二阶常微分方程的一类配置方法

华中科技大学

硕士学位论文

二阶常微分方程的一类配置方法

姓名：张圣军

申请学位级别：硕士

专业：计算数学

指导教师：黄乘明

2011-05-20

华中科技大学硕士学位论文

摘要

二阶常微分方程在数学、物理、工程领域有着广泛的运用，对于其数值解的研究，也是久兴不衰，国内外涌现了一系列重要的研究成果。2009年，Gonzalez等人提出了一类关于一阶刚性方程的含一个自由参数、强A稳定的新方法，这种方法与现有的方法相比，有很多非常好的性质。本文首先将该方法应用于二阶微分方程初值问题，获得了间接配置方法，然后基于Gonzalez等人选择配置参数的思想，构造了二阶微分方程的直接配置方法，并且给出了它们的阶和稳定性的结果。我们发现当方法的级数为3时，直接配置与间接配置级阶都为3；而当方法的级数大于4时，采用相同配置点的直接配置方法比间接配置方法级阶高一阶。又由于上述四级直接配置方法的稳定区域非常有限，所以在第四章中我们进一步调查了更一般的具有两个自由参数，首级显式、刚性精确的四级直接配置方法。一般来说，这类方法的级阶与间接配置相比，级阶不再提高，我们还对对这类方法的阶与稳定性做了研究，通过计算机搜索的方式找到了一些稳定区域相对较大的方法，这对于刚性方程的求解具有一定的优势。在第五章中我们做了两个数值实验，一个是非刚性标量方程的情形，一个是刚性比较强的方程组的情形，通过运用MATLAB编程技术，我们发现计算结果与理论分析的结果很好地保持了一致。

关键词：二阶微分方程；直接配置；间接配置；稳定区域；刚性

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Abstract

Second order ordinary differential equation has been applied widely in mathematics, physics and engineering areas, the relevant research on its numerical solution is still flourishing. During the research, Mathematicians have obtained a series of important results at home and abroad. In 2009，Gonzalez-Pinto and his parters have proposed a new method on the first-order stiff equation includes a free parameter ,which has many good properties compared with existing methods,for example it's strongly A-stabilty . In this paper we research a special type of second-order differential equations without first-order derivative.In the first three chapters of this paper ,we use their type of method to solve second order ordinary differential equation,and construct the direct and indirect collocation methods based on this method.Then we give their order results and stability properties.Due to stability region of the direct collocation method is finite, we then construct a new class of improved method ,research the order and stability of these methods in the fourth chapter, we find that the improved method does extend a bigger stability region ,so it has certain advantages on solving stiff problems .In the last Chapter ,we have done two numerical experiments,and find that the numerical results are very consistent with the theoretical analysis mentioned above.

Key words: Second order differential equations;direct collocation ; indirect collocation;

stability region; stiff

独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是我在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。文中除已经标明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。

学位论文作者签名：

日期：年月日

学位论文版权使用授权书

本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。

保密□，在年解密后适用本授权书。

本论文属于

不保密□。

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学位论文作者签名：指导教师签名：

日期: 年月日日期: 年月日

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1 绪论

1.1 选题背景

二阶常微分方程被大范围地运用于力学，电学，工程技术领域，如何精确地求解二阶微分方程是人们努力追求的目标。然而只有极少部分的微分方程能够得到精确的解析解，大部分方程是不能通过积分求解的。有些方程即使有解析解，但表达式过于繁琐，这也将在实际运用中失去意义。于是，寻求方程的达到精度要求的数值解是十分重要的。在求解大型微分方程组的过程中，发现了所谓刚性现象。运用具有有限稳定区域的一些数值方法求解这类方程时，只有步长取得非常小，计算才会成功。而步长取小后，计算步数增加了，以至于增加到方程本身的刚性比的程度。于是我们所寻找的数值方法应该具有尽可能高的阶以及尽可能大的稳定区域。

求解二阶常微分方程初值问题，一种可行的做法是先将其先化成一个一阶微分方程组，然后再用一阶方程中已有的各种数值算法进行求解。这样的说法叫做间接方法，关于其收敛性，稳定性，误差的分析完全平行于一阶方程的结果。不过，在1925年，Nystr?m[10]提出将二阶方程独立于一阶方程进行专门研究，他构造了一种如下所示的新方法,现在称之为Runge-Kutta-Nystr?m 方法：

),,(1

2

'

j j n s

j ij

n i n i Y h c t f a

h

hy c y Y +++=∑=

),,(1'

