竞赛讲座(容斥原理)

竞赛讲座(容斥原理)

一、 知识要点

1、容斥原理

在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A

容斥原理可以用一个直观的图形来解释。如图，左圆

表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，

两圆合起来的部分表示B A ， 由图可知：B A =A +B -B A

容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。

二、 例题精讲

例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？

分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。

解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2?1，2?2，…，2?100，共100个；

在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3?1，3?2，…，3?66，共66个；

在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6?1，6?2，…，6?33，共33个；

所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为： 200-100-66+33=67(个)

例2 求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S 。 解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=5050

1到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：

2?1+2?2+…+2?50=2?(1+2+3+…+50)= 2?1275=2550

1到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：

3?1+3?2+…+3?33=3?(1+2+3+…+33)= 3?561=1683

1到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6?1+6?2+…+6?16=6?(1+2+3+…+16)= 6?136=816.

所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和

S=5050-2550-1683+816=1633.

例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。

分析：如图，用3个圆A 、B 、C 分别表示不大于500而能被

2、3、5整除的自然数， B A 表示既能被2整除又能被3整除的自然数

C A 表示既能被2整除又能被5整除的自然数

C B 表示既能被3整除又能被5整除的自然数

C B A 表示既能被2整除又能被3整除，还能 被5整除的自然数

由图可看出：属于A 、B 、C 之一的数的个数为：

A +

B +

C -(B A +C A +C B )+C B A

解：不大于500且能被2整除的自然数的个数是：250

不大于500且能被3整除的自然数的个数是：166

不大于500且能被5整除的自然数的个数是：100

不大于500既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的自然数的个数是：83

不大于500既能被2整除又能被5整除，即能被10整除的自然数的个数是：50 不大于500既能被3整除又能被5整除，即能被15整除的自然数的个数是：33

不大于500既能被2整除又能被3整除，还能被5整除，即能被30整除的自然数的个数是：16

由容斥原理得：不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数是： 250+166+100-(83+50+33)+16=366

例4 求前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和。

解：前200个正整数的和是：1+2+3+…+200=20100

前200个正整数中，所有2的倍数的正整数和是：

2?1+2?2+…+2?100=2?(1+2+3+…+100)= 2?5050=10100

前200个正整数中，所有3的倍数的正整数和是：

3?1+3?2+…+3?66=3?(1+2+3+…+66)= 6633

前200个正整数中，所有5的倍数的正整数和是：

5?1+5?2+…+5?40=5?(1+2+3+…+40)= 4100

前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的正整数和是：6?1+6?2+…+6?33=6?(1+2+3+…+33)= 3366

前200个正整数中，所有既是2的倍数又是5的倍数，即是10的倍数的正整数和是：10?1+10?2+…+10?33=10?(1+2+3+…+20)= 2100

前200个正整数中，所有既是3的倍数又是5的倍数，即是15的倍数的正整数和是：A B C

15?1+15?2+…+15?13=15?(1+2+3+…+13)= 1365

前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数，即是30的

倍数的正整数和是：30?1+30?2+…+30?6=30?(1+2+3+4+5+6)= 630

所以，前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和是

S=20100-(10100+6633+4100)+(3366+2100+1365)-630=630.

例5 某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人

求这个班的学生数。(第三届华杯赛复赛试题)

解：有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17、

18、15，因而，总人数是17+18+15+4=54。

但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：54-6-6-5=37

又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去。即这个班学生数为：37+2=39。

例6从1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数多还是能被13整除而不能被11整除的数多？(第20届全俄九年级试题)

解：设1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数有m个，能被13整除而不能被11整除的数有n个，既能被11又能被13整除的数有p个。

而在1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除数有90909个，∴m+p=90909在1到1000000这一百万个自然数中，能被13整除数有76923个，∴n+p=76923∴m+p> n+p ∴m>n，即能被11整除而不能被13整除的数比能被13整除而不能被11整除的数多。

例7 50名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？(1995年华杯赛试题)

分析：首先没有转的同学仍面向老师，即报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学仍面向老师，其次，报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学连续转了两次，仍面向老师。

解：报数是4的倍数的同学有12个，报数是6的倍数的同学有8个，报数是12的倍数的同学有4个，所以根据容斥原理得：报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学有50-12-8+4=34个。

报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学有4个。

所以此时还应有34+4=38个同学面向老师。

评注：若将同学数50改成n ，问此时还有多少同学面向老师？ 可以得出一个一般的结论：??

