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2018年华东师大版八年级数学下全册教案

第17章 分式 §17.1.1 分式的概念

教学目标:

1、经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式

2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式

3、能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件,渗透数学中的类比,分类等数学思想。

教学重点:

探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点:

能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。 教学过程: 一、做一做

(1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_____米; (2)面积为S 平方米的长方形一边长a 米,则它的另一边长为________米; (3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的售价是___元; 二、概括:

形如

B

A

(A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式,分式. 三、例题:

例1 下列各有理式中,哪些是整式?哪些是分式?

(1)

x 1; (2)2x ; (3)y

x xy +2; (4)33y x -.

解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3).

注意:在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没有意义.例如,在分式a S 中,a ≠0;在分式n

m -9

中,m ≠n.

例2 当x 取什么值时,下列分式有意义?

(1)

11-x ; (2)3

22+-x x . 分析 要使分式有意义,必须且只须分母不等于零. 解 (1)分母1-x ≠0,即x ≠1.

所以,当x ≠1时,分式

1

1

-x 有意义. (2)分母23+x ≠0,即x ≠-2

3

.

所以,当x ≠-23时,分式3

22

+-x x 有意义.

四、练习:

P5习题17.1第3题(1)(3)

1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 2

38y y -,91-x

2. 当x 取何值时,下列分式有意义?

(1) (2) (3) 4522--x x x x 235-+2

3+x

五、小结:

什么是分式?什么是有理式? 六、作业:

P5习题17.1第1、2题,第3题(2)(4) 教学反思:

§17.1.2 分式的基本性质

教学目标:

1、掌握分式的基本性质,掌握分式约分方法,熟练进行约分,并了解最简分式的意义。

2、使学生理解分式通分的意义,掌握分式通分的方法及步骤。 教学重点:

让学生知道约分、通分的依据和作用,学会分式约分与通分的方法。 教学难点:

1、分子、分母是多项式的分式约分;

2、几个分式最简公分母的确定。 教学过程:

1、分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. 用式子表示是:

M

B M A B A M B M A B A ÷÷=??=, ( 其中M 是不等于零的整式)。 与分数类似,根据分式的基本性质,可以对分式进行约分和通分. 2、例3 约分

(1)4

3

22016xy y x -; (2)44422+--x x x

分析 分式的约分,即要求把分子与分母的公因式约去.为此,首先要找出分子与分母的公因式.

解(1)4

322016xy

y x -=-y xy x

xy 544433??=-y x 54. (2)44422+--x x x =2)2()2)(2(--+x x x =22-+x x . 约分后,分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式..... 3、练习:P5 练习 第1题:约分(1)(3) 4、例4 通分

(1)

b a 21,21ab ; (2)y x -1,y x +1; (3)221y x -,xy

x +21

解 (1)

b a 21与21ab

的最简公分母为a 2b 2

,所以 b a 21=b b a b ??21=22b a b , 2

1ab =a ab a ??21=22b a a

.

(2)

y x -1与y

x +1的最简公分母为(x -y )(x +y ),即x 2-y 2

,所以 y x -1=))((1y x y x y x +-+?)(=22y x y x -+, y x +1=))(()(1y x y x y x -+-?=2

2y x y x --. 请同学们根据这两小题的解法,完成第(3)小题。 5、练习P5 练习 第2题:通分

6、小结:(1)请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质;

(2)分式的约分运算,用到了哪些知识?

让学生发表,互相补充,归结为:①因式分解;②分式基本性质;③分式中符号变换规律;约分的结果是,一般要求分、分母不含“-”。

(3)把几个异分母的分式,分别化成与原来分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。分式通分,是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式,根据分式基本性质,通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母,从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”,才能化成同一分母。确定公分母的方法,通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母,这样的公分母叫做最简公分母。 7、作业:

P5练习 1约分:第(2)(4)题,习题17.1第4题 8、课后反思:

§17.2 分式的运算 §17.2.1 分式的乘除法

教学目标:

1、让学生通过实践总结分式的乘除法,并能较熟练地进行式的乘除法运算。

2、使学生理解分式乘方的原理,掌握乘方的规律,并能运用乘方规律进行分式的乘方运算

3、引导学生通过分析、归纳,培养学生用类比的方法探索新知识的能力 教学重点:

分式的乘除法、乘方运算 教学难点:

分式的乘除法、混合运算,以及分式乘法,除法、乘方运算中符号的确定。 教学过程:

一、复习与情境导入

2018年华东师大版八年级数学下全册教案

1、(1) :什么叫做分式的约分?约分的根据是什么? (2):下列各式是否正确?为什么?

2、尝试探究:计算:

(1)a

b b a 32232?; (2)b a b a 232÷.

回忆:如何计算10965?、4

3

65÷?

