初等数学研究试题答案
习题一
1、数系扩展的原则是什么有哪两种扩展方式（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为： （1）B A ?
（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。 （4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。 数系扩展的方式有两种： （1）添加元素法。 （2）构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则 （1）,;a b ac bc ==若则 （2）,;a b ac bc <<若则 （3）,a b ac bc >>若则；
证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。
a b,a a 1,
b b 1,P13(1),(1)a 111,a a
c a c ac a bc b c bc b
b M
c M c bc
==?=?=+=+=+=+''∴?=?∴∈∈= （规定）
假设即
ac ,ac a c .
bc a b
a bc
b
c bc M ==∴+=+∴=''∴∈'又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。 （2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9） 由（1）有()bc a k c =+ a c kc =+
ac bc ∴< （P17.定义9）
或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+
()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=
.ac bc ∴=
（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有 a ().c b k c bc kc =+<+
ac bc ∴>
3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则 （1）,;ac bc a b ==若则 （2）ac bc a b <<若，则； （3）ac bc a b >>若，则。 证明（1）（用反证法）
,a .a b a b b ≠><假设则有或
,a b ac bc ac bc >>=若有和矛盾。
,,a b ac bc ac bc <<<若有也和矛盾。
a .
b a b ≠=故假设不真，所以
（2）方法同上。 （3）方法同上。
4、依据序数理论推求：
135+（），
235?（） 解： 1313134++=='（）先求，，
（P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求，
3333323256++=+=+=='''再求，（）， 35343478.+=+=+=='''如此等等，直至（）
（2）31313??=先求，，
3232313136??=?=?+='再求，， 333332323639??=?=?+=+='再求，，
353434312315.?=?=?+=+='如此等等，直至 5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。
证明：1n 141511189,1n =+?-==①当时，是的倍数故时命题成立。 k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。即是的倍数。则当n=k+1时：
k 1k 415k 11
4415k 1315k 18441519(52)
k k k +++-=+--?+=+---（）（）（）。
944151-952k k k ∴+--是的倍数（）（）
19415(1)1k k +∴++-是的倍数
1n k ∴=-当时，命题成立。
由①，②知，对于任一自然数n 成立。
6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立：
24444121-1-1-1-.19251221n
n n +???=--（）（）（）（）（）
证明：
412111--3-3.11-21
n +?======?当时，左边，右边左边右边。
1n =故当时，等式成立。
n k =假设当时，等式成立，即：
24444121-1-1-1-).19251221k
k k +???=--（）（）（）（（）
1n k =+则当时，有：
22444411-1-1-1-)(1)19
25(2k 1)(21)
k ???--+（）（）（）（ 2(21)(23)12(1)121
(1)12(12)(21)12(1)(21)
k k k k k k k k k -++++=
?-==?--+-++ 1.n k ∴=+当时，命题也成立。
由、知，对任意自然数n 命题成立。
41599k k +-是的倍数 9(52)9k -，
是的倍数
7
、n (1,2...)n n A n αβ====设 （1）αβ以、为根作一元二次方程； （2）213;n n n A A A ++=+证明
（3）3n 10A 用数学归纳法证明是的倍数。 解：（1
）
3-1αβαβ+==?==，
2310.x x αβ∴
--=以，为根的一元二次方程为： （
2）2231
3 1.αβαα
ββ=+=+以，代入以上方程，得：， 2222n 2
n n n n n n A
+++∴===
n 113n n n
++=
n 13.n A A +=+
（3）2232113310.n A A A ==+==当时， 1n =故命题对成立：
3k 10.n k A =假设当时，命题成立，即是的倍数
32(31)3k 113k k n k A A A +++=+=+（）
则当时，有：
3k 133133k k A A A ++=++（
） 3k 13103k A A +=+
12n 211,3,3n n A A A A A ++=∈N =∈N =+又故经递推式所得的各个
数皆为自然数， 因此，3k 1.A +∈N
3(k+1)10A ∴也是的倍数。
3k ()10A n ∴∈N 是的倍数。
8、,,,,a ()b c a b c a b b c κρκρ+,设都是整数。如果则对于任何整数都有 证明：
112212121212a b a?()
c ()b .c .
b m .m .
a ()
a b c
m m z m a m z m a m a c m a m a m a m b c κκρρκρκρκρκρκρ∴=∈=∈∴==∴+=+=++∈Z ∴+， （）又（）
9.证明整数集具有离散性. 证明：
（反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数a 和a+1之间存在b ,1a b a ∈Z <<+使。
依据加法单调性，(1)(1)1(1)a a b a a a +-<+-<++- ， 即11()2b a <+-<
1b a ????