????+??????-??????-12264n n n n

例8 已知某校共有学生900名，其中男生528人，高中学生312人，团员670人，高中男生192人，男团员336人，高中团员247人，高中男团员175人，试问这些数据统计有无错误？

解：用I 表示全校学生，A 表示该校男生，B 表示该校高中学生，C 表示团员，则有： I =900，A =528，B =312，C =670，

且B A =192，C A =336，C B =247，C B A =175

这样，初中女生的非团员数是：

I -A -B -C +B A +C A +C B -C B A

=900-528-312-670+192+336+247-175= -10<0

因人数做到负数，所以数据统计有错误。

例9 从自然数序列：1，2，3，4，…中依次划去3的倍数和4的倍数，但其中5的倍数均

保留。划完后剩下的数依次组成一个新的序列：1，2，5，7，…求该序列中第2002个数。

分析：因为3，4，5的最小公倍数是60，所以可将自然数序列：1，2，3，4，…以60的倍数来分段，先考虑1到60的整数，其中3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，则划去3的倍数和4的倍数还剩60-20-15+5=30个，又还要保留其中的5的倍数6个，这样还剩36个，即1到60的整数中，划完后剩下36个，由此推得，每60个一段中，划完后剩下36个。因2002=36?55+22，说明2002是56段中的第22个数。

解：先考虑1到60的整数

在1到60的整数中，3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，所以划去3的倍数和4的倍数还剩60-20-15+5=30个。

又因为其中5的倍数有6个，需要保留，所以划完后剩下30+6=36个

因为3，4，5的最小公倍数是60，所以每60个整数一段中，划完后均剩下36个。

因为2002=36?55+22，所以第2002个数是56段中的第22个数。因为第一段中的第22个数是37，所以该序列中第2002个数是55?60+37=3337。

三、 巩固练习

选择题

1、在1到40这四十个自然数中选一些数组成数集，使其中任何一个数不是另一个数的2倍，则这个数集最多有( )个数。

A、20

B、26

C、30

D、40

2、甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲不排在首位，丁不排在末位，有( )种不同的排法。

A、14

B、13

C、12

D、11

3、从1到1000中，能被2，3，5之一整除的整数有( )个

A、767

B、734

C、701

D、698

4、从1到200中，能被7整除但不能被14整除的整数有( )个

A、12

B、13

C、14

D、15

5、A、B、C是面积分别为150、170、230的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起的覆

盖面积是350，且A与B、B与C、A与C的公共部分面积分别是100、70、90。则A、B、C的公共部分面积是( )

A、12

B、13

C、60

D、15

6、50束鲜花中，有16束插放着月季花，有15束插放着马蹄莲，有21束插放着白兰花，

有7束中既有月季花又有马蹄莲，有8束中既有马蹄莲又有白兰花，有10束中既有月季花又有白兰花，还有5束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有。则50束鲜花中，这三种花都没有的花束有( )

A、17

B、18

C、19

D、20

填空题

7、一张正方形的纸片面积是50平方厘米，一张圆形的纸片面积是40平方厘米。两张纸

片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米，则这两张纸片重合部分的面积是。8、某班有学生45人，已知其次考试数学30人优秀，物理28人优秀，数理两科都优秀的

有20人。则数理两科至少有一科优秀的有人，一科都未达到优秀的有人。

9、某班有学生50人，参加数学兴趣小组的有35人，参加语文兴趣小组的有30人，每人

至少参加一个组，则两个组都参加的有人。

10、一个数除以3余2，除以4余1，则这个数除以12的余数是。

11、每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，

成为一个边宽是1厘米的方框。把5个这样的方框放在桌上，成

为如图这样的图形。则桌面上被这些方框盖住的部分面积是

平方厘米。

12、200以内的正偶数中与5互质的数有个。

解答题

13、在线段AB上取两个点以C、D，已知AB=25，AD=19，CB=17，

求CD长。14、求1到200的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。

D B

15、100名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是3的倍数的学生向后转，接着又让报数是7的倍数学生向后转，问此时还有多少学生面向老师？这些面向老师的学生的报数号的总和是多少？

16、求前500个正整数中非5、非7、非11的倍数的数的个数。

17、某校初一年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其

中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数。

18、某班语文、数学、外语三门考试成绩统计结果如下：

问：语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是多少？

19、求出分母是111的最简真分数的和。

20、有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着。现将其顺序编号为1，2，3，…，

1997。将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？

答案

1、1到40这四十个自然数中所有的奇数的个数是20，1到40这四十个自然数中所有的4倍数而非8倍数的个数是10-5=5，1到40这四十个自然数中所有的16倍数而非32倍数的个数是2-1=1，所以符合题设的数集中的数的个数是：20+5+1=26个，选B

2、不考虑任何因素，甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，共有4?3?2?1=24种排法

甲排在首位的排法有3?2?1=6种，丁排在末位的排法也有3?2?1=6种，甲排在首位且丁排在末位的排法有2?1=2种。

则甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲不排在首位，丁不排在末位的排法有：

24-6-6+2=14种，故选A

3、1到1000中，能被2整除的整数有500个，

1到1000中，能被3整除的整数有333个，

1到1000中，能被5整除的整数有200个，

1到1000中，能被2、3都整除的整数有166个，

1到1000中，能被2、5都整除的整数有100个，

1到1000中，能被3、5都整除的整数有33个，

1到1000中，能被2、3、5都整除的整数有33个，

∴1到1000中，能被2，3，5之一整除的整数有：500+333+200-(166+100+66)+33=734 4、1到200中，能被7整除的数的个数是28个

1到200中，能被14整除的数的个数是14个

故1到200中，能被7整除但不能被14整除的整数有28-14=14个，选C

5、设A、B、C的公共部分面积为x，则350=150+170+230-(100+70+90)+x ∴x=60

6、三种花都没有的花束有50-16-15-21+7+8+10-5=18

7、两张纸片重合部分的面积是：50+40-60=30平方厘米。

8、数理两科至少有一科优秀的人数是：30+28-200=38

数理两科一科都未达到优秀的人数是：45-(30+28)+20=7

9、设两个组都参加的有x人，则有35+30-x=50，∴x=15

10、除以3余2的数是：5，8，11，14，17，20，23，26，29，…

除以4余1的数是：5，9，13，17，21，25，29，33，…

符合这两种情况的数是：5，17，29，… 这些数除以12的余数是5

11、102-(10-1?2)2=102-82=36 (平方厘米)