从中可以得到什么启示。

到的不是最简分式,应该通过约分进行化简.

分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.(用式子表示如右图所示) 二、例题:

例1计算:

(1)x

b ay by x a 22

22?; (2)222222x b yz a z b xy a ÷.

解 (1)x b ay by x a 2222?=x b by ay x a 2222??=33

b a . (2)222222x b yz a z b xy a ÷=yz a x b z b xy a 222222?=33z x .

例2计算:4

9

3222--?+-x x x x . 解 原式=

)2)(2()

3)(3(32-+-+?+-x x x x x x =2

3+-x x . 三、练习:P7 第1题 四、思考

怎样进行分式的乘方呢?试计算:

(1)(

m n )3 (2)(m n )k

(k 是正整数) (1)(

m n )3 =m n m n m n ??=)()(m m m n n n ????=________; (2)(

m n )k =

k m n m n m n ???=)()(m m m n n n ?????? =___________. 仔细观察所得的结果,试总结出分式乘方的法则.

五、小结:

1、怎样进行分式的乘除法?

2、怎样进行分式的乘方? 六、作业:

P9习题19.2第1题 P7练习:第2题:计算 七、课后反思:

§17.2.2 分式的加减法

教学目标:

1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减,能熟练地进行同分母,异分母分式的加减运算。

2、通过同分母、异分母分式的加减运算,复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式通分,培养学生分式运算的能力。

3、渗透类比、化归数学思想方法,培养学生的能力。 教学重点:

让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。

回忆:如何计算5251+、6

1

41+,

从中可以得到什么启示?

分式的分子是多项式的分式减法的符号法则,去括号法则应用。 教学过程: 一、实践与探索

1、回忆:同分母的分数的加减法法则:

同分母的分数相加减,分母不变,把分子相加减。 2、试一试:

计算:(1)

a a

b 2+;(2)ab

a 3

22- 3、总结一下怎样进行分式的加减法?

概括

同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;

异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减. 二、例题

1、例3计算:xy

y x xy y x 2

2)()(--

+ 2、例4 计算:

16

24

432---x x . 分析..

这里两个加项的分母不同,要先通分.为此,先找出它们的最简公分母. 注意到162

-x =)4)(4(-+x x ,所以最简公分母是)4)(4(-+x x

16

24

432---x x =

)4)(4(2443-+--x x x =)4)(4(24)4)(4()4(3-+--++x x x x x =)4)(4(24

)4(3-+-+x x x =

)4)(4(123-+-x x x =)4)(4()

4(3-+-x x x =4

3+x

三、练习:P9第1题(1)(3)、第2题(1)(3)

四、小结:

1、同分母分式的加减法:类似于同分母的分数的加减法;

2、异分母分式的加减法步骤:

①. 正确地找出各分式的最简公分母。

求最简公分母概括为:(1)取各分母系数的最小公倍数;(2)凡出现的字母为底的幂的因式都要取;(3)相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。 ②. 准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。 ③. 用公分母通分后,进行同分母分式的加减运算。 ④. 公分母保持积的形式,将各分子展开。 ⑤. 将得到的结果化成最简分式(整式)。

五、作业:

P9习题17.2第2、3、4题 六、课后反思:

§17.3 可化为一元一次方程的分式方程(1)

教学目标:

1、使学生理解分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.

2、使学生理解增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.

3、使学生领会“ 转化”的思想方法,认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.

4、培养学生自主探究的意识,提高学生观察能力和分析能力。 教学重点:

使学生理解分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程. 教学难点:

使学生理解增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.

教学过程:

一、问题情境导入

轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度.

分 析

设轮船在静水中的速度为x 千米/时,根据题意,得

3

60

380-=+x x . (1) 概 括

方程(1)中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程. 思 考

怎样解分式方程呢?有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢?试动手解一解方程(1). 方程(1)可以解答如下:

方程两边同乘以(x +3)(x -3),约去分母,得

80(x -3)=60(x +3).

解这个整式方程,得

x =21.

所以轮船在静水中的速度为21千米/时. 概 括

上述解分式方程的过程,实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.

二、例题: 1、例1 解方程:

1

2112-=-x x . 解 方程两边同乘以(x 2

-1),约去分母,得

x +1=2.

解这个整式方程,得

x =1.

解到这儿,我们能不能说x =1就是原分式方程的解(或根)呢?细心的同学可能会发现,当x =1时,原分式方程

左边和右边的分母(x -1)与(x 2

-1)都是0,方程中出现的两个分式都没有意义,因此,x =1不是原分式方程的解,应当舍去.所以原分式方程无解.

我们看到,在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为增根.因此,在解分式方程时必须进行检验. 30

100

解 方程两边同乘以x (x -7),约去分母,得

100(x -7)=30x .

