函数的极值点与极值

1.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,求实数a 的取值范围。

方法1：根据极值点与导函数的关系知：这个函数的导函数在定义域内穿过X 轴两次，即

()ln 120f x x ax '=+-=有两个不同的正解。令()ln 12g x x ax =+-，则

1()2g x a x '=-，令1()20g x a x '=-=得12x a

=，又定义域为(0,)x ∈+∞， （1）当0a ≤时，恒有()0g x '≥，此时()ln 12g x x ax =+-在(0,)x ∈+∞单调递增，

不可能穿过x 轴两次，不成立。

（2）当0a >时， ()g x 在1(0,)2x a ∈递增，在1(,)2x a

∈+∞递减，且x 趋近于0与x 趋近于正无穷时()g x 均趋近于负无穷，故要使g(x)有两个不同解，只需1()2g a

大于0即可，故01ln 02a a

>???>??，解得1(0,)2a ∈ 方法2：数形结合

()ln 120f x x ax '=+-=有两个不同的正解，即ln y x =与21y ax =-在(0,)x ∈+∞有两个不同的交点。设切点为00(,)x y ，则切线方程是000

1ln ()y x x x x -=- ，它过点(0,1)-，解得01x =，即切线的斜率是1，故要使他们有两个不同的交点，必须201021

2a a a >??<

A 、121()0,()2f x f x >>-

B 、121()0,()2

f x f x <<- C 、121()0,()2f x f x ><- D 、121()0,()2f x f x <>- 解析：由题意知()ln 120f x x ax '=+-=有两个不同的正解，即ln y x =与21y ax =-在

(0,)x ∈+∞有两个不同的交点，作图求得1(0,)2

a ∈。由图知，1201x x <<<，且在

1(0,)x 上()0f x '<，()f x 递减；在12(,)x x 上()0f x '>，()f x 递增；在2(,)x +∞上

()0f x '<，()f x 递减；故1()(1)0f x f a <=-<，21()(1)2

f x f a >=->-。选D

3. 函数32()21f x x bx cx =+++两个极值点分别为1x ,2x 且1[2,1]x ∈--，2[1,2]x ∈ ，求(1)f -的取值范围。 答案[3,12]

4. 函数32()132

x mx m n x y +++=+两个极值点分别为1x ,2x 且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞ ，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D ，若函数log (4)a y x =+ (1)a >的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )

A ．(1,3] B. (1,3) C. (3,)+∞ D. [3,)+∞

答案：B

解：因为32()132

x mx m n x y +++=+，所以22m n y x mx +'=++。依题意知，方程0y '= 有两个根为1x ,2x 且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞ ，构造函数2()2m n f x x mx +=++

，所以，(0)0(1)0f f >??

，即0320m n m n +>??++的图象上存在区域D 上的点，则必须满 1log (14)a >-+，解得13a <<

考点：利用导数研究函数的极值，二元一次不等式（组）与平面区域。

点评：中档题，本题综合性较强，应用导数研究函数的极值，通过构造函数结合函数图象研

究方程跟单分布，体现应用数学知识的灵活性。

5. 设函数2()ln(1)f x x a x =++有两个极值点1x ,2x (12x x <),

(1)求实数a 的取值范围； 1(0,)2

(2)讨论函数()f x 的单调性；

(3)若对任意的1(,)x x ∈+∞,都有()f x m >成立,求实数m 的取值范围. 12ln 24m -≤

。 （亦即证明：12ln 2(2)4

f ->）

解:(1)由2

()ln(1)f x x a x =++可得222()2(1)11a x x a f x x x x x ++'=+=>-++， 令2()22(1)g x x x a x =++>-，故由题意可知1x ,2x 是方程()0g x =的两个均大于1-

的不相等的实数根,所以48010(1)0

2a a g a ?=->??<?。 (3)由(2)可知()f x 在区间1()x +∞上的最小值为2()f x ，又由于(0)0g a =>，因此2102

x -<<.又由2222222()220(22)g x x x a a x x =++=?=-+，所以2222222()(22)ln(1)f x x x x x =-++，设22()(22)ln(1)h x x x x x =-++,102

x -<<，则()2(21)ln(1)h x x x '=-++.由102x -<<知: ()0h x '>,故()h x 在1(,0)2

-上单调递增，所以, 22112ln 2()()()24f x h x h -=>-=，故实数m 的取值范围12ln 24

m -≤。 考点：导数的运用

点评：解决的关键是对于导数的符号与函数单调性的关系的判定，以及运用导数的知识来求

解最值，属于中档题。