电势计算
电势，电势迭加
一、填空题
1. 如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电荷1Q ，外球面半径为2R 、带有电荷2Q ．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r 处的P 点的电势U 为 。
2. 如图所示，电荷均为q 的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上设无穷远处为电势零点，圆半径为R ，则b 点处的电势U ＝_________ ．
3. 一半径为R 的均匀带电球面，带有电荷Q ．若设该球面上电势为零，则球面内各点电势U ＝____________________________．
4. 如图所示，一等边三角形边长为a ，三个顶点上分别放置着电荷均为q 的三个正点电荷，设无穷远处为电势零点，则三角形中心O 处的电势U ＝________________________．
二、计算题
1、图中所示为一沿x 轴放置的长度为l 的不均匀带电细棒，
其电荷线密度为 ()a x -=0λλ，0λ为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O 处的电势．
2、一半径为R 的均匀带电圆盘，带电量为Q ．设无穷远处为电势零点．计算圆盘中心O 点电势．
3、图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径为1R
，外表面半径为2R ．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．
4、若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为1r 和2r 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为U ，试求两球面的电荷面密度
σ的值．
参考答案： 一、填空题
q
q
q
x
1、
2
02
10144R Q R Q εεπ+
π 2、
()
12280
+πR
q
ε
3、0
4、()
()a q 04/33επ
二.计算题
1、解：在任意位置x 处取长度元d x ，其上带有电荷 dx a x dq )(0-=λ
它在O 点产生的电势
()x
x
a x U 004d d ελπ-=
O 点总电势
??????-π==???++l a a l a a x x a x dU U d d 400ελ??
?
???+-π=a l a a l ln 400ελ
2、解：在圆盘上取一半径为r →r ＋d r 范围的同心圆环．其面积为
rdr dS π2=
其上电荷为 rdr dq πσ2= 它在O 点产生的电势为
02d 4d d εσεr
r q U =
π= 总电势 R
Q
R r U U R
S
000
22d 2d πεεσεσ
=
=
=
=?
? 3、解: 由高斯定理可知空腔内E ＝0，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均
为U. 在球层内取半径为r →r ＋d r 的薄球层．其电荷为
dr r dq 24πρ=
该薄层电荷在球心处产生的电势为
()00/d 4/d d ερεr r r q U =π=
整个带电球层在球心处产生的电势为
()2
1220
002d d 2
1
R R r r U U R R
-=
=
=??ερερ 因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U 为
()212
20
02R R U U -==ερ
若根据电势定义??=l E U
d 计算同样给分.
4、解：球心处总电势应为两个球面电荷分别在球心处产生的电势叠加，即
?
??? ??+π=
22110
41
r q r q U ε???
? ??π+ππ=22212104441r
r r r σσε()210r r +=εσ
故得 2
10r r U
+=εσ
介电常数
液体与固体介电常数的测量 实验目的: 运用比较法粗测固体电介质的介电常数，谐振法测量固体与液体的介电常数(以及液体的磁导率)，学习其测量方法及其物理意义，练习示波器的使用。 实验原理： 介质材料的介电常数一般采用相对介电常数εr 来表示，通常采用测量样品的电容量，经过计算求出εr ，它们满足如下关系： S Cd r 00εεεε== 式中ε为绝对介电常数，ε0为真空介电常数，m F /10 85.812 0-?=ε，S 为样品的有效面积，d 为样品的厚度，C 为被测样品的电容量，通常取频率为1 kHz 时的电容量C 。 比较法： 比较法的电路图如下图所示。此时电路测量精度与标准电容箱的精度密切相关。实际测量时，取R=1000欧姆,我们用双踪示波器观察,调节电容箱和电阻箱的值,使两个信号相位相同, 电压相同，此时标准电容箱的容值即为待测电容的容值。 图一：比较法电路图
谐振法： 1、交流谐振电路： 在由电容和电感组成的LC 电路中，若给电容器充电，就可在电路中产生简谐形式的自由振荡。若电路中存在交变信号源，不断地给电路补充能量，使振荡得以持续进行，形成受迫振动，则回路中将出现一种新的现象——交流谐振现象。RLC 串联谐振电路如下图所示 : 图二：RLC 串联谐振电路 其中电源和电阻两端接双踪示波器。 RLC 串联电路中电压矢量如图三所示。 图三：电阻R 、电容C 和电感L 的电压矢量图 电路总阻抗：Z == L V →-R V →