解这个整式方程,得

x =10.

检验:把x =10代入x (x -7),得

10×(10-7)≠0

所以,x =10是原方程的解. 三、练习:P14第1题 四、小结:

⑴、什么是分式方程?举例说明;

⑵、解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.解这个整式方程..验根,即把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,若结果不是0,说明此根是原方程的根;若结果是0,说明此根是原方程的增根,必须舍去.

⑶、解分式方程为什么要进行验根?怎样进行验根? 五、作业:

P14 习题17.3第1题(1)(2)、第2题 六、课后反思:

§17.3 可化为一元一次方程的分式方程(2)

教学目标:

1、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。

2、通过分式方程的应用教学,培养学生数学应用意识。 教学重点:

让学生学习审明题意设未知数,列分式方程 教学难点:

在不同的实际问题中,设元列分式方程 教学过程:

一、复习并问题导入 1、复习练习

解下列方程:(1)

21413-++=+-x x x x (2)6

27

2332+=++x x 2、列方程解应用题的一般步骤?

[概括]:这些解题方法与步骤,对于学习分式方程应用题也适用。这节课,我们将学习列分式方程解应用题。 二、实践与探索:列分式方程解应用题

例3某校招生录取时,为了防止数据输入出错,2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍,然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩?

解 设乙每分钟能输入x 名学生的成绩,则甲每分能输入2x 名学生的成绩,根据题意得

x 22640=

6022640

?-x

. 解得 x =11.

经检验,x =11是原方程的解.并且x =11,2x =2×11=22,符合题意. 答:甲每分钟能输入22名学生的成绩,乙每分钟能输入11名学生的成绩.

三、练习:

P14 第2、3题 四、小结:

列分式方程解应用题的一般步骤: (1)审清题意;

(2)设未知数(要有单位);

(3)根据题目中的数量关系列出式子,找出相等关系,列出方程; (4)解方程,并验根,还要看方程的解是否符合题意; (5)写出答案(要有单位)。 五、作业:P14 习题17.3第1题(3)(4),第3题 六、教学后记

§17.4零指数幂与负整指数幂 §17.4.1零指数幂与负整指数幂

教学目标:

1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义。

2、使学生掌握n

n

a a

1

=

-(a ≠0,n 是正整数)并会运用它进行计算。 3、通过探索,让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。 教学重点、难点:

不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点。

教学过程:

一、复习并问题导入

问题1 在§13.1中介绍同底数幂的除法公式n

m n

m

a

a a -=÷时,有一个附加条件:m >n ,即被除数的指数大于除数

的指数.当被除数的指数不大于除数的指数,即m = n 或m <n 时,情况怎样呢?

二、探索1:不等于零的零次幂的意义

先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式:

52÷52,103÷103,a 5÷a 5

(a ≠0).

一方面,如果仿照同底数幂的除法公式来计算,得

52

÷52

=52-2

=50

,103

÷103

=103-3

=100

,a 5

÷a 5

=a 5-5

=a 0

(a ≠0).

另一方面,由于这几个式子的被除式等于除式,由除法的意义可知,所得的商都等于1. [概 括]:

由此启发,我们规定:50=1,100=1,a 0

=1(a ≠0). 这就是说:任何不等于零的数的零次幂都等于1. 三、探索2:负指数幂

我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况,例如考察下列算式:

52

÷55

, 103

÷107

一方面,如果仿照同底数幂的除法公式来计算,得

52÷55=52-5=5-3, 103÷107=103-7=10-4. 零的零次幂没有意义!

52

÷55

=5255=322555?=351 103÷107

=731010=4

3310

1010?=4101 [概 括]:

由此启发,我们规定: 5-3

3

5

1, 10-4

=4101. 一般地,我们规定:n n

a

a 1=- (a ≠0,n 是正整数)

这就是说,任何不等于零的数的-n (n 为正整数)次幂,等于这个数的n 次幂的倒数. 四、例题:

1、例1计算:(1)3-2

; (2)10

1031-???

? ??

2、例2 用小数表示下列各数:

(1)10-4; (2)2.1×10-5

. 解(1)10-4

4

101

=0.0001. (2)2.1×10-5

=2.1×510

1=2.1×0.00001=0.000021.

五、练习:P18 练习:1 六、探 索

现在,我们已经引进了零指数幂和负整指数幂,指数的范围已经扩大到了全体整数.那么,在§13.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢?与同学们讨论并交流一下,判断下列式子是否成立.

