初中数学常见模型及解题思路(九年级)
初中数学常见模型解题思路
代 数 篇
1、循环小数化分数：(1)设元(2)扩大(3)相减相消法【等式性质的运用】
例：把0.108108108...化为分数.
设a =0.108108108...①两边同时乘以1000，得 1000a =108.108108...② ②-①，得999a =108，从而得a =108/999.
2、对称式计算技巧：“平方差公式、完全平方公式”【整体思想的结合】
22,,,y x xy y x y x +-+中，知二求二. (加减配合，灵活变形.)
如xy y x y x 2)(222++=+?xy y x y x 2)(222-+=+；
xy y x xy y x y x 4)(2)(2222-+=-+=-.
3、特殊公式21
)1(222±+=±x
x x x 的变型及应用.
4、立方和/差公式：).)(())((22332233y xy x y x y x y xy x y x y x ++-=-+-+=+；
5、等差数列求和的法：首尾相加法. (方法+公式)
例：计算1+2+3+4+ (2018)
6、等比数列求和法：(1)设元(2)乘等比(3)相减(4)求解.
例：计算1+2+4+8+...+2n . 【这两种数列均可用等式性质进行推导】
7、mn
m n n m mn m n n m +=
+-=-11;11的灵活应用. 例：计算(1)3801...3012011216121++++++；(2).17
1532
151328...97167512538314?-?++?-?+?-?
8、韦达定理求关于两根的代数式的值.
(1) 对称式：变和积..1
111222222y
x y x y x xy y x ++++；；；(x 、y 为一元二次方程的两根)
(2) 非对称式：根的定义 降次 变和积(一代入二韦达)
9、三大非负数、三大永正数. 10、常用最值式：正数+±2)(y x 等
11、换元大法.
12、自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型(如配方)只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。 13、拆项法、配方法。(原理同上) 14、十字相乘法.
15、统计概率：两查(抽样；普查)、三事(必然；随机；不可能)、四图(折线；条形；扇形；直方)、三数三差、两频(频数；频率)一概(概率). 16、一元二次方程应用题.如利率问题、握手送花问题等
17、b a =，则b a ±=在动点问题中的巧妙应用(避免繁琐的因为点的相对位置变
化引起的符号变化问题；平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法).
18、四个角的正切值：22.5度的正切值为12-；67.5度的正切值为12+；
75度的正切值为32+；15度的正切值为32-.
几 何 篇
1、线、角的等量问题：
等角(如右图)：条件COD AOB ∠=∠ 结论：BOD AOC ∠=∠ 说明：可视作由旋转产生的“共点等角” 等线(如下图)：条件CD AB = 结论：BD AC = 说明：可视作由平移产生
2、两条平行线夹一角(即“拐点问题”) 例：如图1，条件AE ∥CF
结论：?=∠+∠+∠360PFC AEP P
如图2，条件AE ∥CF
结论：FCP EAP P ∠+∠=∠
3、平行线夹等(同)底三角形：面积相等。 同底三角形面积相等，则过顶点的直线与底所在直线平行。 若m ∥n ，则ABD ABC S S ??=.反之，若ABD ABC S S ??=，则m ∥n .
(反比例模型中的“垂平”模型的证明用之)
4、已知三角形两边长，定第三边的范围：大于两边的差，小于两边的和。
5、三角形的角平分线. (1)两内角平分线相交角：290A
P ∠+?=∠
一内一外角平分线相交角：2A
M ∠=∠ 两外角平分线相交角：2
90A
N ∠-?=∠
(2)一内角平分线分对边所成的两条线段之比 等于该角两边之比.
如：AD 平分∠BAC ，则CD
BD
AC AB =. 6、三角形的中线：重心分中线为1:2两部分. 如：三中线AD 、BE 、CF 交于点K ，则
AD KD AK 322==;BE KE BK 322==;CF KF CK 322==.
7、三角形的高：底与高积相等；三高得相似；三高得四点共圆. 如：AD 、BE 、CF 为高，则AB CF AC BE BC AD ?=?=?; △ADB ∽△CFB 等；B 、C 、E 、F 四点共圆等. A O
B C D
A O
C B
D
A B C D ????????A C B D
C F A E A E C F P C
D m A B n P B C
A A M
N B C A
B C A K C D B A F E B C
A F
E
8、(1)高与角平分线的夹角等于另外两角差的一半. 如：AD 、AE 分别为△ABC(AB ≠AC)的角平分线和高，
则∠DAE=
2
B C ∠-∠.
(2)两中线垂直的三角形中两边平方和等于第三边平方的5倍. 如：AE 、BF 分别为△ABC 的中线，且AE ⊥BF ， 则2225AB BC AC =+.
9、三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积. (1)在△ABC 中，AD 、BE 、CF 相交于同一点O ， 则CD BD S S ACO ABO ::=??.
(2)任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：
4321::S S S S =或者3241S S S S ?=? )(:)(:4321S S S S OC AO ++=.
10、等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；一垂两等变等腰；一垂三
等变等直.等腰三角形存在性常用公式：底角的余弦=底边的一半/腰
*重要推论：已知三角形中一个角的余弦，这个角的一边×这个角的余弦=另一边
的一半，此三角形为等腰三角形(一边为腰，另一边为底).
如图：2cos BC
B AB =?△AB
C 为等腰三角形(BC 为底). *“两线一圆模型”：已知线段AB(两定点A 、B)，在平面内 找一点C ，使△ABC 为等腰三角形.这样的点C 的集合在以 A 、B 为半径的圆和AB 的垂直平分线上(与A 、B 共线的点 除外)【等腰三角形存在性问题】
11、直角三角形斜高的求法：斜高=两直角边的乘积/斜边 *直角三角形存在性之“两线一圆模型”：已知线段AB(两 定点A 、B)，在平面内找一点C ，使△ABC 为直角三角形.