回路电流：V I Z == 电流与信号源电压之间的位相差：1arctan i L C R ωω???- ?=- ? ??? 在以上三个式子中，信号源角频率 2f ωπ=，容抗1 C Z C ω= ，感抗L Z L ω=。?i ＜0，表示电流位相落后于信号源电压位相；?i ＞0，则表示电流位相超前。各参数随ω变化的趋势如右图所示。 ω很小时，电路总阻抗Z → ?i →π/2，电流的位相超前于信号源电压位相，整个电路呈容性。ω很大时，电路总阻抗Z →, ?i →- π/2 ，电流位相滞后于信号源电压位相，整个电路呈感性。当容抗等于感抗时，容抗感抗互相抵消，电路总阻抗Z=R,为最小值，而此时回路电流则成为最大值I max = V i /R ，位相差?i =0，整个电路呈阻性，这个现象即为谐振现象。发生谐振时的频率f 0称为谐振频率，此时的角频率ω0即为谐振角频率，它们之间的关系为： 0002f ωωωπ== == 找到RLC 串联电路的谐振频率，如果已知L 的值， 就可以得出C 的大小。
电路中各点电位的计算
电路中各点电位的计算 教材分析 本课程选自聂广林、赵争召编写的电类专业基础教材《电工技术基础与技能》。该书是根据教育部2009年新颁布的《中等职业学校电子技术基础与技能教学大纲》和对中职学生的能力结构要求,针对电子专业的发展现状和行业需求情况,结合中等职业学校电子专业学生的特点进行编写的。这本教材的理论部分讲解得不够详细，实训部分偏重。对于中职学生来讲，有些内容还是过于困难。因此，对于一些基础的、必修的章节我们都进行补充讲解；对于一些难度比较大和选修的章节进行自学和个别辅导。《电工技术基础与技能》是一门基础课，它的应用还是相当广泛的，故我们在教学中也应该认识到这一点，并指导学生利用所学知识灵活运用。 学情分析 该门课程的教学对象是中职电子专业一年级的学生。对于刚进校的他们来讲，或多或少都有如下的现象：自己的学习底子比较薄，学习积极性不高，学习习惯也不是很好，有的学生计算能力较差，有的学生理解能力较差，独立解决问题的能力也比较差。而《电工技术基础与技能》这门课对他们来讲则是熟悉又陌生的，熟悉的是在初中物理学科中有讲到电学基础，陌生的是部分同学初中学得较差。由于学生底子的参差不齐，导致学生对知识的掌握程度也不尽相同。肯学的可以懂个八、九成，而不爱学的还没有入门。越到后面，就有一部分同学产生了畏难情绪，失去了学习兴趣。 教学班级：2014级电子班 教学目的：1.学会运用电路中各点电位的计算方法与步骤进行计算。 2. 掌握计算时各项电压的正负选择。 3. 学会运用电路中各点电位的计算方法与步骤进行计算。 教学重点：电路中各点电位的计算方法与步骤和各项电压的正负选择。 教学难点：运用电路中各点电位的计算方法与步骤进行计算。 教学类型：理论新课 教学方法：教授法，示例法 教学工具：黑板，粉笔，黑板檫，多媒体 教学过程： 1、导入 复习导入：在第一章里我们学习了电位的基本概念。在学习电位时涉及到参考点，那参考点是什么呢？（参考点就是我们选择一个点让它的电位为零，也称为零电位点。一般都是选择大地或机壳为参考点）
介电常数
实 验 报 告 00系 2007级 姓名 宁盛嵩 日期 2008-11-24 台号 8号台 实验题目:简易介电常数测试仪的设计与制作 88 实验目的: (1)了解多种测量介电常数的方法及其特点和适用范围; (2)掌握替代法，比较法和谐振法测固体电介质介电常数的原理和方法; (3)用自己设计与制作的介电常数测试仪，测量压电陶瓷的介电常数。 实验原理: 介质材料的介电常数一般采用相对介电常数ε r 来表示，通常采用 测量样品的电容量，经过计算求出εr ，它们满足如下关系： S Cd r 00εεεε== （1） 式中ε为绝对介电常数，ε0为真空介电常数，m F /10 85.812 0-?=ε，S 为样品的有效面积，d 为样品的厚度，C 为被测样品的电容量，通常取频率为1kHz 时的电容量C 。 一、替代法 当实验室无专用测量电容的仪器，但有标准可变电容箱或标准可变电容器时，可采用替代法设计一简易的电容测试仪来测量电容。这种方法的优点是对仪器的要求不高，由于引线参数可以抵消，故测量精度只取决于标准可变电容箱或标准可变电容器读数的精度。若待测电容与标准可变电容的损耗相差不大，则该方法具有较高的测量精度。 替代法参考电路如图2.2.6-1(a)所示，将待测电容C x （图中R x 是待测电容的介电损耗电阻），限流电阻R 0(取1k Ω)、安培计与信号源组成一简单串联电路。合上开关K 1，调节信号源的频率和电压及限流电阻R 0，使安培计的读数在毫安范围恒定（并保持仪器最高的有效位数），记录读数I x 。将开关K 2打到B 点，让标准电容箱C s 和交流电阻箱R s 替代C x 调节C s 和R s 值，使I s 接近I x 。多次变换开关K 2的位置(A,B 位)，反复调节C s 和R s ，使X S I I =。假定C x 上的介电损耗电阻R x
电位的计算讲解分析与练习(DOC)
电路中电位的概念及计算 1.电位的概念 电位：电路中某点至参考点的电压，记为“V X”或φX。 通常设参考点的电位为零。 某点电位为正，说明该点电位比参考点高； 某点电位为负，说明该点电位比参考点低。 电位的计算步骤: (1) 任选电路中某一点为参考点，设其电位为零； (2) 标出各电流参考方向并计算； (3) 计算各点至参考点间的电压即为各点的电位。 2.举例说明电位与电压的区别： 求图示电路中各点的电位:Va、Vb、Vc、Vd 。 解： 设a为参考点，即Va=0V Vb=Uba= –10×6= 60V Vc=Uca = 4×20 = 80 V Vd =Uda= 6×5 = 30 V Uab = 10×6 = 60 V Ucb = E1 = 140 V Udb = E2 = 90 V 设b为参考点，即Vb=0V Va = Uab=10×6 = 60 V Vc = Ucb = E1 = 140 V Vd = Udb =E2 = 90 V Uab = 10×6 = 60 V Ucb = E1 = 140 V Udb = E2 = 90 V 结论： (1)电位值是相对的，参考点选取的不同，电路中 各点的电位也将随之改变； (2)电路中两点间的电压值是固定的，不会因参考 点的不同而变，即与零电位参考点的选取无关。 3、借助电位的概念可以简化电路作图