'1

j j n s

j j n n Y h c t f d h y y

++=∑=+

).,(1

2

'

1j j n s

j j

n n n Y h c t f b

h

hy y y +++=∑=+

1978年，Hairer 和Wanner[11]给出了RKN 方法的阶条件。同年，Battin 在[14]中独立地给出了8阶RKN 方法的阶条件。1982年，Hairer[16]给出了一个具体的10阶方法。后面的章节中，我们将看到方法的稳定函数是一个二阶矩阵，这样我们确定稳定区域就比较困难。1980年，L.Kramarz[9]研究了基于直接配置的RKN 方法的

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稳定性,他提出了一种相对简单的方法来确定方法的稳定区域，他指出凡使用对称配置点的配置方法，至少存在一个有限的稳定区域。1986年，M M Chawla[18]研究了两步四级的P-稳定的RKN 方法。1990年，Sharp,Fine 和Burrage 在文[40]中研究了2级和3级对角隐式RKN 方法，并且分析了这两类方法的阶条件和R 稳定性。1991年，P.J.Van Der Houwen[15]等人研究了直接配置方法与间接配置方法，发现对于采用相同的配置点所分别构成的两类配置方法，只要满足一定条件，直接配置比间接配置级阶升高一阶。1999年，Kazufumi Ozawa 在文[34]中研究了一类解决二阶微分方程周期初值问题的变系数四级隐式RKN 方法，在他所考虑的方法中，系数是关于频率与步长的函数。2001年，Beatrice Paternoster[15]中研究了一般的两步RKN 方法及其P-稳定性。

2009年，Gonzalez 等人在文[4]中提出了一类新的解一阶刚性微分方程的龙格库塔配置方法，称之为SAFERK 方法。这种方法的配置点取自如下方程的根：

,0))()((12))()((12)(*

3*

1*

2*

=??+?+=???x P x P s x P x P s x m s s s s α

其中)(1

21

)(*

x P n x P n n +=

，)(x P k 是位移勒让德多项式，即 ).)1((!12)(k k

k

k k x x dx

d k k x P ?+= 当0=α时，)(x m 的零点就是Lobatto III A 方法的节点。当4≥s 时，多项式)(x m 在[0,1]上与所有次数不超过4?s 的多项式关于权函数1)(=x ω正交，从而由)(x m 的零点s i i c 1}{=确定的插值求积公式s i i i c b 1},{=至少具有32?s 阶代数精度，当然前提是这些零点都是[0,1]上互不相同的实数。又由于01=c ，1=s c 都是0)(=x m 的根，所以由此生成的方法具有首级显式，刚性精确的特点。对于s 级的该方法与1?s 级的Radau II A 方法，计算量是相当的，两种方法的阶都是32?s ，但是前者的级阶比后者高一阶。作者指出，这种方法还是强A 稳定的。

1.2 本文的主要工作

本文主要就是把Gonzalez 等人在2009年提出的新方法运用到二阶微分方程上

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面，发展出相应的直接配置方法与间接配置方法。并对他们的阶与稳定性做了分析。我们发现，对于相同的配置点，直接配置方法的级阶比间接配置方法高一阶。间接方法是强A稳定的，稳定区域是无限的。直接方法稳定区域变得十分有限，从而并不利于解决刚性太强的方程。有鉴于此，我们又对首级显式，刚性精确的一般四级直接配置方法作了调查，让配置点的选取不再受前一节中多项式0

m的制约。一

)

x

(=

般来讲，这种方法级阶降低了一阶，但是稳定区域扩大了许多倍，可以用于解刚性比较强的方程，在第五章的数值实验中我们将予以证实。

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2 间接配置方法与直接配置方法

2.1 间接配置方法

在这一章中，我们将集中精力用配置方法解一种特殊形式的二阶常微分方程初值问题，这类方程不含一阶导数。很多实际问题的数学模型都可以归结为如下的二阶微分方程的初值问题

),,()(''y t f t y =

,)(00y t y = (2.1)

.)(00'u t y = 其中d R R y →:，d d R R R f →×:，T t t ≤≤0。

一般的做法，是考虑把二阶常微分方程化为一阶常微分方程组，然后再用一阶微分方程的龙格库塔方法求其数值解。

为方便起见，设(2.1)为一个标量方程。不过，我们最后得到的结论都可以平行地推广到向量方程上去。解(2.1)的一个s 级的RKN 方法定义为

),,(2'

1Y ch et f b h hy y y n T n n n +++=+

),,('

'

1Y ch et f hd y y n T n n ++=+ (2.2)

).,(2'

Y ch et Af h chy ey Y n n n +++=

其中h 为步长，}{n t 是步点的集合。1+n y 、1'+n y 分别代表真解)(1+n t y 、)(1'+n t y 的近似值；T s Y Y Y Y ],,,[21L =，T s s n n n Y h c t f Y h c t f Y ch et f )],(,),,([),(11++=+L ；d c b ,,是s 维的向量，e 是元素全为1的s 维向量，A 是s s ×的矩阵。

把二阶微分方程化为一阶方程组,令u y ='，得到

,),('

???

