如图所示已知直线yx3的图象与x轴y轴交于AB两点

如图所示，已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式．

分析： 设直线l 的解析式为y=kx(k≠0),因为l 分△AOB 面积比为2：1，故分两种情况：①S △AOC ：S △BOC =2：1；②S △AOC ：S △BOC =1：2．求出C 点坐标，就可以求出直线l 的解析式．

解：因为直线y=x+3的图象与x,y 轴交于A ，B 两点．

所以A 点坐标为（-3，0）,B 点坐标为(0,3).则|OA|＝3，|OB|=3．

所以S △AO B =21|OA|·|OB|=21×3×3=2

9.设直线l 的解析式为y=kx （k≠0）. 由直线l 把△AOB 的面积分为2：1，直线l 与线段AB 交于点C

所以分两种情况来讨论：

①当S △AOC :S △BOC =2:1时，设C 点坐标为（x 1，y 1）.

又S △AOB =S △AOC +S △BOC =

29，则S △AOB =3

229?=3. 即S △AOC =21·|OA|·|y 1|=21×3×|y 1|=3.所以y 1=±2，由图示可知取y 1=2． 又点C 在直线AB 上，所以2=x 1+3，则x 1=-1.故C 点坐标为（-1，2）．

把C 点坐标（-1，2）代人y=kx 中，得2=-1·k，∴k＝-2．

所以直线l 的解析式为y=-2x ．

②当S △AOC :S △BOC =1:2时，设C 点坐标为(x 2,y 2)．又S △AOC =S △AOC +S △BOC =

29, 所以S △AOB =233129＝?即S △AOC =21·|OA|·|y 2|=21·3·|y 2|=2

3. 所以y 2=±1，由图示可知取y 2=1.又点C 在直线AB 上，

则1=x 2+3，∴x 2=-2.把C 点坐标（-2，1）代入y=kx 中，得1=-2k ，∴k=-y 2.

所以直线l 的解析式为y=-2

1x. 故直线l 的解析式为y=-2x 或y=-

21x. 说明： 本题是一道综合一次函数与三角形相关知识的综合题，特别注意求正比例函数的解析式时，点C 的坐标至关重要，要利用分类讨论的数学思想，全面的考虑问题，避免漏掉解的情况．