例2：电路如下图所示，(1) 零电位参考点在哪里？画电路图表示出来。(2) 当电位器RP 的滑动触点向下滑动时，A、B两点的电位增高了还是降低了？ 例3、分别求开关S断开和闭合时A点的电位V A。
解：当S断开时，等效电路如下图： 当S闭合时，等效电路如下图： 例4：求A点电位。 解：将原图等效为：
配合物电势计算
对于配位反应 已知φ0(Cu2+/ Cu )= 0.337V , K0稳[Cu (NH3)42+]=2.1×1013， 求电对Cu (NH3)42+ + 2e = Cu + 4NH3的标准电极电势φ0(Cu (NH3)42+/ Cu )？ 解：电对Cu (NH3)42+ + 2e = Cu + 4NH3的标准态[Cu (NH3)42+]= [NH3]=1.00mol/L 根据Cu (NH3)42+ = Cu2+ + 4NH3的配位解离平衡 K0稳[Cu (NH3)42+] =[Cu (NH3)42+]/ [Cu2+]·[NH3] 4 =2.1×1013， 解得[Cu2+] =1/ K0稳= 4.76×10-14 ( 4分) 根据Cu 2+ + 2e = Cu电对的Nernst 方程 φ0(Cu (NH3)42+/ Cu ) ==φ(Cu2+/ Cu ) = φ0(Cu2+/ Cu )+[ 0.0592 / 2 ]log[Cu2+] = 0.337 +[ 0.0592 / 2 ]log[4.76×10-14] = －0.057V 补充：根据Cu 2+ + 2e = Cu电对的Nernst 方程 φ(Cu2+/ Cu ) = φ0(Cu2+/ Cu )+[ 0.0592 / 2 ]log[Cu2+] 当[Cu2+]= 4.76×10-14 = K0不稳，求出的φ(Cu2+/ Cu )和电对Cu (NH3)42+ + 2e = Cu + 4NH3的标准态φ0(Cu (NH3)42+/ Cu )恰好具有相同的[Cu2+]= 4.76×10-14 = K0不稳值，所以才有等式φ0(Cu (NH3)42+/ Cu ) ==φ(Cu2+/ Cu ) = φ0(Cu2+/ Cu )+[ 0.0592 / 2 ]log[Cu2+] =φ0(Cu2+/ Cu )+[ 0.0592 / 2 ]log [K0不稳] 对于沉淀反应 ①Ag+ +e → Ag电对?(Ag+ /Ag)=?0(Ag+ /Ag)+0.0592lg[Ag+] ②AgCl+e→Ag+Cl-电对?(AgCl/Ag)=?0(AgCl/Ag)+0.0592lg{1/[Cl-]} [Cl-]=1.00M为标准态,根据沉淀溶解平衡AgCl(s)→Ag+(aq)+Cl-(aq) K sp=[Ag+][Cl-] 所以②标态[Ag+]= K sp 将②标态[Ag+]= K sp带入①能斯特方程 得?0(AgCl/Ag)=?(Ag+ /Ag) =?0(Ag+ /Ag)+0.0592lg[K sp] 总结:1.酸碱介质?B0=?A0+ (0.0592) lg[K w] 2.弱酸HA/H2电对?0HA/H=?A=?A0+ (0.0592) lg K HA 氧化型金属离子被沉淀或配位时，其标准电极电势值减小。 3.沉淀剂电对?0(AgCl/Ag)= ?0(Ag+ /Ag)+0.0592lg[K sp] 4.配位剂电对φ0(Cu (NH3)42+/ Cu ) = =φ0(Cu2+/ Cu )+[ 0.0592 / 2 ]log [K0不稳] 还原型金属离子被沉淀或配位时，其标准电极电势值增大。书P712页 5.沉淀剂电对φ0(Cu2+/ CuI ) =φ0(Cu2+/ Cu+ ) +[ 0.0592 / 1 ]log [ 1/K0SP] 混合型情况：氧化型和还原型金属离子同时被沉淀或配位时，其标准电极电势值可大可小。 6.沉淀剂电对2CuS+ 2e = Cu2S+ S2- φ0(CuS/ Cu2S ) =φ0(Cu2+/ Cu+ ) +[ 0.0592 / 1 ]log [K0SP (CuS)/K0SP(Cu2S)1/2] 22-11(2题) 7.配位剂电对12-5题 φ0[Co (NH3)63+/ Co (NH3)62+] =φ0[Co 3+/ Co 2+]+[ 0.0592 / 1 ]×log [K0不稳(Co (NH3)63+)/K0不 稳(Co (NH3)62+]或log [K0 稳(低价)/K 稳(高价] 2011辽师大考研题 2．（10分）已知：AgI的K sp = 1.6 ? 10-16， [Ag(S2O3)2]3-的K稳= 2.4 ? 1013， Ag2S的K sp= 1.6 ? 10-49，[Ag(CN)2]-的K稳= 1.0 ? 1021，K a2(H2S) = 1.0 ? 10-13 (1)欲使0.10 mol AgI(s)分别溶解在1.0 cm3 1.0 mol·dm-3的Na2S2O3或KCN配合剂中，通过计算溶解反应的平衡常数说明选择何者为宜? (2)欲使0.10 mol AgI(s)溶解在你所选择的1.0 dm3 配合剂中，问配合剂的总浓度至少应为多少? (3)如在上题溶解反应达平衡后的溶液中，再加入0.10 mol Na2S固体，有无Ag2S沉淀析出? (假定固体加入后，溶液的总体积不变) 解：
点电荷周围的电势计算
