5数值积分
第五章 数值积分
1． 若求积公式（2）具有m 次代数精度，试证明对于任意次数不超过m 的代数多项式)(x p ，
都有0)(=p E n 。
证明：因为对m i ,,2,1,0 =，都有0)(=i
n x E ，从而由)()()(f I f I f E n n -=的线性性
质以及任意∑==
m
i i
i
x c
x p 0
)(有：0)()()(0
∑∑====
=m
i i
n i
m
i i
i n n x E c
x c E p E 。结论成立。
2． 证明柯特斯系数满足1,0
==∑=-n
j n j
n j
n n
j
C
C
C 。
证明：（1）由dt j
t t j j n n C
n
n j
n n
j
?-∏-
-=
-0
)(!)!()1(，令t n t '-=，则
)
()1()
1()()1)(()()2)(1()(1
n t t t t t n t n n t t t t t n n -'-''-='--'-'-=---=∏+ 故n
j n n
n j
n
n n j
n n
j
C t d j n t t j j n n t d j
t n t j j n n C
-+-='--''∏--=
'-'-'∏---=
?
?
1
)
()(!
)!()
1()(!
)!()
1()
1(
（2）由于牛顿-柯特斯公式的代数精度n ≥，故对零次多项式1)(=x f ，有0)(1=+f E n ，即)()(1f I f I n +=，也就是∑?=-=n
j j n j
b
a
x f C a b dx x f 0
)()()(，即∑=-=-n
j n
j C a b a b 0
)(，
由0≠-a b 得10
=∑=n
j n
j
C
。
3． 证明柯特斯系数n
k C 满足方程组：
??
???
???????=??????????????????????????+132
2122221
212
1n n n n n
n n n n n n C C
C n n n
证明：由于牛顿-柯特斯公式的代数精度n ≥，故在区间],0[n 上使用牛顿-柯特斯公式对
n i x x f i
,,2,1,)( ==精确成立，即：n i dx x j C n n
i
n
j i
n j
,,2,1,)0(0
==
-?
∑=，也就是：
n i i n
j C n i n
j i
n j
,,2,1,1
10
=+=
+=∑或n i i n
j C i
n
j i
n j
,,2,1,1
1
=+=
∑=，写成矩阵形式即为：
??
???
???????=??????????????????????????+132
2122
22
1
2
121n n n n n
n n n n n
n C C
C n n n
4．证明)()1()(2
1
2
t t n n n n n -∏-=+∏+，若t 不是整数，且2
10n
t ≤+<，则
)()1(t t n n ∏<+∏；若t 不是整数，且n t n
≤<2
，则)1()(+∏<∏t t n n 。 证明：因为)()1()(n t t t t n --=∏ ，所以：
)
2
(
)
1()
2
))(
1(2
()12
)(2
()1()2)(
12
(
)12
)(2()1()
2
)(
12
()12
)(
2
(
)2
(
1
1
1
t n
n t n n t n t n t n t n t n t n t n n t n n t n t n t n t n n n n n n -∏-=---------=---+-----=-++-+-++=+∏+++
若t 不是整数，且2
10n t ≤
+<时，有n t ≤+<220成立，所以：t n t -≤+2，于是
t n t t -≤+<+<210。再由：
)1()1()1()1(+--+=+∏n t t t t t n
))(1()1()(n t n t t t t n -+--=∏
和|||||1|t n n t t -=-<+得：)()1(t t n n ∏<+∏。
同理当n t n ≤<2时，n t n 22≤<，两边再减t 有：10+<<-≤t t t n ，即1+<-t t n ，所以若t 不是整数，且n t n ≤<2
时，)1()(+∏<∏t t n n 。证毕 5． 假设)(x f 在],[b a 上连续，n i b a i i ,,2,1],,[,0 =∈>ηα。证明：存在],[b a ∈η成立
∑∑===n
i i n
i i i
f f 1
1
)()(αηηα
证明：因)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上必取得最大值和最小值，即当]
,[b a x ∈时M x f m ≤≤)(。又若令∑==
n
j j 1
αα，则由0>i α得：M f m n
i i i ≤≤
∑
=1
)()(
ηα
α。故
由连续函数的介值定理知：必存在],[b a ∈η，使∑
==
n
i i i f f 1
)()(ηα
αη，即
∑∑====n
i i n
i i i
f f f 1
1
)()()(αηηαηα
。
6． 若用复化梯形公式求积分?1
dx e x ，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有
效数字？
解：欲使4
2
2
2
10
2
112
12
)(12
)()(-?<
≤
=
''--
=-e h
e
h
f h
a b T f I n η
η，其中]1,0[∈η，
只须308764.6710
6
4
=?>e n ，即积分区间要68等分才能保证计算结果有五位有效
数字。
7． 函数)(x f 由表14给出，利用复化梯形公式按如下的尺度，计算?8.11
)(dx x f ：
（1）1.0=h
（2）2.0=h
（3）4.0=h
解：（1）1.0=h 时，[]))7.1()2.1()1.1((2)8.1()0.1(2
1.0)(8f f f f f T f T +++++
=
≈
=1.7683
(2) 2.0=h 时，[]))6.1()4.1()2.1((2)8.1()0.1(2
2.0)(4f f f f f T f T ++++=
≈ =1.7728
(3)4.0=h 时，[]17904)4.1(2)8.1()0.1(2
4.0)(2=++=
≈f f f T f T
8．验证复化柯特斯公式和复化辛卜生公式之间存在递推关系15
162n
n n S S C -=
。
解：将区间],[b a n 等分，其节点n i n a b h ih a x i ,,2,1,0,/)(, =-=+=，在每个小区间
],[1+i i x x 上采用辛卜生公式得：[]
∑-=++++=10
1)()(4)(6
2
1n i i i i
n x f x f x f h
S ，以及：
[]
∑-=++++++++=
10
12)()(4)(2)(4)(12
4
32
14
1n i i i i i i
n x f x f x f x f x f h
S ，于是：
[][]
n
n i i i i i i
n i i i i i i
n n C x f x f x f x f x
f h x f x f x f x f x
f h S S 15)(7)(32)(12)(32)(790
15)
(7)(32)(12)(32)(76
1610
110
124
32
14
14
32
14
1=++++?
=++++=
-∑∑-=++++-=++++
即：15
162n
n n S S C -=
。证毕。
9．分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算下列积分：
（1）dx e x
?1
2
，1.0=h
解：（1）令2
)(x e x f =，则：
()[]467175.1)9.0()2.0()1.0(2)1()0(2
1
.010=+++++=f f f f f T
()
()462654
.1])95.0()15.0()05.0(4)9.0()2.0()1.0(2)1()0([6
1.010=+++++++++=
f f f f f f f f S
（2）641134.19=T ，625271.19=S ； （3）759262.05=T ，781752.05=S ； （4）407101.010=T ，407297.010=S 。
10．假设)(x f 在],[b a 上可积，证明复化梯形公式和复化辛卜生公式当∞→n 时，收敛于积分值?
