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导数应用之极值与最值教案

导数的应用教案

【教学目的】

1.通过函数图像直观理解导数的几何意义。

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。

【重点难点】

①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；

③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；

⑤导数与函数、不等式方程根的分布等知识相融合的问题；

⑥导数与解析几何相综合的问题。

【教学过程】

一、准备知识

1.导数的意义

从代数上来说：

从几何上来说：

单调性与导数的关系(注意区间)：

2.什么叫光滑(圆滑)曲线：不会出现尖角，导数不会突变。

二．新课教授

1.极值定义：

一般地, 设函数f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)

反之, 若f(x)

极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.

下图是某函数在[a,b]上的函数图像，说说哪些是极值点，是极大值还是极小值。这些极值点及极值点附近的导数有什么特点。

1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0，在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值。

2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f’(x)<0，在a 右侧附近f’(x)>0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值。

问：(1)极值点的导数一定是0吗？要求是可导函数。

(2)导数为零的点一定是极值点吗？

(3)极大值一定比极小值大吗？

2.如何求极值和最值

求解函数极值的一般步骤：

(1)确定函数的定义域

(2)求方程f’(x)=0的根

(3)用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格。

(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况。

练习1

3.函数最大(小)值与极值的关系。

观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.

发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。

在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.且最值一定在极值点或端点出取得。

补：开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.

4. 如何求极值和最值

求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:

(1)求f(x)在(a,b)内的极值;

(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

例3：求函数y=|x2-3x+2|的最值

注意：一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较。

小结略，板书略。

导数的应用—单调性与极值的习题课

导数的应用—单调性与极值的习题课【复习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；④利用导数证明函数的单调性； ⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；【基础过关】1．函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为；若)(x f '＜0，则) (x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的； ② 求)(x f '，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有（或），则称 )(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '； ② 求方程)(x f '＝0的； ③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 . 【基础训练】例1．如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数, ()y f x =的图像可能是（）例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( )

函数的极值与导数教案完美版

《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数（1）【教学目标】 1．理解极大值、极小值的概念． 2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤．【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤．【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤．【内容分析】对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的．从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号．【教学过程】一、复习引入： 1．函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．二、讲解新课： 1．极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4．判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，) (0x f

导数在函数中的应用

第二课时导数在函数中的应用【学习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。【高考要求】B 级【自主学习】1．函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的； ② 求)(x f '，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有（或），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；

导数的应用(一)单调性与极值

导数的应用（一）单调性与极值一. 教学内容：导数的应用（一）单调性与极值 1. 函数的单调性一般地，设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数，如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数。 2. 函数的极值一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，就称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作极大值y )(0x f =；如果对0x 附近的所有的点，都有)()(0x f x f >就称)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值。极大值和极小值统称为极值。判别)(0x f 是极大（小）值的方法是：（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值；（2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧)(x f '0>，那么)(0x f 是极小值。导数为0的点不一定是极值点，例如函数3)(x x f =，0=x 处的导数是0，但非极值点。求可导函数)(x f 的极值的步骤如下：（1）求导数)(x f ' （2）求出方程0)(='x f 的根（3）检查0)(='x f 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值，如果左右符号相同，那么这个根不是极值点。【典型例题】

[例1] 确定函数762)(23+-=x x x f 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数？解：x x x f 126)(2 -=' 令01262>-x x ，解得2>x 或0

函数的极值与导数优秀教学设计

函数的极值与导数教学设计【内容分析】本节内容选自人民教育出版社A版的理科选修2-2或者文科选修1-1的导数及其应用的内容，这些是在学生学习了函数的单调与导数的下一节课的内容，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，而导数是研究函数的最有效的工具，运用导数研究函数的性质，从中可以体会到导数在研究函数中的巨大作用. 【学情分析】在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值.在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫. 【教学目标】（1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤【学法指导】阅读自学、探究交流、合作展示. 【数学思想】数形结合、合情推理. 【知识百科】 1.函数的最值函数最值一般分为函数最小值与函数最大值.简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值.函数最大（小)值的几何意义---函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值. 2.函数的极值函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对最大值或相对最小值.当函数在其定义域的某一点的值大于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极大值;当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极小值.这里的极大值和极小值只具有局部意义.函数极值点的几何意义---函数图像的某段子区间内上极

导数的综合应用学案(教师版)

第3课时导数与函数的综合问题题型一导数与不等式命题点1 证明不等式典例 (2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝1－x －1 e x ，g (x )＝x －ln x . (1)证明：g (x )≥1； (2)证明：(x －ln x )f (x )>1－1 e 2. 证明 (1)由题意得g ′(x )＝x －1 x (x >0)，当01时，g ′(x )>0，即g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．所以g (x )≥g (1)＝1，得证． (2)由f (x )＝1－x －1e x ，得f ′(x )＝x －2 e x ，所以当02时，f ′(x )>0，即f (x )在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，所以f (x )≥f (2)＝1－1 e 2(当且仅当x ＝2时取等号)．① 又由(1)知x －ln x ≥1(当且仅当x ＝1时取等号)，② 且①②等号不同时取得，所以(x －ln x )f (x )>1－1 e 2. 命题点2 不等式恒成立或有解问题典例 (2018·大同模拟)已知函数f (x )＝1＋ln x x . (1)若函数f (x )在区间????a ，a ＋1 2上存在极值，求正实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式f (x )≥ k x ＋1恒成立，求实数k 的取值范围．

解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1－1－ln x x 2＝－ln x x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以x ＝1为函数f (x )的极大值点，且是唯一极值点，所以00，所以g (x )为单调增函数，所以g (x )≥g (1)＝2，故k ≤2，即实数k 的取值范围是(－∞，2]．引申探究本例(2)中若改为：?x 0∈[1，e]，使不等式f (x 0)≥k x 0＋1成立，求实数k 的取值范围．解当x ∈[1，e]时，k ≤(x ＋1)(1＋ln x ) x 有解，令g (x )＝(x ＋1)(1＋ln x ) x (x ∈[1，e])，由例(2)解题知， g (x )为单调增函数，所以g (x )max ＝g (e)＝2＋2 e ，所以k ≤2＋2 e ，即实数k 的取值范围是????－∞，2＋2e . 思维升华 (1)利用导数证明不等式的方法证明f (x )