满足条件的C 的集合在过A 、B 作线段AB 的垂线及以AB 为直径的圆上的除A 、B 两点的任意点都可与A 、B 组成 直角三角形.(所谓的“两线一圆”)
12、等边三角形面积的求法：24
3a S a =
的等边三角形边长为 13、求面积的套路：(1)复杂图形：一拆用加；二放用减.
(2)三角形：①面积公式；
②两边与夹边正弦的积的一半(遇钝变补)；
③铅垂线法(宽高法)；④等边三角形的面积；
⑤利用相似比的平方等于面积比(借助面积可求的三角形的面积和相似比求解)；⑥让出去(化归).
D B
E C A
A
B
C E
F O C
D
B
A
F E A B C
D
O S 1
S 2 S 3
S 4
A
B A B A
B
B
E A D D B
C
E K G
F E D C B A A E D
B
C
G
A
B C
D
O A
B
C
D
P
A
B
C
D
E
F
(3) 平行四边形面积=两邻边与其夹角的正弦的乘积；菱形的面积=边长的平方与 一个内角的正弦的乘积；梯形的面积=两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半. (4) 共角(有一个角相等)三角形：面积的比等于等角两边乘积的比(鸟头定理). 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的
面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比.
如图在△ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 上(或延长线上)的点，则
)(:)(:AE AD AC AB S S ADE ABC ??=??
14、三大蝴蝶：(1)一线两等边.如图，△ABC 、△ECD 为等边三角形，B 、C 、D
共线，则有：△BCE ≌△ACD 、△DCG ≌△ECF 、
△BCF ≌△ACG ；旋转60°形成的全等三角形，所以 △CGF 也是等边三角形；三组平行线； ∠AKB=∠BKC=∠DKC=60°;KC 平分∠BKD ； K 、F 、C 、G 四点共圆. (2)一个三角形两等边.如图，以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作等边△ADB 和等边△ACE ，则有：
△ADC ≌△ABE →CD=BE,∠DGB=60°,∠DGE=120° 又ABE ADC S S ??=→点A 到DC 和到BE 的距离相等→ AG 是∠DGE 的平分线，∠DGA=∠EGA=60°.
(3)一个三角形两个正方形.如图，以△ABC 的两边 AB 、AC 为边向外作正方形ABGF 和正方形ACDE ， 则有：FC=BE ，FC ⊥BE ；AH 平分∠FHE ； A 、F 、B 、H 四点共圆.
15、平行四边形的面积关系：
(1) ABCD AED S S 平行四边形2
1
=?；
(2)平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线 (一般找平行于两轴的直线)的距离相等.
16、平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和：
222222DA CD BC AB BD AC +++=+
17、矩形一边上任意一点到对角线距离的和=对角线
宽
长?.
18、矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等.
如图，矩形ABCD 内任意一点P ，则有：2222PD PB PC PA +=+.
19、矩形经典对折图.如图，矩形ABCD 沿对角线BD 对折， C 点到了E 点，则一对全等(小直角三角形)一对相似，两个 等腰.例：AE:BD=3:5则AB:BC=4:8=1:2，这是因为相似比
为3:5，所以EF:FB=3:5,因此ED=4(勾股)而AD=DF+FA=8. A
F
C
E A D G H
20、正方形垂等图.
横平竖直；“改邪归正”的辅助线方法. 21、正方形三兄弟成面积图. 三个正方形如图摆放，AN 恰好过E 点. 结论：ECGF AGN S S 正方形=?.
解法：AC ∥EC ∥FN(关键点)
EGN AGE AGN S S S ???+=;
ECG AGE S S ??=,EGF EGN S S ??=. 22、两正方形垂直相等图.
如图，ABCD 、CGFE 是正方形：
(1)△DCG ≌△BCE;(2)BE ⊥DG ，BE=GD ； (3)A 、B 、M 、D 四点共圆， ∠ADB=∠AMB=∠AMD=45°,△ADM ∽△AND,
AN AM AD ?=2；(4)若DM 2=ME ?MA ，则BD=BG ，△BDG 为等腰三角形.
(∠GDC=∠DAM=∠DBM=∠MBG)，此时MA=MB.
23、正方形内含半角(其中产生的两个双八字相似和等腰直角三角形)---邻边相等的圆内接四边形内含半角图. 条件：正方形ABCD 中，∠EBF=45°,结论：
(1) EF=AE+FC ；(2)ABCD AGN l l 正方形2
1=?;(3)∠DCA=∠EBF=45°
→B 、C 、F 、H 四点共圆，∠BFH=90°→
△BHF 为等腰直角三角形；(4)同上：∠DAC=∠EBF=45°
→B 、K 、E 、A 四点共圆，∠BFE=90°→
△
BHE 为等腰直角三角形.
24(1) 正方形内含45°模型推广到圆内接四边形(有一组邻边相等，且相等的邻边的夹角内含半角.
条件：四边形ABCD 中，BA=BC ，∠ABC+∠ABC EBF ∠=∠21,结论：EF=AE+CF.
(2) 等腰直角三角形内含45°.
条件：等腰直角△ABC ，∠FBE=45°， 结论：222CE AF EF +=.
(3) 其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图.(根据上述模型类比解决：用三角
比找到相关边的关系.) 正方形互补型.
(1)对称中心有直角：OE=OF (2)直角顶点在对角线上：
PB=PQ A G M D N F E
H E F M A D
B C
N
G
N
B C A D
E F
G
M
K H G F B C A E D D
O E F
A B D C A B
D C A B D C
P
Q
D E F n D A B
C m
C O
E D A O A A
B B
C
D C
D E F E
F
A B
C E
D 1
2
小结：对角互补模型
(1) 全等型--90°
条件：①∠AOB=∠DCE=90°;②OC 平分∠AOB 结论：①CD=CE;②OD+OE=2OC ；
③22
1
OC S S S OCE OCD ODCE =+=??.