=
b
a
dx x f I )(。
证明：将区间],[b a n 等分，其节点n i n a b h ih a x i ,,2,1,0,/)(, =-=+=，在每个小区
间],[1+i i x x 上采用梯形公式并由)(x f 在],[b a 上可积得：
I I I h f h f f f h T n n i i n i i n i i i n =+??→???
?
????+
?=+=
∞
→-=+-=-=+∑
∑∑
)(2121)(2
1
11
1
1； 若在每个小区间],[1+i i x x 上采用辛卜生公式得：
I
I I I h x f h x f h x f x f x f x f h
S n n i n i i i n i i n i i i i n
=++??→??
?
?
????+
?+?=++=∞
→-=-=++-=-=++∑∑
∑∑)4(6
1)()(4)(61)]()(4)([61
1
11
01
01212111。证明等式： -+
-
=4
52
3!5!3sin
n
n n n π
π
ππ
，并用理查森外推法计算π的近似值。
证明：由于当∞<<∞-x 时，
+--+
+-
+
-
=--1
21
7
5
3
)!
12()
1(!
7!
5!
3sin n n x
n x
x
x
x x ，令n
x π
=
得：
+-+
-
=
7
75
5
3
3!7!5!3sin
n
n
n
n n
π
π
π
π
π
，即： +-
+
-
=6
74
52
3!7!5!3sin
n
n
n n
n π
π
π
ππ
若令n
h 1=，并记n
n h h
h A π
πsin
sin 1)(==，则上式成为：
++
-
+
=6
7
4
5
2
3
!
7!
5!
3)(h h h h A π
π
π
π，
因此该公式符合理查森外推法的条件，若记(
)
,2,1,0,)(2
1,0==k h A A k
k 由外推算法：1
4
4,1,,1--=
++m
k
m k m m
k m A A A ，
1,,1,0-=k m ，并取
1
=
h （即2=n ）得：
与 14159265.3=π相比，141592675.30,3=A 有8位有效数字。 12．用龙贝格算法求积分
2
/x dx 直到第五位小数不变。
解：
积分的精确值为?2
1
/x dx =0.6931471860。6931474776
.00,3=A 有6位有效数字。
13．假定)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，求证
)(24)()2
(
)()(3
ηf a b b a f a b dx x f b
a
''-=
+--?
，b a ≤≤η
证明：因)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，则：
2
)2
(!
2)()2
)(2
(
)2
(
)(b
a x f
b a x b a f b a f x f +-
''++-
+'++=ξ，],[b a ∈ξ 两边积分得：
?
?
+-
''+
-+=b
a
b a
dx
b a x f a b b a f dx x f 2
)2
(!
2)())(2
(
)(ξ，因
?
?
? ??++=''x b a b a f f ,2,2!
2)(ξ在],[b a 上连续，故存在],[b a ∈η，使
12)
(!2)()2(!
2)()2
(!
2)(3
2
2
a b f dx b a x f dx b a x f b
a
b
a
-?
''=+-
''=
+-
''?
?
ηηξ，即：
)(24
)()2
(
)()(3
ηf a b b a f a b dx x f b
a
''-=
+--?
。证毕
14．给定求积公式)()0()()(10122a f A f A a f A dx x f a
a
++-≈--?
，试决定求积系数，使之代
数精确度尽可能高。
解：若求积公式对2
,,1)(x x x f =精确成立，则必满足方程组：
?????+=+-=++=---1212316111
01304A a A a aA aA A A A a a ，解之得：??
??
?-===-a
A a A A 34
38011，由于当3)(x x f =时，求积公式仍精
确成立，但当4)(x x f =时，求积公式不再精确成立，故该求积公式具有3次代数精度。 15．寻求如下的高斯型求积公式：).()()(22111
0x f A x f A dx x xf +=?
解：由于求积公式是高斯型的，故对单项式32,,,1x x x 精确成立，于是得到如下的关于
2121,,,x x A A 的方程组：
????
???
??==+==+==+==+????105
1432231104132222110
31
222111
02
1
211111dx x x A x A dx x x A x A dx x x A x A xdx A A )
4()3()2()1(，
令2121,x x v x x u +==，并由)3()2()1(+?-?v u 、)4()3()2(+?-?v u 分别得：
???=+
-
=+-00
5
14
131
413121
v u v u 解之得：???=
=
5
6103
v u ，因此21,x x 是一元二次方程：010
35
62
=+
-
x x
的解：1065
31-
=x ，1065
32+
=x ，再由（1）、（2）解得：36
64
1236
64
11,+
=-
=A A ，
即所求的高斯型求积公式为：
).()()()()(10
653
366
4110
6
53
36
6
4
11
+
++-
-=?
f f dx x xf
16．利用（52）式推导当2=n 时的三角辛卜生公式。
解：令：imx e x =)(ρ，))()(()(2
2b x x a x x w b
a ---=+，由 )
()()(sin )(cos )()()
2(2
2
)
2(1
)
2(0b f A f A a f A mxdx
x f i mxdx x f dx x f e
b
a b
a
b
a
b
a
imx
++≈+=
+??
?
其中：3
2
2
22)2(0
)()()
(4))((3)
)(())((im b a e
e
im b a e
e
m ie
dx e
a b a x b x A
ima
imb
ima
imb
ima
imx
b
a
b a b a --+
-++
=-
---=
?
++
3
2
2
2
2
)2(1
)
()()
(8))(()(4))((
))((im a b e
e
im a b e
e
dx e b a b x a x A
ima
imb
ima
imb
imx
b
a b a b a ----+=
----=
?++
3
2
2
2
2)2(2
)
()()
(4)
)((3))(())((im a b e
e im a b e
e
im e
dx e
b a b x a x A
ima
imb
ima
imb
imb
imx
b
a
b a b a --+
-+-=
-
---=
?
++
可得当2=n 时的三角辛卜生公式：
)(sin )()
1(2f I mxdx x f b
a
≈?
)
()()sin(2)()sin(2))()(4)()(sin (sin )]()(2)([)
()
cos (cos 4cos )(cos )(22
2
2
3
a b m b f mb a f ma b f f a f ma mb b f f a f a b m ma mb m
mb
b f ma a f b
a b
a -+++-++
+-?--+
-=
++
)(cos )()
2(2f I mxdx x f b
a
≈?
