第五讲 转 化 法
第五讲转化法
转化法是数学学科的一个非常重要的解题思想，也是比较常用的解题方法，它在各个不同的学习阶段都得到广泛的应用，是小学数学竞赛的一个不可缺少的组成部分。
由比和比例的意义可知，a÷b=a
b=a:b；如在“速度×时间=路程”中，如果路程一定，则速度和时
间成反比；又如在“工作效率×工作时间=工作总量”中，如果工作总量一定，则工作效率和工作时间成反比。在解题时，要充分的利用这些关系，对已知的条件进行恰当的相互转化，可以大大降低解题难度。一般采用的方法有：分数与分数之间的相互转化，比与分数的相互转化，时间比与速度比的相互转化，时间比与效率比的相互转
（一）转化法————单位“1”的化归
【例1】甲、乙、丙、丁四个车队，甲车队运的占其他三个队运的总数的9
19
，乙车队运的占其他三
个队运的总数的3
11，丙车队运的占其他三个队运的总数的13
29
，已知丁车队运了26吨，那么，甲车队运
了多少吨？
【分析与解】题中出现了3个不同的单位“1”的量，解题的关键是统一单位“1”。由条件可得：甲车队
运的与其他三个队运的总数比是9：19，转化为甲车队运的占全部总数的9
9＋19
，同理，乙运的占全部
总数的3
3＋11，丙运的占全部总数的13
13＋29
，可得丁队运的26吨就占全部总数的（1－9
9＋19
－3
3＋11
－
13 13＋29），从而求得甲、乙、丙、丁的总吨数为：26÷（1－9
9＋19
－
3
3＋11
－13
13＋29
）=26÷
13
84
=168（吨）。
甲车运168×9
9＋19
=54（吨）。
（二）转化法————总数不变
【例2】某校一年级有两个班，一班与二班人数的比是3：5，从二班调5人到一班后，一班与二班的比是7：9，求原来一、二班各有多少人？
【分析与解】很容易发现在这种变化中，两个班的总人数不变，由“一班与二班人数的比是3：5”可
得原来一班人数占两个班总人数的3
3＋5
，“从二班调5人到一班后，一班与二班的比是7：9”可得现在一
班人数占两个班总人数的7
7＋9，调走人数就占两个班总人数的（7
7＋9
－
3
3＋5
=
1
16
），两个班的总人数就为5
÷1 16=80（人）。则一班原来有80×3
3＋5
=30人，二班原来有80－30=50（人）。
（三）转化法——倒数观察
【例3】三架飞机模型，在空中停留的时间有如下关系；A的2
3
是B的4
7
，B的2
3
是C的4
7
，C在空
中停留的时间比A多13分钟，那么B在空中停留了多少分钟？
【分析与解】由“A的2
3是B的4
7
，B的2
3
是C的4
7
”得A：B=6：7，B：C=6：7，从而得到A：B：
C=36：42：49，每份时间为13÷（49－36）=1分钟，则B在空中停留的时间为：1×42=42（分钟）。
（四）转化法——行程（工程）问题之时间与速度（效率）关系
A、当路程（工作量）一定时，时间与速度（效率）成反比。
29
B、当时间一定时，路程（工作量）与速度（效率）成正比。
C、当速度（效率）一定时，路程（工作量）与时间成正比。
【例4】甲车从A地到B地要12小时，乙车从B地到A地要15小时。现在甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，在距中点45千米处相遇。求A、B两地相距多少千米？
【分析与解】①甲、乙两车行A、B两地所用的时间比是12：15=4：5→甲乙两车的速度比为5：4→相遇时两车所行的路程比是5：4
②由“在距中点45千米处相遇”可知快车比慢车多行了45×2=90千米
③则A、B两地的路程为：90÷（5－4）×（5＋4）=810（千米）
【例5】有一批零件，王师傅单独完成，要45小时，李师傅每小时可做96个。现在他们同时合做这批零件，完成任务时，李师傅做的个数是王师傅的3
5
，求这批零件一共有多少个？
【分析与解】他们合做，一定时间内，李师傅做的个数是王师傅的3
5
，即李师傅与王师傅的工作量的比是3：5，工作效率的比是3：5.李师傅每小时可做96个，则王师傅每小时可做96÷3×5=160（个），这批零件共有160×45=7200（个）。
