复杂的小数乘法，数学教师要教会学生记住最基本的∏值，还要先计算3.14以外的乘积，较复杂的含有∏的多步计算，要运用运算定律简算，就是尽量避免3.14与其它数字相乘机会；充分利用圆的对称性和重叠问题的解法对有关圆的复杂的组合图形进行旋转、平移，使其转化成较规范的简单的图形，从而使计算更加简便。 关键词：记住∏值、运用定律、尽量口算、旋转平移 教过小学数学的人，众所周知，关于圆周率∏的计算很麻烦，在一个数乘3.14的时候步骤繁琐，而且很容易出错。简算不是数学计算的目的，而是数学计算的需要。本人从事小学数学教学工作，20年的教学生涯，在小学六年级有关圆周率的教学中，总结出一套简便算法，现把自己的做法呈现出来与同行们分享。 一、从第一次学习圆的周长计算那天起，背下来最基本的1∏到10∏∏值，即1∏＝3.14 2∏＝6.28 3∏＝9.42 4∏＝12.56 5∏＝15.7 6∏＝18.84 7∏＝21.98 8∏＝25.12 9∏＝28.26 10∏＝31.4 二、还有计算周长时一些常用的，如12∏=37.68 15∏=47.1 16∏=50.24 18∏=56.52 24∏=75.36 32∏=100.48 36∏=113.04 7.5∏=23.55 三、计算面积时，经常遇到平方数，不但前五年学过的1到10的平方数准确无误，还要把11到20的平方数倒背如流，它们分别是121、 144、169、196、225、256、289、324、361、400，还有几个特殊的平方数，如25的平方625；24的平方576；关于面积常用到的含有圆周率的数有：16∏=50.24 25∏=78.5 36∏=113.04 64∏=200.96 144∏=489.6 225∏=706.5 256∏=803.84 625∏=1962.5 还有49∏=153.86 81∏=254.34只是这两个不常用。 四、由上面衍生、拓展而来的如：1/2∏=1.57 1/4∏=0.785 1/8∏=0.3925 1/16∏=0.19625 1.5∏=4.71 20∏=62.8 0.2∏=0.628 2.25∏=7.065 6.25∏=19.625 300∏=942 1.5∏=4.71诸如此类的∏值，只要在最基本的基础上，相应地移动小数点就能准确地得出结果。 五、计算含有圆周率一般乘法时可以运用运算定律，如192∏可以从200∏即628中减去8∏即25.12；48∏可用40∏即125.6加上8∏即25.12，也可以从50∏即157中减去2∏即6.28;99∏可以从100∏即314中减去1∏即3.14在计算有关圆周率∏的乘法中，使用加减法来简算，避免了列乘法竖式，远比用乘法简便还准确。 六、在计算单纯的圆、扇形的周长和面积还有圆柱、圆锥的体积时，要先计算圆周率∏以外的其它的数值，最后乘3.14，如计算一个半径为15的圆的周长，列式2×3.14×15，要先计算出2×15的积30，再把3∏即9.42乘10，得出积为94.2。 七、在有关圆的组合图形、圆柱的表面积、圆柱和圆柱、圆柱和圆锥、圆锥和圆锥组合体的体积的计算中，大都会出现圆周率∏，如一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面半径是20厘米，高30厘米，做这个水桶至少用铁皮多少平方米？列式计算为：2017年高考数学选填题离心率专题
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