)
()()cos(2)()cos(2))()(4)()(cos (cos )]()(2)([)
()
sin (sin 4sin )(sin )(22
2
2
3
a b m b f mb a f ma b f f a f ma mb b f f a f a b m mb ma m
ma
a f m
b b f b a b
a -+++-++
+-?--+
-=
++
17．适当处理下列定积分，并选择合适的方法计算其近似值： （1）?
-10
2
cos 1xdx x
解：因为：?
?
--=
-=
1
1
2
1
2
cos 12
1cos 1xdx x xdx x I ，可以利用高斯-第二类契比雪夫
求积公式)1
(cos
1sin 1
1
2
+++≈
∑
=n k f n k n I n
k πππ
，于是取3=n 得：
382492873.1)(cos
sin
)(cos sin
)(cos
sin
24
34
324
4
24
2244
4
24
=++
=
ππ
π
π
π
π
π
ππ
f f f I
所以：6912464386.0≈I
（2）?
+π
20
)50cos 40(sin cos dx x x x x
解：这是振荡积分，利用三角梯形公式（53）得：
?
?
?
+
=
+π
π
π
20
20
20
50cos cos 40sin cos )50cos 40(sin cos xdx x x xdx x x dx x x x x
()()
15707963.020
)
02(500cos 0)2cos(2)050cos()250cos(40
)
240cos()2cos(22
-=-
=-?-??-?+
?-=
π
πππ
ππππ
（3）dx x
e
x
?
-1
2
1
解：由于：dx x
e
dx x
e
I x x
??
--=
-=
1
1
2
|
|1
2
12
1
1，可以利用高斯-第一类契比雪夫求积公式：
∑=-≈
n
k n
k f n
I 1
2)12()(cos
π
π
，于是取3=n 得（其中|
|)(x e
x f =）：
[]026501845
.6)(cos
)(cos )(cos
26
56
36
3
=++≈
π
ππ
π
f f f I ，所以013250922
.3≈I 。
（4）?∞-+0
2)1ln(dx x e x
解：作积分变换：2/t x =，得：?
?
∞
-∞
-+=
+=
20
2
12)1ln()1ln(dt e
dx x e
I t
t
x
，于是可以
利用高斯-拉盖尔求积公式（其中)1ln()(2x
x f +=）
： )()())(()
!(1
2
1
1
22
21
k n
k k k n
k k n
k x f A x f x L x n I ∑
∑
==='≈，于是取3=n 得：
1809521056
.0)]2899450829
.6(010*******.0)
2942803603.2(2785177336
.0)4157745568.0(7110930099.0[2
1=++?≈
f f f I
（5）?∞
-0
2cos 2
xdx e
x
解：由于：?
?
∞
∞
--∞
-=
=
xdx e
xdx e
I x
x
2cos 2cos 2
2
2
10
，于是可以利用高斯-埃米特求积公式
（其中x x f 2cos )(=）：
∑
=+'≈n
k k x n
n x f x H n I 1
21
)())((!2
2π
，于是取3=n 得：
()[]
3633808875
.0)0(1816359006
.1)2247448714
.1()2247448714
.1(2954089752
.02
1=?+-+?=
f f f I （6）?
++1
2
)
sin 1(dx x
x x
解：利用积分变换：
?
?
?
-++=
++=
++=1
1
2
21
2
21
2
)sin 1()sin 1(2)
sin 1(dt
t t dt t t dx x
x x I 于是可以利用三点高斯-勒让德求积公式（其中222)sin 1()(x x x f ++=）得：
095136706
.6)0(8888888889
.0)
7745966692
.0(5555555556
.0)7745966692.0(5555555556.0=?+?+-?≈f f f I
18．试导出三重积分的梯形公式和辛卜生公式。
解：设{}f z e d y c b x a z y x D ≤≤≤≤≤≤=,,|),,(，则三重积分的梯形公式和辛卜生公
式分别为：
)]
,,(),,(),,(),,()
,,(),,(),,(),,([8
)
)()(()(8f d b f e d b f f c b f e c b f f d a f e d a f f c a f e c a f e f c d a b f I +++++++---=
)]
,,(),
,(4),,()
,,
(4),
,
(16),,
(4)
,,(),,(4),,(),,(4),,(16),,(4),,(16),
,(64),,(16),,(4),,(16),,(4)
,,(),,(4),,()
,,
(4),,(16),,
(4)
,,(),
,(4),,([6
36)
)()(()(2
2
2
2
2
2
2
2
222
22
222
2
2
2
222
2
2
2
2
2
27f d b f d b f e d b f f b f b f e b f f c b f c b f e c b f f d f d f e d f f f f e f f c f c f e c f f d a f d a f e d a f f a f a f e a f d c a f c a f e c a f e f c d a b f I f
e d c
f e d c d
c f e b
a f e b
a b a d
c b
a f e d
c b
a d
c b a b
a f e b
a b a f e d
c f e d
c d c f e ++++++++++++++++++++++++++?---=
+++++++++++++++++++++++++++
19．计算积分：?
?
-7
.01
.06
.02
.0sin ydydx e x
（1）利用复化梯形公式1.021==h h ；（2）利用复化辛卜生公式1.021==h h 解 各个点的函数值和系数t ij 和s ij 分别为：
-0.21956 -0.24266 -0.26818 -0.29638 -0.32755 -0.362 -0.40007 -0.11033
-0.12194
-0.13476
-0.14893
-0.1646
-0.18191
-0.20104
0.110333 0.121937 0.134761 0.148934 0.164597 0.181908 0.20104 0.219564 0.242655 0.268176 0.29638 0.32755 0.361999 0.400071 0.3266 0.360949 0.398911 0.440864 0.48723 0.538473 0.595105 0.430374 0.475637 0.52566 0.580944 0.642042 0.709566 0.784192 0.529847 0.585572 0.647157 0.715219 0.790439 0.87357 0.965444 0.624026
0.689656 0.762188 0.842348 0.930938 1.028846 1.13705
1 2 2 2 2 2 1 1 4 2 4 2 4 1 2 4 4 4 4 4 2 4 16 8 16 8 16 4 2 4 4 4 4 4 2 2 8 4 8 4 8 2 2 4 4 4 4 4 2 4 16 8 16 8 16 4 2 4 4 4 4 4 2 2 8 4 8 4 8 2 2 4 4 4 4 4 2 4 16 8 16 8 16 4 2 4 4 4 4 4 2 2 8 4 8 4 8 2 2 4 4 4 4 4 2 4 16 8 16 8 16 4 1 2 2 2 2 2 1 1 4 2 4 2 4 1
于是I 63(f)=0.1*0.1/4*sum(f ij *t ij )= 0.140585598 S 63(f)=0.1*0.1/9*sum(f ij *s ij )= 0.140585891 20．用分离变量法以及辛卜生公式计算积分??