+-∈N （）.这就和自然数集具有离散性相矛盾。
10、证明：有理数乘法满足结合律。
证明：,,,()a b c Q ab c a bc ∈=设要证：（） （1）
当a,b,c 中至少有一个为零。（1）显然成立。设a,b,c 都不为零。
因为算术数乘法满足结合律，故
a ()
b
c a b c ??=??（）。故（1）两边的绝对值相等。如果a,b,c 中有一个或三个都是负数，则（1）两边都为负数；如果a,b,c 中没有负数或有两个负数，则（1）两边都是正数，说明（1）两边的符号相同。因此（1）成立。
11、指出下列集合中可以畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环：
{}10（）； {}21（）； 3N （）； {}
40N
（）； 5Q +（）；
6（）奇数集合；7（）偶数集合；
{}8036,3n ±±???±（），，，。 答：
（1）加，乘，成环 （2）乘，除 （3）加，乘 （4）加，乘 （5）加，乘，除 （6）乘
（7）加，乘，成环 （8）加，乘，成环
12、设有n 个正分数
312123
.n n a a a a a b b b <<
a n n
n n a a a a b b b b b ++???+<<++???+.
证明： 设1212
m ,a a b b =
M = 12
121212
a a a
b b a b b
3
2232323
a a a
b b a b b
34
343434
a a a
b b a b b
m 22m b b ∴ 1 22122111m a b b b a a b b =? 即2 222 m ,a b a b = 22 2m b a b ∴< n n n mb a b < 12n ++???+（）（）（） 121212m()()n n n b b b a a a b b b ++???+<++???+ 1212m n n a a a b b b ++???+∴< 112112a n n n n a a a a b b b b b ++???+<<++???+即 . 13.近似计算： ()4311.210+1.53105003.6??+ ()243.260.3824- ()332.264 2.13? ()()34 2.6310 2.43564?÷ 334 4333333(1) 1.2 1.53105003.6 =1210 1.5310 5.003610 =(12+1.53+5.0036)10 (12 1.5 5.0)10 =18.5101910 =1.910?+?+?+?+??≈++??≈??解：解法一： 10 43344 4 444 1.210 1.53105003.6 =1.2100.153100.5003610(1.20.1530.50036)10(1.20.150.50)10=1.85101.910?+?+?+?+?=++?≈++??≈?解法二： (2)43.260.382443.260.38242.87842.88 -≈-=≈ (3)32.264 2.1332.26 2.1368.713868.7 ?≈?=≈ 3333 (4)(2.6310) 2.43564(2.6310) 2.4361.079101.0810?÷≈?÷≈?≈? 14.已知近似数的相对误差界是000.02，.是确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。 00=2315.40.02=0.463080.5??≈解： 故近似数精确到个位 所以有效数字有4个 15.22 3.1416 1.7321=4.5511 4.551 ππ≈?-≈计算0.001.解：2 *16.,,,,S=. a b c d Q x ax b ad bc cx d ∈+=+设是无理数。 求证：是有理数的充要条件是 ,.,,. (1)(1)S c . ()()0 sc 0,x x sc =0sd 0,, ,. a c a c ad bc k a bk c dk b d b d b kx bkx b b S dkx d d kx d x sd ax b sc a x sd b sd b a sc a b a b s d a b ad bc c d ======++∴===+++=+-+-=--≠=----====证明：若则设则为有理数。 反之，若为有理数，则s 若则为有理数和为无理数矛盾。 因此必有，因而于是s=所以 17.,,,,. a b c d Q a b b c d λ∈===若 22()2(. ()()2(0.,,,Q ,,. a b a b a b c a b d a b c d a b a b c d a b a b c d +=-=-++-=∴-+-+-∈≠∴==证明：当两边平方得：因为是无理数，如果必有从而得 18.判断下面的序列是否为退缩有理闭区间序列，如果是的话，求出 它所确定的实数。 1324352(1),,,,,,...,, ,...22334411111(2)0,,0,,0,,...,0,,... 234113521(3),1,,1,,1,...,,1,...2462n n n n n n n n ???????? ???????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ++++- 000001231...... 2341 34522...... 2341 22230,. 11111 220,0. 111 2lim lim 11 x x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →→<<<<<++>>>>>++-+-=<<++++++-→-=→+++∴+++答：（1）因为1 即 当 序列是退缩有理闭区间序列，它所确定的实数为1. （因为=1,=1） ()1111(2)...... 