(1))3(23

2-+-=?a a

a ; (2)(a ·

b )-3=a -3b -3;

(3)(a -3)2

=a

(-3)×2

(4) )3(23

2

---=÷a a

a

七、小结:

1、引进了零指数幂和负整数幂,指数的范围扩大到了全体整数,幂的性质仍然成立。

同底数幂的除法公式a m ÷a n =a m-n

(a ≠0,m >n )

当m = n 时,a m ÷a n = 当m < n 时,a m ÷a n

= 2、任何数的零次幂都等于1吗?(注意:零的零次幂无意义。)

3、规定n

n a a 1

=

-其中a 、n 有没有限制,如何限制。 八、作业:P18 习题17.4第1题,练习第2题。 九、课后反思:

§17.4.2科学记数法

教学目标:

1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义。

2、使学生掌握n n

a

a

1

=

-(a ≠0,n 是正整数)并会运用它进行计算。 3、通过探索,让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。

幂的性质(指数为全体整数)并会用于计算以及用科学记数法表示一些绝对值较小的数。

教学难点:理解和应用整数指数幂的性质。 教学过程:

一、复习并问题导入

=0)21( ;1)3(--= ;2)41(--= ,3)10

1

(--= 二、探索:科学记数法

在§2.12中,我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数,即利用10的正整数次幂,把一个绝对值大于10的

数表示成 a ×10n 的形式,其中n 是正整数,1≤∣a ∣<10.例如,864000可以写成8.64×105

.

类似地,我们可以利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些绝对值较

小的数,即将它们表示成a ×10-n

的形式,其中n 是正整数,1≤∣a ∣<10.例如,上面例2(2)中的0.000021可以表

示成2.1×10-5

.

例3 一个纳米粒子的直径是35纳米,它等于多少米?请用科学记数法表示. 分析 在七年级上册第66页的阅读材料中,我们知道:1纳米=

9

101

米. 由

9

101=10-9可知,1纳米=10-9米.所以35纳米=35×10-9

米. 而35×10-9

=(3.5×10)×10-9

=35×101+(-9)=3.5×10-8

所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8

米. 三、练习:P18 第3、4题 四、小结:

科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于10的数,也可以表示一些绝对值较小的数,在应用中,要注意a 必须满足,1.≤∣..a .∣<..10... 其中n .是正整数....。 五、作业:P18 习题17.4 第2、3题 六课后反思:

第17章 分式复习(1)

教学目标:

1、巩固分式的基本性质,能熟练地进行分式的约分、通分。

2、能熟练地进行分式的运算。

3、能熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。

4、通过分式方程的应用教学,培养学生数学应用意识。 教学过程:

一、复习、注意事项

1. 分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似,因而在学习过程中, 要注意不断地与分数情形进行类比,以加深对新知识的理解.

2. 解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉,从而将分式方程转化为

整式方程来解,这时可能会出现增根,必须进行检验.学习时,要理解增根产生的原因,认识到检验的必要性,并会进行检验.

3. 由于引进了零指数幂与负整指数幂,绝对值较小的数也可以用科学记数 法来表示.

三、作业:P21 复习题第6(1)(4)题,第7(3)(4)题,第8题

七、教学后记

18章函数及其图象

18、1 变量与函数

第一课时变量与函数

教学目标

使学生会发现、提出函数的实例,并能分清实例中的常量和变量、自变量与函数,理解函数的定义,能应用方程思想列出实例中的等量关系。

教学过程

2018年华东师大版八年级数学下全册教案

一、由下列问题导入新课

问题l、右图(一)是某日的气温的变化图

看图回答:

1.这天的6时、10时和14时的气温分别是多少?任意给出这天中的某一时刻,你能否说出这一时刻的气温是多少吗?

2.这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?

3.这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?

从图中我们可以看出,随着时间t(时)的变化,相应的气温T(℃)也随之变化。

问题2 一辆汽车以30千米/时的速度行驶,行驶的路程为s千米,行驶的时间为t小时,那么,s与t具有什么关系呢?

问题3 设圆柱的底面直径与高h相等,求圆柱体积V的底面半径R的关系.

问题4 收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数:

波长l(m)300 500 600 1000 1500

频率f(kHz) 1000 600 500 300 200

同学们是否会从表格中找出波长l与频率f的关系呢?

二、讲解新课

1.常量和变量

在上述两个问题中有几个量?分别指出两个问题中的各个量?

第1个问题中,有两个变量,一个是时间,另一个是温度,温度随着时间的变化而变化.

第2个问题中有路程s,时间t和速度v,这三个量中s和t可以取不同的数值是变量,而速度30千米/时,是保持不变的量是常量.路程随着时间的变化而变化。

第3个问题中的体积V和R是变量,而是常量,体积随着底面半径的变化而变化.

第4个问题中的l与频率f是变量.而它们的积等于300000,是常量.

常量:在某一变化过程中始终保持不变的量,称为常量.

变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.