10
x
ydydx 并比较计算结果与准确值之间的关系
解：令：2
2
)(x
x
ydy x F =
=
?
，则)(x F 是一个二次多项式，故对?
=
1
)()(dx x F F J 使用辛
卜生公式精确成立，且对?
=x
ydy x F 0
)(使用辛卜生公式也精确成立，因此使用分离变量法
以及辛卜生公式计算积分?
?
10
x
ydydx 是精确的。事实上，使用辛卜生公式计算时：
0)0(0
==
?
ydy F ，8
1
21412
16
10
2
1]40[)(2
1=+?
+??
=
=?
ydy F ，
2
12
16
11
]140[)1(=
+?+?==
?
ydy F ，
故：6
12
1611
)]1()(4)0([)()(=++?=
=
?
F F F dx x F F J ，与精确计算
6
110
1
02
2
=
=
??
?
x
x
dx ydydx 是相同的。
补充题：
1 对于n 个求积节点的牛顿-柯特斯公式，当n 为偶数时，其代数精度为 ；
当n 为奇数时，其代数精度为 。
2 对于n 个求积节点的一致系数公式，当n 为偶数时，其代数精度为 ；
当n 为奇数时，其代数精度为 。
3 对于n 个求积节点的高斯型求积公式，其代数精度为 ；
4 梯形公式)]()([2
)(2b f a f a b f I +-=
的代数精度为 。
5 抛物线公式)](24)([6)(3b f b a f a f a
b f I +??
?
??++-=
的代数精度为 。 6 求积公式?-+-=h h h
hf h f h dx x f )3
(23)(2)(的代数精度为 。
7 将求积区间[a ,b ]n 等分，记n
a
b h -=，在每个小区间],[1+i i x x 上采用辛卜生公式，然后累
加可得复化辛卜生公式S n ，则S n = 。 8 若f (x )充分光滑，在[a ,b ]上取n +1个节点n i n
a b h ih a x i ,,1,0,, =-=
+=，
)())(()(10n n x x x x x x x w ---= ，对于牛顿-柯特斯公式，其截断误差为： =-=++)()()(11f I f I f E n n ，当
n 为偶数时；
=-=++)()()(11f I f I f E n n ，当n 为奇数时；
9 若w n (x )为[a ,b ]上关于权函数ρ(x )的n 次正交多项式，取w n (x )的n 个零点x 1, x 2,…, x n 作
节点，则相应的高斯型求积公式的截断误差为：=-=)()()(f I f I f E n n 。 二、判断题
1 设),,1,0(n i C n i
=为牛顿-柯特斯公式的柯特斯系数，则∑=n
i n
i C 0
=1。
2 高斯型求积公式的系数都大于零。
3 若f (x )为次数≤n 的多项式，则f (x 1, x 2, …, x n , x )=0。
4 若f (x )为m 次(m >n )多项式，则f (x 1, x 2, …, x n , x )为m -n 次多项式。 参考答案：
1. n -1；n
2. n +1；n
3. 2n -1
4. 1
5. 3
6. 2
7.
∑-=++
++1
12
1
)]()(4)([6
n i i i i x f x
f x f h ８. ?<=≤≤++b
a
n n n n dx x xw k b a f
n k 0)(,),()!
2()
2(ηη,
?<=≤≤++b
a
n n n n dx x w k b a f
n k 0)(,),()!1()
1(ηη
9.
?
≤≤b
a
n n b a dx x w x n f
ηρη,)()()!
2()
(2
)
2(
数值积分实验报告
数值分析实验报告 实验四数值积分 一、用复合辛普森和龙贝格算法计算： 复合辛普森主函数xps： function xps(a,b,eps) n=0;Sd=0; S=(f(a)+f(b))*(b-a)/2; while abs(Sd-S)>eps Sd=S; n=n+1; h=(b-a)/n; for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end S1=f(x(1))+f(x(n+1)); S2=0; S3=0; for i=2:n S2=S2+f(x(i)); end S2=2*S2; for i=1:n S3=S3+f((x(i)+x(i+1))/2); end S3=4*S3; S=(S1+S2+S3)*h/6; end fprintf('%.15f\n',S); 龙贝格主函数romberg2： function romberg2 (a,b,eps) %a,b为区间，eps为精度 Rd=0; R=(b-a)/2*(f(a)+f(b)); N=0; while abs(Rd-R)>eps Rd=R; N=N+1; for k=1:2 if k==1 n=N*2;
else; n=N; end h=(b-a)/n; for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end C=0; for i=1:n C1=7*f(x(i))+32*f(x(i)+1/4*h)+12*f(x(i)+2/4*h)+32*f(x(i)+3/4*h)+7*f(x(i+1)); C=C+C1*h/90; end if k==1 R=C*64/63; else R=R-C/63; end end end fprintf('结果为：%.15f',R); 1、建立被积函数文件f.m function y=f(x) y=exp(-x^2); 2、调用xps.m、romberg2.m求定积分. >> xps(0,0.5,0.0000001) 0.461281071728228 >>romberg2 (0,0.5,0.0000001) 结果为： 0.461281006413932
数值积分与数值微分实验报告
实验三 数值积分与数值微分 【实验内容】 选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，Romberg 算法高斯算法计算 （1） )5343916.1(sin 44102≈-=? I dx x I （2） )9460831.0,1)0((sin 10≈==?I f dx x x I （3） dx x e I x ?+=1024 ;（4） dx x x I ?++=1021)1ln( 【实验前的预备知识】 1、 深刻认识数值积分法的意义； 2、 明确数值积分精度与步长的关系； 3、 根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题。 4、 比较各种积分方法复杂度及收敛速度。 【实验方法或步骤】 1、 编制数值积分算法的程序； 2、 分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果； 3、 分别取不同步长n a b h /)(-=，试比较计算结果（如20,10=n 等）； 4、 给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长。 程序： 复合梯形公式求函数f 在区间【a ，b 】上的定积分代码 function [I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps) if(nargin==3) eps=1.0e-4;