36?5-12?8=180-8=172 (平方厘米)

12、200以内的正偶数有100个，其中不与5互质，即能被5整除的数就是末位是0的偶数，有20个，则200以内的正偶数中与5互质的数有100-20=80个。

13、CD=AD+CB-AB=19+17-25=11

14、1到200的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+200=20100

1到200的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：

2?1+2?2+…+2?100=2?(1+2+3+…+100)= 2?5050=10100

1到200的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：

3?1+3?2+…+3?66=3?(1+2+3+…+66)= 6633

1到200的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：

6?1+6?2+…+6?33=6?(1+2+3+…+33)= 3366

所以，1到200的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和 S=20100-10100-6633+3366=6733

15、100名学生中，报数是3的倍数的学生有33个，报数是7的倍数的学生有14个，报数是21的倍数的学生有4个， 所以根据容斥原理得：报数既不是3的倍数，也不是7的倍数的学生有100-33-14+4=57个。

报数既是3的倍数，也是7的倍数，即是21的倍数学生有4个。

所以此时还应有57+4=61个学生面向老师。

报数既不是3的倍数，也不是7的倍数的57名学生的报数号的和是：

(1+2+…+100)-3 (1+2+…+33) – 7(1+2+…+14)+21(1+2+3+4)=4372

报数既是3的倍数，也是7的倍数，即是21的倍数学生的报数号的和是：210 所以这些面向老师的学生的报数号的总和是4372+210=4582。

16、由容斥原理，所求数的个数是：500-(100+71+45)+(14+9+6)-1=312

17、根据容斥原理，至少参加一个兴趣小组的人数是：135-(15+10+8)+4=106

则三个兴趣小组都没有参加的人数是：120-106=14

18、设语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是x

则由容斥原理得：18=9+11+8-(5+3+4)+x ，x=2

19、∵111=3?37 ∴分母是111的最简真分数的分子必须是1到110之间，既不是3的倍数也不是37的倍数的整数。因1到110之间，3的倍数有36个，37的倍数有2个，既是3的倍数也是37的倍数的数没有，所以1到110之间，既不是3的倍数也不是37的倍数的整数有110-36-2=72个，所以分母是111的最简真分数共有72个，我们求这72个最简真分数的和。和为：

36

11111156

55111

73

381117635111109

2111110

1111110111109111771117611173111

56

11155111411114011138111351112111

1

=+++=+++++++++++=++++++++++++++++ 20、未被拉过的灯数=1997-(998+665+399)+(332+199+133)-66=533

拉过两次的灯数=(332+199+133)-3?66=466

所以总的亮灯数是533+466=999

《三集合容斥原理》

三集合容斥原理 华图教育梁维维 我们知道容斥原理的本质是把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的一种计数的方法。之前我们叙述过了两集合容斥原理，下面我们来看一下三集合容斥原理，相对于两集合容斥原理而言，三集合容斥原理的难度有所增加，但总体难度适中，所以三集合容斥原理在国家公务员考试中出现的频率较高，在其他省份考试以及各省份联考当中也时有出现，下面我们了解一下三集合容斥原理的公式。 三集合容斥原理公式： 三者都不满足的个数。 总个数- = + - - - + + =| | | | | | | | | | | | | || |C B A C B C A B A C B A C B A 有些问题，可以直接代入三集合容斥原理的公式进行求解。 【例1】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?( ) A.15 B.16 C.14 D.18 【解析】依题意，假设阴影部分的面积为x，代入公式可得：64＋180＋160－24－70－36＋x=290，解得x=16，正确答案为B选项。 近几年，直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，往往告诉大家“只满足两个条件的共有多少”这样的信息，看似无法直接套用公式，其实只要掌握本质，仍然可以直接套用公式。 【例2】（2012河北-44）某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（） A. 148 B. 248

容斥原理公式及运用

容斥原理公式及运用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 一、容斥原理1：两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 二、容斥原理2：三个集合的容斥原理

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。 如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人 参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。

三者容斥问题3个公式

三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的标准型公式。 集合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，满足标准型公式： 三集合容斥原理标准型公式：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ·Ⅱ-Ⅰ·Ⅲ-Ⅱ·Ⅲ+Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ=总个数-三者都不满足个数 通过观察公式，我们可以看到在公式中，出现了9个量，而这个式子的适用前提就是知8求1，即在题目中，若我们看到了8个已知量，要求1个未知量的时候，就要使用这个公式(注：而题目中有时候也是知7求1，其中的三者都不满足的个数可能为零)，具体题目如下： (陕西2015)针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜

欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有( )人。 A.20 B.18 C.17 D.15 E.14 F.13 G.12 H.10 解：通过观察，我们发现了八个已知量，还要我们求另一个未知量，故可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得： 28+30+42-8-10-5+3=100-x，其中x为我们要求的量，求得x=20，答案选择A。 接着，我们来看一下三集合变异型的公式，如下图示：

从上式中，我们可以看出，要使用变异型公式，题目中必须要出现仅满足2个情况的个数，这就是与标准型公式最大的不同，下面我们就看看具体的题目： (广东2015)某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为( )。 A.75 B.82 C.88 D.95 解：由于题目中出现“只参加其中两个项目的有13人”，故使用变异型公式，得到下面列式：49+36+28-1×13-2×9=x，通过尾数法(若题目中选项的尾数都不一样的话，就可以用尾数法快速得到答案)，判断出答案为82，选B。 但是，现在变异型公式也出现一些变形的形式，例如国考2015中的这道三集合容斥原理，就给我带来了一写在解题是需要着重注意的地方，下面我们仔细分析一下题目 (国家2015)某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷?( ) A.310 B.360

化工原理概念分析题问答流体流动

第1章 流体流动 1.在工程上，为什么将流体定义为由质点所组成的 答：工程上仅关注流体分子微观运动所产生的宏观结果。流体质点是由大量分子所组成的 微团，质点的运动状态反映并代表着流体的运动状态。 2.流体的连续性假定有何意义 答：假定组成流体的质点之间无间隙，则流体在连续运动过程中无间断，从而可以应用连 续的数学函数描述流体的连续运动过程。 3. 4.5.6.7.答：烟囱拔烟效果好是指(Pout-Pin) 差值大。烟囱出口的水平面上压强相等。当烟囱内的高 温气体温度一定（即密度一定），烟囱外大气温度一定（即密度一定）时， ()out in air fluegas air fluegas P P H g H g H g ρρρρ-=-=-，故烟囱愈高，其拔烟效果愈好。 8.柏努利方程式的应用条件有哪些 答：（1）粘度等于零的理想流体；（2）稳定流动；（3）无机械能的加入或引出；（4）不可 压缩的流体。

9.层流与湍流的本质区别是什么 答：流体层流时，其每一个质点均仅在主流方向上有速度。流体湍流时，其质点除了在主 流方向上有速度以外，同时在其他方向上存在着随即的脉动速度，即流体湍流时，其质点 之间发生相互摩擦与碰撞的概率很大。 10.雷诺数的物理意义是什么 Re 惯性力答：粘性力du u u G u u u d d ρ ρμμμ??====，可见Re 反映流体流动过程中的惯性力与粘性力的相 11.12.13.14.在满流的条件下，水在垂直直管中往下流动，对同一瞬时沿管长不同位置的速度而言， 是否会因重力加速度而使下部的速度大于上部的速度 答：不会。因为，若出现下部的速度大于上部的速度，说明出现了不稳定流动，供给的流 量减小了，或不是满流的条件了。若始终是稳定流动且满流的条件，根据流体流动的连续 性方程，流动过程中，对于不可压缩的水来说。体积流量不变，流速不变。 15.如图所示管路，A 阀、B 阀均处于半开状态。现在分别改变下列条件，试问：（1）将A 阀逐渐关小，h1、h2、(h1-h2)分别如何变化（2）将B 阀逐渐关小，h1、h2、(h1-h2)分别如

三集合非标准型容斥原理

国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|政法干警| 招警| 军转干| 党政公选| 法检系统| 路转税| 社会工作师 三集合非标准型容斥原理 ———————————————海南华图数资老师，胡军亮近些年考试经常出现容斥原理的题型，容斥原理分为两集合型跟三集合型，三集合容斥原理又包括标准型和非标准型，三集合容斥原理与三集合标准型容斥原理都是相对好掌握的。这里给大家讲解三集合非标准型容斥原理题的解题方法。首先看下面三个公式 （1） 都不满足 总数- ) (= + + + - + +C B A C A C B B A C B A （2）三条件都不满足 总数 只满足两条件- * 2 -= - + +C B A C B A （3）满足三条件 只满足两条件 只满足一个条件* 3 * 2+ + = + +C B A 公式（1）是标准型公式，公式（2）、（3）都是非标准型公式。 【例1】某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种?（） A. 14 B. 21 C. 23 D. 32 解析：该题目为典型的容斥原理题，但是题目提到“两项同时不合格的有5种”，这句话的意思就是只满足两个条件的数量是5，该题属于三集合容斥原理非标准型题，带入公式（2）得到： 7+9+6-5-2*2=36-X，尾数法知道答案选C。 【例2】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则只有一项不合格的建筑防水卷材产品有多少种？ A. 17 B. 12 C. 15 D. 20 解析：该题涉及到只满足一项不合格、同时两项不合格、三项都不合格，属于三个集合非标准型容斥原理的题，带入公式（3）得到： 8+10+9=X+2*7+1，尾数法知道答案选B。 从上面的两道例题的讲解可以看到三集合非标准型容斥原理虽然不是很好理解，但是记住题型的特征，用正确的公式直接套用来解题还是很容易掌握的。

《行政职业能力》 方法精讲-数量4 (笔记)

方法精讲-数量 4（笔记） 学习任务： 1.课程内容：容斥原理、排列组合与概率 2.授课时长：3小时 3.对应讲义：178页～184页 4.重点内容： （1）掌握两集合公式，三集合的三种公式——标准型、非标准型、常识 型 （2）掌握图示法在容斥原理中的运用，理解容斥原理结合最值的考法 （3）掌握常用的排列组合公式，理解分类讨论与分步计算的区别，正难 反易则从 反面求解 （4）掌握两种经典方法（捆绑法、插空法）的适用范围和操作步骤 （5）掌握概率问题的两种题型——给情况求概率或给概率求概率 第八节容斥原理 【注意】本节课主要讲容斥原理和排列组合和概率，预习的时候可能觉得很难。容斥问题有公式和方法，需要学习方法和公式；排列组合和概率是高中知识，比较难，但是考试不会像高中一样深，本节课会用最浅显的形式讲解，无论高中学过与否，这节课要从零开始全部拿下。 【知识点】容斥原理：多个集合有交叉有重复。比如班级有男有女，此时男生是一个集合，女生是一个集合，但是没有交叉，故不是容斥。班级中无论男女有行测学得好的，也有申论学得好的，此时一定有交叉（行测和申论都学得好），行测学得好的是一个集合，申论学得好的是一个集合，重合部分是一个交叉，多个集合有交叉，是容斥问题。

【知识点】两集合： 1.推导：左边的圆为 A，右边的圆为 B，中间重合部分是 AB 的交集，即中间部分相加的时候出现两次，需要减去一次，“A+B-A∩B”完整对应圆覆盖的整体，“全部”是外面框框，代表一个总体范围，“都不”是框内空白区域，公式：A+B-A ∩B=全部-都不。 2.例子：左边 A 是行测比较好的，有 70 人；右边B 是申论比较好的，有 60 人，班级中有 31 人行测和申论都比较好，全班一共有 100 人，求行测和申论都不好的有多少人。 答：代入公式：70+60-31=100-都不，99=100-都不，解得：都不=1。 3.公式：A+B-A∩B=全部-都不。 【例 1】（2017 广东）某单位有 107 名职工为灾区捐献了物资，其中 78 人捐献衣物，77 人捐献食品。该单位既捐献衣物，又捐献食品的职工有多少人？ A.48 B.50 C.52 D.54 【解析】例 1.出现“既……又……”，两个集合有重复，两集合容斥原理问题，公式：A+B-A∩B=总数-都不。设都捐献的为 x，已知“有 107 名职工为灾区捐献了物资”，即都不=0，代入数据：78+77-x=107-0，利用尾数法，尾数 5-x=尾数 7，x 的尾数为 8，对应A 项。【选A】 【注意】本题不是很严谨，“都不”可以不是 0，比如捐帐篷，此时也是衣物和食品都不捐。

三集合容斥非标准公式原理

宽容与排他性原则一直是省级考试的重点，尤其是三套排他性原则。这次，陕西华图教育将带您深入了解有关三组包含和排除原则的当前问题和一般概念。 首先，我们应该有一个清晰的认识。根据套数，测试中的容忍和排除原则可以分为两组排除原则和三组排除原则。今天，我们关注三集排除原则。 其次，根据问题的类型，将三组包含和排除的原理分为两种，一种是标准公式，另一种是变式。接下来，我们将重点介绍三集包含排除原理的标准公式。 设置I，II，III，并满足标准公式 三组包含排除原理的标准公式为：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ。Ⅱ-Ⅰ。Ⅲ-Ⅱ。Ⅲ+Ⅰ。Ⅱ。Ⅲ=总数-都不满足 通过观察公式，我们可以看到公式中有9个数量，并且该公式的适用前提是知道8来找到1，即在标题中，如果我们看到8个已知数量并且需要1个未知数量，我们需要使用此公式（注意：有时在标题中，我们还需要知道7才能找到1，其中三个不满意的数目可能为零）。具体主题如下：

（陕西2015）对100名旅游爱好者的调查发现，泰山28人，华山30人，黄山42人，黄山和黄山8人，泰山和黄山10人，华山和黄山5人，三人三个景点，而（）人们不喜欢三个景点中的任何一个。 A.20 B.18 C.17 D.15 E.14 F.13 G.12 H.10 解决方案：通过观察，我们发现了八个已知数量，并且我们还需要找到另一个未知数量。因此，我们可以使用上述公式将数据一一替换为：28 + 30 + 42-8-10-5 + 3 = 100-x，其中x是我们需要的数量，x = 20，并且答案是 接下来，让我们看一下三个集合变量的公式，如下图所示： 从上面的公式可以看出，要使用变体公式，标题中必须只有两种情况，这与标准公式最大的不同

化工原理竞赛 (2)