点电荷周围电势分布的计算 无锡市第一中学 高帆 指导教师 沈志斌 电势是标量，空间某点的电势是各部分电荷在该点的电势的代数和。有这样一个容易解错的竞赛考题，涉及点电荷周围的电势计算，笔者分析如下。 一个点电荷+q 位于内半径为a ，外半径为b 的导电球壳的球心上，如图所示，求任意一点的电场强度E 和电势U 。 解：在球壳内表面产生感应电荷-q ，由于球壳原先不带 电，所以球壳外表面相应地产生电荷+q 。 （1）电场强度 ???????≤<<<≥=)0()(0) (22a r r q k b r a b r r q k E （2）电势 假设有一个很薄的导体球壳，半径为R ，带电量q ，则有： ???????≥<=)()(R r r q k R r R q k U 在该题中，可以将厚球壳划分为两个独立的部分，再加上中心电荷，共三个互不干涉的部分： I. 半径为b ，均匀带电+q 的薄球壳 II. 半径为a ，均匀带电-q 的薄球壳 III. 中心点电荷+q 。 那么，任意一点的电势就是这三部分各自产生电势的标量 叠加。 ① 当r ≥b 时，r q k r q k r q k U +-+=； ② 当a ≤r ＜b 时，b q k r q k r q k U +-+=； ③ 当0＜r ＜a 时，b q k a q k r q k U +-+=
即 ???? ?????<<+-<≤≥=)0)(111()() (a r b a r kq b r a b q k b r r q k U 右边就是它的r-U 图像。我们看到，它是一条完整的曲线。
还可以用做功来解。 这里的电场满足???????≤<<<≥=)0()(0) (22a r r q k b r a b r r q k E 所以 ① 距中心r(r ≥b)处的电势： 将带电量q ’的粒子从距中心r(r ≥b)处移动到无穷远处需做功 r q k q W U r qq k r qq k dr r qq k W b r b ===-=?=∞-∞ ∞-?''0''2 ② 距中心r(a ≤r 介电常数的测定 0419 PB04204051 刘畅畅 实验目的 了解多种测量介电常数的方法及其特点和适用范围，掌握替代法，比较法和谐振法测固体电介质介电常数的原理和方法，用自己设计与制作的介电常数测试仪，测量压电陶瓷的介电常数。 数据处理与分析 （一）原理：介质材料的介电常数一般采用相对介电常数r ε来表示，通常采用测量样品的电容量，经过计算求出r ε，它们满足如下关系： 00r Cd S εεεε= = 式中ε为绝对介电常数，0ε为真空介电常数，12 08.8510/F m ε-=?，S 为样品的有效面积，d 为样品的厚度，C 为被测样品的电容量，通常取频率为1kHz 时的电容量C 。 （二）实验过程及数据处理 压电陶瓷尺寸： 直径： 0.9524.7840.063D mm v mm == 厚度： 0.950.2720.043H mm v mm == 一．根据所给仪器、元件和用具，采用替代法设计一台简易的介电常数测试仪，测量压电陶瓷的介电常数r ε。 在实验中采用预习报告中的图()a 连接电路，该电路为待测电容Cx 、限流电阻0R 、安培计与信号源组成的简单串联电路。接入Cx ，调节信号源频率和电压及限流电阻0R ，使安培计读数在毫安范围内恒定（并保持仪器最高的有效位数），记下Ix 。再换接入Cs ，调节Cs 与Rs ，使Is 接近Ix 。若Cx 上的介电损耗电阻Rx 与标准电容箱的介电损耗电阻Rs 相接近，即Rx Rs ≈，则Cx Cs =。 测得的数据如下： 输出频率 1.0002~1.0003kHz 输出电压 20V Ix=1.5860mA Is=1.5872mA Cs=0.0367F R=1000μΩ Is Ix ≈。此时Rx Rs ≈，有Cx Cs ≈。所以Cx = Cs = 0.0367 F μ。 63 212 2 2 30012 00.0367100.272102339.264024.784108.8510 3.1422r Cd CH C N m S D εεεεεπ------???=== = =?????????? ? ? ?? ?? 二．用比较法设计一台简易的介电常数测试仪，测量压电陶瓷的介电常数r ε。 在Rx Rs ≈的条件下，测量Cx 与Cs 上的电压比Vs Vx 即可求得Cx ： Vs Cx Cs Vx =? （Vs 可以不等于Vx ） 测得的数据如下： 输出频率 1.0003~1.0004kHz 输出电压 20V Vx = 3.527V Vs = 3.531V Cs = 0.0367F R = 1000μΩ Rx Rs ≈。Cx 与Cs 上的电压比 3.5270.9988673.531 Vs Vx == 683.527 0.036710 3.6658103.531 Vs Cx Cs F Vx --∴=?=??=? 83 212 2 2 30012 0 3.6658100.272102336.586924.784108.8510 3.1422r Cd CH C N m S D εεεεεπ------???=== = =?????? ???? ? ? ?? ?? 三．用谐振法设计一台简易的介电常数测试仪，测量压电陶瓷的介电常数r ε。 由已知电感L （取1H ），电阻R （取1k Ω）和待测电容Cx 组成振荡电路，改变信号源频率使RLC 回路谐振，伏特计上指示最大，则电容可由下式求出： 22 14Cx f L π= 式中f 为频率，L 为已知电感，Cx 为待测电容。 固体与液体介电常数的测量 一、实验目的: 运用比较法粗测固体电介质的介电常数，运用比较法法测量固体的介电常数,谐振法测量固体与液体的介电常数(以及液体的磁导率)，学习其测量方法及其物理意义，练习示波器的使用。 二、实验原理： 介质材料的介电常数一般采用相对介电常数εr 来表示，通常采用测量样品的电容量，经过计算求出εr ，它们满足如下关系： S Cd r 00εεεε== 式中ε为绝对介电常数，ε0为真空介电常数，m F /1085.8120 -?=ε，S 为样品的有 效面积，d 为样品的厚度，C 为被测样品的电容量，通常取频率为1kHz 时的电容量C 。 替代法： 替代法的电路图如下图所示。