2.函数的概念

上面的各个问题中,都出现了两个变量,它们相互依赖,密切相关,例如:

在上述的第1个问题中,一天内任意选择一个时刻,都有惟一的温度与之对应,t是自变量,T因变量(T是t的函数).

在上述的2个问题中,s=30t,给出变量t的一个值,就可以得到变量s惟一值与之对应,t是自变量,s因变量

在上述的第3个问题中,V =2πR 2

,给出变量R 的一个值,就可以得到变量V 惟一值与之对应,R 是变量,V 因变量(V 是R 的函数).

在上述的第4个问题中,lf =300000,即l =30000

f ,给出一个f 的值,就可以得到变量l 惟一值与之对应,f 是

自变量,l 因变量(l 是f 的函数)。函数的概念:如果在—个变化过程中;有两个变量,假设X 与Y ,对于X 的每一个值,Y 都有惟一的值与它对应,那么就说X 是自变量,Y 是因变量,此时也称 Y 是X 的函数. 要引导学生在以下几个方面加对于函数概念的理解.

变化过程中有两个变量,不研究多个变量;对于X 的每一个值,Y 都有唯一的值与它对应,如果Y 有两个值与它对

应,那么Y 就不是X 的函数。例如y 2

=x 3.表示函数的方法

(1)解析法,如问题2、问题3、问题4中的s =30t 、V=2 R3、l =30000

f ,这些表达式称为函数的关系式,

(2)列表法,如问题4中的波长与频率关系表;

(3)图象法,如问题l 中的气温与时间的曲线图. 三、例题讲解

例1.用总长60m 的篱笆围成矩形场地,求矩形面积S(m 2

)与边l(m)之间的关系式,并指出式中的常量与变量,自变量与函数。

例2.下列关系式中,哪些式中的y 是x 的函数?为什么?

(1)y =3x +2 (2)y 2=x (3)y =3x 2

+x +5 四、课堂练习

课本第26页练习的第1、2,3题, 五、课堂小结

关于函数的定义的理解应注意两个方面,其一是变化过程中有且只有两个变量,其二是对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有惟一的值与它对应.对于实际问题,同学们应该能够根据题意写出两个变量的关系,即列出函数关系式。

六、作业

课本第28页习题18.1第1、2题。 七、教后记

第二课时 变量与函数

教学目标

使学生进一步理解函数的定义,熟练地列出实际问题的函数关系式,理解自变量取值范围的含义,能求函数关系式中自变量的取值范围。

教学过程 一、复习

1.填写如右图(一)所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x 表示,纵向加数用y 表示,试写出y 关于x 的函数关系式。

2.如图(二),请写出等腰三角形的顶角y 与底角x 之间的函数关系式.

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3.如图(三),等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合。试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式.

二、求函数自变量的取值范围

1.实际问题中的自变量取值范围

问题1:在上面的联系中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗?如果有.各是什么样的限制?

问题2:某剧场共有30排座位,第l排有18个座位,后面每排比前一排多1个座位,写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式,自变量的取值有什么限制。

从右边的分析可以看出,第n排的排数座位数

座位 l 18

一方面可以用18+(n-1)表 2 18+1

3 18+2

示,另一方面可以用m表示,所以……

m=18+(n-1) n 18+(n-1)

n的取值怎么限制呢?显然这个n也应该取正整数,所以n取1≤n≤30的整数或0

2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围

例1.求下列函数中自变量x的取值范围

(1)y=3x-l (2)y=2x2+7 (3)y=1

x+2

(4)y=x-2

分析:用数学表示的函数,一般来说,自变量的取值范围是使式子有意义的值,对于上述的第(1)(2)两题,x取任意实数,这两个式子都有意义,而对于第(3)题,(x+2)必须不等于0式子才有意义,对于第(4)题,(x-2)必须是非负数式子才有意义.

3.函数值

例2.在上面的练习(3)中,当MA=1cm时,重叠部分的面积是多少?

请同学们求一求在例1中当x=5时各个函数的函数值.

三、课堂练习

课本第28页练习的第1、2、3题

四、小结

通过本节课的学习,一方面,我们进一步认识了如何列函数关系式,对于几何问题中列函数关系式比较困难,有的题目的自变量的取值范围也很难确定,只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题;另一方面,对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围,考虑两个方面,其一是分母不能等于0,其二是开偶次方的被开方数是非负数.

五、作业

课本第29页的第3、4、5、6题.