(2) 全等型--120° 条件：①∠AOB=2∠DCE=120°; ②OC 平分∠AOB
结论：①CD=CE;②OD+OE=OC ； ③24
3
OC S S S OCE OCD ODCE =
+=??. 25、正方形中123成135°
点E 时正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ， 将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE’的位置. 若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE’C = .
26、相似模型：
(1) 正A 、错A ；正八、错八；正射影、错射影；正K 、错K(一线三等角) 射影图中：两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比.
(2)双八字(共圆图之一) 条件：∠BAC=∠BDC(同弦对等角) 结论：B 、C 、D 、A 四点共圆；
△ABM ∽△DCM,△ADM ∽△BCM;
其中AB 、BC 、CD 、DA 四条弦所对的四对圆周角相等.
(3)线束定理：两平行线被过一点的三线所截得的四条“横线”对应成比例.
条件：直线m ∥n ，结论：EF
BC DE AB =
. (4)平行于一边的线段截得的图形 (三角形、四边形)面积之间的关系.
条件：DE ∥BC ， 结论：图形中“对应”线段的比， 相关面积的比，知一求其它.
(5)三角形内叉型：知两比求其它比.
BE:EC CD:DA AF:FE BF:FD
知二求二(过已知比的节点作平行线) (6)四线六点型：过其中的三条线组成 的被标记的一个三角形的一个顶点， 作不过这个顶点的直线的平行线(有两条)，问题迎刃而解.
技巧：如过C 点可作AB 或者DE 的平行线.善于从纷繁复杂 的图形中找到这样的模型是关键.
(7)歪A 模型.条件：∠1=∠2，结论：歪A 生歪八， 歪八补型得歪A(延长BD 、CE 相交于点A)；对角互补的圆内接四边形补型.
A A
O
O
B
B
C
C D
D
E
E
C C A B
O D
D
E E
A B
O A D
B C
E
E ’ A
B C
O D C B
E
(x A (B B x B )C C y )
D y 28、解直角三角形、解斜三角形(双勾股)
(1)直角三角形：内高型、外高型、双高型(梯形)、单高型(直角梯形) 口诀：角优先、多求边；造模型、设表列.
(2)任意三角形：知三求三(三边、两角一边、两边及夹角) --尽量不破坏已知的边和角(内高、外高) 29、解三角形之：角优先、套模型.
(附加模型：坡度、坡角、斜率、仰角、俯角、方向角--图略)
30、手拉手模型
*模型一：手拉手模型--旋转型全等
(1)等边三角形
条件：△OAB 、△OCD 均为等边三角形 结论：△OAC ≌△OBD;∠AEB=60°;OE 平分∠AED.
(2)等腰直角三角形
条件：△OAB 、△OCD 均为等腰直角三角形 结论：△OAC ≌△OBD;∠AEB=90°;OE 平分∠AED.
(3)任意等腰三角形 条件：△OAB 、△OCD 均为等腰三角形
结论：△OAC ≌△OBD;∠AEB=∠AOB;OE 平分∠AED. *模型二：手拉手模型--旋转型相似
(1)一般情况
条件：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图位置.
结论：右图中△OCD ∽△OAB ?△OAC ∽△OBD;
延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA.
(2)特殊情况
条件：CD ∥AB ，∠AOB=90°，将△OCD 旋转至右图位置. 结论：右图中△OCD ∽△OAB ?△OAC ∽△OBD; 延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA; OCD OA
OB
OC OD AC BD ∠===tan ;BD ⊥AC ；
连接AD 、BC ，必有AD 2+BC 2=AB 2+CD 2；
BD AC S BCD ?=?2
1
(对角线互相垂直的四边形) 31、三平三交造平四(两对对角顶点横、纵坐标的和分别相等条件：平行四边形ABCD
公式：???+=++=+D
B C A D
B C A y y y y x x x x 用中点或平移两种思路都可推理
C
E A B O D E A B
O D A C E O D
O A B C D E E
C A B O
D A E
A B O
C D O O A
B B
C
D D
32、共圆图.
(1)共边两等角(直角)--见“双八字”图；
(2)对角互补(对角有两直角)、外角等于内对角.--等腰梯形四顶点永远共圆
33、垂径图、弦切图、双切图、切割图、双割图、相交弦定理(对顶三角形相似)、平行弦、圆内共点等弦所成角被过这点的直径(半径)平分.
34
、等腰直角三角形斜边上的中点为顶点的直角构造全等. 条件：AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 之中点，∠EDF=90°
结论：△
ADF ≌△
BDE;ABC
AEDF S S ?=2
1
四边形;
△EDF 为等腰直角三角形；E 、D 、F 、A 四点共圆；
DE 2=DF 2=DG ?DA ；AE+AF=AB=AC;AD+AE+AF=ABC l ?2
1.
35、相似+公共边比例中项(平方：共边相似+勾股定理)
36、方程思想设表列，几何勿忘角优先，以角定边找关系，比例已知用负元. 37、两边分别平行或相等的两个角相等或互补.
38、中点四边形口诀：对垂为矩；对等为菱；菱矩互变；任四为平.平正自变 39、正A 面积比法(知一比求全比)
40、三角形内十字叉：知二比求全比(六个比知二求四)
41、等腰直角三角形的面积直角边的平方斜边的平方?=?=2
1
41
42、动点问题的解题套路： (1) 相似三角形的存在性；
(2)等腰三角形的存在性：两点间距离公式、余弦大法、几何法；
(3)直角三角形存在性：射逆、勾逆、斜中逆、一线三直角之逆、直线垂直交轨法 (4)面积的函数关系及最值：正弦法、铅垂线法、拆放法、相似比转化法
(5)将军饮马问题：线段和最小、差最大；动点变定线段怎么办；两路一村；两路两村.