?

????=????????u y t f y u (2.3)

初值为

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.)()(0000???

?

????=????????y u t y t u

下面用一阶方程的龙格库塔方法来解(2.3)。设该方法为

).

,(),,()(0

0000010Y h c et f hA y Y Y h c et f b h y y n n n T n n ++=++=+ (2.4)

(2.3)中每个分量满足的关系为

,10j s

j ij n i U a h y Y ∑=+= (2.5)

).,(01

0j j n s

j ij n i Y h c t f a h u U ++=∑= (2.6)

把(2.6)代入(2.5)得到

)),((0101

0k k n s

k jk n s j ij n i Y h c t f a h u a h y Y +++=∑∑==

=),(01

1

02

1

0k k n s

k jk

s

j ij

s

j ij n n Y h c t f a

a h

a h u y +++∑∑∑===

=)).,()((01

01

2

0k k n s

k jk s

j ij

n i n Y h c t f a a

h hu c y +++∑∑==

写成矩阵形式即为

).,()(0202'

0Y h c et f A h hy c ey Y n n n +++= (2.7)

又因为

),,()(001Y h c et f b h u u n T n n ++=+ 即

),,()(00'

'1Y h c et f b h y y n T n n ++=+ (2.8)

,101j s

j j n n U b h y y ∑=++=

把(2.6)代入得到

)),((01

01

01k k n s

k jk n s

j j n n Y h c t f a u b h y y +++=∑∑==+

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=),()(0011

01

0k k n jk s

k s

j j s

j j n n Y h c t f a b h b u h y +++∑∑∑===

=.),()(1

1

000'

∑∑==+++s k s

j k k n j jk n n Y h c t f b a h hy y

写成矩阵形式就是

).,()(00'

1Y ch et f b A h hy y y n T n n n +++=+ (2.9)

式(2.7)，(2.8)，(2.9)反映了二阶微分方程RKN 方法与一阶方程RK 方法的关系。故如下的定理。

定理 2.1[12] 如果一阶方程的配置方法为：000,,b A c ，则在二阶方程的间接配置方法中有

0c c =，20)(A A =，0b d =，00)(b A b T =。

下面，我们用配置方法来解(2.3)，这种方法称为二阶微分方程的间接配置方法。首先回顾[4]中一阶方程的配置方法，取节点多项式

)),()((12))()((12)(*

3*1*2*x P x P s x P x P s x m s s s s ?????+?+=α

设它的零点为1,,,,0121==?s s c c c c L ，则dx x L a i

c j ij )(0

∫= ，dx x L b j j )(1

∫=，)(x L j 为拉格

朗日插值基函数。

当s=3时，由于)(x m 的根不容易通过解三次方程来表示，可以直接设三个零点为：1,,0321===c c c β，则配置方法的系数为(参见[4])

0A ：,0130120110===a a a

,)

1(6,)1(6)23(,6)

3(3

230220

21

0βββββββ??=??=

?=

a a a

.)1(632,)1(61,631330320

310ββββββ??=?=+?=

a a a 0

b ： .)1(632,)1(61

,631302010βββββ

β??=?=

+?=

b b b 应用定理(2.1)可得二阶微分方程的间接配置方法系数。

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20)(A A =：0131211===a a a , ,)1(18)

1(,)

1(9)2(,18)

5(323222221?+=??=

??=ββββββββa a a .)1(912,)1(181

,1815333231??=?+?=?=

βββββββa a a 0b d =： ,)1(632,)1(61

,631321βββββ

β??=?=

+?=

d d d 00)(b A b T =： .)