一、概述 本设计是以年产8万吨丁苯橡胶为目标的设计、各种设备参数的计算及选型，此次设计内容复杂，本小组是以汽提塔分离苯乙烯和胶乳为主、工艺流程为辅的设计。 汽提塔简介： 它是利用蒸汽蒸馏去除废水中的挥发物（如酚）的工艺叫汽提。汽提塔主要设备为汽提塔，液体由塔顶连续进入，水平流过一塔板后，由溢流管流入下一塔板。蒸汽由塔底上升，顶开塔板上的浮阀，水平方向吹入液体层后，继续上升进入上一塔板。 汽提塔的工作原理： 汽提是通过惰性气体来降低溶质的气相分压。从而达到溶剂的再生目的。汽提用气体用的是惰性气体，一般有水蒸气、氮气。汽提塔的原理跟分馏塔原理一样，通过塔盘上气液两相的接触实现传质与传热，使不同挥发度的组分分离。 二、塔设计及校核 一.)汽提塔全塔物料衡算 本次设计塔选择的是汽提塔，已知数据：年产8万吨丁苯橡胶

混合进料 胶乳量 kg/h 苯乙烯 kg/h 塔顶温度 40~60℃（50℃） 塔底温度50~70℃（60℃） X w ≤; 操作压力为13~26 kpa 加热方式为直接蒸汽加热； 计算求得 X 1=——————————————— =% X 2=% y 2=0 又因为M F =%104+%)×3×105= 则 L=== Kmol/h 苯乙烯Cp= KT/(kg ·k) Q=ΕCpm △t=×+Cp ’××= KJ 2=Cpm △t=×m ×(100-95)=×5×m=Q 1 L X 1 y 1 %/104 %/104+%/3×105 x 2 y 2 V

所以 m== kg v== Kmol/h v(y1-y2)=L(x1-x2) y1== y= M LFm= kg/ kmol M LFwm=×104+× 3×105= kg/kmol M Lm=+/2 = kg/kmol Mv Fm= y1×104+(1- y1) x18=(18+86y1)= Mv Fwm = y2×104+1×18=18 kg/kmol Mvm =(18+86y1+18)/2=(18+43 y1) kg/kmol = 二.)平均密度计算 1)气相平均密度计算

容斥原理

容斥原理 标准三集合 【例 1】某专业有学生50人，现开设甲.乙.丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲乙两门课程的有28人，兼选甲丙两门课程的有26人，兼选乙丙两门课程的有24人，甲乙丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？ A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】至少选一门的有：40+36+30-28-26-24+20=48人，则均为选的有 50-48=2人。 【例 2】某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为（）（2012联考） A. 7人 B. 8人 C. 5人 D. 6人 【答案】A 【解析】假设同时报乙、丙职位的人数为x，则： 22+16+25-8-6-x+0=42，解得x=7 只满足一项条件型 【例 1】一次运动会上，18名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10名参加了蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5

名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这18名游泳运动员中，只参加1个项目的人数为（ ）（2012-424联考） A.5名 B.6名 C.7名 D.4名 【答案】B 【解析】画图法 【例 2】 88名学生参加运动会，参加游泳比赛的有23人，参加田径比赛的有33人，参加球类比赛的有54人，既参加游泳比赛又参加田径比赛的有5人，既参加田径比赛又参加球类比赛的有16人。已知每名学生最多可参加两项比赛，问只参加田径比赛的有多少人？（） A. 20 B. 17 C. 15 D. 12 【答案】D 【解析】画图 关于整体的三集合 【知识点】在三集合的题中，假设满足三个条件的元素数量分别为A 、B 、C ，至少满足三个条件之一的总量为W ，其中满足一个条件的元素数量为x ，满足两个条件的元素数量为y ，满足三个条件的元素数量为z ， 则有：W=x+y+z A+B+C=x ×1+y ×2+z ×3 2 3 2 4

容斥原理

容斥原理（Inclusion–exclusion principle），是指在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 公式 也可表示为 设S为有限集,,则 两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩：重合的部分） 三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C 详细推理如下： 1、等式右边改造={[（A+B-A∩B）+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C 2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C 3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分： 那么A∪B∪C还缺部分7。 4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。 5、等式右边{}里减去C∩A（即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5， 则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。 2严格证明 对于容斥原理我们可以利用数学归纳法证明： 证明：当时，等式成立()。 假设时结论成立，则当时， 所以当时，结论仍成立。因此对任意，均可使所证等式成立。 3原理1

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B=A+B-A∩B) 例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 分析 依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 答案 15+12-4=23 试一试 电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 100-（62+34-11）=15 4原理2 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A 类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C） 例1 某校六⑴班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个

三集合非标准规范型容斥原理

三集合非规范型容斥原理 ———————————————海南华图数资老师，胡军亮近些年考试经常出现容斥原理的题型，容斥原理分为两集合型跟三集合型，三集合容斥原理又包括规范型和非规范型，三集合容斥原理与三集合规范型容斥原理都是相对好掌握的。这里给大家讲解三集合非规范型容斥原理题的解题方法。首先看下面三个公式 （1） （2） （3） 公式（1）是规范型公式，公式（2）、（3）都是非规范型公式。 【例1】某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种?（） A. 14 B. 21 C. 23 D. 32 解读：该题目为典型的容斥原理题，但是题目提到“两项同时不合格的有5种”，这句话的意思就是只满足两个条件的数量是5，该题属于三集合容斥原理非规范型题，带入公式（2）得到： 7+9+6-5-2*2=36-X，尾数法知道答案选C。 【例2】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则只有一项不合格的建筑防水卷材产品有多少种？ A. 17 B. 12 C. 15 D. 20 解读：该题涉及到只满足一项不合格、同时两项不合格、三项都不合格，属于三个集合非规范型容斥原理的题，带入公式（3）得到： 8+10+9=X+2*7+1，尾数法知道答案选B。 从上面的两道例题的讲解可以看到三集合非规范型容斥原理虽然不是很好理解，但是记住题型的特征，用正确的公式直接套用来解题还是很容易掌握的。 1 / 1

2008化工原理竞赛题解

北京化工大学“BASF ”杯 第一届化工原理学科竞赛试题 一、简答题 1.（5分）医院输液容器即为一马里奥特恒速装置：如图所示，为了使高位槽底部排出的液体量不随槽中液面的下降而减少，通常可将高位槽上端密封，并于底部设置与大气相通的细管。试说明其恒速原理。 解答：由于液体从下管排出而使槽内上方空间形成真空，在大气压力的作用下，A 管中的液面开始下降，降至A 处时，空气进入槽内补充，从而使槽中A 截面处的压力始终为大气压力。 在1-2截面列柏努利方程， 2 22 11 21u p g z p += +ρ ρ 又 a p p p ==21 所以 g h g z u 21222= = 由此可见，只要液面下降不低于A 处，则h 2一定，流速一定。一旦A 处暴露，则h 2 下降，出口流速相应减少。 2．（3分）日常生活中存在大量正确利用传热学原理强化或削弱传热过程的实例，试针对导热、对流传热和热辐射三种传热方式各举一例 答：（1）导热——房屋窗户采用双层玻璃，中间抽成真空 （2）对流——电风扇 p p

（3）热辐射——暖壶胆表面涂以银白色，并且光洁度很高 3．（5分）生产中有一股热流体需要被降低至一定温度，选用液氨作为冷剂，利用其蒸发达到致冷的目的。 （1） 试构想出一种合适的换热器，图示其主要结构，并在图中标出其所有相关物流的 名称、流向。 （2） 生产中如果要改变冷却效果，例如，使热流体出口温度更低，试给出一种合理、 可行的方法。 答：（1） 液氨 （2）答：在汽氨管线上设置阀门，通过改变阀门的开度调整换热器壳程的压力，从而改变壳程液氨的温度，实现对传热过程的调整。要使热流体出口温度降低，只需开大阀门，降低壳程压力（温度） 4．（8分）一逆流吸收塔，气量、液量和塔高不变，气膜控制过程，在气体和吸收剂进口组成不变的情况下，使得吸收温度降低，吸收属于低浓度吸收，且温度对ky 的影响可忽略，试通过具体分析过程指出吸收效果如何变化？示意性画出平衡线和操作线如何变化？定性分析吸收推动力如何变化？ t ↓,m ↓, 气膜控制过程，Ky=ky 所以，H OG ＝V/ Kya 不变，塔高不变，N OG 不变，↓ = V L m S / 由吸收因数关联图得↑ --2 221mx y mx y ， 2 221>=--c mx y mx y ，)1(221c mx cy y -=- y 2↓

容斥原理习题加答案

、 1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( ) A、27人 B、25人 C、19人 D、10人 【答案】B 【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B 得A∩B=25，所以答案为B。 2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件（） A、15 B、25 C、35 D、40 【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。 3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有

47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人（）A．120 B．144 C．177 D．192 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字： 根据每个区域含义应用公式得到： 总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 ＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 ＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15 根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120. 4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（） 人人人人 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字： 根据各区域含义及应用公式得到： 总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

容斥原理公式及运用

容斥原理公式及运用 在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 一、容斥原理1：两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。 【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 二、容斥原理2：三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩

B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B ∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩ A=45-25-22-24+12+9+8=3人。

容斥原理习题加答案

1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( ) A、27人 B、25人 C、19人 D、10人 【答案】B 【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B 得A∩B=25，所以答案为B。 2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件（） A、15 B、25 C、35 D、40 【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。 3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，

不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人（）A．120 B．144 C．177 D．192 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字： 根据每个区域含义应用公式得到： 总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 ＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 ＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15 根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120. 4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（） 人人人人 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字： 根据各区域含义及应用公式得到： 总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。

化工原理理论知识竞赛试题

茂名学院第四届化工原理 理论知识竞赛 命题：吴景雄 一、填空题（每小题3分，共36分） 1、某转子流量计（出厂时是用20C、常压的空气标定），用于测量40C常压空气 的流量，则转子流量计读数的校正系数为 _____________ 。 2、由三条支管组成的并联管路，各支管的长度及摩擦系数都相等，管径的比为 d i：d2：d3=1: 2：3,则这三支管的流量比为________ 。 3、含尘气体在降尘室内按斯托克斯定律进行沉降。理论上能完全除去30 ym的 粒子，当气体处理量增大1倍，则该降尘室理论上能完全除去的最小粒径 为 __________ 。 4、用一台离心泵输送某液体，当液体温度升高，其它条件不变，则离心泵所需 的扬程 _______ ，允许安装高度_______ 。 5、用离心泵把水从水池送至高位槽，水池和高位槽都是敞口的，两液面高度差 恒为13m，管路系统的压头损失为H f = 3X 105Q2;在指定的转速下，泵的特性方程为H=28-2.5X 105Q2；（Q的单位为m3/s, H、H f的单位为m）。则泵的流量为 __________ m3/h。 &续上题，如果用两台相同的离心泵并联操作，贝U水的总流量为__________ m3/h0 7、用图解法求理论板数时，在、X F、X D、血、q、R、F各参数中，与理论板数无 关。 8、在板式塔中，板上液面落差过大会导致___________________ ;造成液面落差 的主要原因有塔板结构、塔径和 _______________ 。 9、某精馏塔的精馏段操作线方程为y=0.72x+0.275,贝U该塔的操作回流比R 为 ________ ，馏出液的摩尔分率为_________ 。 10、对于精馏操作，若在F、X F、q、D不变的条件下，加大回流比R，假设全 塔效率不变，则X D将________ ，XW将 ________ 。（增加、减小、基本不变、不能确定） 11、在逆流填料吸收塔的操作中，如果进塔液相摩尔比X2增大，其他操作条件 不变，则气相总传质单元数将 ________ ，气相出口摩尔比丫2将________ 。 （增大、减小、基本不变、不能确定） 12、在常压逆流操作的填料吸收塔中，用纯溶剂吸收混合气中的溶质A。已知进

容斥原理公式及运用完整版

容斥原理公式及运用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 一、容斥原理1：两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。 【示例1】??一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 二、容斥原理2：三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。 如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 【示例2】??某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。

数量关系之三集合容斥问题解题技巧

2012年备考数量关系之三集合容斥问题解题技巧：公式法2011年08月29日 21:10:58 来源：新华教育【字号大小】【收藏】【打印】【关闭】 在国家公务员行测考试中，数量关系模块中的容斥问题必不可少，也是学员觉得最难突破的一大问题。究其原因，一则是容斥问题很复杂，特别是三集合容斥问题涉及的已知量特别多，读完题容易被绕进去；二则是没有好的方法切入，做出来非常消耗时间。其实，掌握好公式法对于解决三集合容斥问题很有帮助。本篇就对三集合容斥问题的解题技巧之公式法进行阐释。 一、三集合标准型公式 集合A、B、C，满足标准型公式： = =总数-三者都不满足的个数 三集合标准型公式适用于题目中各类条件都明确给出的情况。另外，可使用尾数法，判断个位数的相加减快速确定正确答案。 【例题1】（浙江-行测-2009-55）某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（） A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 【答案】B。各类条件明确给出，直接使用公式法。三者都不满足的个数=总数-=50-（40+36+30-28-26-24+20），可使用尾数法，尾数为2，选B。 【例题2】（国家-行测-2009-116）如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问图中阴影部分的面积为多少（）？

集合整体重复型公式巧解容斥原理问题

行测数学运算技巧：三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题 一、介绍三集合整体重复型核心公式 在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别是A、B和C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得到以下两个等式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 二、典型的三集合整体重复型的题目讲解 例1、某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组?(2004年浙江公务员考试行测第20题) A. 15人 B.16人 C.17人 D.18人 【答案】A 解析：此题有两种解法可以解出： 解一：分别设只参加英语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为x、y、z，则只参加英语小组的人为17-5-x-y，只参加语文小组的人有30-5-x-z，只参加数学小组的人有13-5-y-z，则只参加三个小组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都参加的人的总和为总人数，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。则求x+y+z=15，所以只参加一个小组的人数的和为15。 解二：套用三集合整体重复型公式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 35=x+y+5 17+30+13=x×1+y×2+5×3 解得：x= 15，y=15

例2、某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是( )(2009年江苏公务员考试行测A类试卷第19题) A. 69 B.65 C.57 D.46 【答案】D 解析：本题也是一道典型的三集合整体重复型题目，直接套用三集合整体重复型公式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 这里需要注意的是W=105，而非125， 105=x+y+24 89+47+63=x×1+y×2+24×3 两个方程，两个未知数，解出y=46，这里y表示只看过两部电影的人数，即所求。 例3、某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试?准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人?(2010年国家公务员考试行测第47题) A. 120 B.144 C.177 D.192 【答案】A 解析：本题的特征也很明显，直接套用公式，只是要注意的是，题目中最后问的是接受调查的总人数，我们求出W之后，还需要再加上不参加其中任何一种考试的那15个人， W=x+46+24 63+89+47=x×1+46×2+24×3 通过解方程，可以求出W=105，这只是至少准备参加一种考试的人数，所以接受调查的总人数为105+15=120。 例4、某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?(2011 年国家公务员考试行测试卷第74题) A. 37 B.36 C.35 D.34