(6)平行四边形的存在性：三定一动(相对顶点横、纵坐标和相等)；两动两定(按照定点之间线段分别做对角线及边分类：平行四边形相关的全等性质求坐标).
(7)几何法(思路难、计算简)；代数法(思路简、计算难)；代几混合法(取长补短更优越)
43、圆内接四边形(对角互补)的补形法：补形构造大A 型(歪A)全等三角形. (特别注意：双勾股的用法)
44、被“误解”和“冤枉”的SSA ：两边和一边的对角相等，且第三边所对的角不互补，则这两个三角形全等.
A
E F G
函 数 篇
1、平面内两点间的距离：
(1) 横平(平行于x 轴的直线上两点间的距离)=|横坐标之差|=右-左； (2) 竖直(平行于y 轴的直线上两点间的距离)=|纵坐标之差|=上-下； (3) 平面内任意两点间的距离：开方式(求距离)；平方式(列方程)； (4) 横纵坐标的绝对值：点到两轴的距离. 2、中点坐标公式：横和取半、纵和取半. 3、函数图象平移规律：上加下减、左加右减. 4、交轨法：交点坐标?方程组的解(代数法出发点) 5、代数(函数) 设横表纵，坐距互变 几何(图形) 6、函数与图象的对应关系：
两数对一点、一点对两距；一式对一线、一线对一式
7、已知一点和一条直线，求这点关于这条直线的对称点的坐标(垂直定k ，点k 定关系式.交轨法求垂足，中点坐标公式得结论.)
8、求点到直线的距离：垂直定k ，点k 定关系式，交轨法求垂足，两点间距离公 式得结论.
9、一次函数y=kx+b (k ≠0)：
(1) 三点：与两轴的两个交点、图象上的动点(m ，km+b )
(2) 一k 三比一角：|k |=坡度=坡角的正切(以k 定比、定角；以比、以角定k ) k 的特殊求法：竖比横
1
21
2x x y y --；横竖法秒杀关系式； 根据一次函数的关系式确定一个三边的比确定的基本三角形. 3/331、、=k 时产生的特殊角：45°、60°、30°. (3) 两直线平行?k 相等；两直线垂直?k 的积为-1.
(4) 两条直线(一次函数)关于x 轴(含平行于x 轴的直线对称)或y 轴(含平行于y 轴 的直线对称)，则其斜率的和为零(互为相反数). (5) 最值的确定：关系式+图象+自变量取值范围.
10、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)解题模型及套路：
(1)二次函数的信息题的破解套路：系数的意义+不等式+等式+判别式+根与系数的关系+最值的意义+123特殊值+三特殊值定关系式法.
(2)二次函数比大小：远近法(对称轴法)
(3)一式三型：一轴三法、五定一动、五个死点一个活点
(4)针对活点：设横表纵、一线冲天、横平竖直、坐距互变---改斜归正
(5)解题套路(四列)：
列点--求定点，设动点，找关系列线--改斜归正，以点定线定式
列角--以式(直线：一次函数的关系式中的k确定对应的角及其基本三角形中三边的比和三角比)
列式--方程(交轨法)求解、函数关系式(对应的性质)求解
(6)三大函数最值的求法.其中二次函数分三种情况.
11、轨迹的思想：确定动点运动轨迹的形状：设动点的坐标--找二者之间的关系--列出二元一次方程--化为函数--一式定型.
12、解提策略篇：抓住不变量和特殊点，找到破题点.化归法、交轨法、横平竖直、改斜归正.(把题中的每个条件充分利用一遍基本就有思路了)
13、三交法确定函数关系式：若函数图象与两轴有三个交点，且交点坐标已知，则用韦达定理列方程求a、b、c较容易.
初中几何常见辅助线的添加技巧和方法
在几何的教学中，添加辅助线既是难点也是重点，如果能帮助学生梳理常规辅助线的添法，再配上经典的试题，往往就能让学生形成正确的添线“直觉”，体会到数学解题中的“对立”和“统一”，提高解题效率.
一、添加辅助线的方法
1、注意题目中背景图案的处理：
(续上)
2、注意题目中条件的处理：
3、注意题目中所求结论的处理：
(1)线段和差---截长补短或面积法
注意：截的端点不同、线段不同，补的方向不同、线段不同，方法很多，注意筛选出能形成基本图形解题的方法。与高有关的线段，可借助面积转化出线段之间的等量关系。
(2)倍分问题---加倍或折半
注意：方法很多，注意筛选出能形成基本图形解题的方法。
4、注意图形运动的处理：
*旋转(1)正确作图(关注旋转中心、旋转图形、旋转方向、旋转角度，有时方向和角度条件隐含在落点条件之中，反复审题提炼)；
(2)旋转全等，相等边、角条件均可转化，注意筛选每一组等边、等角条件后结合已知生成新的基本图形；
(3)利用旋转角相等、对称点到旋转中心的距离相等，旋转后易形成相似的等腰三角形。
*翻折(1)正确作图(对称轴垂直平分对称点的连线段，可作垂直、截相等)；(2)翻折全等，等边、角条件均可转化，注意筛选每一组等边、等角条件后结合已知生成新的基本图形；
(3)翻折对称性，对称轴垂直平分对称点的连线段，垂直条件易形成直角三角形，平分条件可转化出线段之间的等量关系，连中垂线上的点易得等腰三角形；
(4)特殊情况：翻折后常隐有角平分线的条件，遇上平行，易形成等腰三角形。
二、添线注意点
1、题目中给定标准尺寸的重新画图，借助标准图形分析问题、寻求突破；题目中没有给定标准尺寸的用原图，不能准确定位图形的可先尝试着画出大致图形，根据已知再作不断的调整。
2、几何问题就是研究所呈现每个图形的边、角、边角所具有的特征，不要为了添线而添线，添线后要把所添加的辅助线回归整体图形，力争筛理出每个图形，继而叠加组合后生成新的结论解决问题。
三、添加辅助线的“一个中心、四个基本点”
*一个中心---基本图形
*四个基本点---背景图形、条件处理、结论处理、图形运动诠释了如何添加辅助线，基本上概括了初中阶段的所有常规辅助线的添法，若能将其“自然”地应用到教学和解题当中，必将所向披靡！
四、添加辅助线的口诀
详尽审题标注化字母符号改造化已知未知联想化分散条件集中化
残缺图形补全化基本图形关联化思路受阻调整哈数据处理方程化
五、辅助线常见作法：一平二垂三连四延五截六转七倍八补.改斜归正最常见！
初级中学数学考试答题技巧窍门
初中数学考试答题技巧 一、答题原则 大家拿到考卷后，先看是不是本科考试的试卷，再清点试卷页码是否齐全，检查试卷有无破损或漏印、重印、字迹模糊不清等情况。如果发现问题，要及时报告监考老师处理。 答题时，一般遵循如下原则： 1．从前向后，先易后难。通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难。因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依次解答。当然，有时但也不能机械地按部就班。中间有难题出现时，可先跳过去，到最后攻它或放弃它。先把容易得到的分数拿到手，不要“一条胡同走到黑”，总的原则是先易后难，先选择、填空题，后解答题。 2．规范答题，分分计较。数学分I、II卷，第I卷客观性试题，用计算机阅读，一要严格按规定涂卡，二要认真选择答案。第II卷为主观性试题，一般情况下，除填空题外，大多解答题一题设若干小题，通常独立给分。解答时要分步骤（层次）解答，争取步步得分。解题中遇到困难时，能做几步做几步，一分一分地争取，也可以跳过某一小题直接做下一小题。 3．得分优先、随机应变。在答题时掌握的基本原则是“熟题细做，生题慢做”，保证能得分的地方绝不丢分，不易得分的地方争取得分，但是要防止被难题耗时过多而影响总分。 4．填充实地，不留空白。考试阅卷是连续性的流水作业，如果你在试卷上留下的空白太多，会给阅卷老师留下不好印象，会认为你确实不行。另外每道题都有若干采分点，触到采分点便可给分，未能触到采分点也没有倒扣分的规定。因此只要时间允许，应尽量把试题提问下面的空白处写上相应的公式或定理等有关结论。 5．观点正确，理性答卷。不能因为答题过于求新，结果造成观点错误，逻辑不严密；或在试卷上即兴发挥，涂写与试卷内容无关的字画，可能会给自己带来意想不到的损失。胡乱涂写可以认为是在试卷上做记号，而判作弊。因此，要理性答卷。 6．字迹清晰，合理规划。这对任何一科考试都很重要，尤其是对“精确度”较高的数理化，若字迹不清无法辨认极易造成阅卷老师的误判，如填空题填写带圈的序号、数字等，如不清晰就可能使本来正确的失了分。另外，卷面答题书写的位置和大小要计划好，尽量让卷面安排做到“前紧后松”而不是“前松后紧”。特别注意只能在规定位置答题，转页答题不予计分。 二、审题要点 审题包括浏览全卷和细读试题两个方面。
初中数学规律题解题基本方法
初中数学规律题解题基本方法 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。 解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号：1，2，3，4，5，……。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。
初中常用数学模型
如图，如果AB ‖DE ，且C 为AE 中点，则有△ABC ≌△EDC 很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长） 【例题1】（2014 深圳某模拟） 【例题2】（2014 ） 答案：1.3 2 ；2.D
如图，若∠B=∠C=∠DEF=α（0<α≤90) 则一定有△BDE与△CEF相似。 十分好证（外角和什么一大堆），并且也很实用。经常在矩形里出题。 【例题1】（2009 ） 【例题2】（2006 ） 【例题3】（原创）
