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1极限、连续与间断

1极限、连续与间断
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第二章-极限与连续--基础练习题(含解答)

第二章 极限与连续 基础练习题(作业) §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限: 1.4682, ,,357 极限为1 2.11111,,,,,2345--极限为0 3.212212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形,并根据函数图形写出下列函数极限: 1.lim →-∞x x e 极限为零 2.2 lim tan x x π → 无极限 3.lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4.0 lim ln x x +→ 无极限,趋于-∞ 二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ,问当1x →,2x →时,()f x 的极限是否存在? 211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=;11 lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1 lim () 3.x f x →∴=

222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=;222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 1 1x f x e =+,求 0x →时的左、右极限,并说明0x →时极限是否存在. ()1001lim lim 01x x x f x e ++→→==+ ()1 001 lim lim 11x x x f x e --→→==+ 0 lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在. 1.绝对值函数()||=f x x ,存在极限为零 2.取整函数()[]=f x x 不存在 3.符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由: 1.1sin x x 是无穷小量. 错,无穷小量需相对极限过程而言,在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时,1sin 0x x →;当1x →时,1sin sin1x x →不是无穷小量。 2.同一极限过程中两个无穷小量的商,未必是该极限过程中的无穷小量. 对,两个无穷小量的商是“0/0”型未定式,即可能是无穷小量,也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3.无穷大量一定是无界变量,而无界变量未必是无穷大量. 对,无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量,但无界变量可能是个别点无限增大,变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量,在哪些极限过程中是无穷小量: 1. 221 x x +-, 2x →-时,或x →∞时,为无穷小量; 1x →时,或1x →-时,为无穷大量。 2.1ln tan x ,k Z ∈

第二章极限习题及答案:函数的连续性

函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f (1)求)x f (在点1=x 处的左、右极限,函数)x f (在点1=x 处是否有极限? (2)函数)x f (在点1=x 处是否连续? (3)确定函数)x f (的连续区间. 分析:对于函数)x f (在给定点0x 处的连续性,关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ;函数在某一区间上任一点处都连续,则在该区间上连续. 解:(1)1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数)x f (在点1=x 处有极限. (2))(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数)x f (在点1=x 处不连续. (3)函数)x f (的连续区间是(0,1),(1,2). 说明:不能错误地认为)1(f 存在,则)x f (在1=x 处就连续.求分段函数在分界点0x 的左右极限,一定要注意在分界点左、右的解析式的不同.只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在. 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f , (1)求)x f (的定义域,并作出函数的图象;

(2)求)x f (的不连续点0x ; (3)对)x f (补充定义,使其是R 上的连续函数. 分析:函数)x f (是一个分式函数,它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围,给函数)x f (补充定义,使其在R 上是连续函数,一般是先求)(lim 0 x f x x →,再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可. 解:(1)当02≠+x 时,有2-≠x . 因此,函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时,.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图. (2)由定义域知,函数)x f (的不连续点是20-=x . (3)因为当2≠x 时,2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此,将)x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数)x f (在R 上是连续函数. 说明:要作分式函数的图象,首先应对函数式进行化简,再作函数的图象,特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致. 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征,判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根.

第一章函数、极限、连续

第一章 函数 极限 连续 1.1 数列极限的求法 一 基本概念 数列极限、数列收敛、数列发散 1. 数列极限:lim n n x a →∞ = 描述语言:当n 充分大时,数列一般项n x 无限趋于(无限接近,充分接近)某个确定的常数a ,则称a 就是数列{}n x 的极限. “N ε-”语言:0ε?>,N ?,当n N >时,有n x a ε-<. 二 基本结论 1. 收敛数列性质:唯一性;有界性;保号性;子序列的收敛性. 2. 单调有界原理:单调有界数列必有极限;或叙述为:单调增加有上界必有极限,单调减少有下界必有极限. 3. 夹逼法则:若n n n y x z ≤≤,n N >,且lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==,则lim n n x a →∞ =. 4. 数列极限运算法则:设lim n n x A →∞ =,lim n n y B →∞ =,那么 (1)lim()n n n x y A B →∞ ±=±; (2)lim n n n x y AB →∞ ?=; (3)lim (0)n n n x A B y B →∞ =≠. (4)lim() n y B n n x A →∞ = 5. 两个重要极限:10 lim(1)e x x x →+=;0sin lim 1x x x →=. 这两个极限公式可以推广为:当0x x →时,()0f x →,则 1() lim(1()) e f x x x f x →+=;0sin () lim 1() x x f x f x →=. 三 基本方法 数列极限的未定式(不确定型)有八种形式: 00;∞∞ ;0?∞;∞±∞;1∞;0 ∞;00;无限个无穷小的和.

【精品】高等数学习题详解第2章 极限与连续

习题2-1 1.观察下列数列的变化趋势,写出其极限: (1)1n n x n =+; (2)2(1)n n x =--; (3)13(1)n n x n =+-; (4)2 11n x n =-。 解:(1)此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞ =。 (2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。 (3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞ =。 (4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞ =- 2.下列说法是否正确: (1)收敛数列一定有界; (2)有界数列一定收敛; (3)无界数列一定发散;

(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解:(1)正确. (2)错误例如数列{}(-1)n 有界,但它不收敛。 (3)正确。 (4)错误例如数列21(1)n n x n ??=+-???? 极限为1,极限大于零,但是11x =-小于零。 *3。用数列极限的精确定义证明下列极限: (1)1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2)222lim 11 n n n n →∞-=++; (3)3 23125lim -=-+∞→n n n 证:(1)对于任给的正数ε,要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<,只要1n ε >即可,所以可取正整数1 N ε≥. 因此,0ε?>,1N ε???=???? ,当n N >时,总有1(1)1n n n ε-+--<,所以

《高等数学一》第二章极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)

第二章极限与连续 [单选题] 1、 若x0时,函数f(x)为x2的高阶无穷小量,则=() A、0 B、 C、1 D、∞ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察高阶无穷小. 根据高阶无穷小的定义,有. [单选题] 2、 与都存在是函数在点处有极限的(). A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 时,极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等,所以若函数在点处有极限,则必有与都存在.但二者都存在,不一定相等,所以不一定有极限. [单选题]

3、 (). A、 B、1 C、 D、0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 4、 如果则(). A、0 B、1 C、2 D、5 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】

根据重要极限, [单选题] 5、 (). A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 分子分母同除以,即 [单选题] 6、 (). A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】

【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 7、 设,则(). A、 B、2 C、 D、0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 8、 当时,与等价的无穷小量是(). A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题

函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题(一) 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??,则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ,则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时,无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价,则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+,则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时,变量 2 11 sin x x 是( ) A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的,但不是无穷小 D 、无界的,也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续,且()lim 0x f x →-∞=,则常数,a b 满足( ) A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-,则当0x →时( ) A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ,总有()()()x f x g x ?≤≤,且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????, 则()lim x f x →∞ 为( ) A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在

例:()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值,使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数,证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续,且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥,证明: 在[],a b 内至少存在一点ξ,使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案(一) 一、1、 11x x e -+; 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ; 3、 4-; 4、0 ; 二、1—4、DCBD 三、1 、解:原式lim 3x ==;

(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要,到了17世纪,对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应,数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代,这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点,认识到“数”的研究比“形”更重要,以积极的态度开展对“无限”的研究,由常量数学发展为变量数学,微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法,而连续性则是函数的一种重要属性.因此,本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念,其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质,以及与极限概念密切相关的,并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外,还给出了两个极其重要的极限.随后,运用极限的概念引入函数的连续性概念,它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中,常常会遇到各种各样的量.有一种量,在考察过程中是不断变化的,可以取得各种不同的数值,我们把这一类量叫做变量;另一类量在考察过程中保持不变,它取同样的数值,我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的,如自然数由小到大变化、数列的变化等,而更多的则是在某个范围内变化,即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间,记为,a b ????,即 ,{|}a b x a x b =≤≤????; 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间,记为(,)a b ,即 (,){|}a b x a x b =<<; 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间,记为 (,a b ?? (或),a b ??),即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

高等数学习题详解-第2章-极限与连续

习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势,写出其极限: (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--; (3) 13(1)n n x n =+-; (4) 211n x n =-. 解:(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确: (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛; (3)无界数列一定发散; (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解:(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界,但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1,极限大于零,但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限: (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++; (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证:(1) 对于任给的正数ε,要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<,只要1 n ε >即可,所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此,0ε?>,1N ε?? ?=???? ,当n N >时,总有 1(1)1n n n ε-+--<,所以

(完整版)函数极限与连续习题含答案,推荐文档

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题:(1)若在点连续,则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →(2)若在点有极限,则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x (3)若在点无极限,则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =(4)若在点不连续,则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若,则下列说法正确的是( C ) a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是( D ) A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续,则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知,则的值是( C )x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中,正确的是( B )A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、,则的值分别为( A )51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是( C ),2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、( D ) =--→33lim a x a x a x

高等数学 第二章 极限与连续

第二章 极限与连续 教学要求 1.理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念,理解数列极限与函数极限的区别与联系。 2.熟练掌握极限的四则运算法则,熟练掌握两个重要极限及其应用。 3.理解无穷小与无穷大的概念,掌握无穷小比较方法以及利用无穷小等价求极限的方法。 4.理解函数连续性(包括左、右连续)与函数间断的概念,了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理),并能灵活运用连续函数的性质。 教学重点 极限概念,极限四则运算法则;函数的连续性。 教学难点 极限定义,两个重要极限;连续与间断的判断。 教学内容 第一节 数列的极限 一、数列 1.数列的概念; 2.有界数列; 3.单调数列; 4.子列。 二、数列的极限 三、数列极限的性质与运算 1.数列极限的性质; 2.数列极限的运算法则。 第二节 函数的极限 一、函数极限的概念 1.自变量趋于有限值时函数的极限; 2.自变量趋于无穷大时函数的极限。 二、函数极限的性质 第三节 函数极限的运算法则 一、函数极限的运算法则 二、复合函数的极限运算法则 三、两个重要极限 1.重要极限1 1sin lim 0=→x x x ; 2.重要极限2 e x x x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1 0)1(lim 。

第四节无穷大与无穷小 一、无穷小 二、无穷大 第五节函数的连续性与间断点 一、函数的连续性概念 1.函数的增量; 2.函数的连续性 二、函数的间断点 第六节连续函数的性质 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间商连续函数的性质

(完整版)《高等数学一》极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析).doc

. 第二章极限与连续 [单选题 ] 1、 若 x0 时,函数 f (x )为 x 2的高阶无穷小量,则=() A、0 B、 C、1 D、∞ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察高阶无穷小. 根据高阶无穷小的定义,有. [单选题 ] 2、 与都存在是函数在点处有极限的(). A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 时,极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等,所以若函数在点处有极限,则必有与都存在.但二者都存在,不一定相等, 所以不一定有极限. [单选题 ] 3、 () .

A、 B、 1 C、 D、 0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 4、 如果则(). A 、 0 B 、 1 C、 2 D、 5 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 根据重要极限 , [单选题 ] 5、

() . A 、 0 B 、∞ C、 2 D、 -2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 分子分母同除以,即 [单选题 ] 6、 () . A 、 0 B 、∞ C、 2 D、 -2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 7、 设,则().

A、 B、 2 C、 D、 0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 8、 当时,与等价的无穷小量是(). A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于故与等价, 推广,当时, [单选题 ] 9、 时,与等价的无穷小量是(). A、 B、

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同. 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同,但定义域不同,所以 ()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >(M 为一个常数),则()x f 为无穷大. 错误 根据无穷大的定义,此题是错误的。 3、如果数列有界,则极限存在. 错误 如:数列()n n x 1-=是有界数列,但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ,a a n n =∞ →lim . 错误 如:数列()n n a 1-=,1)1(lim =-∞→n n ,但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ,则()α+=A x f (当∞→x 时,α为无穷小). 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。 6、如果α~β,则()α=β-αo . 正确 ∵1lim =α β ,是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα,即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时,x cos 1-与2x 是同阶无穷小. 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2 020=????? ? ?? ??==-→→→x x x x x x x x x

8、 01sin lim lim 1 sin lim 0 00=?=→→→x x x x x x x . 错误 ∵x x 1sin lim 0 →不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =??? ??+→11lim 0 . 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点. 错误 =-→x x x 0 0lim 1lim 00-=--→x x x ,=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y = 的第一类间断点. 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值. 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质,()x f x 1 =在0=x 处不连续 ∴函数()x f x 1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题: 1、设()x f y =的定义域是()1,0,则 (1)()x e f 的定义域是( (,0)-∞ ); (2)()x f 2sin 1-的定义域是( ,()2x x k x k k Z πππ?? ≠≠+∈??? ? ) ; (3)()x f lg 的定义域是( (1,10) ). 答案:(1)∵10<

函数及极限习题及答案

第一章 函数与极限 (A ) 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ,其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ,其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ,其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0,1],则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0,2] ,则)(2 x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ,则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ,其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ,x x x f 2sin )(= ,且0)(=x x f 在处连续 ,则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ,则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时, x 1 是比3-+x 15、当0→x 时,无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ,则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ,则当a 为 时,函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ,则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ,则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 (1)2 11 x y -= ; (2)x y sin = ; (3)x e y 1= ; 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同?为什么? (1)x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ; (2)2)(,)(x x g x x f == ; (3)x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ; 3、判定函数的奇偶性 (1))1(2 2 x x y -= ; (2)3 2 3x x y -= ;

第二章 极限与连续习题答案

第二章 极限与连续习题答案 练习题2.1 1. (1)1 (2)0 (3)不存在 (4)不存在 2. (1)0 (2)不存在 3. (1)不存在 (2)0 4. 5123 lim ()14,lim ()2,lim ()2,lim ()4x x x x f x f x f x f x →-→→→==== 练习题2.2 1. (1)0sin 7lim 7x x x →= (2)0tan 2lim 2x x x →= (3)0sin 55lim sin 33 x x x →= (4)3lim sin 3x x x →∞= 2. (1)55511lim(1)lim (1)x x x x e x x →∞→∞??+=+=??? ? (2)22211lim(1)lim (1)x x x x e x x ---→∞→∞??-=+=??-? ? (3)21 12200lim(12)lim (12)x x x x x x e ---→→??-=-=???? (4)2232 33 003lim()lim (1)33x x x x x x e ---→→??--=+=???? 练习题2.3 1. (1)无穷小 (2)无穷大 (3)无穷小 (4)无穷大 2. x →∞时函数为无穷小;2x →时函数为无穷大 3. (1)202lim sin 0x x x →=

(2)11lim(1)cos 01 x x x →-=- 练习题2.4 未定式及极限运算 1. (1)4233lim 01 x x x x →-=++ (2)223lim 2 x x x →-=∞- (3)322042lim 032x x x x x x →-+=+ (4)252lim 727 x x x →∞-=+ (5)2423lim 01 x x x x →∞-=++ (6)211113132lim()lim lim 11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x →→→+---===∞---+-+ 2. 22222 2lim ()lim(2)6,lim ()lim()2,lim (),4x x x x x f x x f x x m m f x m ++--→→→→→=+==+=+∴= 存在 练习题2.5函数的连续 1. 1y ?=- 2. (1)(1,)-+∞ (2)(,0)(0,)-∞+∞ 3. 12 x =连续 1x =不连续 2x =连续 4. (1)1x =-第二类间断点 (2)4x =第一类间断点 5. 证明:设5()31,f x x x =--则()f x 在(,)-∞+∞内连续,所以()f x 在[]1,2内也连续,而 (1)30,(2)250f f =-<=>,所以,根据零点定理可知,至少有一个12ξ∈(,) ,使得()0f ξ=,即方程531x x -=至少有一个实根介于1和2之间。 复习题二 1. 判断题 (1) X (2) √ (3) X (4) X (5) √ (6) √ (7) X (8) X (9) X (10)X (11)X (12)√ (13)X (14)X (15)√ (16)X (17)√ (18)√ (19)√(20)X (21)√ (22)X 2. 填空题

函数与极限测试题及答案一

函数与极限测试题(一) 一、 填空题 二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??,则()f x =_____。 三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ,则()21f x -的定义域为_____。 四、 3、若0x →时,无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价,则常数a =_____。 五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+,则 ()f x 的间断点为x =_____。 六、 单选题 七、 1、当0x →时,变量 211 sin x x 是( ) 八、 A 、无穷小 B 、无穷大 九、 C 、有界的,但不是无穷小 D 、无界的,也不是无穷大 十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续,且()lim 0x f x →-∞=,则常数,a b 满足( ) 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-,则当0x →时( ) 十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 十六、 4、设对任意的x ,总有()()()x f x g x ?≤≤,且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????,则 ()lim x f x →∞ 为( ) 十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例:()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、 求下列极限 二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+??

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分,微积分是以变量为研究对象,以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容,继而介绍极限的概念、性质、运算等知识,最后通过函数的极限引入函数的连续性概念,这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地,我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合,组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合,用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素,则表示为A a ∈,读作“a 属于A ”;如果a 不是集合A 的元素,则表示为A a ?,读作“a 不属于A ”. 一个集合,如果它含有有限个元素,则称为有限集;如果它含有无限个元素,则称为无限集;如果它不含任何元素,则称为空集,记作Φ. 集合的表示方法通常有两种:一种是列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合.例如,有1,2,3,4,5组成的集合A ,可表示成 A ={1,2,3,4,5}; 第二种是描述法,即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ,则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如,集合A 是不等式022<--x x 的解集,就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合,称为数集,初等数学中常见的数集有: (1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ,即 {} ,,,3,2,1,0n N =; (2)所有正整数组成的集合称为正整数集,记作+ N ,即 {} ,,,3,2,1n N =+; (3)全体整数组成的集合称为整数集,记作Z ,即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=;

函数极限连续单元测试与答案

函数单元测试(A ) 一、填充题: 1、设的定义域为[]1,0,则)2(+x f 的定义域是________________。 2、1sin )(,)(2 +==x x q x x f ,则[]=)(x q f ________,()[]=x f q __________。 3、设()2212 ++=+x x x f ,则()=x f _____________。 4、 ()_________ )2(_________,)4(,1 ,01 ,sin =-=?????≥=ππf f x x x x f π。 5、已知函数()x f 是偶函数,且在()+∞,0上是减函数,则函数()x f 在()0,∞-上必 是____________函数。 6、设x v v u u y arccos , 1 ,3 =+==,则复合函数()_____________==x f y 。 7、______________,cos sin )(2 2其周期为设函数x x x f -=。 二、选择题: 1、函数??? ??? ? > ≤+=2,sin 2,)1ln()(ππx x x x x f 则) 4(π f 等于( ) (A ) ) 41ln(π + (B )22 (C )2π (D )4π 2、设x e x g x x f ==)(,)(2,则=)]([x g f ( ) (A )2 x e (B )x e 2 (C )2 x x (D )x e 3、设函数()x f 的定义域是]1,0[,则()2 x f 的定义域是( ) (A )[-1,1] (B )[0,1] (C )[-1,0] (D )(- ∞,+∞) 4、函数()x x x f -+=1010是( ) (A )奇函数 (B )偶函 数 (C )非奇非偶函 (D )既是 奇函数又是偶函数 5、函数()[]2 13arcsin +=x y 的复合过程是( ) ()()13sin ,sin ,(D) 13,arcsin ,)(13,arcsin B) ( 13arcsin ,)(2222+===+===+==+==x v v u u y x v v u u y C x u u y x u u y A 6、3 4x y -=的反函数是( ) ()()33334(D) 4C) ( 4(B) 4)(x y x y x y x y A -=-=-=-= 7、下列函数中为基本初等函数的是( ) 1 23)()( )15arctan()()( 0,10 ,0)()( 1)ln()()(-=+=???≥=+=x x f D x x f C x x x f B x x f A π

函数、极限和连续试题与答案

极限和连续试题(A 卷) 1.选择题(正确答案可能不止一个)。 (1)下列数列收敛的是( )。 A. n n x n n 1) 1(--= B. n x n n 1)1(-= C. 2 sin πn x n = D. n n x 2= (2)下列极限存在的有( )。 A. x x sin lim ∞ → B. x x x sin 1lim ∞→ C. 121lim 0-→x x D. 121lim 2+∞→n n (3)下列极限不正确的是( )。 A. 2)1(lim 1=+-→x x B. 11 1lim 0=+→x x C. ∞=-→2124lim x x D. +∞=+→x x e 2 lim (4)下列变量在给定的变化过程中,是无穷小量的有( )。 A. )0(12 →--x x B. )0(sin →x x x C. )(+∞→-x e x D. )0()1sin 2(12→-+x x x x (5)如果函数.0;0;0,1sin ,,sin 1)(>=

(1))13(lim 231+-→x x x ; (2))523(lim 2 2 -+-→x x x ; (3))311(lim 0-+→x x ; (4)x x x x +-→223lim ; (5)38lim 23--→x x x ; (6)4 16lim 24--→x x x ; (7)121lim 221---→x x x x ; (8)2 2lim 2--→x x x ; (9)x x x 11lim 0-+→; (10)x x x cos lim ∞→; (11)x x x x x --+∞→33313lim ; (12)x x x x x --+∞→44513lim ; (13)x x x x x --+∞→43133lim ; (14)1 139lim 23--+∞→x x x x ; (15)x x x 33sin lim 0→. 3.设2320()21013(1)1x x f x x x x x -

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