此时电路测量精度与标准电容箱的精度密切相关。实际测量时，取R=1000欧姆,我们用双踪示波器观察,调节电容箱和电阻箱的值,使两个信号相位相同, 电压相同，此时标准电容箱的容值即为待测电容的容值。 谐振法： 1、交流谐振电路： 在由电容和电感组成的LC 电路中，若给电容器充电，就可在电路中产生简谐形式的自由电振荡。若电路中存在交变信号源，不断地给电路补充能量，使振荡得以持续进行，形成受迫振动，则回路中将出现一种新的现象——交流谐振现象。RLC 串联谐振电路如下图所示: 图一：RLC 串联谐振电路 其中电源和电阻两端接双踪示波器。 电阻R 、电容C 和电感L 串联电路中的电流与电阻两端的电压是同相位的，但超前于电 容C 两端的电压2π ，落后于电感两端的电压2π ，如图二。 图二：电阻R 、电容C 和电感L 的电压矢量图 电路总阻抗：Z = = L V → -R V → 实验七 介电常数的测量 ε和损耗角tgδ的温度和频率特性，可以获取物质内部 测量物质在交变电场中介电常数 r 结构的重要信息。DP—5型介电谱仪内置带有锁相环(PLL)的宽范围正弦频率合成信号源和由乘法器、同步积分器、移相器等组成的锁定放大测量电路，具有弱信号检测和网络分析的功能。对填充介质的平行板电容器的激励信号的正交分量(实部和虚部)进行比较、分离、测量，检测介电频率谱和温度谱。作为大学物理实验的内容，具有测量精度高、方法新颖、知识性和实用性强等特点。 [目的要求] ε和损耗角tgδ的温度和频率特性。 1．学习用介电谱仪测量物质在交变电场中介电常数 r 2．了解带有锁相环(PLL)的正弦频率合成信号源和锁定放大测量电路的原理和结构。 3．掌握对信号的正交分量(实部和虚部)进行比较、分离、测量的方法。 [实验原理] 图1测量原理图 原理如图1所示.置于平板电极之间的样品，在正弦型信号的激励下，等效于电阻R和电容C的并联网络。其中电阻R是用来模拟样品在极化过程中由于极化滞后于外场的变化所引起的能量损失。若极板的面积为A，间距为d，则： R=d/Aσ， C=εA／d， tgδ=1／ωRC=σ／ωε 式中ε=εoεr，εo为真空介电常量，σ为与介电极化机制有关的交流电导率。设网络的复阻抗为Z，其实部为Z’，虚部为Z″，样品上激励电压为Vs(基准信号)，通过样品的电流由运放ICl转化为电压Vz：(样品信号)，用V’s，V″s和V″z分别表示其实部和虚部，则有：Vz＝RnVs／Z， σ=K(V’sV’z+V″sV″z)， ωε=K(V’sV″z-V″sV’z) tgδ=(V’sV’z+V″sV″z)/ (V’sV″z-V″sV’z) 式中K=d／ARn(V’sV’s+V″sV″s)。 电压的实部和虚部通过开关型乘法器IC2和π／2移相器IC3实现分离后测量。IC2的作用是将被测正弦信号Vz(或Vs)与同频率的相关参考方波Vr相乘。本系统测量时通过移相微调电路使Vr和vs同相位，即Vs的虚部V″s=O，测量公式简化为： σ=K’V’z， ωε=K’V″z, tgδ=V’z/V″z 点电荷周围电势分布的计算 无锡市第一中学 高帆 指导教师 沈志斌 电势是标量，空间某点的电势是各部分电荷在该点的电势的代数和。有这样一个容易解错的竞赛考题，涉及点电荷周围的电势计算，笔者分析如下。 一个点电荷+q 位于内半径为a ，外半径为b 的导电球壳的球心上，如图所示，求任意一点的电场强度E 和电势U 。 解：在球壳内表面产生感应电荷-q ，由于球壳原先不带 电，所以球壳外表面相应地产生电荷+q 。 （1）电场强度 ???????≤<<<≥=)0() (0) (22a r r q k b r a b r r q k E （2）电势 假设有一个很薄的导体球壳，半径为R ，带电量q ，则有： ???????≥<=)()(R r r q k R r R q k U 在该题中，可以将厚球壳划分为两个独立的部分，再加上中心电荷，共三个互不干涉的部分： I. 半径为b ，均匀带电+q 的薄球壳 II. 半径为a ，均匀带电-q 的薄球壳 III. 中心点电荷+q 。 那么，任意一点的电势就是这三部分各自产生电势的标量 叠加。 ① 当r ≥b 时，r q k r q k r q k U +-+=； ② 当a ≤r ＜b 时，b q k r q k r q k U +-+=； ③ 当0＜r ＜a 时，b q k a q k r q k U +-+= 即 ???? ?????<<+-<≤≥=)0)(111()() (a r b a r kq b r a b q k b r r q k U 右边就是它的r-U 图像。我们看到，它是一条完整的曲线。 还可以用做功来解。 这里的电场满足???????≤<<<≥=)0()(0) (22a r r q k b r a b r r q k E 所以 ① 距中心r(r ≥b)处的电势： 将带电量q ’的粒子从距中心r(r ≥b)处移动到无穷远处需做功 r q k q W U r qq k r qq k dr r qq k W b r b ===-=?=∞-∞ ∞-?''0''2 ② 距中心r(a ≤r 6.4.5电势的计算方法 一般说来，计算电势的方法有两种。第一种方法是由电势的定义式通过场强的线积分来计算；另一种方法是下面马上就要介绍的电势叠加原理。对不同的带电体系，本质上讲上述两种方法都能够计算出电势，但是选择不同的方法计算的难易程度是大不相同的。通过后面内容的学习，大家要注意对不同的带电体系选择不同的计算方法。下面我们介绍电势迭加原理。 1、点电荷电场的电势 如右图所示，一个点电荷q处于O点处。在q所产生的电场中，距离O点为r处P点的电势，可以根据电势的定义式计算得到。选无穷远处作为电势零点，积分路径沿O P方向由P点延伸到无穷远。由于积分方向选取得与场强的方向相同，P点电势可以很容易地计算出来 点电荷的电势 此式给出点电荷电场中任意一点的电势大小，称作点电荷电势公式。