答案：1. 2或3-24或 25 2.(5 453-，) 【3】巧造旋转模型 在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。 巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题： 通过观察可得∠ABC=∠C=45°，AB=AC 。 我们可以将△ACD 绕A 顺时针旋转90°得到△ABE ，使得AC 与AB 重合。 那么就有EB ⊥BC ，而在RT △AED 中，DE2=2AD2（等腰直角三角形） 所以BE2+BD2=DE2，即BD2+CD2=2AD2 是不是赶脚很难想到？要学会判断，这种感觉是要练出来的！ 【例题1】（2014 ） 【例题2】 【例题3】（2014 菏泽改编）
答案：1.41 2.9 3.(1.)2，(2.)直角三角形，旋转后证全等，证明略【4】等腰模型 这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形 首先：平行+角平分线， 如图，若AD‖BE，BC平分∠ABE，则AB=AC，很好证的，导角即可。 其次：垂直+角平分 这个不难理解，因为等腰三角形三线合一。 这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类）
初中数学解题技巧(史上最全)
初中数学解题技巧(史上最全)
初中数学选择题、填空题解题技巧(完美版) 选择题目在初中数学试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。 1.排除选项法： 选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。 2.赋予特殊值法： 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。 3.通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果： 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 4、直接求解法： 有些选择题本身就是由一些填空题,判断题,解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得结论,再与选择
项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。如:商场促销活动中,将标价为200元的商品,在打8折的基础上,再打8折销售,现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元 5、数形结合法： 解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。 6、代入法： 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。 7、观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。 8、枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。 例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( ) (A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B. 9、待定系数法： 要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。
初中数学期末考试答题技巧汇总
常青藤真教育初中数学期末考试答题技巧汇总 一、答题原则 大家拿到考卷后，先看是不是本科考试的试卷，再清点试卷页码是否齐全，检查试卷有无破损或漏印、重印、字迹模糊不清等情况。如果发现问题，要及时报告监考老师处理。 答题时，一般遵循如下原则： 1．从前向后，先易后难。通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难。因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依次解答。当然，有时但也不能机械地按部就班。中间有难题出现时，可先跳过去，到最后攻它或放弃它。先把容易得到的分数拿到手，不要“一条胡同走到黑”，总的原则是先易后难，先选择、填空题，后解答题。 2．规范答题，分分计较。数学分I、II卷，第I卷客观性试题，用计算机阅读，一要严格按规定涂卡，二要认真选择答案。第II卷为主观性试题，一般情况下，除填空题外，大多解答题一题设若干小题，通常独立给分。解答时要分步骤（层次）解答，争取步步得分。解题中遇到困难时，能做几步做几步，一分一分地争取，也可以跳过某一小题直接做下一小题。 3．得分优先、随机应变。在答题时掌握的基本原则是“熟题细做，生题慢做”，保证能得分的地方绝不丢分，不易得分的地方争取得分，但是要防止被难题耗时过多而影响总分。 4．填充实地，不留空白。考试阅卷是连续性的流水作业，如果你在试卷上留下的空白太多，会给阅卷老师留下不好印象，会认为你确实不行。另外每道题都有若干采分点，触到采分点便可给分，未能触到采分点也没有倒扣分的规定。因此只要时间允许，应尽量把试题提问下面的空白处写上相应的公式或定理等有关结论。 5．观点正确，理性答卷。不能因为答题过于求新，结果造成观点错误，逻辑不严密；或在试卷上即兴发挥，涂写与试卷内容无关的字画，可能会给自己带来意想不到的损失。胡乱涂写可以认为是在试卷上做记号，而判作弊。因此，要理性答卷。
(完整)初中数学几个常用模型资料
初 中 数 学 几 个 数 学 模 型 模型１、l:r=3600 :n 0 ①圆锥母线长5cm ，底面半径长3cm ，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。 ②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于（ C ） A ．45° Ｂ．60° C ．90° Ｄ．120° ③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm ，母线长为４cm ，在一个边长为8cm 的正方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ） （Ａ）一个也不能做 （Ｂ）能做一个 （Ｃ）可做二个 （Ｄ）可做二个以上 4、（2004河北T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是 （D ）A 、2r=R B 、R r =4 9 C 、R r =3 D 、r 4模型2、角平分线+平行=等腰三角形 如图，?ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE+CF 的大小关系（ B ）. （A ）EF>BE+CF （B ）EF=BE+CF （C ）EF 初中数学解题技巧:常用的数学思想方法 初中数学解题技巧:常用的数学思想方法 1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。 2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。 3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。 4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。 5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。 6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。 7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然，则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。这种思维过程通常称为“执果寻因” 8、综合法：在研究或证明命题时，如果推理的方向是从已知条件开始，逐步推导得到结论，这种思维过程通常称为“由因导果” 9、演绎法：由一般到特殊的推理方法。 