2341 1110,00111 n n n n n >>>>>+<-=→→∞+++因为 序列是退缩有理闭区间序列，它所确定的实数为0 （3）是 1. 19.辨别下面的断语有无错误，错在哪里 （1）复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应。 （2）两复数的和与积都是实数的充要条件是：这两个复数是共轭复数。 （3）共轭虚数的正整数次幂仍是共轭虚数。 （4）一个非零复数与它的倒数之和为实数的充要条件是它的模等于1。 答：都有错误。 （1） 所有向量改为：所有以原点为起点的向量。 （2） 是充分条件而非必要条件。 （3） 共轭虚数应改为：共轭复数。 （4） 是充分条件而非必要条件。 20.证明：当n 为3的倍数时， 112;22n ?? ? ? ? ?? --+=（） 而当n 是其它正整数时，上式左边等于-1。 11122211=, 2 2222=cos sin ,cos sin 3333 4444=cos sin ,cos sin 3333 2244cos sin cos sin 33333,n n n n n n n i i n n i i n n n n i i n k ωππππ ωωωππππ ωωππππ ω? ? ?? -++=+=+=+∴+=+++∴+证明：设 则 则当等于有：33212=23234343cos sin cos sin 3333cos2sin 2cos4sin 42. n k k k k k k i i k i k k i k ωωωππππππππ ???? ? ? ? ?? ??? +????=+++=+++= ()()()()3131 121231, 231231431431cos sin cos sin 33332244cos(2)sin(2)cos(4)sin(4)3333 2244cos sin cos sin 33331. n n k k n k k k k k i i k i k k i k i i ωωωωππππππππππππππππ++=++=+++++=+++=+++++++=+++=-当 3232 121232, 2(32)2(32)4(32)4(32)cos sin cos sin 3333 4488cos(2)sin(2)cos(4)sin(4)3333 4488cos sin cos sin 33331. n n k k n k k k k k i i k i k k i k i i ωωωωππππππππππππππππ++=++=+++++=+++=+++++++=+++=-当 2. 111 22n n n n n n ?? ?? ???? ? ? ? ?? ?? ? +=-+ -+=-综上所述：当为3当为其它正整数时， ( )7 7 7 221.1277=cos sin ,cos sin 26626612771cos sin 667772cos 2sin cos 1212127772cos cos sin 1212122cos105cos105sin1052cos75cos105si i i i i i i i i i i i ππππππππππππ??? ? ? ?? ? ??++=+∴+=++=+??=+=+=-+求复数（ ）的模及幅角主值。（）（） ()() ()()()( ) 7 n1052cos75cos105sin1052cos75cos 18075sin 180752cos75cos75sin 752cos75cos285sin 28512cos75285i i i i ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?? ?? =--=----=-=+∴+复数的模为，幅角主值为。 22、2x =x =1u 1z Z -+设,y 是实数，z +yi,且，求=z 的最大值和最小值。 22=x 1.x 1.11z y x =∴+=∴-≤≤解： z +yi, 22u=z 1(1)=z +=z(1) =z 1=210 z z z z z z z z z z z z x -+=-+?-?-+?+--≥又 22121 213213 03 .=z 1=z(1)1(1) 11 1.z(1)1(1)11x x x u u u z z z z z z z z z z z z -≤+≤+=≤-≤∴≤≤-+-+≤-+?--+-+≥--=?--又 0 即的最大值为3，最小值为0 = = 11111 z u z ∴--≤≤-+ (1)n z 1 1. 1 1 1. z 1 1. 1z 111z 122=cos sin ,(1,2,,1)12222z cos sin cos sin ,n n n z N z z z z n z k k i k n z n n k k k k i i n n n n ππππππ=-∈+≠=--≠++∴≠-+∴-++=--++23、解方程（z+1） （>1,n ） 解：显然 ，z 1. 故（） 是的次虚根.即： 去分母，整理得： (-1)=1+ zsin (sin cos )cos (cos sin ).sin 0,cos sin z . (1,2,,1)sin cos k k k k k k i i n n n n n n k n k k i k k n n cty i cty k n k k n n i n n πππππππππππππ-+=+≠+∴==-=--+ 由倍角公式， 2n 2n-12n 1241()22=cos sin , ,n n ++++=03---n z n N m m i n n m n m n m n ωππ ωωωωωωωωωω-=∈+∈≤≤、设是方程的一个虚根。 其中,N,1且，互质，求证：（1），，，是1的个不同的n 次方根（次单位根）（2）1； （）(1）(1）（1）=n. k ()1(1)n n k k n ωω==≤<证明：（1）（） 2n-11n ωωω∴，，，都是的次根。 ,,1, 2222cos sin j j l N j l n k m k m i nj nj ππππω∈≤<<++=+若 2222cos sin l k m k m i nl nl ππππω++=+ 2222cos =cos 2222sin =sin j l k m k m nj nl k m k m nj nl ππ ππ ππππ ωω? ??? ? ???? ++++=假设，则有 j l j l ∴=< 和 矛盾 2n n j l ωωωωω∴≠∴，，，是1的个不同的n 次方根. 2n-1 ++++1=11 n n ωωωωωω-=-(2)1 =0 (由（1）) 213z 1(1)()()().()n n z z z z ωωω--=----（） 由（1） 121221z 1(1)z z ()()(). n n n n n n z z z z ωωω------=-∴=---又（+z ++z+1） +z ++z+1 21z (1)(1)(1)=n n ωωω----令上式中=1,有： 251,z arg i z ≤、设求和 =11i i ≤解： 如图所示，是以（1以1为半径的圆，满足的z arg arg π当z 位于A 点时，z 最小，此时,z=.arg ==6π ∠∠∠∠当z 位于C 点时，z 最大，此时，COD AOD ，而tan AOD AOD . 4arg +=63 z πππ?故的最大值为2， z =1 3.B OD OB +==当位于点时，模最大，最大的模 z =1 1.E OE OD DE =-==当位于点时，模最小，最小的模 26z 3.z z z z z z ++=、设复数满足求所对应的点的轨迹。 2 z +1 4. z(1)(1)4(1)(1)4(1)(1)4(1)4(1)2 z -z z z z z z z z z z z ++=∴+++=++=∴+?+=∴+=∴+=解： 因此，点是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆。 27x sin +sin2++sinn 1cos cos2cos 2 x x x n tg x x x nx ≠∈+=++、设0,x R,应用复数证明： {}1 2 3 cosn sin z=cos sin .z(1)z =11n n n x i nx x i x z z z z z z z z +++--+++ += --证明：考虑数列，这是等比数列.设则 21(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )1(cos sin ) n n x i x x i x x i x x i x x i x x i x +∴++++ +++-+= -+ (cos sin )(cos2sin 2)(cosn sin ) (cos sin )(cos(n+1)sin(1))1(cos sin ) x i x x i x x i nx x i x x i n x x i x ∴+++++++-++= -+ (cos cos2cosn )(sin sin 2sin n )cos cos(1)sin sin(1)(1cos )sin cos cos(1)sin sin(1)1cos sin sin 2x x x i x x x x n x i x n x x i x x n x i x n x x i x x ???? ?????????? ? ?????∴+++++++-++-+=---++-+?-+= cos cos(1)(1cos )sin sin(1)(1cos )sin 2 x n x x i x n x x x ????????-+?-+-+?- = cos cos(+1)sin sin sin sin(1)sin 2 i x n x x x x n x x ????????---+ 22cos cos cos(1)cos cos(1)(sin sin cos sin(1)sin sin 22 sin(1)cos sin cos sin cos(1)sin sin sin(1))sin 2 x x n x x n x i x x x n x x x n x x x x x n x x x n x x --++?+--+= ++-+-+?+ cos 1cos(1)+cosn sin sin(1)sin sin 2 sin (1)(1)2cos sin 22sin 2 x n x x i x n x nx x nx n n x i x x ???? ? ??????? ????--++-++=++=?+= sin (1)2cos cos2cosn cos 2sin 2sin (1)2sin sin 2sin n sin 2sin 2sin sin 2sin n 1cos cos2cosn 2nx n x x x x x nx n x x x x x x x x n tg x x x x +∴+++= ?++++= ?++++∴ =+++ 12121211228,,,0,cos sin ,sin sin2sinn 0 n n n n n n n p p p x p x p x p x p i p p p ααααα---+++ ++=+++ +=、设为实数，方程：有一根求证： 1212-n 121-k 12sin sin 2sin n 0 ,10(cos sin )cos sin 1(cos -sin )(cos2n n n k p p p x p x p x p x x i k i k p i p αααααααααα-----++ +=++++==+=-++求证：证明：在原方程两边同乘以得： (1) 将 (k=1,2,,n) 代入（1）式，得： 11212-sin 2)(cosn -sin )0(2),,,sin sin 2sin n 0. n n n i p i n p p p R p p p αααααα-++=∈+++= (2) 式左边的实部和虚部都应为0，由于，故有：