六、教后记

七、教学后记

18、2 函数的图象

1.平面直角坐标系

第一课时平面直角坐标系

教学目标

使学生了解直角坐标系的由来,能够正确画出直角坐标系,通过具体的事例说明在平面上的点应该用一对有序实

教学过程

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同学们是否想到你们坐的位置可以用数来表示呢?如果从门口算起依次是第1列,第2列、……、第8列,从讲台往下数依次是第l行、第2行、……、第7行,那么×××同学的位置就能用一对有序实数来表示。

1.分别请一些同学说出自己的位置

例如,×××同学是第3排第5列,那么(3,5)就代表了这位同学的位置。

2.再请一些同学在黑板上描出自己的位置,例如右图中的黑点就是这些同学的位置. 3.显然,(3,5)和(5,3)所代表的位置不相同,所以同学们可以体会为什么一定要有序实数对才能确定点在平面上的位置。

问题:请同学们想一想,在我们生活还有应用有序实数对确定位置的吗?

二、关于笛卡儿的故事

直角坐标系,通常称为笛卡儿直角坐标系,它是以法国哲学家,数学家和自然科学家笛卡儿的名字命名的。介绍笛卡儿。

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三、建立直角坐标系

为了用一对实数表示平面内地点,在平面内画两条互相垂直的数轴,组成平面直角坐标系,水平的轴叫做轴或横轴,取向右为正方向,铅直的数轴叫做轴或纵轴,取向上为正方向,两轴的交点是原点,这个平面叫做坐标平面.

在平面直角坐标系中,任意一点都可以用对有序实数来表示.如右图中的点 P,从点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为M和N.这时,点P在x轴对应的数2,称为点P的横坐标;点P在y轴上对应的数为3,称为P点的纵坐标.依次写出点P的横坐标和纵坐标,得到一对有序实数(2,3),称为点P的坐标,这时点户可记作P(2,3)。

建立了平面直角坐标系后,两条坐标轴把平面分四个区域,分别称为第一、二、三、四象限,坐标轴不属于任何一个象限.

四、课堂练习

1.请同学们在直角坐标系中描出以下各点,并用线依次把这些点连起来,看看是什么图案.

(-4,5)、(-3,-1)、(-2,-2)、(0,-3)、(2,2)、(3,1)、(4,5)、(0,6)

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2.写出右图直角坐标系中A、B、C、D、E、F、O各点的坐标.

3.课本第32页的第3、4题

五、小结

本节课我们认识了平面直角坐标系,通过上面的讲解和练习可以知道,平面上的点都可以用有序实数来表示,也必须用有序实数表示;反过来,任何一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点,所以,在平面直角坐标系中的点和有序实数对是成一一对应的关系。

六、作业

课本第37页习题18.2的第1、2、3题.

七、教后记

第二课时平面直角坐标系

使学生进一步理解平面直角坐标系上的点与有序实数对是一一对应关系.掌握关于x 轴y 轴和原点对称的点的坐标的求法,明确点在x 轴、y 轴上坐标的特点,能运用这些知识解决问题,培养学生探索问题的能力.

教学过程 一、复习

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在直角坐标系中分别描出以下各点: 1、 A(3,2)、B(3,-2)、C(-3,2)、 D(-3,-2).

2、分别写出点P 、Q 、R 、S 、M 、N 的坐标。

3、写出点E 、F 的坐标。 二、探索与思考

通过以上练习,鼓励同学们自己提出问题,进而得出结论。若没有办法,可以通过以下思考题给予启发。

1.在四个象限内的点的横、纵坐标的符号是怎样的? 2.两条坐标轴上的点的坐标有什么特点?

3.若点在第一、三象限角平分线上或者在第二、四象限角平分线上,它的横、纵坐标有什么特点? 4.关于x 轴、y 轴原点对称的点的横纵坐标具有什么关系? 通过对照以上图形讲解,启发学生得到如下结论:

第一象限(+,+),第二象限(-,+)第三象限(-、-)第四象限(+,-);

x 轴上的点的纵坐标等于0,反过来,纵坐标等于0的点都在x 轴上,y 轴上的点的横坐标等于0,反过来,横坐标等于0的点都在y 轴上,

若点在第一、三象限角平分线上,它的横坐标等于纵坐标,若点在第二,四象限角平分线上,它的横坐标与纵坐标互为相反数;

若两个点关于x 轴对称,横坐标相等,纵坐标互为相反数;若两个点关于y 轴对称,纵坐标相等,横坐标互为相反数;若两个点关于原点对称,横坐标、纵坐标都是互为相反数。

三、例题讲解

例1,如果A(1-a ,b +1)在第三象限,那么点B(a ,b)在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

分析:若要判断点在第几象限,关键是看横纵坐标的符号,从这题来看,就是要判断a 、b 的符号。

四、课堂练习

1.求点A(2,-3)关于x 轴对称y 轴对称、原点对称的坐标;