初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 D （1）等边三角形 O O C E C A 图 1B A 图 2 【条件】：△ OAB和△ OCD均为等边三角形； 【结论】：①△ OAC≌△ OBD；②∠ AEB=60°；③ OE平分∠ AED D （2）等腰直角三角形 O C E A B A 图 1 D E B D O E C B 图2 【条件】：△ OAB和△ OCD均为等腰直角三角形； 【结论】：①△ OAC≌△ OBD；②∠ AEB=90°；③ OE平分∠ AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 D O O C 【条件】：△ OAB和△ OCD均为等腰三角形； D E 且∠ COD=∠AOB E 【结论】：①△ OAC≌△ OBD；C ②∠ AEB=∠AOB； ③OE平分∠ AED A图 1B A图 2B O O 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 D 【条件】： CD∥ AB，C D 将△ OCD旋转至右图的位置 A B 【结论】：①右图中△ OCD∽△ OAB→→→△ OAC∽△ OBD； ②延长 AC交 BD于点 E，必有∠ BEC=∠ BOA O （2）特殊情况 C D 【条件】：CD∥ AB，∠ AOB=90° 将△ OCD旋转至右图的位置 A B 【结论】：①右图中△ OCD∽△ OAB→→→△ OAC∽△ OBD； ②延长 AC交 BD于点 E，必有∠ BEC=∠ BOA； ③ BD OD OB tan ∠ OCD；④ BD⊥AC； AC OC OA ⑤连接 AD、 BC，必有AD2BC 22 2 ；⑥ S△BCD ABCD 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型 -90 ° 【条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC平分∠ AOB E C A B D O C E A B 1 A C BD 2A C D O E B 图 1 【结论】：①；② OD+OE=2；③S △DCE S △OCD S △OCE 1 OC2 CD=CE OC2 证明提示：A C M ①作垂直，如图 2，证明△ CDM≌△ CEN D ②过点 C 作 CF⊥ OC，如图 3，证明△ ODC≌△ FEC ※当∠ DCE的一边交 AO的延长线于 D 时（如图4）：O N EB 图 2 以上三个结论：① CD=CE；② OE-OD= 2 OC；A 1 OC 2M C ③ S S △OCE△OCD2A C D O N B E O图 3E F B D 图 4 初中数学选择题、填空题解题技巧(完美版) 选择题目在初中数学试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。 1.排除选项法： 选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。 2.赋予特殊值法： 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。 3.通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果： 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 4、直接求解法： 有些选择题本身就是由一些填空题,判断题,解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得结论,再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。如:商场促销活动中,将标价为200元的商品,在打8折的基础上,再打8折销售,现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元 5、数形结合法： 解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。 6、代入法： 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。 7、观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。 8、枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。 例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( ) (A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B. 9、待定系数法： 要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。 10、不完全归纳法： 当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。 以上是我们给同学们介绍的初中数学选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好;不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。 初中填空题解法大全 一.数学填空题的特点： 与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。考查内容多是“双基”方面，知识复盖面广。但在考查同样内容时，难度一般比择题略大。 二.主要题型： 初中填空题主要题型一是定量型填空题，二是定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数学公式的掌握的熟练程度，后者考查考生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理解和熟练程度。当然这两类填空题也是互相渗透的，对于具体知识的理解和熟练程度 初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理） A ． 代数篇： 1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。 例.把0.108108108???化为分数。 设S=0.108108108??? （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108???（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S= 108 999 余例仿此—— 2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ； 22x y + 中，知二求二。 222222()2()2x y x y x y x y x y x y +=++?+= +- 2222()2()4x y x y x y x y x y -=+-=+- 加减配合，灵活变型。 3．特殊公式 22 1 1 2x x x x ±=+±2 （）的变型几应用。 4．立方差公式：3322a b a b a ab b ±=±+m （）（） 5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。 例.求：1+2+3+222+2017的和。三种方法举例：略 6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。 例.求1+2+4+8+16+32+2222n 令S=1+2+4+8+16+32+222+2n （1） 两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+222+2n +12n + （2） （2）-（1）得：2S-S=12n +- 1 从而求得S 。 7． 11n m m n --=mn 的灵活应用：如：1111 62323 ==-?等。 8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。 9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路： 初中数学常用的十种解题方法 数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。 下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系 蚂蚁行程 模型1 立体图形展开的最短路径 模型分析 上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬行一周。到点B 的最短路径就是展开图中AB ′的长，22''''AB AA A B =+。做此类题日的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。 模型实例 例1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子 最短有 多长？ 例2．如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径2r =， 若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短 路线长是 。 例3．已知长方体的长、宽、高分别为30cm 、20cm 、10cm ，一只蚂蚁从A 处出发到B 处觅食，求它所走的最短路径。（结果保留根号） 热搜精练 1．有一个圆锥体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。 2．如图，圆锥体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为。 