1(91

2,)1(181,1815321??=?+?=?=

βββββββb b b 当s=4时，取1,,)21(553,04321==??=

=c c c c βββ，其中15

3

,520<≤≤<ββ由此产生

的二阶微分方程间接配置方法系数为

A ：;014131211====a a a a

,)21(15000)

182********()53(4

23221ββββββ+??+?+?=a ,)21)(10103(200)53()52(2

22

222βββββ+?+?+?+?=a

,)21)(10103()1(15000)53)(18501075(423

2323βββββββββ+?+??+?+??=a

,)21)(1(15000)63035()53(4

2324βββββ+??+?+??=a ,)

53(24)2147255(2

2331βββββ+??+?=a

,)10103)(52)(53(24)21()3155(2522

32332βββββββββ+?+?+?+?++??=a

,)

10103(8)1(52

2

233ββββ+??=a ,)

52(24)35(2334βββ+??=a

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)

53(121108241ββββ+?++?=a ，

,)10103)(53(12)21(252

3

42ββββ+?+?+?=a ,)

10103(121

2

43βββ+?=

a .044=a

d ：,)53(12108121ββββ+?+?=d ,)

10103)(52)(53(12)21(12524

2βββββ+?+?+?+?=d

,)10103)(1(1212

3ββββ+??=

d .)

52)(1(12101234βββ

β+??+?=d b ：,)53(121

10821ββββ+?++?=b ,)

10103)(53(12)21(25232ββββ+?+?+?=b

,)

10103(121

2

3βββ+?=

b .04=b 2.2 直接配置方法：

设S 是[1,+n n t t ]上所有次数不超过s+1次的实系数多项式所形成的函数空间。显然，若S u ∈，则)(t u 就为次数不超过1+s 的多项式，而)(''t u 即为次数不超过s-1次的多项式。设配置参数满足：1021≤≤≤≤≤s c c c L ，令)(t u 满足如下的关系

))(,()(''h c t u h c t f h c t u i n i n i n ++=+，.,,2,1s i L = ,)('n n u t u = .)(n n y t u =

由此获得的)(t u 称为配置多项式。下面我们来介绍配置方法的具体构造过程(参见

[12])。 设∏

≠=??=

s

j i i i

j i

j c c c x t L ,1)(，由拉格朗日插值公式有

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).()()(''1

'

'h c t u x L xh t u j n s

j j +=+∑=

对上式两边积分有

,)()()(1''0

''∑∫∫=+=?+s

j j n x

j n x

d h c t u L d h t u ξξξξ

,)()()()(0

1

'''

'

ξξd L h c t u h t u xh t u x

j j n s

j n n ∫∑+=?+= (2.10)

对上式再两边积分有

,))()(()()(0

1

'

'0

'

'

ξηηξξξd d L h c t u h d t u d h t u x

j j n x

s

j n x n x ∫∫∑∫∫++=?+=

.)()()()()(00

1

''2

'ηξξη

d d L h c t

u h t xhu t u xh t u x j j n

s

j n n n ∫∫∑++=?+=

令

.)()(0ξξαd L x x

j j ∫= (2.11)

ηξξβη

d d L x x j j )()(00

∫∫=ξξξξηξξ

d L x d d L j x

x x

j )()()(0

0∫∫∫?==

.)()(0

ξξξαd L x x j x

j ∫?= (2.12)

因为多项式)(t u 满足配置方程))(,()(''h c t u h c t f h c t u j n j n j n ++=+，其中s j ,,2,1L = 所以可以得到

)),(,()()()()(1

2

'h c t u h c t f c h t hu c t u h c t u j n j n i s

j j

n i n i n ++++=+∑=β

)),

(,()1()()()(1

2

'1h c t u h c t f h

t hu t u t u j n j n s

j j

n n n ++++=∑=+β

)),

(,()()()(1

'

'

h c t u h c t f c h t u h c t u j n j n i s

j j n i n +++=+∑=α)).(,()1()()(1

'

1'

h c t u h c t f h t u t u j n j n s

j j n n +++=∑=+α

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记)(:n n t u y =，)(:''

n n t u y =，))((:h c t u Y i n +=。写成(2.2)的形式可得

))1(()(:)),1(()(:i i i i d d b b αβ====,)).(()(:i j ij c a A β== (2.13) 我们用多项式))()((12))()((12)(*

3*

1*

2*

x P x P s x P x P s x m s s s s ?????+?+=α的零点来构造直接配置方法。

当s=3时，取1,,0321===c c c β,即T c )1,,0(β=，利用(2.11),(2.12)和(2.13)可得

.)6

632,)1(61

,613(T d ?+????=ββββββ .12

1221,)1(12

,1214(

T b ?+????=ββββββ :A 0)0()(11===j j j c a ββ，,)1()(33j j j j b c a ===ββ

,12)

4(221??