公式中视q的正负，电势V可正可负。在正点电荷的电场中， 各点电势均为正值，离电荷越远的点，电势越低，与r成反比。在负点电荷的电场中，各点的电势均为负，离电荷越远的点，电势越高，无穷远处电势为零。容易看出，在以点电荷为心的任意球面上电势 都是相等的，这些球面都是等势面。 2、电势的叠加原理 在前面的知识点中，大家学习了场强叠加原理。该原理告诉我们，任意一个静电场都可以看成是多个或无限多个点电荷电场的叠加， 即有 其中E表示总电场，E1，E2，…为单个点电荷产生的电场。根据电势的定义式，并应用场强叠加原理，电场中a点的电势可表示为 上式最后面一个等号右侧被求和的每一个积分分别为各个点电 荷单独存时在a点的电势。即有 式中V a i是第i个点电荷单独存在时在a点产生的电势。显然，如果我们将带电体系分成若干部分（不一定是点电荷），上述结论 仍然是正确的。即，任意一个电荷体系的电场中任意一点的电势， 等于带电体系各部分单独存在时在该点产生电势的代数和。这个结 论叫做电势叠加原理。 若一个电荷体系是由点电荷组成的，则每个点电荷的电势可以按上式进行计算，而总的电势可由电势叠加原理得到，即 式中r i是从点电荷q i到a点的距离。（应用这个公式时，电势 零点取在∞处）。 测量介电常数的方法探究 班级: 姓名: 序号: 学号: 学院: 测量介电常数的方法探究 介电常数应用在科技的方方面面，但是如何测得介电常数以保证需要呢，本文就几种主流测量方法进行了探究。 主流的测量介电常数的方法即空间波法和探针法。 空间波法：空间波法是一种介电常数的实地检测法。用该方法测量介电常数时，可以将测量仪器拿到被测物所在位置进行无损的实地测量，可获得最接近微波遥感真实值的介电常数。 微波遥感的典型目标，如土壤、沙地岩石、水体、冰雪、各类作物、各类草地、森林等，当其表面统计粗糙度远远小于所使用的波长时可用菲涅尔反射系数描述其介电常数与观测角之间的关系： R ∥ =（cosθ- εr?sin2θ）/（cosθ+ εr?sin2θ）（1） R ⊥ =（εr cosθ- εr?sin2θ）/（εr cosθ+ εr?sin2θ）（2） 其中εr为目标物的相对介电常数，R ∥为水平极化反射系数，R ⊥ 为垂直极化反 射系数，θ为入射角。只要测得以上参数，经过绝对定标或者相对定标后，通过数学运算就可以反演得到介电常数。 空间波测量介电常数是利用菲涅尔反射定律进行的，要求所用波长大于被测目标的统计粗糙度，在粗糙度大时会影响精度，这时必须引入粗糙度修正量。可以利用加大观测角以提高粗糙表面物的测量精度，从实际中，对土壤、草丛、冰的测量结果看是比较好的。 探针法：在探针法实地测量介质介电常数时，探针的位置一般有两种：即全部没入待测介质中和探针位于空气和介质构成的接触面上。在两种情况下，样品的介电常数都可以通过在非谐振时测量的反射波、传输波或者谐振时测量的谐振频率和3dB带宽等参数来反演得到。 探针法测量介电常数，可以使用的探针有：单极振子、波导和同轴线等。相对于其他探针，单极振子的结构简单，测量方便，且可以获得相对比较精确地测量结果，是目前探针法实地测量介电常数研究中的一个热点。 单极振子：用单极振子探针法测量介电常数主要是通过测量反射系数ρ、 天线的输入阻抗Z n （或导纳Y）、S参数、天线谐振长度h r 和激励电阻抗R r 或谐 振频率f s 和3dB带宽的变化等来反眼。这些放发根据原理和测量值的不同可以 分为反射法、传输发和谐振法。 波导探针：微波可以穿透介质并且在不连续点产生的反射波与介质的电特性有关，由此发展了许多使用微波非破坏性技术来测量材料在微波频率的电磁性质。现有一种在8-12GHz频率范围内使用一个边缘开端矩形波导探针同时测材料的复介电常数和导磁率的技术。在该技术中，由非连续接触面的边界条件，得到了关于未知孔径电厂的两个积分等式（EFLE`s）。假定探针孔径中的总电场不仅包 括TE 10 模，而且还有无限的高阶模式，由矩量法可以解决EFLE`s。当孔径的电厂精确决定之后，其他相关的系数如主模下探针的输入导纳和反射系数等，都可以计算出来，从而很容易得到介质的介电常数。 9.（本题3分）（1085） 图中实线为某电场中的电场线，虚线 表示等势（位）面，由图可看出： (A) E A ＞E B ＞E C ，U A ＞U B ＞U C ． (B) E A ＜E B ＜E C ，U A ＜U B ＜U C ． (C) E A ＞E B ＞E C ，U A ＜U B ＜U C ． (D) E A ＜E B ＜E C ，U A ＞U ＞U ． 8.（本题3分）（1046） 如图所示，边长为l 的正 方形，在其四个顶点上各放有等量的点电荷．若正方形中心O 处的场强值和电势值都等于零，则： (A) 顶点a 、b 、c 、d 处都是正电荷． (B) 顶点a 、b 处是正电荷，c 、d 处是负电荷． (C) 顶点a 、c 处是正电荷，b 、d 处是负电荷． (D) 顶点a 、b 、c 、d 处都是负电 荷． ［ ］ b a 4. （本题8分）（1651） 如图所示，一内半径为a、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷． (2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． (3) 球心O点处的总 3 （1024-8） 有一电荷面密度为σ的“无限大”均匀带电平面．若以该平面处为电势零点，试求带电平面周围空间的电势分布． 解：选坐标原点在带电平面所在处，x轴垂直于平面．由高斯定理可得场强分布为 E=±σ / (2ε0) (式中“＋”对x＞0区域，“－” 对x＜0区域) . 平面外任意点x处电势： 在x ≤0区域 0002d 2d εσεσx x x E U x x =-= =?? 在x ≥0区域 00002d 2d εσεσx x x E U x x -===?? 7（1589） 一半径为R 的均匀带电球面，带有电荷 Q ．若设该球面上电势为零，则球 面内各点电势U ＝ ____________________________． 23. 两导体球A 、B ．半径分别为R 1 = 0.5 m ，R 2 =1.0 m ，中间以导线连接，两球外分别包以内半径为R =1.2 m 的同心导体球壳(与导线绝缘) 并接地，导体间的介质均为空气， 平行板谐振法测量微波介质介电常数性能 一．平行板谐振法测试原理 图 i Post Resonance Technique 实验测试装置如图i ，测试样品为圆柱状，放置在两个平行的金属板中，微波功率通过由样品和两个平行金属板组成的腔体耦合。输入和输出通过两个天线耦合。在某一频率下，该腔体的阻抗达到最小，即产生谐振，此时穿过的功率最大。该腔体的谐振特性可以通过一个矢量网络分析仪来得到直观显示。 实际测量中，常用TE011模来确定样品的介电性质。因为本测试装置可以在矢量网络分析仪上产生许多不同模式的谐振峰，本实验采用011T E 谐振模式（处于第二低的谐振频率处，最低的谐振频率是111H E 模式）。 本实验主要讨论介电常数的测量，至于电解质损耗和辐射损耗不做讨论。采用本测试方法的主要优势是 需要测量的参数有，样品厚度L 、样品直径D （D=2a ）和谐振频率0f 电介常数可以通过以下公式计算得到： ()2 22 0012r ci c k k λεπ?? =++ ??? （1） 2 2 200212co k L λπλ?????? =-?? ? ????????? （2） ()() () 0000110()ci c c ci ci c J k a k a K k a J k a k a K k a =- （3） 00 c f λ= （4） 其中， J 和k 分别为第一类Bessel 函数和修正Bessel 函数，通过（3）可以求出ci k （采用数值方法，matlab 程序见附录） 二.实验过程 测量的参数如下： L = 8.01mm, D = 14.06mm f0 = 4.421401GHz 根据（1）--（4）式，可以求出r ε值，计算的值如下： 0λ=68 mm 0c k =381.20 ci k =426.34 r ε=39.14 计算过程见附录。 三.讨论 本实验并未讨论损耗角及品质因数的测量，随之的辐射损耗及电损耗并未讨论。采用此方法，不能精确测量平行板的表面阻抗[1]，损耗角的测量也不准确;其次，样品的尺寸要求较大，若对于单晶体，很难制造[1]。可参考文献[2],有具体的改进方法。本方案的主要优势是计算的公式较完善，且很可靠。也因此，此方案仍被采用。 参考文献 [1] Sheen J 2005 Study of microwave dielectric properties measurements by various resonance techniques Measurement 37 123-30 [2] Sheen J 2008 A dielectric resonator method of measuring dielectric properties of low loss materials in the microwave region IOP Science Measurement Science and Technology 附录 %***************************************************** %******************* Post Resonance Technique *********** %*****************“微波测量之特别培养实验课”******** % Author:高永振 Date ：2012-5-3 clear all; format long; % 实验的基本参数 电压、电位的计算 【知识要点】 1.电压和电位的关系及计算方法。 2.电路中的简化电源。 【知识精讲】 1.电位的定义 在电路中任选一个电位参考点，或者叫作零电位点，则电路中某一点A到参考点的电压叫作这一点的电位，用V A表示。 2.电位与电压关系 两点之间的电压等于两点电位之差U ab＝V a－V b，电位的单位与电压的单位相同。 3.电位正负值意义 正值：表示该点电位高于参考点，正值越大，电位越高。 负值：表示该点电位低于参考点，负值越大，电位越低。 说明：(1)电位相对性，如果不确定参考点，讨论电位的高低无实际意义。 (2)在同一电路中，参考点改变时，各点电位值也会相应改变。 (3)在同一电路中，参考点确定后，电路中各点电位有唯一确定数值(电位单值性原理)。 4.电路简化形式复原为一般形式 如图所示，在简化电路中找到零电位点(若电路中没有可任意假设电路外任意一点)，然后在已知电位点与零电位点之间接入电压源，已知电位点为“＋”则接电压源“＋”，反之接“－”，电压源的电动势即为该点电位大小。 5.电路中各点电位及两点间电压的分析和计算 (1)电路中各点电位的计算 首先选定电路的零电位，从计算点通过一定的路径绕到零电位点(路径应尽可能简捷，一般不应通过电流源)，该点的电位即等于此路径上全部电压的代数和。如果在绕行过程中遇到电源并且为从正极到负极，则加上电源电压值；如为从负极到正极，则减去电源电压值。如果遇到电阻，则根据电阻上的电流方向，绕行方向与电流方向相同，则加上电压降IR；相反减去电压降IR。 (2)利用电压为电位之差的定义，可以方便地根据各点的电位求出任意两点间的电压。反过来也可以先根据欧姆定律求出电压，然后根据所求出的电压，再运用电压电位关系式来确定某点电位。 (3)根据电路中各点电位的情况，可以判断电路或器件的工作状态。(如三极管工作状态的判定) 【课堂练习】 1.