end n=1; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1; h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 x=a+h*i; x1=x+h; I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2;step=n; 用该方法计算)5343916.1(sin 44 102≈-=?I dx x I 的程序为 [q,s]=CombineTraprl('sqrt(4-(sinx)^2)',0,0.25,1.5343916) 得结果为q =0.4986 s =3即结果为0.4986积分区间为3个 辛普森公式求函数f 在区间【a ，b 】上的定积分代码 function [I,step]=IntSimpson(f,a,b,type,eps) %type 分别为1，2，3时分别为辛普森公式，3/8公式，复合辛普森 if(type==3&&nargin==4) eps=1.0e-4; end I=0; switch type case 1, I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+... 4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2)+... subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); step=1; case 2, I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+... 3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(2*a+b)/3)+... 3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+2*b)/3)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); step=1; case 3, n=2; h=(b-a)/2;
计算方法-数值积分实验
实验二数值积分实验 一. 实验目的 （1）熟悉数值积分与数值微分方法的基本思想，加深对数值积分与数值微分方法的理解。 （2）熟悉Matlab编程环境，利用Matlab实现具体的数值积分与数值微分方法。 二. 实验要求 用Matlab软件实现复化梯形方法、复化辛甫生方法、龙贝格方法和高斯公式的相应算法，并用实例在计算机上计算。 三.实验内容 1. 实验题目 已知x e x f x4 sin 1 ) (- + =的数据表 分别编写用复化梯形法、复化辛甫生公法、龙贝格法、三点高斯法求积分?=1 ) (dx x f I 近似值的计算机程序。 A.复化梯形法: a．编写文件Trapezoid.m,代码如下所示：
b．编写文件f2.m: c.运行： B．复化辛甫生公法 a．编写文件FSimpson.m,代码如下所示：
b．编写文件f2.m: function f=f2(x) f=1+exp(-x).*sin(4*x); c.运行： C．龙贝格法
a．编写文件Romberg.m,代码如下所示： b.运行：
D.三点高斯法 a.编写文件TGauss.m文件，如下所示：
b．运行： 2. 设计思想 要求针对上述题目，详细分析每种算法的设计思想。 总体的思想是化复杂为简单的重复 A．复化梯形法使用直接法，通过递归，缩减规模； B．复化辛甫生也是使用直接法，根据公式直接进行编程，通过递归缩减规模； C．龙贝格算法应该在做了的几个中最体现了“化复杂为简单的重复”的思想，多个循环通过变量的适当递增，和一个for循环语句来实现，循环主体只有一句话，但确是整个程序中的亮点和难点； D．三点高斯法直接通过一条简单的公式来编写程序，难度不大； 四.实验体会 对实验过程进行分析总结，对比不同方法的精度，指出每种算法的设计要点及应注意的事项，以及自己通过实验所获得的对数值积分方法的理解。
数据分析实验报告
数据分析实验报告 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
第一次试验报告 习题1.3 1建立数据集，定义变量并输入数据并保存。 2数据的描述，包括求均值、方差、中位数等统计量。 分析—描述统计—频率，选择如下： 输出： 统计量 全国居民 农村居民 城镇居民 N 有效 22 22 22 缺失 均值 1116.82 747.86 2336.41 中值 727.50 530.50 1499.50 方差 1031026.918 399673.838 4536136.444 百分位数 25 304.25 239.75 596.25 50 727.50 530.50 1499.50 75 1893.50 1197.00 4136.75 3画直方图，茎叶图，QQ 图。（全国居民） 分析—描述统计—探索，选择如下： 输出： 全国居民 Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 5.00 0 . 56788 数据分析实验报告 【最新资料，WORD 文档，可编辑修改】
2.00 1 . 03 1.00 1 . 7 1.00 2 . 3 3.00 2 . 689 1.00 3 . 1 Stem width: 1000 Each leaf: 1 case(s) 分析—描述统计—QQ图，选择如下： 输出： 习题1.1 4数据正态性的检验：K—S检验，W检验数据： 取显着性水平为0.05 分析—描述统计—探索，选择如下：（1）K—S检验
结果：p=0.735 大于0.05 接受原假设，即数据来自正太总体。 （2 ）W 检验 结果：在Shapiro-Wilk 检验结果972.00 w ，p=0.174大于0.05 接受原假设，即数据来自正太总体。 习题1.5 5 多维正态数据的统计量 数据：
数值分析实验指导 - 7 积分
数值分析实验指导 潘志斌 2014年3月
实验七 数值积分 数值实验综述：通过数值积分实验掌握数值积分的实现，理解各种数值积分公式的特性，并能用数值积分求解积分方程和微分方程。 基础实验 7.1 Newton-cotes 型求积公式 实验目的：学会Newton-cotes 型求积公式,并应用该算法于实际问题. 实验内容：求定积分 ? π cos xdx e x 实验要求：选择等分份数n ,用复化Simpson 求积公式求上述定积分的误差不超过810-的近似值,用MATLAB 中的内部函数int 求此定积分的准确值,与利用复化Simpson 求积公式计算的近似值进行比较。 7.2 Romberg 算法 实验目的：学会数值求积的Romberg 算法,并应用该算法于实际问题. 实验内容：求定积分 ? 1 5 .0dx x 实验要求： （1）要求程序不断加密对积分区间的等分,自动地控制Romberg 算法中的加速收敛过程,直到定积分近似值的误差不超过610-为止,输出求得的定积分近似值。 （2）可用MATLAB 中的内部函数int 求得此定积分的准确值与Romberg 算法计算的近似值进行比较。 7.3 Gauss 型求积公式 实验目的：学会Gauss 型求积公式,并应用该算法于实际问题. 实验内容：求定积分 ? -+4 42 1x dx 实验要求： （1）把Gauss 点的表格存入计算机,以Gauss-Legendre 求积公式作为本实验的例子,要求程序可以根据不同的阶数n ,自动地用n 阶Gauss-Legendre 求积
公式计算上述定积分的近似值.体会Gauss型求积公式是具有尽可能高的代数精度的数值求积公式。 （2）可用MATLAB中的内部函数int求得此定积分的准确值与Gauss型求积公式求得的值进行比较。
计算方法 第5章 数值积分
第五章数值积分 §5.0 引言 §5.1 机械求积公式 §5.2 Newton-Cotes公式 §5.3 变步长求积公式及其加速收敛技巧§5.4 Gauss公式 §5.5 小结