2.若A(a -2,3)和A1(-1,2b +2)关于原点对称,求a 、b 的值。

3.已知:P(3m -25,m +1

3

)点在y 轴上,求P 点的坐标。

五、小结

这节课通过开始的练习探讨坐标轴、各个象限角平分线上的点的坐标有什么特点、各个象限的点的横纵坐标的符号以及关于x 轴、y 轴;原点对称的点横纵坐标的关系,知识比较零散,需要同学们理解后加以记忆。

六、作业 :补充习题 七、教后记:

2.函数的图象

第一课时 函数的图象(一)

教学目标

使学生理解函数的图象是由许多点按照一定的规律组成的图形,能够在平面 直角坐标系内画出简单函数的图象. 教学过程

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问题:右边的气温曲线图给了我们许多信息,例如,那一时刻的气温最高,那一时刻的气温最低,早上6点的气温是多少?也许许多同学都可以看出来,那么请同学们说说你是如何从上面的气温曲线图中知道这些信息的.待同学回答完毕,教师给予解释:

在上面的图形中,有一个直角坐标系,它的横轴与轴,表示时间;它的纵轴是轴,表示气温,这一气温曲线图实质上给出某日气温T(℃)与时间,(时)的函数关系,因为对于一日24小时的任何一刻,都有惟一的温度与之对应。例如,上午10时的气温是 2℃,表现在曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标(10,2),也就是说,当t=10时,对应的函数值T=2.由于坐标平面上的点与有序实数对是一一对应的关系,因此,气温曲线图是由许许多多的点(t,T)组成的。

二、函数的图象

1.函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成,图象上的每一点坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,即把自变量x与函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出相应的点,这些点组成的图形,就是这个函数的图象。

2.画函数的图象

例1.画出函数y=x2的图象

分析:要画出一个函数的图象,关键是要画出图象上的一些点,为此,要取一些自变量的值,并求出对应的函数值.

第一步,列表。第二步,描点。第三步,连线。

用光滑曲线依次把这些点连起来,便可得到这个函数的图象。

三、课堂练习

课本第34页练习的第1、2题

四、小结

1.函数图象上的点的坐标是函数的自变量与函数值的一对对应值。 2.根据列表、描点、连线这三个步骤画出简单函数的图象.

五、作业

课本第37页习题18.2的第4、5题.

六、教后记:

第二课时函数的图象(二)

教学目标

通过观察函数的图象,深刻领会函数中两个变量的关系,能够从所给的图象中获取信息,从而解答一些简单的实际问题.

教学过程

一、从所给的函数图象中获取信息

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例1、王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山.有一天,小强让爷爷先上,然后追赶爷爷;右图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离 (米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时),看图回答下列问题:

1.小强让爷爷先上多少米?

2.山顶距离山脚多少米?谁先爬上山顶?

3.小强通过多少时间追上爷爷?

分析:从题意可以知道,线条①表达了小强离开山脚的距离与爬山所用时

线并不是小强与爷爷的爬山路线)。刚开始计时时,爷爷已经在小强的前方60米处,小强让爷爷先上60米;从上图来看,山顶距离山脚300米,因为小强登上山顶用的时间比爷爷用的少,所以,小强比爷爷快登上山顶;小强经过8分钟追上爷爷。

例2.如图表示某学校秋游活动时,学生乘坐旅游车所行走的路程与时间的关系的

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示意图,请根据示意田回答下列问题:

1.学生何时下车参观第一风景区?参观时间有多长?

2.11:00时该车离开学校有多远?

3.学生何时返回学校,返回学校时车的平均速度是多少?

分析:从图象上可以看出,该校学生上午8点出发,8点到9点、10点半到11点半、14点到16点这些时段路程有发生变化,说明学生是在路途中,而9点到l0点半、11点半到14点这两个时段的路程没有发生变化,说明学生在参观景区或休息。如果同学们能够从图象上获取这些信息,对于上述的几个问题就容易得到解决。

二、课堂练习

课本第35页练习的第1、2题,等待学生思考后,解答。

三、小结

本节课进一步认识函数的图象,懂得如何从函数的图象中获取我们所要的信息,希望同学们多观察图象,应用所学的知识来获得信息,解决问题.

四、作业

1.课本第35页练习的第2、3题。

2.课本第38页习题18.2的第6题。

五、教后记:

18.3 一次函数

1.一次函数

教学目标

1.经历探索过程,发展学生的抽象思维能力.

2.理解一次函敷和正比例函数的概念。

3.能根据已知条件,写出简单的一次函数表达式,进一步发展学生的数学应用能力.

教学过程

一、创设问题情境

问题l:小明暑假第一次去北京,汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均速度是95千米/时.巳知A地直达北京的高速公路全程为 570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.