=ββa ,)1(12)2(222??=βββa .12

124

23?=ββa

当s=4时，取.1,,)

21(553,04321==??=

=c c c c βββ

可得

d ：,)53(1210812

1ββββ+?+?=d ,)10103)(52)(53(12)21(1252

42βββββ+?+?+?+?=d ,)

10103)(1(121

23ββββ+??=d .)52)(1(121012324ββββ+??+?=

d .)()1())1(()(:1

ξξξβd L b b i i i ∫?===

,60361

1082

21ββββ+?++?=b .)35)(10103(12)12(25232?+??=ββββb ,123

101023β

ββ++?=

b .04=b ).)()(())((0

ξξξβd L c c A j c i i j i

∫?==

0)0()(11===j j j c a ββ，j j j j b c a ===)1()(44ββ，.4,3,2,1=j

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ξξξβd L c c a j c j j )()()(2

222∫?==，.4,3,2,1=j

,)12(37500)1750192564057()53(4

32221?+?+?+?=ββββββa

,)

21)(10103(250)52()53(2

22

222βββββ+?+?+?+?=a ,)1)(10103()21(37500)53)(4019(244

23?+?+?+?+?=βββββββa

.)

1()21(37500)

310()53(4424?+??+??=ββββa

ξξξβd L c c a j c j j )()()(3

333∫?==，.4,3,2,1=j

,603612284172

35431βββββ+??++?=a ,)52)(10103)(53(12)52()21(252

3432βββββββ+?+?+??+??=a ,2020622

2

3433βββββ+?+?=a .6024344534β

ββ+??=a 显然上面的表达式定义了一类含参数β的二阶常微分方程的直接配置方法。只要给定β的值，就得到一个具体的方法，可以用它来解二阶微分方程。

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3 稳定性与阶分析

首先给出二阶常微分方程RKN 方法的阶的定义和稳定函数。这一章我们将考查在上一章构造的含参数β的两类配置方法的阶与稳定性。

设)(1+n t Y 是一个s 维的列向量，

.))(),(),(()(211T s n n n n h c t y h c t y h c t y t Y +++=+L

其中)(h c t y i n +是二阶方程的精确解)(t y y =在点h c t i n +的值。)(1+n t y 是精确解

)(t y y =在点h t n +的值。)(1'+n t y 是精确解)('t y 在h t n +的值。而1+n y ，1'+n y 是以精确

值)(n t y ，)('n t y 依照RKN 方法的格式往前计算一步所得到的近似值。若其误差满足

)()(1111+++=?p n n h O y t y ，)()(11'1'2+++=?p n n h O y t y ，

)())(,()(112'13+++=+???p n n n n n h O t Y ch et Af h chy ey t Y ，

(3.1) 则RKN 方法的阶p 定义为),min(21p p p =，级阶r 定义为),,min(321p p p r =。

下面考虑RKN 方法的稳定性。与一阶方程相仿，我们首先设置一个二阶标量模型方程y y 2''λ?=(0>λ)，然后用RKN 方法去求解这个试验方程，即令y y x f 2),(λ?=，得到

Y b h hy y y T n n n 22'

1λ?+=+， (3.2) Y hd y y T n n 2'1'λ?=+， (3.3) .22'AY h chy ey Y n n λ?+= (3.4) 由(3.4)得到

).()('122n n chy ey A h I Y ++=?λ 代入(3.2)得

).()('12222'1n n T n n n chy ey A h I b h hy y y ++?+=?+λλ

=n T n T hy c A h I b h y e A h I b h '22222222))(1())(1(λλλλ+?++? (3.5) 代入(3.3)得

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).()('1222'1'n n T n n chy ey A h I hd y y ++?=?+λλ

.))(1()('12222122221'n T n T n hy c A h I d h ey A h I d h hy ??++?++?=λλλλ (3.6) 令22h z λ?=，把(3.5)，(3.6)写成矩阵形式就是

,)(1)()(1)(1'11111'1????

?????????????+??+?+=????????????++n n T T T T n n hy y c Az I zd e Az I d c Az I zb e Az I zb hy y 再令n n v z M v )(1=+，???

?

????=++'11n n n hy y v ，RKN 方法的稳定矩阵被定义为 .)(1)()(1)(1)(1111????

???

??+??+?+=????c Az I zd e Az I d c Az I zb e Az I zb z M T T T T (3.7) 下面看RKN 方法稳定区域的定义。

定义3.1 如果?)0,(r z ?∈,稳定矩阵)(z M 的谱半径1))((

→，0M 为一常矩阵，且1)(0

稳定的。

因为矩阵的谱半径就是矩阵的特征值中模的最大值。所以按照定义可以得到：如果在区域(0,r ?)上，

稳定矩阵的两个特征值的模都小于1，则(0,r ?)就是稳定区域。 令

,)(1)(11e Az I zb z f T ??+=,)(1)(12c Az I zb z f T ??+= ,)()(13e Az I zd z f T ??=.)(1)(14c Az I zd z f T ??+=

)

()()

()

(|)(|4321z f z f z f z f z M I ????=

?λλλ

=)).()()()(())()((3241412z f z f z f z f z f z f ?++?λλ 实系数一元二次方程02=++q px x 两个根的模都小于1的充要条件为

.010101??

?

??>?>++>+?q q p q p

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于是我们有

.1

)()()()(1))()()()(())()((1))()()()(())()((3241

324141324141???

??

只要给定的z 使上述不等式组得到满足，则z 一定位于稳定区域内。在绘制二阶微分方程稳定区域的图形的时候，我们将主要采用上述的结果。

3.1 间接配置方法的阶与稳定性

这类方法是先把二阶微分方程化为一阶微分方程组，然后再用一阶方程的配置方法来解这个方程组，这样得到的间接配置方法显然与原配置方法具有相同的阶和稳定性。在上一章中，我们所取的配置节点多项式为：

)),()((12))()((12)(*

3*1*2*x P x P s x P x P s x m s s s s ?????+?+=α

其中),(s s γγα?∈，而3

21212??+=s s s s γ，).)1((!1)(*k

k k

k k x x dx d k x P ?= 根据位移勒让德多项式的性质，立即得到)(x m 与任意次数不超过4?s 的多项式正交，于是由)(x m 的零点所构造的求积公式至少具有32?s 次代数精度，从而由这些点构造的配置方法至少是32?s 阶。当s=3时，方法是3阶的；当s=4，0≠α时，方法是5阶的，而当0=α时，方法进化为LobottaIIIA 方法，从而是6阶的。而由多项式)(x m 导出的配置方法满足)(s C ，故级阶s r =。

接下来考察其稳定性。当节点多项式给定以后，这个配置方法就完全确定下来

了。设该方法为：A b c ,,。其中dx x L b j j )(1

∫=，dx x L a i

c j ij )(0

∫=。它满足：

),32(?s B )(s C )3(?s D 故它是A 稳定的[4]。接下来我们将用文[7]中的方法证明该配置方法是强A 稳定的。

定理 3.1[7] 设配置方法的结点多项式为∏=?=m i i c x m x N 1

)(!1)(，则该方法的稳定函数为：

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)

()

()(z Q z P z R =，.h z λ= 其中)1()()

(0i m m

i i N

z z P ?=∑=，)0()()(1

i m m

i i N z z Q ?=∑=。

下面我们运用这个定理证明给出的配置方法是强A 稳定的。

)(!

1)(x m s x N =

=))).()((12))()((12(!1*

3*1*2*x P x P s x P x P s s s s s s ?????+?+α

.)0()0()1()1(lim

)

0()1(lim

)(lim 1'1')

(1

)

(1

L

L

++++==???∞→?=?=?∞→?∞→∑∑s s s s z i s s

i i

i s s

i i z z z N z N z N z N N

z N

z z R 而0)1()0(==m m ，则)0()1()(lim ''m m z R z =?∞→=α

γα

γ?+?+s s s 1)1(，为一绝对值小于1的数，于

是该方法是强A 稳定的。而由该方法得到的间接配置方法也必将是强A 稳定的。

3.2 直接配置方法的阶与稳定性

从上一章直接配置方法的构造过程可以得到，对于有s 个相异结点的直接配置方法，配置多项式)(t u 是1+s 次的多项式。从而13+=s p 。

在(3.1)中，)()(11'1'2+++=?p n n h O y t y ，其中1'+n y 是以精确值)(n t y 依照(3.1)的格式往前计算一步所得到的)(1'+n t y 的近似值，所以有

).(),()()()())(,(1'1''1'21

+++++=?=?=∫

+p n T n n n n t t h O Y ch et f hd y t y t y t y dt t y t f n n

显然上述的向量dt t L d d i i )(:1

∫=产生了一个插值求积公式，这个公式的精度与所取的

结点多项式)(x m 的性质有关。在上一章中，我们所考虑的)(x m 为下面的形式：

))()((12))()((12)(*

3*1*2*x P x P s x P x P s x m s s s s ?????+?+=α 于是有：322?=s p 。下面考察1p 。

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记∏=?=s

i i c x x m 1

)()(，显然∫=1

0)(dx x m ，于是

dx c x s

i i

∫∏=?1

01

)(=.0)()(,11

=??∏∫≠=dx c x c x s

j

i i i

j

根据拉格朗日插值基函数的定义，可得：0)()(1

1

=?∫∫dx x L c dx x xL j j j ，s j ,,2,1L =。

又因为dx x L x b j j j )()1()1(1

∫?==β，dx x L d j j j )()1(1

∫==α。所以

∫∫∫??=1

1

1

)()1()()(dx x L x dx x L dx x xL j

j

j

=j j

b d

?，

j

j j

j j

j

c d dx x L c dx x L c ==∫∫)()(1

1

，

于是

j j j j c d d b ?=。

这就是RKN 方法的简化条件，这个简化条件意味着，如果计算'y 的阶为

q s p +=2，则计算y 的阶也为q s p +=1。在我们所考虑的)(x m 的情况下，322?=s p ，

从而321?=s p 。

从以上的讨论可以得到：当3=s 时，直接配置方法与间接配置方法具有相同的步阶和级阶，都为3。0,4≠=αs 时，间接配置方法的步阶为5，级阶为4；直接配置方法的步阶为5，级阶为5。显然在提高级阶上，直接配置方法占优。

如果能够找到一个合适的参数β，使该方法的稳定区域包含z 轴的负半轴，那么这种方法的稳定性可以得到保证，在选取步长的时候，可以没有限制。

下面考察直接配置方法的稳定区域，用MATLAB 软件绘制，可得下图，图中黑色部分代表稳定区域。

二阶微分方程解法知识讲解

二阶微分方程解法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y ''+py '+qy =0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数. 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程 y ''+py '+qy =0 得 (r 2+pr +q )e rx =0. 由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得 y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ), y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ), y 1+y 2=2e αx cos βx , )(2 1cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y i x e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解. 可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为

二次微分方程的通解

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为

二阶常微分方程的解法及其应用.

目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)

二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换

METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根

二阶常微分方程解

第七节 二阶常系数线性微分方程 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线 性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求 22dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝ 0 (7.1) 其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２ 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解， 从方程的形式上来看，它的特点是22 dx y d ，dx dy ，y 各乘 以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ，

其22dx y d ，dx dy ，y 之间只相差一个常数因子，这样的函 数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数e rx y ＝e rx (其中r 为待定常数) 将y ＝e rx ，dx dy ＝re rx ，22dx y d ＝r 2e rx 代入方程 (7.1) 得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx ＝ 0 或 e rx （r 2＋pr ＋q ）＝ 因为e rx ≠ 0 r 2 ＋pr ＋q ＝ 由此可见，若 r r 2＋pr ＋q ＝ 0 (7.2) 的根，那么e rx 就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1) 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2 有三种可能的情况，下面 (1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r １，r 2，此时e r １x ，e r2x 是方程(7.1)

一阶常微分方程解法总结

页脚内容1 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(1212 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x

页脚内容2 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u = ，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211 =b a b a ，转化为)(by ax G dx dy +=，下同①； 02、0221 1 ≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u

二阶常微分方程解

二阶常微分方程解

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第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ?? 22 dx y d +p dx dy ＋ｑy=０ (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7．1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,ｙ2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy ,y 各乘以 常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数ｙ,其

22dx y d ，dx dy ，ｙ之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(７.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求，于是我们令 y=e r ｘ (其中r 为待定常数）来试解 将y ＝e rx ,dx dy =re r ｘ,22dx y d ＝r ２e r ｘ 代入方程(7.1) 得 r 2e ｒx ＋ｐre rx ＋ｑｅrx ＝０ 或 e r ｘ(r ２+pr+q ）＝0 因为e rx ≠０,故得 ? r 2 +pr ＋q=0 由此可见，若r 是二次方程 ?? r 2＋pr ＋q=０ (7．2) 的根，那么e r ｘ就是方程(7.１)的特解,于是方程（７.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2）的根问题。称（7.2)式为微分方程(７.１)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1，r 2，称为特征根,由代数知识，特征根r １，r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程（7．2）有两个不相等的实根r 1， r 2，此时e r １ｘ ,e r2x 是方程（７.1)的两个特解。

二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )

常微分方程考研讲义 一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练 近似解的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的 证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延 拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客 观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一 阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法 求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初 值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值 问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定 性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01 <<的任一数。 c ≤≤上的解，其中c是满足01 x

(整理)常微分方程(含解答)

第八章 常微分方程 【教学要求】 一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。 二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。 三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+' 的解法——常数变易法和公式法。 四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。 五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。 会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。 六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'' )(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。 所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数 或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。 关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。 【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。 【典型例题】 。的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+'' 2.1.B A 4. 3.D C 解：B 。的特解形式是微分方程例)( e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++ x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++ 解：C 是一阶线性微分方程。下列方程中例)( ,3 x x y y x B y A y x cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0 . 解：B ???=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ??-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得 c x y y ln ln 1ln +-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=?=c y x y y 211=+ 的特解。满足求解微分方程例1)0(e 252==-'y x y y x 解：由公式法得 ]d e e 2[e d 12d 1c x x y x x x +???=---?

一阶常微分方程的解法

一阶常微分方程的解法 摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。 关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法 Solution of first-order differential equation Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate. Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method 1. 引言 一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解. 2. 一般变量分离 2.1 变量可分离方程 形如 ()()dy f x g y dx = （1.1） 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2） 的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和 微分形式变量可分离方程[1] . (1) 显式变量可分离方程的解法 在方程（1.1）中， 若()0g y ≠，（1.1）变形为 ()() dy f x dx g y =

二阶常微分方程解

二阶常微分方程解 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022

第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 § 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 2 2dx y d ＋p dx dy ＋qy ＝0 其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它 的特点是2 2dx y d ，dx dy ，y 各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ，其2 2dx y d ，dx dy ，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程的特解，在初等函数中，指数函数e rx ，符合上述要求，于是我们令 y ＝e rx (其中r 为待定常数)来试解

将y ＝e rx ，dx dy ＝re rx ，2 2dx y d ＝r 2 e rx 代入方程 得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx ＝0 或 e rx （r 2 ＋pr ＋q ）＝0 因为e rx ≠0，故得 r 2＋pr ＋q ＝0 由此可见，若r 是二次方程 r 2＋pr ＋q ＝0 的根，那么e rx 就是方程的特解，于是方程的求解问题，就转化为求代数方程的根问题。称式为微分方程的特征方程。 特征方程是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程有两个不相等的实根r １，r 2，此时e r １x ，e r2x 是方程的两个特解。 因为 x r x r 2 1e e ＝e x )r r (21-≠常数 所以e r1x ，e r2x 为线性无关函数，由解的结构定理知，方程的通解为 y ＝C 1e r1x ＋C 2e r2x (2)若特征方程有两个相等的实根r 1＝r 2，此时p 2－4q ＝0，即 有r 1 ＝r 2 ＝2 p -，这样只能得到方程的一个特解y １ ＝e r １x ，因此，我

常微分方程教材

第九章 微分方程 一、教学目标及基本要求 （1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3） 会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。 （4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 （6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的 特解和通解。 （7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(02?+=可微 3、212 22sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y 5、21)0(,1)0(,022- ='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足 ?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1)(10x f f x f da ax f 求可微+= ?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成ο45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？

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第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)

的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明教学提纲

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)

二阶常微分方程的几种解法

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法 一 公式解法 目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]: '''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本 身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐 次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系 数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程 通解的更一般的形式。 设二阶常系数线性非齐次方程为 '''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程 20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。 1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。则方程(1) 可以写成 '''1212()()y k k y k k y f x --+= 即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程 '1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公 ()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -? ?=+?[5] (3) 知其通解为 1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+?这里0()x h t dt ?表示积分之后的函数是以x 为自变量的。再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx --==+? 解得

12212()()340012 [(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-?? 应用分部积分法, 上式即为 1212212()()3400121212 1[()()]k k x k k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---?? 1122121200 121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-?? (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为 '''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---= 由公式(3) 得到 '10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+? 再改写为 '10()x kx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+? 即10()()x kx kt d e y e f t dt c dx --=+? 故120()()x kx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++? (5) 例1 求解方程'''256x y y y xe -+= 解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 3 2()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是 33222232 1200x x x t t x t t x x y e e te dt e e te dt c e c e --=-++?? 32321200x x x t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++?? 2 232132x x x x x e c e c e ??=--++???? 这里321c c =-. 例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=