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函数的极值点与极值

函数的极值点与极值

1.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,求实数a 的取值范围。

方法1:根据极值点与导函数的关系知:这个函数的导函数在定义域内穿过X 轴两次,即

()ln 120f x x ax '=+-=有两个不同的正解。令()ln 12g x x ax =+-,则

1()2g x a x '=-,令1()20g x a x '=-=得12x a

=,又定义域为(0,)x ∈+∞, (1)当0a ≤时,恒有()0g x '≥,此时()ln 12g x x ax =+-在(0,)x ∈+∞单调递增,

不可能穿过x 轴两次,不成立。

(2)当0a >时, ()g x 在1(0,)2x a ∈递增,在1(,)2x a

∈+∞递减,且x 趋近于0与x 趋近于正无穷时()g x 均趋近于负无穷,故要使g(x)有两个不同解,只需1()2g a

大于0即可,故01ln 02a a

>???>??,解得1(0,)2a ∈ 方法2:数形结合

()ln 120f x x ax '=+-=有两个不同的正解,即ln y x =与21y ax =-在(0,)x ∈+∞有两个不同的交点。设切点为00(,)x y ,则切线方程是000

1ln ()y x x x x -=- ,它过点(0,1)-,解得01x =,即切线的斜率是1,故要使他们有两个不同的交点,必须201021

2a a a >??<

A 、121()0,()2f x f x >>-

B 、121()0,()2

f x f x <<- C 、121()0,()2f x f x ><- D 、121()0,()2f x f x <>- 解析:由题意知()ln 120f x x ax '=+-=有两个不同的正解,即ln y x =与21y ax =-在

(0,)x ∈+∞有两个不同的交点,作图求得1(0,)2

a ∈。由图知,1201x x <<<,且在

1(0,)x 上()0f x '<,()f x 递减;在12(,)x x 上()0f x '>,()f x 递增;在2(,)x +∞上

()0f x '<,()f x 递减;故1()(1)0f x f a <=-<,21()(1)2

f x f a >=->-。选D

3. 函数32()21f x x bx cx =+++两个极值点分别为1x ,2x 且1[2,1]x ∈--,2[1,2]x ∈ ,求(1)f -的取值范围。 答案[3,12]

4. 函数32()132

x mx m n x y +++=+两个极值点分别为1x ,2x 且1(0,1)x ∈,2(1,)x ∈+∞ ,记分别以m ,n 为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D ,若函数log (4)a y x =+ (1)a >的图象上存在区域D 内的点,则实数a 的取值范围为( )

A .(1,3] B. (1,3) C. (3,)+∞ D. [3,)+∞

答案:B

解:因为32()132

x mx m n x y +++=+,所以22m n y x mx +'=++。依题意知,方程0y '= 有两个根为1x ,2x 且1(0,1)x ∈,2(1,)x ∈+∞ ,构造函数2()2m n f x x mx +=++

,所以,(0)0(1)0f f >??

,即0320m n m n +>??++的图象上存在区域D 上的点,则必须满 1log (14)a >-+,解得13a <<

考点:利用导数研究函数的极值,二元一次不等式(组)与平面区域。

点评:中档题,本题综合性较强,应用导数研究函数的极值,通过构造函数结合函数图象研

究方程跟单分布,体现应用数学知识的灵活性。

5. 设函数2()ln(1)f x x a x =++有两个极值点1x ,2x (12x x <),

(1)求实数a 的取值范围; 1(0,)2

(2)讨论函数()f x 的单调性;

(3)若对任意的1(,)x x ∈+∞,都有()f x m >成立,求实数m 的取值范围. 12ln 24m -≤

。 (亦即证明:12ln 2(2)4

f ->)

解:(1)由2

()ln(1)f x x a x =++可得222()2(1)11a x x a f x x x x x ++'=+=>-++, 令2()22(1)g x x x a x =++>-,故由题意可知1x ,2x 是方程()0g x =的两个均大于1-

的不相等的实数根,所以48010(1)0

2a a g a ?=->??<?。 (3)由(2)可知()f x 在区间1()x +∞上的最小值为2()f x ,又由于(0)0g a =>,因此2102

x -<<.又由2222222()220(22)g x x x a a x x =++=?=-+,所以2222222()(22)ln(1)f x x x x x =-++,设22()(22)ln(1)h x x x x x =-++,102

x -<<,则()2(21)ln(1)h x x x '=-++.由102x -<<知: ()0h x '>,故()h x 在1(,0)2

-上单调递增,所以, 22112ln 2()()()24f x h x h -=>-=,故实数m 的取值范围12ln 24

m -≤。 考点:导数的运用

点评:解决的关键是对于导数的符号与函数单调性的关系的判定,以及运用导数的知识来求

解最值,属于中档题。

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