【例6】甲、乙两个工程队共同完成一项工程要18天。如果甲队干5天，乙队干9天，还剩下这
项工程的19
30
没有完成。若由甲队单独完成这项工程需要多少天？
【分析与解】由“甲、乙两个工程队共同完成一项工程要18天”可得：甲、乙的工效和为1
18
，又“甲
队干5天，乙队干9天”可转化为“甲、乙合作5天，乙又单独做4天，可完成全工程的1－19
30=11
30
”则乙
1天的工作量为：（11
30－1
18
×5）÷（9－5）=1
45
，则甲单独完成所需的天数为：1÷（1
18
－1
45
）=30（天）。
【例7】一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速减少10%，那么要比原定时间推迟1小时到达；如果以原来的速度行驶270千米后，再把速度提高20%，那么可比原定时间提前1小时到达。求甲、乙两地相距多少千米？
【分析与解】①由条件“车速减少10%”可得现在的速度比原来的速度少10%，转化为：实际与计划的速度的比是9：10，则实际与计划所用时间的比是10：9，“推迟1小时”的对应份数为（10－9）（份），则原定时间为1÷（10－9）×9=9（小时）；
②“如果以原来的速度行驶270千米后，再把速度提高20%”那么这时的速度与原计划速度的比是6：5，所需时间比为5：6，“提前1小时”的对应份数为6－5=1（份），则原来行驶剩下的路程所需的时间为：1÷（6－5）×6=6（小时），那么按原来的速度行驶270千米所需的时间为9－6=3（小时），
③原来的速度为270÷3=90（千米）
④则甲、乙两地相距90×9=810（千米）。
30
解法练习题5
1、四位同学共种了60棵小树，第一位同学种的树是其他同学种树总数的一半，第二位同学种的棵
数是其他同学种树总数的1
3，第三位同学种的树的是其他同学种树总数的1
4
，第四位同学种树多少棵？
2、甲、乙、丙三人共得奖金若干元，甲得的奖金是乙、丙两人所得奖金之和1
2
，乙得的奖金是甲、
丙二人所得奖金之和的1
3
，丙得奖金400元，那么甲、乙各得多少元？
3、兄弟四人一起去买一台电视，老大所付的款是另外三人所付总款额的一半，老二所付的款是另
外三人所付总款额的1
3，老三所付的款是另外三人所付总款额的1
4
，老四付了910元。那么这台电视机
多少元？
4、园林工人在街心花园栽种牡丹、芍药、串红、月季四种花。牡丹株数占其他三种花总数的2
13
，
芍药株数占其他三种花总数的1
4，串红株数占其他三种花总数的4
11
，已知栽种月季60株，园林工人栽
种牡丹、芍药共多少株？
5、某校五、六年级共有180人，其年龄分别是10、11、12、13岁，其中10岁的人数是其他年龄人数之和的1
5
，不是11岁的人数是11岁人数的2倍，未满13岁的人数是已满13岁人数的9倍，12岁的人数共有多少人？
6、某城市共有四个区，甲区的人数是全市人数的4
13，乙区的人数是甲区人数的5
6
，丙区人数是甲、
乙两区人数和的4
11
，丁区比丙区多4000人，则全市的总人数是多少人？
31
7、小华看一本书，已读的与未读的比是1：4，若再读40页，则已读的与未读的比是7：8，求全书多少页？
8、甲、乙两建筑队原有水泥的重量比是4：3，当甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队的水泥重量的比是3：4，原来甲队有水泥多少吨？
9、甲、乙二人的钱数的比是3：1，如果甲给乙6元，则两人钱数的比为2：1，则两人共有多少元？
10、果园里有桃树和李树共184棵，已知桃树棵数的2
5等于李树棵数的3
4
，那么，桃树和李树各有
多少棵？
11、某校六年级有两个班，甲班人数是乙班人数的5
7
，如果从乙班调3人到甲班，甲班人数就是乙
班的4
5
，甲、乙两班原来各有多少人？
12、学校购进一批图书，文艺书比科技书多120本，文艺书的4
9与科技书的2
3
相等，一共购进图书
多少本？
13、有大、小两只鸡笼，小笼里的鸡比大笼里的鸡少18只，如果从小笼里拿出6只放进大笼，小笼里鸡的只数就相当于大笼里的4
7
，原来大笼里的鸡有多少只？
14、三人合买一台打粉机，甲所付钱的1
2，恰好为乙所付钱的1
3
，又恰好为丙所付钱的3
7
，已知丙
比甲多付120元，这台打粉机的价是多少元？
32
15、方方和圆圆各买了一台小霸王学习机，圆圆用了自己钱的3
5，方方用了自己钱的2
3
，圆圆剩下
的钱比方方剩下的钱多44元。一台小霸王学习机的价格是多少元？
16、师徒两人各准备加工一批零件，当师傅完成加工零件数的2
3，徒弟完成加工零件数的1
4
时，两
人所剩下的零件数量相等，已知师傅准备加工的零件比徒弟多5个，师傅原来准备加工多少个？
17、有甲、乙两桶油，甲桶油比乙桶油多174千克，如果从两桶中各取出4千
克，则甲桶油的1
3等于乙桶油的1
2
，原来两桶油共重多少千克？
18、某校四、五、六年级学生共要栽树450棵，已知四年级已经栽完了自己任务的5
6
，五年级已经
栽完自己任务的2
3，六年级已经栽完自己任务的5
9
，并且他们已经栽的棵数同样多。那么一共还剩下多
少棵没有栽？
19、张、王、李3人共有54元，张用了自己钱数的3
5，王用了自己钱数的3
4
，李用了自己钱数的2
3
，
各买了一支相同的钢笔，那么张和李两人剩下的钱共有多少元？
20、右图某市的园林规划图，其中草地占正方形面积的3
4，竹林面积占圆形面积的6
7
，已知竹林的
面积比草地面积大450平方米，水池的面积是多少平方米？
21、正方形菜地中白菜面积占8
9，长方形菜地中花菜面积占6
7
，已知
白菜面积比花菜面积多30平方米，白菜有多少平方米？
竹林
草地
水池
白菜
水池
花菜
33
22 ，一项工程，若甲先做18天后，乙接着做24天，可以完成这项工程的7
；若由甲、乙合作，
10
30天可以完成。现在由甲先做36天，剩下的由乙做，还要多少天才能完成？
；若甲先单独做3天，接着乙单独做5天，
23、一批零件，甲、乙二人合作每天完成全部工程的9
40
一共可以完成这批零件的7
。乙单独完成全部工程需要多少天？
8
24、一条公路，甲、乙两队合修30天可以完成。如果甲、乙两队合修12天后，余下的由乙队单独修，还要24天才能完成，那么甲单独修这条公路要多少天？
25、一条公路，甲、乙两队合修30天可完成。如果甲先修12天，余下的由乙队单独修，还要36天才能完成。那么甲单独修完这条公路需要多少天？
26、一部书稿，甲先打10天后，由乙接着打10天可以完成；如果甲先打4天后，余下的乙接着打25天可以完成。这部书稿如果由甲单独打要多少天才能完成？
27、一项工程，甲、乙两合作30天完成；现由甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合作了12天，这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。那么甲队单独做完成要多少天？
28、一批零件，由甲、乙两人合作30天可以完成；现由甲先做22天后，甲、乙两人又合作12天，剩下的乙单独还要干16天才能全部完成。又知甲每天比乙少生产4个零件，那么这批零件共有多少个？
29、某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成。如果由甲、乙两人合作，需要48天完成。现在甲先单独做42天，然后再由乙单独完成，还要多少天？
34
35
30、一项工程，甲、乙两队合作需要12天完成。现在乙先做7天，然后甲队做4天，共同完成这项工程的2
5
。如果让乙队单独做多少天可以完成这项工程？
31、一项工程，甲、乙两队合作10天可以完成，乙丙两队合作8天可以完成。现在，先由甲、乙、丙三队合作4天后，余下的工程再由乙接着做512
天可以完成。乙单独做这项工程要多少天？
32、☆☆一个水池，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。如果乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时开2小时才能灌满（这时乙管关闭），那么乙管单独灌满水池需要多少小时？
33、☆☆甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米。那么A 、B 两地之间的距离是多少千米？
34、☆☆甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时45千米，并且甲、乙两车第三次相遇的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米。那么A 、B 两地之间的距离是多少千米？
35、☆☆甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是3：2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样当甲到达B 地时，乙离A 地还有14千米，那么A 、B 两地的距离是多少千米？
36、某人骑车上下班，下班速度比上班的速度慢1
6 ，因此下班比上班多用5分钟，求他骑车上班需
要多少分钟？
37、为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要
36
多少天？
38、小雨从甲地去乙地，如果他每小时比原来多行30千米，那么到达乙地的时间就比原来提前2
7 。
求小雨去乙地原来每小时行多少千米？
39、☆☆☆一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定的时间提前1小时到达，如果以原速行驶120千米后，再把速度提高25%。则可提前40分钟到达。那么甲、乙相距多少千米？
40、☆☆☆一辆汽车从甲地去乙地，若速度提高20%，则可提前1小时到达；若按原速行驶150千米后再把速度提高30%，则仍可提前1小时到达。甲、乙相距多少千米？
41、☆☆一支解放军部队从驻军地赶往菜地抗洪抢险，如果将车速比原来提高19 ，就可以比预定时间提前20分钟到。如果先按原速度行驶72千米，再将车速比原来提高13 ，就可比预定时间提前30分钟到。这支部队的行程是多少千米？
42、☆☆汽车从A 地到B 地，如果速度比预定的每小时慢5千米，到达时间将比预定的多18 ；如果速度比预定的增加13
，到达时间将比预定的少1小时。求A 、B 之间的路程是多少千米？
43、☆☆一辆汽车从甲地到乙地，如果速度比预定的每小时快30千米，将比预定的到达时间提前27 ；如果速度比预定的减少14
，将比预定的到达时间推迟1.2小时。求甲乙两之间的路程是多少千米？
37
44、☆☆☆邮递员从甲地到乙地，原计划用5.5小时。由于雨水的冲刷，途中有3.6千米的道路出现泥泞。走这段路时速度只有原来的34 ，因此比原计划晚到了12分钟。从甲地到乙地的路程是多少千米？
45、☆☆李师傅计划2小时加工一批零件，当还剩160个零件时，机器出故障，效率比原来降低了3
5
，结果比原来推迟20分钟完成任务。这批零件有多少个？
46、小明放学回家要走9分钟，小华放学回家要走12分钟。已知小华回家的路程比小明回家路程多1
5
，小华每分钟比小明少走10米，小华回家的路程是多少米？
47、乐乐放学回家只需要10分钟，晶晶放学回家却需走14分钟。已知晶晶回家的路程比乐乐回家的路程多1
6
，乐乐每分钟比晶晶多走12米，那么晶晶回家的路程是多少米？
48、有一架飞机，最多可以在空中飞行6小时，飞去的速度是每小时600千米，飞回时的速度是每小时900千米，飞机最多能飞多少千米的路程就必须返回？
49、☆☆☆某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走。去用了6.5小时，返回时用了7.5小时。已知走上坡时每小时5千米，走下坡时每小时623 千米。甲、乙两地的公路长多少千米？