求下图所示电路中a, b, c, d四点电位。 2.如图(1)所示电路中，试求S断开时和开关闭合时两种情况下的A点电位V。 图(1)图(2)图(3) 1、我们常用的PCB介质是FR4材料的，相对空气的介电常数是4.2-4.7。这个介电常数是会随温度变化的，在0-70度的温度范围内，其最大变化范围可以达到20%。介电常数的变化会导致线路延时10%的变化，温度越高，延时越大。介电常数还会随信号频率变化，频率越高介电常数越小。100M以下可以用4.5计算板间电容以及延时。 2、一般的FR4材料的PCB板中内层信号的传输速度为180ps/inch(1inch=1000mil=2.54cm)。表层一般要视情况而定，一般介于140与170之间。 3、实际的电容可以简单等效为L、R、C串联，电容有一个谐振点，在高频时(超过这个谐振点)会呈现感性，电容的容值和工艺不同则这个谐振点不同，而且不同厂家生产的也会有很大差异。这个谐振点主要取决于等效串联电感。现在的比如一个100nF的贴片电容等效串联电感大概在0.5nH左右，ESR(等效串联电阻)值为0.1欧，那么在24M 左右时滤波效果最好，对交流阻抗为0.1欧。而一个1nF的贴片电容等效电感也为0.5nH(不同容值差异不太大)，E SR为0.01欧，会在200M左右有最好的滤波效果。为达好较好的滤波效果，我们使用不同容值的电容搭配组合。但是，由于等效串联电感与电容的作用，会在24M与200M之间有一个谐振点，在这个谐振点上有最大阻抗，比单个电容的阻抗还要大。这是我们不希望得到的结果。（在24M到200M这一段，小电容呈容性，大电容已经呈感性。两个电容并联已经相当于LC并联。两个电容的ESR值之和为这个LC回路的串阻。LC并联的话如果串阻为0，那么在谐振点上会有一个无穷大的阻抗，在这个点上有最差的滤波效果。这个串阻反倒会抑制这种并联谐振现象，从而降低LC谐振器在谐振点的阻抗）。为减轻这个影响，可以酌情使用ESR大些的电容。ESR相当于谐振网络里的串阻，可以降低Q值，从而使频率特性平坦一些。增大ESR会使整体阻抗趋于一致。低于24M的频段和高于200M的频段上，阻抗会增加，而在24M与200M频段内，阻抗会降低。所以也要综合考虑板子开关噪声的频带。国外的一些设计有的板子在大小电容并联的时候在小电容(680pF)上串几欧的电阻，很可能是出于这种考虑。(从上面的参数看，1nF的电容Q值是100nF电容Q值的10倍。由于手头没有来自厂商的具体等效串感和ESR的值，所以上面例子的参数是根据以往看到的资料推测的。但是偏差应该不会太大。以往多处看到的资料都是1nF和100nF的瓷片电容的谐振频率分别为100M和10M，考虑贴片电容的L要小得多，而又没有找到可靠的值，为讲着方便就按0.5nH计算。如果大家有具体可靠的值的话，还希望能发上来^_^) 介电常数（Dk, ε，Er）决定了电信号在该介质中传播的速度。电信号传播的速度与介电常数平方根成反比。介电常数越低，信号传送速度越快。我们作个形象的比喻，就好想你在海滩上跑步，水深淹没了你的脚踝，水的粘度就是介电常数，水越粘，代表介电常数越高，你跑的也越慢。 介电常数并不是非常容易测量或定义，它不仅与介质的本身特性有关，还与测试方法，测试频率，测试前以及测试中的材料状态有关。介电常数也会随温度的变化而变化,有些特别的材料在开发中就考虑到温度的因素.湿度也是影响介电常数的一个重要因素,因为水的介电常数是70,很少的水分,会引起显著的变化. 以下是一些典型材料的介电常数(在1Mhz下)： 介电常数常用测量方法综述 来源：互联网 摘要：介电常数测量技术在民用，工业以及军事等各个领域应用广泛。本文主要对介电常数测量的常用方法进行了综合论述。首先对国家标准进行了对比总结；然后分别论述了几种常用测量方法的基本原理、适用范围、优缺点及发展近况；最后对几种测量方法进行了对比总结，得出结论。 关键词：介电常数；国家标准；常用方法 1. 引言 介电常数是物体的重要物理性质，对介电常数的研究有重要的理论和应用意义。电气工程中的电介质问题、电磁兼容问题、生物医学、微波、电子技术、食品加工和地质勘探中，无一不利用到物质的电磁特性，对介电常数的测量提出了要求。目前对介电常数测量方法的应用可以说是遍及民用、工业、国防的各个领域。 在食品加工行业当中，储藏、加工、灭菌、分级及质检等方面都广泛采用了介电常数的测量技术。例如，通过测量介电常数的大小，新鲜果蔬品质、含水率、发酵和干燥过程中的一些指标都得到间接体现，此外，根据食品的介电常数、含水率确定杀菌时间和功率密度等工艺参数也是重要的应用之一[1]。 在路基压实质量检测和评价中，如果利用常规的方法，尽管测量结果比较准确，但工作量大、周期长、速度慢且对路面造成破坏。由于土体的含水量、温度及密度都会对其介电特性产生不同程度的影响，因此可以采用雷达对整个区域进行测试以反算出介电常数的数值，通过分析介电性得到路基的密度及压实度等参数，达到快速测量路基的密度及压实度的目的[2]。此外，复介电常数测量技术还在水土污染的监测中得到了应用[3]。并且还可通过对岩石介电常数的测量对地震进行预报[4]。 上面说的是介电常数测量在民用方面的部分应用，其在工业上也有重要的应用。典型的例子有低介电常数材料在超大规模集成电路工艺中的应用以及高介电常数材料在半导体储存器件中的应用。在集成电路工艺中，随着晶体管密度的不断增加和线宽的不断减小，互联中电容和电阻的寄生效应不断增大，传统的绝缘材料二氧化硅被低介电常数材料所代替是必然的。目前Applied Materials的Black Diamond作为低介电常数材料，已经应用于集成电路介电常数的测定 (4)
大学物理实验介电常数的测量的讲义
介电常数的测量
点电荷周围的电势计算
电势计算方法
介电常数测量
大物 电势计算
平行板谐振法测量微波介质介电常数性能(实验报告)
五、电压、电位的计算
PCB介电常数常识
介电常数常用测量方法综述