分析:我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值.显然,应该探究这两个量的变化规律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s 千米,根据题意,s和t的函数关系式是

S=570-95t (1)

说明:找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量,s是t的函数,t是自变量,s为因变量。

问题2:小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来,他已存有50元,从现在起每个月存12元。试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式.

分析:我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为9元,得到所求函数关系式为

y=__________ (2)

问题3:以上(1)与(2)表示的这两个函数有什么共同点?

(上述(1)与(2)表示的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的)

函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.一次函数通常可以表示为y =kx+b 的形式,其中k 、b 是常数,k ≠0。当b=0时,一次函数y =kx(常数k ≠0)也叫做正比例函数.正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例。

三、范例

例1.梯形的上下底边长分别为6cm 和l0cm ,写出梯形的面积与它的高之间的函数关系式,并问这是一次函数吗?是正比例函数吗?

例2.写出多边形的内角和与它的边数之间的函数关系式,利用这函数关系式求边数取多少时,其内角和等于900度?

四、课堂练习

P40页练习1、2以及P41页练习3。 五、作业

P47页习题18.3 2、3。

六、教后记

2.一次函数的图象

第一课时 一次函数的图象(一)

教学目标

1.经历一次函数的作图过程,能熟练地作出一次函数的图象.

2.探索一次函数图象的特点以及某些一次函数图象的异同点,培养学生发现问题和解决问题的能力。 教学过程 一、复习

1.作函数图象一般步骤是什么?

2.在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象.

(1)y =12 x (2)y =1

2

x +2 (3)y =3x (4)y =3x +2

教学要点:要求学生按照列表、描点、连线的一般作图步骤作出函数图象;请两位同学板演;在学生互相评判的

基础上教师加以评析.

二、提出问题,解决问题

问题l :以上四个一次函数图象是什么形状呢?

让学生观察、讨论,得出四个函数的图象都是直线.

问题2:一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象都是一条直线吗?举例验证.

让学生猜想,举例验证,发现一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象是一条直线。教师指出这条直线通常也称为直线y =kx +b(b ≠0),特别地,正比例函数y =kx(k ≠0)的图象是经过(0,0)的一条直线. 问题3:几个点可以确定一条直线?

问题4:画一次函数图象时,只要取几个点?

只要取两点。教师指出,今后画一次函数的图象,只要取两点再过两点画直线即可.

问题5:观察“做一做”画出的四个函数的图象,如图所示,比较下列各对一次函数的图象有什么共同点,有什么不同点.

(1)y =3x 与y =3x +2 (2)y =12 x 与y =1

2 x +2

(3)y =3x +2与y =1

2

x +2

能否从中发现一些规律?

问题6:对于直线y =kx +b(k 、b 是常数,k ≠0).常数k 和b 的取值对于直线的 位置各有什么影响? 让学生讨论,交流,发表意见,达成共识,然后填空:

两个一次函数,当k 一样,b 不一样时,有 共同点:__________________________ 不同点:___________________________ 当两个一次函数,b 一样,k 不一样时,有 共同点:__________________________ 不同点:__________________________

在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象(画在课本直角坐标系上)。 (1)y =2x 与y =2x +3 (2)y =2x +l 与y =1

2

x +1

请同学们画出图象后,看看是否与上面的讨论结果一样. 提问:你取的是哪几个点?和同学比较一下,怎样取比较简便?

通过比较,教师点拨,得出结论:一般情况下,要取直线与x ,y 轴的交点比较简便。 三、课堂练习 P42页练习l 、2。 四、小结

1.一次函数的图象是什么形状呢?

2.画一次函数图象时,只要取几个点?怎样取比较简便?

3.两个一次函数图象,当k 一样,b 不一样时,有什么共同点和不同点?当b 一样,k 不一样时,有什么共同点和不同点?

五、作业 P47页习题18.3第4、5题。 六、教后记:

第二课时 一次函数的图象(二)

教学目标

1、使学生熟练的作出一次函数的图象。

2、探索一次函数作图过程。 教学过程 一、复习

1.一次函数的图象是什么形状呢?

2.正比例函数y =kx(k ≠0)的图象是经过哪一点的一条直线? 3.画一次函数图象时.只要取几点?

4.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象.并说出它们有什么关系。

y =4x y =4x +2 二、范例

例l :求直线y =-2x -3与x 轴和y 轴的交点.并画出这条直线. 提问:

平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标有什么特征?

让学生分组讨论、交流,发表意见,教师引导并归纳为x 轴上的点的坐标为(x ,0),y 轴上的点坐标(0,y) 说明:1.画出直线后,要在直线旁边写出一次函数解析式。

2.在坐标轴上取点有什么好处?

2018年华东师大版八年级数学下全册教案

例2,画出问题1中小明距北京的路程与开车时间t 之间函数 s =570-95t 的图象。 提问: