专题 列、等差数列与等比数列(小题)

数列、等差数列与等比数列(小题)

热点一 等差数列、等比数列的基本运算 1.等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *

) 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1

.

等差数列的求和公式：S n ＝

n a 1＋a n

2

＝na 1＋

n n －1

2

d ；

等比数列的求和公式：S n ＝?????

a 11－q n

1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，

na 1，q ＝1.

2.等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q ；

(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2

＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q

n －1

(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列；

(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.

例1 (1)(2019·柳州模拟)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2

x －1

的图象上(n ∈N *

).数列{a n }的前

n 项和为S n ，设b n ＝2

1

log

64

n S +，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________. 答案 －30

解析 ∵点(n ，a n )在函数y ＝2x －1

的图象上，

∴a n ＝2

n －1

，

∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝

1·

1－2n

1－2

＝2n

－1，

则b n ＝2

64

n

＝2n －12， ∴{b n }是首项为－10，公差为2的等差数列， ∴由b n ≤0，得n ≤6.

即T n 的最小值为T 5＝T 6＝－10×6＋

6×5×2

2

＝－30. (2)(2019·咸阳模拟)正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝2a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则1m ＋9

n

的最小值是________.

答案 4

解析 数列a n 是正项等比数列且q ≠1， 由a 6＝a 5＋2a 4，得q 2

＝q ＋2， 解得q ＝2(负根舍去). 由a m ·a n ＝2a 1， 得2

m ＋n －2

＝22

，m ＋n ＝4.

故1m ＋9n ＝14·? ??

??

1m ＋9n ·(m ＋n ) ＝14?

?

???1＋9＋n m ＋9m n ≥14? ??

??10＋2

n m ·9m n ＝1

4

(10＋6)＝4， 当且仅当?????

n m ＝9m n ，

m ＋n ＝4，

m ∈N *

，n ∈N *

，

即?

??

??

m ＝1，

n ＝3时等号成立.

跟踪演练1 (1)(2019·上饶重点中学六校联考)已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，若S 8＝S 10，则a 18等于( ) A.－4 B.－2 C.0 D.2 答案 B

解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 8＝S 10，得a 9＋a 10＝0， 所以2a 1＋17d ＝0，且a 1＝2， 所以d ＝－417

，

得a 18＝a 1＋17d ＝2＋17×? ??

??－

417＝－2.

(2)(2019·马鞍山模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝3

4，则S 5

等于( )

A.3132

B.3116

C.318

D.31

4 答案 B

解析 由正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，

a 4＝18，S 3－a 1＝34

，q >0，

易知q ＝1时不成立，所以q ≠1. ∴?????

a 1

q 3＝18，a 1

1－q 3

1－q

－a 1＝34

，

解得a 1＝1，q ＝12? ??

??a 1＝－278，q ＝－13舍去， ∴S 5＝

a 11－q 5

1－q

＝1－

1

321－

12＝3116.

(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，a 5＝1，则使得S n >0成立的n 的最大值为________. 答案 9

解析 因为a 1＝9，a 5＝1， 所以公差d ＝1－9

4

＝－2，

所以S n ＝9n ＋12n (n －1)(－2)＝10n －n 2

，

令S n >0，得0

所以使得S n >0成立的n 的最大值为9. 热点二 等差数列、等比数列的性质

1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *

)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2

k . 2.前n 项和的性质：

(1)对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外). (2)对于等差数列，有S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1.

例2 (1)(2019·合肥模拟)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *

)，若a 5＋a 7－a 2

6＝0，则S 11的值为( ) A.11 B.12 C.20 D.22 答案 D

解析 结合等差数列的性质，可得a 5＋a 7＝2a 6＝a 2

6， 又该数列为正项数列，可得a 6＝2，

所以由S 2n －1＝(2n －1)a n ， 可得S 11＝11a 6＝22.

(2)(2019·西安陕师大附中、西安高级中学等八校联考)已知函数f (x )＝2

1＋x 2(x ∈R)，若等

比数列{a n }满足a 1a 2 019＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 019)等于( ) A.2 019 B.2 0192 C.2 D.1

2

答案 A

解析 ∵a 1a 2 019＝1， ∴f (a 1)＋f (a 2 019)＝

21＋a 21＋2

1＋a 2

2 019

＝21＋a 21＋21＋1a 2

1

＝21＋a 21＋2a 2

1

1＋a 21

＝2， ∵{a n }为等比数列，

则a 1a 2 019＝a 2a 2 018＝…＝a 1 009a 1 011＝a 2

1 010＝1，

∴f (a 2)＋f (a 2 018)＝2，…，f (a 1 009)＋f (a 1 011)＝2，f (a 1 010)＝1， 即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 019)＝2×1 009＋1＝2 019.

(3)已知数列{a n }的各项都为正数，对任意的m ，n ∈N *

，a m ·a n ＝a m ＋n 恒成立，且a 3·a 5＋a 4＝72，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 7＝________. 答案 21

解析 令m ＝1，∵a m ·a n ＝a m ＋n ， ∴a 1·a n ＝a 1＋n ，

又a n >0，∴数列{a n }为等比数列. 由a 3·a 5＋a 4＝72，得a 2

4＋a 4＝72， ∵a 4>0，∴a 4＝8，

∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 7

＝log 2(a 1·a 2·…·a 7)＝log 2a 7

4＝log 287

＝21.

跟踪演练2 (1)(2019·鞍山模拟)等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，若对一切自然数n ，都有S n T n ＝

2n 3n ＋1，则a 6

b 6

等于( )

A.23

B.914

C.2031

D.11

17 答案 D 解析

S 11T 11＝11a 611b 6＝a 6b 6＝2234＝11

17

.

(2)已知等比数列{a n }中，a 5＝2，a 6a 8＝8，则a 2 018－a 2 016

a 2 014－a 2 012

等于( )

A.2

B.4

C.6

D.8 答案 A

解析 设数列{a n }的公比为q . ∵数列{a n }是等比数列， ∴a 6a 8＝a 2

7＝8， ∴a 7＝22(与a 5同号)， ∴q 2

＝a 7a 5

＝2， ∴

a 2 018－a 2 016a 2 014－a 2 012

＝q 4＝(2)2

＝2.

(3)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝130，则S 40等于( ) A.－510 B.400 C.400或－510 D.30或40

答案 B

解析 ∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ， ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等比数列， ∴10×(130－S 20)＝(S 20－10)2

， 解得S 20＝40或S 20＝－30(舍)， 故S 40－S 30＝270， ∴S 40＝400.

热点三 等差数列、等比数列的综合问题 解决数列的综合问题的失分点

(1)公式a n ＝S n －S n －1适用于所有数列，但易忽略n ≥2这个前提；

(2)对含有字母的等比数列求和时要注意q ＝1或q ≠1的情况，公式S n ＝a 11－q n

1－q

只适用

于q ≠1的情况.

例3 (1)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋S 5＝18，a 5＝7.若a 3，a 6，a m 成等比数列，则m ＝________. 答案 15

解析 设等差数列的公差为d ，

则?

??

??

a 1＋2d ＋5a 1＋10d ＝18，a 1＋4d ＝7，故?

??

??

a 1＝－1，

d ＝2，

所以a n ＝2n －3，n ∈N *

.

由a 26＝a 3a m ，得92

＝3(2m －3)， 所以2m －3＝27，所以m ＝15.

(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为T n ，a 3＝4，T 6＝27，数列{b n }满足b n ＋1＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋

b n ，b 1＝b 2＝1，设

c n ＝a n ＋b n ，则数列{c n }的前11项和S 11等于( )

A.1 062

B.2 124

C.1 101

D.1 100 答案 C

解析 设数列{a n }的公差为d ，

则?????

a 1＋2d ＝4，6a 1＋15d ＝27，

解得???

??

a 1＝2，d ＝1，

∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1. 当n ≥2时，b n ＋1－b n ＝b n ， ∴b n ＋1＝2b n ，

即数列{b n }从第二项起为等比数列， ∴b n ＝2

n －2

(n ≥2)，

∴数列{b n }的通项公式为b n ＝?

????

1，n ＝1，2n －2

，n ≥2.

分组求和可得数列{c n }的前11项和S 11＝(2＋3＋4＋…＋12)＋(1＋1＋2＋22

＋…＋29

)＝77＋210

＝1 101.

跟踪演练3 (1)(2019·黄冈、华师附中等八校联考)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项

a 1＝3，且a 2，a 4，a 7成等比数列，数列{

b n }的前n 项和S n 满足S n ＝2n (n ∈N *)，数列{

c n }满足c n ＝a n b n (n ∈N *)，则数列{c n }的前3项和为( )

A.31

B.34

C.62

D.59 答案 B

解析 由于a 2，a 4，a 7成等比数列， 故a 2

4＝a 2·a 7，

即(a 1＋3d )2

＝(a 1＋d )(a 1＋6d )， 由于a 1＝3，解得d ＝1， 故a n ＝n ＋2.当n ≥2时，

b n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，

当n ＝1时，b 1＝S 1＝21

＝2，

故b n ＝?

????

2，n ＝1，

2n －1

，n ≥2.

故c n的前3项和为

a1b1＋a2b2＋a3b3＝3×2＋4×2＋5×4＝34.

(2)用g(n)表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，g(9)＝9,10的因数有1,2,5,10，g(10)＝5，那么g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(22 019－1)＝________.

答案42 019－1

3

解析由g(n)的定义易知g(n)＝g(2n)，

且若n为奇数则g(n)＝n，

令f(n)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2n－1)，

则f(n＋1)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2n＋1－1)

＝1＋3＋…＋(2n＋1－1)＋g(2)＋g(4)＋…＋g(2n＋1－2)

＝2n[1＋2n＋1－1]

2

＋g(1)＋g(2)＋…＋g(2n－1)

＝4n＋f(n)，

即f(n＋1)－f(n)＝4n，

分别取n为1,2，…，n，并累加得

f(n＋1)－f(1)＝4＋42＋…＋4n＝4×1－4n

1－4

＝4

3

(4n－1)，

又f(1)＝g(1)＝1，

所以f(n＋1)＝4

3

(4n－1)＋1，

所以f(n)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2n－1)

＝4

3

(4n－1－1)＋1，

令n＝2 019，得：

g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(22 019－1)

＝4

3

(42 019－1－1)＋1＝

42 019－1

3

.

热点四数列的递推关系

由递推关系式求数列的通项公式常用的方法

(1)求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证)；

(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加法(适用于a n＋1＝a n＋f(n)型)、累乘法(适用于a n＋1＝a n·f(n)型)、待定系数法(适用于a n＋1＝pa n＋q型)求通项公式.

例4 (1)(2019·上饶重点中学六校联考)设数列{a n }满足a 1＝3，且对任意整数n ，总有(a n

＋1

－1)(1－a n )＝2a n 成立，则数列{a n } 的前2 018项的和为( )

A.588

B.589

C.2 018

D.2 019 答案 B

解析 因为(a n ＋1－1)(1－a n )＝2a n ， 所以a n ＋1＝1＋a n

1－a n ，

因为a 1＝3，

所以a 2＝－2，a 3＝－13，a 4＝1

2，a 5＝3＝a 1，

即数列{a n }是以4为周期的数列，

所以a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 017＋a 2 018 ＝504×?

????3－2－13＋12＋a 1＋a 2＝589. (2)(2019·永州模拟)设[x ]表示不超过x 的最大整数，已知数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝a n (a n ＋1)，若??

??

??a 1a 1＋1＋a 2a 2＋1＋…＋a n a n ＋1＝100，则整数n 等于( )

A.99

B.100

C.101

D.102 答案 C

解析 因为a n ＋1＝a n (a n ＋1)＝a 2

n ＋a n ， 所以a n ＋1－a n ＝a 2

n >0，

故数列{a n }是递增数列，且1

a n

>0，

又由a n ＋1＝a n (a n ＋1)可得1

a n ＋1＝1a n －1a n ＋1

， 即1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1

， 而

a n

a n ＋1＝

a n ＋1－1a n ＋1＝1－1

a n ＋1

，

从而

a 1

a 1＋1＋

a 2

a 2＋1

＋…＋

a n

a n ＋1

＝n －? ??

?

?1a 1－1a n ＋1，

所以??

????a 1a 1＋1＋a 2a 2＋1＋…＋a n a n ＋1＝????

??n －? ????1a 1－1a n ＋1，

又0<1a 1－1a n ＋1<1a 1＝1

2

，

所以?

???

?

?n －?

????1a 1

－

1a n ＋1

＝n －1＝100，所以n ＝101.

跟踪演练4 (1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ? ??

??1＋1n ，则a n 等于( ) A.2＋n ln n B.2n ＋(n －1)ln n C.2n ＋n ln n D.1＋n ＋n ln n

答案 C 解析 由题意得

a n ＋1n ＋1－a n

n

＝ln(n ＋1)－ln n ， n 分别用1,2,3，…，n －1(n ≥2)取代，

累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1，即a n

n ＝2＋ln n ，

即a n ＝2n ＋n ln n (n ≥2)，

又a 1＝2符合上式，故a n ＝2n ＋n ln n .

(2)(2019·漳州模拟)已知数列{a n }和{b n }首项均为1，且a n －1≥a n (n ≥2)，a n ＋1≥a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足2S n S n ＋1＋a n b n ＋1＝0，则S 2 019等于( ) A.2 019 B.12 019 C.4 037 D.1

4 037

答案 D

解析 由a n －1≥a n (n ≥2)，a n ＋1≥a n 可得a n ＋1＝a n ， 即数列{a n }是常数列，

又数列{a n }的首项为1，所以a n ＝1，

所以当S n S n ＋1≠0时，2S n S n ＋1＋a n b n ＋1＝0可化为2S n S n ＋1＋b n ＋1＝0， 因为S n 为数列{b n }的前n 项和，

所以2S n S n ＋1＋b n ＋1＝2S n S n ＋1＋(S n ＋1－S n )＝0， 所以

1

S n ＋1－1

S n

＝2，

因此数列????

??

1S n 是以2为公差的等差数列，

又1S 1＝1

b 1

＝1，

所以1

S n

＝1＋2(n －1)＝2n －1， 故S n ＝

1

2n －1

，即S n S n ＋1≠0. 所以S 2 019＝

1

4 037

.

真题体验

1.(2018·全国Ⅰ，理，4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A.－12 B.－10 C.10 D.12

答案 B

解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4， 得3?

???

??3a 1＋

3×

3－12

×d ＝2a 1＋

2×

2－12×d ＋4a 1＋

4×

4－12

×d ，将a 1＝2代入上

式，解得d ＝－3，

故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.

2.(2017·全国Ⅰ，理，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20

，接下来的两项是20

,21

，再接下来的三项是20

,21

,22

，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440 B.330 C.220 D.110 答案 A

解析 设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推.则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n 1＋n

2

.

由题意知，N >100，令

n 1＋n

2

>100?n ≥14且n ∈N *

，即N 出现在第13组之后.

第n 组的各项和为1－2n

1－2＝2n

－1，前n 组所有项的和为

21－2n

1－2

－n ＝2

n ＋1

－2－n .

设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －

n 1＋n

2

项的和即第n

＋1组的前k 项的和2k

－1应与－2－n 互为相反数，即2k

－1＝2＋n (k ∈N *

，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)?n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝

29×

1＋292

＋5＝440.

3.(2019·全国Ⅰ，理，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝13

，a 2

4＝a 6，则S 5＝________.

答案

1213

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5

，所以a 1q ＝1，又a 1＝13

，

所以q ＝3，所以S 5＝a 11－q 5

1－q

＝

13

×1－35

1－3

＝

1213

. 押题预测

1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2 019，则m ＝________. 答案 1 010

解析 根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 3＝3a 2＝3(a 1＋d )，

又由a 1＝1，S 3＝a 5，得3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2， 则a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2m －1＝2 019， 解得m ＝1 010.

2.已知等差数列{a n }中，若点(n ，a n )(n ∈N *

)在经过点(4,8)的定直线l 上，则数列{a n }的前7项和S 7＝________. 答案 56

解析 因为等差数列{a n }中，点(n ，a n )(n ∈N *)在经过点(4,8)的定直线l 上， ∴a 4＝8，

∴数列{a n }的前7项和S 7＝7

2

(a 1＋a 7)＝7a 4＝56.

3.在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3－a 1＝8，当a 4取最小值时，数列{na 2

n }的前n 项和

S n ＝________.

答案 (8n －4)3n

＋4

解析 设数列{a n }的公比为q ， 由题意易知q >1.

等比数列{a n }中，a 3－a 1＝8， 所以a 1＝8q 2－1，a 4＝a 1q 3

＝8q 3

q 2－1，

令f (q )＝8q

3

q 2－1

，q >1，

则f ′(q )＝? ????8q 3

q 2－1′＝8q 2

q 2

－3q 2－12，q >1， 令f ′(q )＝0，解得q ＝3(负值舍去)， 当1

当q >3时，f ′(q )>0，

所以当q ＝3时，a 4＝f (q )＝8q

3

q 2－1取得最小值，

设b n ＝na 2

n ，代入q ＝3化简可得b n ＝16n ×3n －1

，

所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －2＋b n －1＋b n ，

S n ＝16[1×30＋2×31＋3×32＋…＋(n －2)×3n －3＋(n －1)×3n －2＋n ×3n －1]，

3S n ＝16[1×31

＋2×32

＋3×33

＋…＋(n －2)×3n －2

＋(n －1)×3

n －1

＋n ×3n

]，

两式相减得

－2S n ＝16(1＋31

＋32

＋33

＋…＋3

n －2

＋3

n －1

－n ×3n

)

＝16? ??

?

?1－3n

1－3－n ×3n ， S n ＝8n ×3n －4×3n ＋4，

故S n ＝(8n －4)×3n

＋4.

A 组 专题通关

1.(2019·深圳调研)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若S 5＝25，a 3＋a 4＝8，则{a n }的公差为( )

A.－2

B.－1

C.1

D.2 答案 A

解析 依题意，可得S 5＝5a 1＋a 5

2＝5×2a 32

＝25，

解得a 3＝5，

又a 3＋a 4＝8，所以a 4＝3， 所以公差d ＝a 4－a 3＝3－5＝－2.

2.(2019·沈阳模拟)等比数列{a n }中，若a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A.4 B.－4 C.±4 D .5 答案 A

解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 3＝2，a 7＝8， ∴a 2

5＝a 3·a 7＝2×8＝16，则a 5＝±4， ∵等比数列奇数项的符号相同， ∴a 5＝4.

3.(2019·广州模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )

A.144

B.81

C.45

D.63 答案 B

解析 设数列{a n }的公比为q ，由题易知，q ≠－1. 由等比数列的性质可知，

S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…成等比数列，

由题意得S 6－S 3＝36－9＝27?q 3

＝

27

9

＝3， ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝27×3＝81.

4.(2019·西北师范大学附属中学诊断)数列{a n }是公差不为零的等差数列，并且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }的相邻三项，若b 2＝5，则b n 等于( )

A.5·? ????53n －1

B.3·? ????53n －1

C.3·? ??

??35n －1

D.5·? ??

??35n －1

答案 B

解析 设等差数列{a n } 的首项为a 1，公差为d ，

a 5＝a 1＋4d ，a 8＝a 1＋7d ，a 13＝a 1＋12d ，

则(a 1＋7d )2

＝(a 1＋4d )(a 1＋12d )， 所以a 2

1＋14a 1d ＋49d 2

＝a 2

1＋16a 1d ＋48d 2

， 2a 1d ＝d 2，d ≠0，所以d ＝2a 1. 设等比数列{b n }的公比为q ，q ＝a 8a 5＝15a 19a 1＝5

3

，

所以b n ＝b 2·q

n －2

＝5·? ????53n －2＝3·? ??

??53n －1

.

5.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11.那么一定有( ) A.a 6≤b 6 B.a 6≥b 6 C.a 12≤b 12 D.a 12≥b 12 答案 B

解析 因为等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11， 所以a 1＋a 11＝b 1＋b 11＝2a 6， 所以a 6＝

a 1＋a 112

＝

b 1＋b 11

2

≥b 1b 11＝b 6.

当且仅当b 1＝b 11时，取等号，此时数列{b n }的公比为1.

6.(2019·济南外国语学校模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋(－1)n

，则a 2 018的值为( )

A.2 017×1 008

B.2 017×1 009

C.2 018×1 008

D.2 018×1 009

答案 B

解析 a n ＋1－a n ＝n ＋(－1)n

，

a 2 018－a 2 017＝2 017＋(－1)， a 2 017－a 2 016＝2 016＋1， a 2 016－a 2 015＝2 015＋(－1)， a 2 015－a 2 014＝2 014＋1，

…，

a 3－a 2＝2＋1， a 2－a 1＝1＋(－1)，

将以上式子相加得a 2 018－a 1＝2 017＋2 016＋…＋2， 即a 2 018＝2 017＋2 016＋…＋2＋1 ＝

2 017×1＋2 017

2

＝2 017×1 009.

7.(2019·衡水中学摸拟)已知函数f (x )＝????

?

m x －2 017

，x ≥2 019，?

????

3m 2 018＋1x －2 020，x <2 019，数列{a n }

满足：a n ＝f (n )，n ∈N *

，且{a n }是单调递增函数，则实数m 的取值范围是( ) A.(1,2] B.(1,2) C.(2，＋∞) D.(1，＋∞)

答案 C

解析 因为a n ＝f (n )

＝????

?

m n －2 017，n ≥2 019，n ∈N *

，? ??

??3m 2 018＋1n －2 020，n <2 019，n ∈N *，

且{a n }是单调递增数列，

所以根据指数函数的单调性可得m >1， 根据一次函数的单调性可得

3m

2 018

＋1>0， 由分段函数的单调性结合数列的单调性可得，

? ??

??3m 2 018＋1×2 018－2 0202.

8.(2019·临沂模拟)“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的代表作《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四节三升八，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”((注)

四升五：4.5升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量.)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为( )

A.2.2升

B.2.3升

C.2.4升

D.2.5升 答案 D

解析 设从下至上各节容积分别为a 1，a 2，…，a 9， 则{a n }是等差数列，设公差为d ， 由题意得

?????

a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＝4.5，a 1＋5d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d

＋a 1＋8d ＝3.8，

解得a 1＝1.6，d ＝－0.1， ∴中间两节的容积为

a 4＋a 5＝(1.6－0.1×3)＋(1.6－0.1×4)＝2.5(升).

9.(2019·广州天河区综合测试)若数列{b n }满足：b 12＋b 222＋…＋b n

2n ＝2n (n ∈N *

)，则数列{b n }

的前n 项和S n 为( ) A.2n ＋1

B.2n

－4 C.2

n ＋2

－2

D.2

n ＋2

－4

答案 D

解析 数列{b n }满足b 12＋b 222＋…＋b n

2n ＝2n (n ∈N *

)，

可得当n ≥2时，b 12＋b 222＋…＋b n －1

2n －1＝2(n －1)(n ∈N *

)， 可得b n

2n ＝2n －2(n －1)＝2，

所以b n ＝2

n ＋1

(n ≥2).

当n ＝1时，b 1＝4，满足b n ＝2n ＋1

， 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2

n ＋1

(n ∈N *

).

所以数列{b n }是等比数列，公比为2. 数列{b n }的前n 项和S n ＝

4

1－2n

1－2

＝2

n ＋2

－4.

10.(2019·荆门调研)正项等比数列{a n }满足a 1＝1，a 2a 6＋a 3a 5＝128，则下列结论正确的是( )

A.?n ∈N *

，S n >a n ＋1 B.?n ∈N *，a n a n ＋1≥a n ＋2 C.?n ∈N *，a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1

D.?n ∈N *

，a n ＋a n ＋3>a n ＋1＋a n ＋2 答案 D

解析 因为等比数列{a n }满足a 2a 6＋a 3a 5＝128， 即(a 4)2

＋(a 4)2

＝128， 解得a 4＝±8，

又等比数列为正项等比数列，所以a 4＝8， 由a 1＝1，则q 3

＝a 4a 1

＝8，解得q ＝2， 对于A ，S n >a n ＋1，有S n ＝

1×

1－2n

1－2

＝2n

－1，

a n ＋1＝2n ，有S n

对于B ，a n a n ＋1＝2

n －12n

＝2

2n －1

，a n ＋2＝2

n ＋1

，

当n ＝1时，a n a n ＋1

n －1

＋2

n ＋1

,2a n ＋1＝2

n ＋1

，

若a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，则2n －1

＋2n ＋1

＝2

n ＋1

，

显然不成立，C 错误； 对于D ，a n ＋a n ＋3＝2

n －1

＋2

n ＋2

＝2

n －1

(1＋8)＝9×2

n －1

，

a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋2n ＋1＝2n －1(2＋4)＝6×2n －1，

必有a n ＋a n ＋3>a n ＋1＋a n ＋2，D 正确.

11.(2019·哈尔滨模拟)已知x 2

＋y 2

＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( ) A.210 B.1210 C.10 D.3

210

答案 D

解析 因为在实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列， 所以设中间三项为a ，b ，c ， 由等差数列的性质可得2b ＝x ＋y ， 所以b ＝

x ＋y

2

，同理可得c ＝

x ＋3y

4，

所以后三项的和为b ＋c ＋y ＝

x ＋y 2

＋

x ＋3y

4

＋y ＝

3x ＋9y

4

， 又因为x 2

＋y 2

＝4，所以可令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以3x ＋9y 4＝32(cos θ＋3sin θ)

＝

3102sin(θ＋φ)≤3102? ?

?

??其中tan φ＝13.

12.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5，则数列???

?

??

1a n ·a n ＋1的

前n 项和的最大值为( ) A.49 B.1 C.4181 D.151315 答案 A

解析 由a 1＝9，a 2为整数， 可知等差数列{a n }的公差d 为整数. ∵S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0， 则9＋4d ≥0,9＋5d ≤0， 解得－94≤d ≤－95

，

∴d ＝－2，∴a n ＝9－2(n －1)＝11－2n . ∴

1

a n ·a n ＋1

＝

1

11－2n

9－2n

＝12? ????1

9－2n －111－2n ，

∴数列??

?

?

??

1a n ·a n ＋1的前n 项和为

12??????? ????17－19＋? ????

15－17＋…＋? ????19－2n －111－2n ＝12? ????1

9－2n －19.

令b n ＝

1

9－2n

， 易知0

∴12? ????19－2n －19的最大值为49

. 13.已知数列{a n }与????

??a 2

n n (n ∈N *

)均为等差数列，且

a 1＝2，则a 1＋? ????a 222＋? ????a 333＋…＋? ??

??a n n n ＝________. 答案 2

n ＋1

－2

解析 设a n ＝2＋(n －1)d ，

所以a 2n

n ＝[2＋n －1d ]2

n

＝

d 2n 2＋4d －2d 2n ＋d －22

n

，

由于????

??

a 2

n n 为等差数列，

所以其通项是一个关于n 的一次函数， 所以(d －2)2

＝0，∴d ＝2. 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴a n n ＝2n

n

＝2. 所以a 1＋? ????a 222＋? ????a 333

＋…＋? ????a n n n

＝21

＋22

＋ (2)

＝

2

1－2n

1－2

＝2

n ＋1

－2.

14.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *

)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}b n ，则b 2 019＝________. 答案 2

解析 由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…， 此数列被3 整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…， 构成以8项为周期的周期数列，所以b 2 019＝b 3＝2.

15.(2019·合肥一中、马鞍山二中等六校联考)已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－1

2

，前

n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有A ≤2S n －1

S n

≤B 恒成立，则B －A 的最小值为________.

答案

136

解析 ∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－1

2，

∴S n ＝32??????

1－? ????－12n 1＋12＝1－? ????－12n

，

令t ＝? ????－12n

，则－12≤t ≤14，S n ＝1－t ，

∴34≤S n ≤3

2

， ∵2S n －1S n 的最小值为16，最大值为73，A ≤2S n －1S n ≤B 对任意n ∈N *

恒成立，

∴B －A 的最小值为73－16＝13

6

.

16.(2019·临沂质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＋a 23＋a 332＋…＋a n

3n －1＝n ，若a m

与S m 的等差中项为11，则m 的值为________. 答案 3

解析 数列{a n }的前n 项和为S n ， 满足a 1＋a 23＋a 332＋…＋a n

3

n －1＝n ，①

当n ≥2时，a 1＋a 23＋a 332＋…＋a n －1

3n －2＝n －1，②

①－②得a n

3n －1＝1，

即a n ＝3

n －1

，

当n ＝1时，a 1＝1(首项符合通项)， 故a n ＝3

n －1

，n ∈N *

.

则S n ＝1＋3＋32

＋…＋3n －1

，

＝3n

－13－1＝3n

－12

. 又a m 与S m 的等差中项为11， 故3

m －1

＋3m

－1

2

＝22，

整理得3m

＝27， 解得m ＝3.

B 组 能力提高

17.(2019·长沙市长郡中学模拟)已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 2

2＋a 2

4＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2 019的个位数字是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 D

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1， 由a 2

2＋a 2

4＝900－2a 1a 5，a n >0， 得a 2

2＋a 2

4＋2a 2a 4＝900.

解得a 2＋a 4＝30.即qa 1＋q 3

a 1＝30，

由a 5＝9a 3，得q ＝3(负值舍去)，所以a 1＝1， 所以a n ＝a 1q

n －1

＝3

n －1

，

所以a 1＝30

＝1，a 2＝31

＝3，a 3＝32

＝9，a 4＝33

＝27，

a 5＝34＝81，a 6＝35＝243，…，

由此可得a n 的个位数字是以4为周期重复出现的.

所以a 2 019的个位数字是a 3的个位数字， 即a 2 019的个位数字是9.

18.(2019·河南省八市重点高中联合测评)将正整数1,2,3，…，n ，…排成数表如表所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i 行、第j 列的数可用(i ，j )表示，则100可表示为________.

答案 (8,9)

解析 由题意，第一行有a 1＝3(个)数， 第二行有a 2＝6(个)数，

∴每一行的数字个数组成以3为首项，3为公差的等差数列， ∴第n 行有a n ＝3＋3(n －1)＝3n (个)数， 由求和公式可得前n 行共1

2n (3＋3n )(个)数，

经验证可得第8行的最后第1个数为85，

按表中的规律可得第8行共24个数，第一个为108， ∴100为第8行的第9个数.

等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。

例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思：

江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合 填空题 1 ．数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列, 则{}n a 的通项公式是______. 【答案】2 2n a n n =-+ 2 ．已知数列{}n a 满足143a =,()* 11226n n a n N a +-=∈+,则11n i i a =∑=______. 【答案】232 4 n n ?-- 3 ．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3 4 ．设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____. 【答案】14 5 ．已知数列 }{n a 满足1 22n n a qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---， 则1a = ． 【答案】2-或 126 6 ．观察下列等式: 31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-1 4×2 3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N * , 31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×1 2 n =______. 【答案】()n n 211 1?+- 7 ．已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如 下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在 n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____. 【答案】1951 8 ．若数列 {}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =?? ?时,数列{}n b 也是等比数列;类比上

微专题11等差数列与等比数列 1.掌握并活用等差、等比数列的基本量和性质，进行基本运算． 2.运用定义域分析通项公式，判断或证明一个数列是等差(比)数列． 3.从分析数列特征入手，综合运用通项公式、求和公式、不等式、函数等方法求解最值或参数范围问题． 考题导航题组一等差数列、等比数列的基本量及基本运算 1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝________． 2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 1.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________． 2.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2 ＝________．题组二等差数列、等比数列的判定与证明 1.已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1 ，则a n ＝________．2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．

1.记S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝2a n＋1，则S6＝________． 2.设数列{a n}中，S1＝1，S2＝2，S n＋1－3S n＋2S n－1＝0(n≥2)，则命题“{a n}是等比数列”是________命题．(填“真”或“假”) 题组三与等差数列、等比数列有关的最值、参数范围问 题 1.设等比数列{a n}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…a n的最大值为________． 2.已知数列{a n}为等差数列，若a7 a6 <－1，且它们的前n项和S n有最大值，则使S n>0的n的最大值为________． 3.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为________． 1.已知首项为3 2的等比数列{a n }不是递减数列，其前n项和为S n(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列． (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设T n＝S n－1 S n (n∈N*)，求数列{T n}最大项的值与最小项的值．

一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n

前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分

等差数列与等比数列综合问题（3）教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题． 2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解.教学重点与难点 1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式． 2.等差数列与等比数列的综合应用.例1已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项.例2 已知数列{an}的前n 项和，求数列{|an|}的前n项和tn.例3已知公差不为零的等差数列｛an｝和等比数例｛bn｝中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn+b成立．若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．例4已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，数列｛akn｝是公比为q的等比数列，且k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+kn的值．例5、已知函数f(x)=2x-2-x ,数列{an}满足f( )= -2n (1)求{an}的通项公式。(2)证明{an}是递减数列。例6、在数列{an}中,an>0，= an+1 (n n)求sn和an的表达式。例7.已1 ————来源网络整理，仅供供参考

知数列{an}的通项公式为an= .求证：对于任意的正整数n，均有a2n ─1,a2n,a2n+1成等比数列，而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。例8．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项及项数。作业1 公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是（）．（a）1 （b）2 （c）3 （d）4 2 若等差数列｛an｝的首项为a1＝1，等比数列｛bn｝，把这两个数列对应项相加所得的新数列｛an+bn｝的前三项为3，12，33，则｛an｝的公差为｛bn｝的公比之和为（）．（a）－5 （b）7 （c）9 （d）14 3 已知等差数列｛an｝的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是． 4 在等差数列｛an｝中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1+a4+a25＝114，求成等比数列的这三个数．5 设数列｛an｝是首项为1的等差数列，数列｛bn｝是首项为1的等比数列，又cn ＝an－bn（n∈n+），已知试求数列｛cn｝的通项公式与前n项和公式． ————来源网络整理，仅供供参考 2

【最新整理，下载后即可编辑】 等差数列与等比数列的综合问题 【知识要点】 （一）等差、等比数列的性质 1.等差数列{a n }的性质 （1）a m =a k +（m －k ）d ，d =k m a a k m --. （2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d . （3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md . （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列. （6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ， 奇 偶S S = n n a a 1+， S 2n =n （a n +a n +1）（a n 、a n +1为中间两项）； 若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *），则S 奇－S 偶=a n ， 奇 偶S S =n n 1-，S 2n － 1 =（2n －1）a n （a n 为中间项）. 2.等比数列{a n }的性质 （1）a m =a k ·q m －k . （2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q ·q 2. （3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m . （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列. （二）对于等差、等比数列注意以下设法：

1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，

§6.2 等差数列 一．课程目标 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二．知识梳理 1.定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). 2.通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式：2 2111)() (n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.

(1)通项公式的推广：*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有q p n m a a a a +=+。特别的，当p n m 2=+时，p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列，则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质 （1）若}{n a 是等差数列，则}{n S n 也是等差数列， 其首项与}{n a 的首项相同，公差为}{n a 的公差的 2 1。 （2）数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. （3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2，则1 +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶, 。 b .若项数为12-n ，则n a n n S )(1-=偶，n na S =奇，1 += =-n n S S a S S n 偶奇奇偶, 。 （4）若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,，则 1 21 2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系： （1）n d a n d S )(2 212-+= ，数列{a n }是等差数列? S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). （2）在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.

等差数列与等比数列的综合运用 班别： 坐号： 姓名： 1．在直角三形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于 。 2． 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列， 则这三个数分别是 。 3． 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，则这四个数分别是 。 4． 已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数），则{}n a （ ） A,一定是等差数列 B,或者是等差数列，或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列，也不是等比数列 5． a ,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程20ax bx c ++= （ ） A ，一定有两个不相等的实数根 B ，一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ，以上均有可能 6． 已知数列{}n a 是等差数列，12a =，且存在数列{}n b ，使得121 1 1 44 4 (1) n n a a a a n b ---=+ ， 则数列{}n b 的前n 项和n S = 。 7． 如果b 是a 与c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且,,y x z 都是正数，则 ()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= （0,1m m >≠） 8． 如果等差数列{}n a 的项数是奇数，11a =，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项的和是150， 则这个等差数列的公差为 。 9． 在数列{}n a 中，11a =，13(1),n n a S n +=≥证明：23,,,n a a a 是等比数列。 10 求和：（1）21 123n n S x x nx -=++++ （2）23123n n S x x x nx =+++++

一．课题：等差数列与等比数列的基本运算 二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识 解决有关问题，培养学生的化归能力． 三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法： 1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理； 2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似． 4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析： 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -=． 说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,， ① ②

等差数列、等比数列同步练习题 等差数列 一、选择题 1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（） A、89 B、-101 C、101 D、-89 2、等差数列{a n}中，a15 = 33，a45 = 153，则217是这个数列的（） A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中 3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为 A、4 B、5 C、6 D、不存在 4、等差数列{a n}中，a1 + a7 = 42，a10 - a3 = 21，则前10项的S10等于（） A、720 B、257 C、255 D、不确定 5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么a：b等于（） A、1 4B、 1 3C、 1 3或 1 D、 1 2 6、已知数列{a n}的前n项和S n = 2n2 - 3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数列{ C n }，其通项公式为（）A、C n= 4n - 3 B、C n= 8n - 1 C、C n= 4n - 5 D、C n= 8n - 9