3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口距离3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫22 杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。 4．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为。 初中数学解题模型专题讲解 初中数学解题模型专题讲解 30 矩形大法 专题30 矩形大法 矩形大法 主要从三个方面和大家交流： 一：“矩形大法”的提出背景 二：“矩形大法”的基本构造 三：“矩形大法”的实例应用 一、矩形大法”的提出背景 问题：我们如何刻画一个角大小呢？ 是的，角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知的度数刻画法；另一种是常被我们忽略的边长刻画法（即三角函数值）。 如果两个角的大小是用度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来。 但如果两个角的大小是采用边长（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？ 自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画。 也许学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式。 但现在讨论的背景是初中数学教学因此我们要回避用高中数学知识。 首先要提的就是南通2014年的28题第三问： 不知大家第一次看到这道题的第一反应是什么？ 能否在短时间中用传统方法解决？ 看到两角和差关系这样的条件想到什么？ 本题它有比较巧妙的求法，但要发现，还是需要一定的时间的。 这里涉及到两角和差关系，需要说明的是，命题人员绝非希望你采用高中“两角和与差的三角公式”去解决问题，这是由于： ⑴他们当初没有意识到采用这样的思考方法是合理的，而且只要方法得当，的确能够解决问题。 ⑵即使意识到了，他们认为因为初中不具备这样的知识，有这样的想法却因为不具备的能力，从而无法解决原问题。 ⑶最关键的原因是，由于命题人员想出了构思极为巧妙，常人很难想到的解法。 于是，这样的考题在不知不觉中出现了，而且通常情况下，这样的考题必定处于试卷中的难题位置．那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系，那不就可以不花多少时间直接攻破此题了呢！ 再譬如今年盐城的中考题第3问： 初中数学几何模型 【模型1】倍长 1、 倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、 直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB =10，BF =4，求GE 的长； （2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GC 、GE 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明. 图3 图2图1G F D C G F D C G F D C A B E E B A E B A 【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE =AF ， 中点模型 BAF DAE∠ = ∠． (1)求证：CE=CF； (2)若? = ∠120 ABC，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG上GE． 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD中点，BA交EF延长线于G，CD交EF于H．求证：∠BGE=∠CHE． H G E F A B D C 【模型1】构造轴对称 【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF 的长为. 角平分线模型 一、选择题的解法 1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，最后得到题目的所求。 2、特殊值法：（特殊值淘汰法）有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关； 在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。 3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。 4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略；每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。 5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。 二、常用的数学思想方法 1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。 2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。 在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。 如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。 3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查；这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。 4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。 为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。 5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。 初中数学模型解题法 解答题 1. （2001江苏苏州6分）如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线。在上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C 作CE⊥AB，垂足为E．连接BD，交CE于点F。 （1）当点C为的中点时（如图1），求证：CF=EF； （2）当点C不是的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。 【答案】解：（1）证明：∵DA是切线，AB为直径，∴DA⊥AB。 ∵点C是的中点，且CE⊥AB，∴点E为半圆的圆心。 又∵DC是切线，∴DC⊥EC。 又∵CE⊥AB，∴四边形DAEC是矩形。 ∴CD∥AO，CD=AD。∴，即EF= AD= EC。 ∴F为EC的中点，CF=EF。 （2）CF=EF保持不变。证明如下： 如图，连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC， ∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC=DA。 ∴∠DAC=∠DCA。 ∵AB是直径，∴∠ACB=90°。∴∠ACG=90°。 ∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°。 ∴∠DGC=∠DCG。 ∴在△GDC中，GD=DC。 ∵DC=DA，∴GD=DA。 ∵AP是半圆O的切线，∴AP⊥AB。 又∵CE⊥AB，∴CE∥AP。∴△BCF∽△BGD，△BEF∽△BAD。 ∴。 ∵GD=AD，∴CF=EF。 【考点】探究型，圆的综合题，切线的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）由题意得DA⊥AB，点E为半圆的圆心，DC⊥EC，可得四边形DAEC是矩形，即可得出，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF。 （2）连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，由切线长定理可得DC=DA，∠DAC=∠DCA，由角度代换关系可得出∠DGC=∠DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CE∥AP，所以，即可知CF=EF。 2. （2001江苏苏州7分）已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，∠B、∠C都为锐角，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN=x。 （1）用x表示△AMN的面积； （2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y。 ①用的代数式表示y，并写出x的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？ 最全：初中数学几何模型 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，小编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~ 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称 共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 模型变形 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 初中数学解题技巧分析 初中数学解题技巧分析 初中数学解题技巧分析 1.如果把解题比做打仗，那么解题者的“兵器”就是数学基础知识，“兵力”就是数学基本方法，而调动数学基础知识、运用数学 思想方法的数学解题思想则正是“兵法”。 2.数学家存在的主要理由就是解决问题。因此，数学的真正的组成部分是问题和解答。“问题是数学的心脏”。 3.问题反映了现有水平与客观需要的矛盾，对学生来说，就是已知和未知的矛盾。问题就是矛盾。对于学生而言，问题有三个特征： （1）接受性：学生愿意解决并且具有解决它的知识基础和能力 基础。 （2）障碍性：学生不能直接看出它的解法和答案，而必须经过 思考才能解决。 （3）探究性：学生不能按照现成的的套路去解，需要进行探索，寻找新的处理方法。 4.练习型的问题具有教学性，它的结论为数学家或教师所已知，其之成为问题仅相对于教学或学生而言，包括一个待计算的答案、 一个待证明的结论、一个待作出的图形、一个待判断的命题、一个 待解决的实际问题。 5.“问题解决”有不同的解释，比较典型的观点可归纳为4种： （1）问题解决是心理活动。面临新情境、新课题，发现它与主 客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理办法 的一种活动。 （2）问题解决是一个探究过程。把“问题解决”定义为“将先 前已获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过程”。这就是说，问 题解决是一个发现的过程、探索的过程、创新的过程。 （4）问题解决是一种生存能力。重视问题解决能力的培养、发 展问题解决的能力，其目的之一是，在这个充满疑问、有时连问题 和答案都是不确定的世界里，学习生存的本领。 7.人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借。丰富的知识并加以优化的结构能为题意的 本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件。解题研究的一代宗师 波利亚说过：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重 要资本”。 8.熟练掌握数学基础知识的体系。对于中学数学解题来说，应如数学家珍说出教材的概念系统、定理系统、符号系统。还应掌握中 学数学竞赛涉及的基础理论。深刻理解数学概念、准确掌握数学定理、公式和法则。熟悉基本规则和常用的方法，不断积累数学技巧。 9.数学的本质活动是思维。思维的.对象是概念，思维的方式是 逻辑。当这种思维与新事物接触时，将出现“相容”和“不容”的 两种可能。出现“相容”时，产生新结果，且被原概念吸收，并发 展成新概念；当出现“不容”时，则产生了所谓的问题。这时，思 维出现迂回，甚至暂时退回原地，将原概念扩大或将原逻辑变式， 直到新思维与事物相容为止。至此，也产生新的结果，也被原思维 吸收。这就是一个思维活动的全过程。 （1）掌握解题的科学程序； （2）掌握数学中各种常用的思维方法，如观察、试验、归纳、 演绎、类比、分析、综合、抽象、概括等； （3）掌握解题的基本策略，能“因题制宜”地选择对口的解题 思路，使用有效的解题方法、调动精明的解题技巧； （4）具有敏锐的直觉。应该明白，我们的数学解题活动是在纵 横交错的数学关系中进行的，在这个过程中，我们从一种可能性过 初中数学常见解题模型及思路（自有定理） A ． 代数篇： 1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。 例.把0.108108108???化为分数。 设S=0.108108108??? （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108???（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S= 108 999 余例仿此—— 2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ； 22x y + 中，知二求二。 222222()2()2x y x y x y x y x y x y +=++?+= +- 2222()2()4x y x y x y x y x y -=+-=+- 加减配合，灵活变型。 3．特殊公式 22 1 1 2x x x x ±=+±2 （）的变型几应用。 4．立方差公式：3322a b a b a ab b ±=±+m （）（） 5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。 例.求：1+2+3+222+2017的和。三种方法举例：略 6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。 例.求1+2+4+8+16+32+2222n 令S=1+2+4+8+16+32+222+2n （1） 两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+222+2n +12n + （2） （2）-（1）得：2S-S=12n +- 1 从而求得S 。 7． 11n m m n --=mn 的灵活应用：如：1111 62323 ==-?等。 8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。 9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路： 初中数学解题方法与技巧 要学好数学，学会解题是关键。在进行解题的过程中，不仅需要加强必要的训练，其还要掌握一定的解题规律与技巧。 一、数学思想方法在解题中有不可忽视的作用 解题的学习过程通常的程序是：阅读数学知识，理解概念；在对例题和老师的讲解进行反思，思考例题的方法、技巧和解题的规范过程；然后做数学练习题。 基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后要及时总结反思改错，交流学习好的解法和技巧。著名的数学教育家波利亚说“如果没有反思，就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。” 教师在教学设计中要让解学生好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。 1. 函数与方程的思想 函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。 2. 数形结合的思想 数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。 3. 分类讨论的思想 分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。 解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。常见的类型：类型1 ：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；类型2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。类型5 ：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。 分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。分类的原则：分类不重不漏。分类的步骤：①确定讨论的对象及其范围； ②确定分类讨论的分类标准；③按所分类别进行讨论；④归纳小结、综合得出结论。注意动态问题一定要先画动态图。 4 ．转化与化归的思想 转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的思想体现了数与形的转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。 但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的；不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观初中数学解题技巧-常用的数学思想方法
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