§5.0 引 言 1. 定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算: ()()()b a f x dx F b F a =-? 其中F (x )是f (x )的原函数之一，可用不定积分求得。 然而在实际问题中，往往碰到以下问题： (a) 被积函数f (x )是用函数表格提供的； (b) 被积函数表达式极为复杂，求不出原函数，或求出原函数后，由于形式复杂不利于计算； (c) 大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如 2 1 0x e dx -?，概率积分 1 0sin x dx x ?, 正弦型积分 2 22 2 2 4()1sin Ir x H x d r x r π θθ?? =- ?-?? ? 回路磁场强度公式 等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。 2 所谓数值积分就是求积分近似值的方法。 而数值积分只需计算 ()f x 在节点(1,2,,)i x i n = 上的值，计算方便 且适合于在计算机上机械地实现。
§5.1 机械求积公式 1 数值积分的基本思想 区间[a ,b ]上的定积分()b a f x dx ? ，就是在区间[a,b]内取n+1个点 01,,,n x x x ，利用被积函数f (x )在这n+1个点的函数值的某一种线性组合 来近似作为待求定积分的值，即 ()()n b k k a k f x dx A f x =≈∑? 右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。 其中,x k 称为积分节点，A k 称为求积系数。 因此，一个数值积分公式关键在于积分节点x k 的选取和积分系数A k 的决定，其中A k 与被积函数f(x)无关。称为机械求积公式。 1.1 简单算例说明 例1 求积分1 ()x x f x dx ? 此积分的几何意义相当于如下图所示的曲边梯形的面积。 解：（1） 用f (x )的零次多项式00()()y L x f x == 来近似代替()f x ,于是， 110 0001()(()))(x x x x f x dx f x dx f x x x ≈ =-? ? （为左矩公式）
数值积分的matlab实现
实验10 数值积分 实验目的： 1．了解数值积分的基本原理； 2．熟练掌握数值积分的MATLAB 实现； 3．会用数值积分方法解决一些实际问题。 实验内容： 积分是数学中的一个基本概念，在实际问题中也有很广泛的应用。同微分一样，在《微积分》中，它也是通过极限定义的，由于实际问题中遇到的函数一般都以列表形式给出，所以常常不能用来直接进行积分。此外有些函数虽然有解析式，但其原函数不是初等函数，所以仍然得不到积分的精确值，如不定积分?1 0 d sin x x x 。这时我们一般考虑用数值方法计算其 近似值，称为数值积分。 10.1 数值微分简介 设函数()y f x =在* x 可导，则其导数为 h x f h x f x f h ) ()(lim )(**0* -+='→ （10.1） 如果函数()y f x =以列表形式给出（见表10-1），则其精确值无法求得，但可由下式求得其近似值 h x f h x f x f ) ()()(*** -+≈' （10.2） 表 10-1 一般的，步长h 越小，所得结果越精确。（10.2）式右端项的分子称为函数()y f x =在 *x 的差分，分母称为自变量在*x 的差分，所以右端项又称为差商。数值微分即用差商近似 代替微商。常用的差商公式为： 000()() ()2f x h f x h f x h +--'≈ （10.3） h y y y x f 243)(2 100-+-≈ ' （10.4）
h y y y x f n n n n 234)(12+-≈ '-- （10.5） 其误差均为2 ()O h ，称为统称三点公式。 10.2 数值微分的MATLAB 实现 MATLAB 提供了一个指令求解一阶向前差分，其使用格式为： dx=diff(x) 其中x 是n 维数组，dx 为1n -维数组[]21321,, ,n x x x x x x ---,这样基于两点的数值导 数可通过指令diff(x)/h 实现。对于三点公式，读者可参考例1的M 函数文件diff3.m 。 例1 用三点公式计算()y f x =在=x 1.0,1.2,1.4处的导数值，()f x 的值由下表给 解：建立三点公式的M 函数文件diff3.m 如下： function f=diff3(x,y) n=length(x);h=x(2)-x(1); f(1)=(-3*y(1)+4*y(2)-y(3))/(2*h); for j=2:n-1 f(j)=(y(j+1)-y(j-1))/(2*h); end f(n)=(y(n-2)-4*y(n-1)+3*y(n))/(2*h); 在MATLAB 指令窗中输入指令： x=[1.0,1.1,1.2,1.3,1.4];y=[0.2500,0.2268,0.2066,0.1890,0.1736];diff3(x,y) 运行得各点的导数值为：-0.2470，-0.2170，-0.1890，-0.1650，-0.0014。所以()y f x =在=x 1.0,1.2,1.4处的导数值分别为-0.2470，-0.1890和-0.0014。 对于高阶导数，MATLAB 提供了几个指令借助于样条函数进行求导，详细使用步骤如下： step1：对给定数据点（x,y ），利用指令pp=spline(x,y)，获得三次样条函数数据pp ，供后面ppval 等指令使用。其中，pp 是一个分段多项式所对应的行向量，它包含此多项式的阶数、段数、节点的横坐标值和各段多项式的系数。 step2：对于上面所求的数据向量pp ，利用指令[breaks,coefs,m,n]=unmkpp(pp)进行处理，生成几个有序的分段多项式pp 。 step3：对各个分段多项式pp 的系数，利用函数ppval 生成其相应导数分段多项式的系数，再利用指令mkpp 生成相应的导数分段多项式 step4：将待求点xx 代入此导数多项式，即得样条导数值。 上述过程可建立M 函数文件ppd.m 实现如下： function dy=ppd(pp) [breaks,coefs,m]=unmkpp(pp);
数值分析上机实验报告
数值分析上机实验报告
《数值分析》上机实验报告 1.用Newton 法求方程 X 7-X 4+14=0 在（0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）。 1.1 理论依据： 设函数在有限区间[a ，b]上二阶导数存在，且满足条件 {}α?上的惟一解在区间平方收敛于方程所生的迭代序列 迭代过程由则对任意初始近似值达到的一个中使是其中上不变号 在区间],[0)(3,2,1,0,) (') ()(],,[x |))(),((|,|,)(||)(|.4;0)(.3],[)(.20 )()(.110......b a x f x k x f x f x x x Newton b a b f a f mir b a c x f a b c f x f b a x f b f x f k k k k k k ==- ==∈≤-≠>+ 令 )9.1()9.1(0)8(4233642)(0)16(71127)(0)9.1(,0)1.0(,1428)(3 2 2 5 333647>?''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f 故以1.9为起点 ?? ?? ? ='- =+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 如此一次一次的迭代，逼近x 的真实根。当前后两个的差<=ε时，就认为求出了近似的根。本程序用Newton 法求代数方程(最高次数不大于10)在（a,b ）区间的根。
1.2 C语言程序原代码： #include
matlab计算方法实验报告5(数值积分)
计算方法实验报告(5) 学生姓名杨贤邦学号指导教师吴明芬实验时间2014.4.16地点综合实验大楼203 实验题目数值积分方法 实验目的●利用复化梯形、辛普森公式和龙贝格数值积分公式计算定积分的 近似植。 实验内容●梯形、辛普森、柯特斯法及其Matlab实现； ●变步长的梯形、辛普森、柯特斯法及其Matlab实现。 ●题目由同学从学习材料中任意选两题 算法分析梯形：function y=jifeng_tixing(a,b,n,fun) fa=feval(fun,a); fb=feval(fun,b); s=0; h=(b-a)/n; for k=1:n-1 xk=a+k*h; s=feval(fun,xk)+s; end y=(h/2)*(fa+fb+2*s); 辛普生：function y=jifeng_xingpu(a,b,n,fun) fa=feval(fun,a); fb=feval(fun,b); h=(b-a)/n; s=0; s2=feval(fun,a+0.5*h); for k=1:n-1 xk=a+k*h; s=feval(fun,xk)+s; s2=feval(fun,xk+(h/2))+s2; end
与源程序y=(h/6)*(fa+fb+2*s+4*s2); 龙贝格：function r2=jifeng_long(fun,a,b,e) h=b-a; t1=(h/2)*(feval(fun,a)+feval(fun,b)); k=1; r1=10; r2=0; c2=0; while abs(r2-r1)>e; s=0; x=a+h/2; while x=3 r1=r2; c2=s2+(1/15)*(s2-s1); r2=c2+(1/63)*(c2-c1); k=k+1;h=h/2; t1=t2;s1=s2; c1=c2; end end
数值分析实验报告1
实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =
的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。
(完整版)哈工大-数值分析上机实验报告
实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;
%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);
数值微分与数值积分练习题
第五章 数值微分与数值积分 一．分别用向前差商，向后差商和中心差商公式计算()f x =2x =的导数的近似值。其中，步长0.1h =。 【详解】 00()()(20.1)(2)=0.349 2410.10.1 f x h f x f f h +?+?===向前差商 00()()(2)(20.1)=0.358 0870.10.1 f x f x h f f h ????===向后差商 00()()(20.1)(20.1)= 0.353 664220.10.2f x h f x h f f h +??+??===×中心差商 二．已知数据 x 2.5 2.55 2.60 2.65 2.70 ()f x 1.58114 1.59687 2 1.62788 1.64317 求( 2.50),(2.60),(2.70)f f f ′′′的近似值。 【详解】 0.05h =，按照三点公式 3(2.50)4(2.55)(2.60)3 1.581144 1.59687 1.61245(2.50)0.316 10020.050.1 f f f f ?+??×+×?′≈==×(2.65)(2.55)1.627881.59687(2.60)0.310 10020.050.1 f f f ??′≈==× (2.60)4(2.65)3(2.70)241.6278831.64317(2.70) 4.179 90020.050.1 f f f f ?+?×+×′≈==× 三．已知如下数据 x 3 4 5 6 7 8 ()f x 2.937 6 6.963 213.600 0 23.500 8 37.318 4 55.705 6
数值积分与数值微分实验报告
实验三 数值积分程序设计算法 1）实验目的 通过本次实验熟悉并掌握各种数值积分算法及如何在matlab 中通过设计程序实现这些算法，从而更好地解决实际中的问题。 2）实验题目 给出积分 dx x I ? -= 3 2 2 1 1 1.用Simpson 公式和N=8的复合Simpson 公式求积分的近似值. 2.用复合梯形公式、复合抛物线公式、龙贝格公式求定积分，要求绝对误差为 7 10*2 1-= ε，将计算结果与精确解做比较，并对计算结果进行分析。 3）实验原理与理论基础 Simpson 公式 )]()2 ( 4)([6 b f b a f a f a b S +++-= 复化梯形公式 将定积分? = b a dx x f I )(的积分区间],[b a 分隔为n 等分，各节点为 n j jh a x j ,,1,0, =+= n a b h -= 复合梯形(Trapz)公式为 ])()(2)([21 1 ∑-=++-= n j j n b f x f a f n a b T 如果将],[b a 分隔为2n 等分，而n a b h /)(-=不变， 则 )]()(2)(2)([41 2 111 2b f x f x f a f n a b T n j j n j j n +++-= ∑∑-=+-= 其中 h j a h x x j j )2 1(2 12 1+ +=+ =+ ，)]()(2)(2)([41 2 11 1 2b f x f x f a f n a b T n j j n j j n +++-= ∑∑-=+ -= ∑ -=-++-+ =1 )2) 12((22 1n j n n a b j a f n a b T n=1时，a b h -=，则)]()([2 1b f a f a b T +-= )0(0T = )2 1(2 2 112h a f a b T T + -+ =)1(0T = 若12-=k n ，记)1(0-=k T T n ， ,2,1=k 1 2 --= k a b h jh a x j +=1 2 --+=k a b j a h x x j j 2 12 1+ =+ k a b j a 2 ) 12(-++=，则可得如下递推公式
数据分析实验报告
数据分析实验报告 【最新资料，WORD文档，可编辑修改】 第一次试验报告 习题1.3 1建立数据集，定义变量并输入数据并保存。 2数据的描述，包括求均值、方差、中位数等统计量。 分析—描述统计—频率，选择如下： 输出：
方差1031026.918399673.8384536136.444百分位数25304.25239.75596.25 50727.50530.501499.50 751893.501197.004136.75 3画直方图，茎叶图，QQ图。（全国居民） 分析—描述统计—探索，选择如下： 输出： 全国居民Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 9.00 0 . 122223344 5.00 0 . 56788 2.00 1 . 03 1.00 1 . 7 1.00 2 . 3 3.00 2 . 689
1.00 3 . 1 Stem width: 1000 Each leaf: 1 case(s) 分析—描述统计—QQ图，选择如下： 输出： 习题1.1 4数据正态性的检验：K—S检验，W检验数据： 取显着性水平为0.05 分析—描述统计—探索，选择如下：（1）K—S检验 单样本Kolmogorov-Smirnov 检验 身高N60正态参数a,,b均值139.00
标准差7.064 最极端差别绝对值.089 正.045 负-.089 Kolmogorov-Smirnov Z.686 渐近显着性(双侧).735 a. 检验分布为正态分布。 b. 根据数据计算得到。 结果：p=0.735 大于0.05 接受原假设，即数据来自正太总体。（2）W检验
MATLAB数值积分求值实验报告
3 学号班级统计1001 姓名指导教师易昆南实验题目用多种方法计算数值积分评分 1、设计（实习）目的： 1．了解MATLAB在实际问题中的应用 2．通过实践加深对这门语言中M文件的了解 3．熟悉简单程序结构，如循环结构（for循环、while循环）选择结构（if-else-if）、分支语句（switch-case-otherwise）。 2、实验内容： （1）.分别用左、右矩形法，梯形法，复化辛普森公式计算y=x^2在[0,1]上的定积分；（2）.用蒙特卡罗随机投点法计算y=1/(1+x^2)在[0,1]上的定积分，并求出pi的近似值；（3）.用蒙特卡罗均值估计法计算y=x^2在[0,1]上的定积分。 3.详细设计： 一．左、右矩形法和梯形法： h=1/200; x=0:h:1; y=x.^2; z1=sum(y(1:200))*h %左矩形法 z2=sum(y(2:201))*h%右矩形法 z=cumsum(y); z11=z(200)*h; %等同z1 z12=(z(201)-z(1))*h; %等同z2 z3=trapz(x,y) %梯形法,等同于z3=trapz(y)*h 二．复化辛普森公式法： y=inline('x.^2'); z1=quad(y,0,1,100) %simpleson公式 z2=quadl(y,0,1,100) %复化simpleson公式 z3=quad8(y,0,1,100,trace(10))%simpleson8阶公式法 三．蒙特卡罗随机投点法： n=100000; k=0; for i=1:n x=rand; %产生(0,1)区间的随机数 y=rand; if y<=1/(1+x^2); %对y=1/(1+x^2)面积投点 k=k+1; end end z=k/n pi=4*k/n %由积分pi/4=k/n而来，前者是概率，后者是频率
数值积分实验报告1
数学与计算科学学院实验报告 实验项目名称数值积分 所属课程名称数值计算 实验类型验证 实验日期2012年10月11日 班级 学号 姓名 成绩
一、实验概述： 【实验目的】 【实验原理】 【实验环境】 二、实验内容： 【实验方案】 方案一：用复合求积公式验证P85例题4.1，比较各方法的精度。 方案二：用复合求积公式P103 习题2（1）（2）（3），比较个方法的精度； 分别讨论当区间n等分，当n=10, 100,时比较n取值不同时对数值精度的影响的结果。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） （一）：使用C++运行程序得：
显然，各方法的精度大小关系是：梯形公式<辛普森公式<复合梯形公式<复合辛普森公式。 （二）：先用积分计算出1115718.0|)4ln(21(2141 02104)1 0222 =+==+??+x x x x dx x d 运行C++程序得到： 显然各方法的精度大小关系也是：梯形公式<辛普森公式<复合梯形公式<复合辛普森公式。 （1）当n=10时，运行C++程序得：
（2）当n=100时，运行C++程序得： 由上两幅图可以看出：n取不同值时，梯形公式，辛普森公式，和复合辛普森公式的精度不受影响，复合梯形公式的精度会随着n的增大而有所提高； 【实验结论】（结果） 各方法的精度大小关系是：梯形公式<辛普森公式<复合梯形公式<复合辛普森公式。n取不同值时，梯形公式，辛普森公式，和复合辛普森公式的精度不受影响，复合梯形公式的精度会随着n的增大而有所提高，当n取足够大时，复合梯形公式的精度可能会超过复合辛普森公式。
数值积分法
第7章 数值积分法 7.1 实验目的 了解求积公式及代数精度概念，理解并掌握求定积分的求积公式的算法构造和计算，学习用计算机求定积分的一些科学计算方法和简单的编程技术和能用程序实现这些算法。 7.2 概念与结论 1. 求积公式 计算定积分的如下形式的近似公式： 称为求积公式。 2．代数精度 若求积公式 对一切不高于m 次的 多项都准确成立，而对于m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式 的代数精度为m 。 代数精度越高，求积公式越好。 3.求积余项 4.Newton-Cotes 求积公式的代数精度 n 点Newton-Cotes 求积公式的代数精度至少可以达到n-1,且当n 为奇数时，可以达到n 。 ?∑=≈b a n k k k x f A dx x f 1 ) ()(?∑=≈b a n k k k x f A dx x f 1 ) ()(?∑=-=b a n k k k x f A dx x f f R 1 ) ()()(
? =b a dx x f I )(5.Richardson 外推定理 设函数F 1(h)逼近量F*的余项为： F*-F 1(h)=a 1h p1 +a 2h p2 +····+a k p k +··· 式中p k >p k-1>···>p 2>p 1>0, F*和a i (i=1,2, ···)都是与h 无关的常数,且k ≥1时，a k ≠0，则由： 定义的函数F 2(h)也逼近F*，且有 F*-F 2(h)= b 2h p2 +····+b k p k +··· 6. 关于复合梯形公式的展开定理 设f(x)在[a,b]区间上无穷次可微，则有如下展开式： T(h)=I+a 1h 2 +a 2h 4 +a 3h 6 +…+a m h 2m +… 式中T(h)是函数f(x)在[a,b]区间上的复化梯形值Tn, 7.3 程序中Mathematica 语句解释 1. 随机函数 Random[] 随机给出闭区间[0,1]内的一个实数 Random[Real, xmax] 随机给出闭区间[0,xmax]内的一个实数 Random[Real, {xmin, xmax}] 随机给出闭区间[xmin,xmax]内的一个实数 Random[Integer] 随机给出整数0或1 Random[Integer, {xmin, xmax}] 随机给出xmin 到xmax 之间的一个整数 Random[Complex] 随机给出单位正方形内的一个复数 2．{a1,a2,…,an} 表示由元素a1,a2,…,an 组成的一个表，元素可以是任何内容。 ) 10(1) ()()(1 1112<<--= q q h F q qh F h F p p
数值分析实验报告总结
数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科
如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以
实验4_数值积分与数值微分
数值分析实验报告四 数值积分与数值微分实验（2学时） 一 实验目的 1．掌握复化的梯形公式、Simpson 公式等牛顿-柯特斯公式计算积分。 2. 掌握数值微分的计算方法。 二 实验内容 1. 用复化梯形公式计算积分。 ?9 0dx x M=8 2. 用复化Simpson 公式计算积分。 ? 90dx x M=8 3. 给定下列表格值 利用四点式（n=3）求)50()50('''f f 和的值。 三 实验步骤（算法）与结果 1复化梯形公式 用C 语言编程如下： #include
float y; y=sqrt(x); return y; } void main() { int i,m; float a,b,h,r; printf("输入等分数m:" ); scanf("%d",&m); printf("输入区间左端点a的值:"); scanf("%f",&a); printf("输入区间右端点b的值:"); scanf("%f",&b); float x[m+1]; h=(b-a)/m; for(i=0;i<=m;i++) x[i]=a+i*h; r=0; for(i=0;i<=m;i++) {if(i==0) r=r+h*0.5*f(x[i]); if(i>0&&i if(i==m) r=r+0.5*h*f(x[i]); } printf("输出区间[%3.1f %3.1f]的积分值:%f\n",a,b,r); } 求解结果如下： 输入等分数m:8 输入区间左端点a的值:0 输入区间右端点b的值:9 输出区间[0.0 9.0]的积分值:17.769514 2复化Simpson公式 用C语言编程如下： #include