7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30，若此数列的最后一项比第1项大10，则这个数列共有（） A、6项 B、8项 C、10项 D、12项 8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列，其中a1 = 25，b1 = 75，且a100 + b100 = 100，则数列{a n + b n}的前100项和为（） A、0 B、100 C、10000 D、505000 二、填空题 9、在等差数列{a n}中，a n = m，a n+m= 0，则a m= ______。 10、在等差数列{a n}中，a4 +a7 + a10 + a13 = 20，则S16 = ______ 。 11、在等差数列{a n}中，a1 + a2 + a3 +a4 = 68，a6 + a7 +a8 + a9 + a10 = 30，则从a15到a30的和是 ______ 。 12、已知等差数列 110，116，122，……，则大于450而不大于602的各项之和为 ______ 。 13、在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2 + a3 = 13，则a4 + a5 +a6 = 14、如果等差数列{a n}中，a3 +a4 + a5 = 12，那么a1 + a2 +…+ a7 = 15、设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1 = 3，a5 = 11，S7 = 16、已知{a n}为等差数列，a1 + a3 + a5 = 105，a2 +a4 + a6 = 99，则a20 =

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为 （ ） （A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ） z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为 （ ） （A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列 的前n 项和为 （ ）

等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?， 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) ， 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，* n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ； （II ）若对于任意的* m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42 2.=∴， 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，

1.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【考点】 等差数列、充分必要性 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知 4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若q p ?，则p 是q 的充分条件，若q p ?， 则 p 是q 的必要条件，该题“0>d ”?“02564>-+S S S ”，故为充要条件． 2.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若 844S S =，则10a =（ ） （A ） 172 （B ）19 2 （C ）10 （D ）12 【答案】B 【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)2 2 a a +??=+??，解得1a =1 2 ， ∴101119 9922 a a d =+= += ，故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式 【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算. 3.【2014高考重庆文第2题】在等差数列{}n a 中,1 352,10a a a =+=，则7a =（ ） .5A .8B .10C .14D 【答案】B

【解析】 试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，1 10216 a d -== 所以，7 16268a a d =+=+=.故选B. 考点：等差数列通项公式. 【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的和相等更能快速作答. 4. 【2014天津，文5】设 {}n a 是首项为1 a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若 ， ，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ） A.2 B.-2 C.2 1 D .1 2- 【答案】D 考点：等比数列 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前n 项和公式表示出，，，421S S S 然后依据，，，421S S S 成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前n 项和公式通过列方程或方程组就可以解出. 5. 【2014辽宁文9】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知得，11122n n a a a a -<，即111212 n n a a a a -<，1 n 1(a ) 21n a a --<， 又n 1a n a d --=，故121a d <，从而10a d <，选C ． 【考点定位】1、等差数列的定义；2、数列的单调性． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等， 解答本题的关键，是写出等差

等差数列与等比数列 一.选择题 (1)在等差数列｛a n ｝中, a 7=9, a 13=-2, 则a 25= ( ) A -22 B -24 C 60 D 64 (2) 在等比数列｛a n ｝中, 存在正整数m, 有a m =3, a m+5=24, 则, a m+15= ( ) A 864 B 1176 C 1440 D 1536 (3)已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –10 (4)设数列{}n a 是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A S 4+><，则使前n 项和0n S >成 立的最大自然数n 是： （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 (7) 数列｛a n ｝的前n 项和S n =3n -c, 则c=1是数列｛a n ｝为等比数列的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 (8) 在等比数列｛a n ｝中, a 1<0, 若对正整数n 都有a n 1 B 0

专 题2 数列 知识网络图解 一、数列的概念、性质 例①若数到{αn }满足αn+1 = 若α1=67 则α2009的值为（ ） A. 67 B.57 C. 37 D.1 7 ②αn 则数列{αn }最大项为（ ） A. α1 B. α45 C. α44 D. α2007 ③通项为αn =n 2 －α n+1的数列{αn }是递增数列，则实数α的取值范围为_________ 二、等差数列、等比数列 知识整合 2αn ， 0≤αn ＜1 2 1 2 ≤αn ＜1 2αn －1，

要点 热点 探究 例1（1）已知两个等差数列{αn }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且 n n A B =7453 n n ++，则使得 n n a b 为整数的正整数n 的个数是( ) （2）已知等差数列{αn }的前n 项和为S n ，若OB=α6O A ＋α195OC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ） （3）与差数列{αn }中，S 6=36，S n =324，S n －6=144，则n =___________ （4）等差数列{αn }共有2n ＋1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为 （ ） A. α9=10 B. α10 =16 C. α11 =29 D. α12=39 ()121 2112121*(21) 7(21)45122172131 (21)21,2,3,5,11 n n n n n n n n a a n a A n b b b B n n n a z n N n b ----+?--+ ====+ +-++?- ∈ ∈ ∴=Q 解 ()619512006195200 21 1 200200200100 222 A C a a a a a a s ,B,∴+=++=?=?=?=Q 三点共线

等差数列与等比数列的类比 一、选择题（本大题共1小题，共5.0分） 1.记等差数列{a n}的前n项和为S n，利用倒序求和的方法得S n=n(a1+a n) 2 ； 类似地，记等比数列{b n}的前n项积为T n，且b n>0(n∈N?)，类比等差数列求和的方法，可将T n表示成关于首项b1，末项b n与项数n的关系式为( ) A. (b1b n)n B. nb1b n 2C. nb1b n D. nb1b n 2 1. A 二、填空题（本大题共9小题，共45.0分） 2.在公差为d的等差数列{a n}中有：a n=a m+(n?m)d(m、n∈N+)， 类比到公比为q的等比数列{b n}中有：______ ． 2. b n=b m?q n?m(m，n∈N?) 3.数列{a n}是正项等差数列，若b n=a1+2a2+3a3+?+na n 1+2+3+?+n ，则数列{b n}也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c n}，若d n=______ 则数列{d n}也为等比数列． 3. (c 1 c22c33…c n n)1 4.等差数列{a n}中，有a1+a2+?+a2n+1=(2n+1)a n+1，类比以上性 质，在等比数列{b n}中，有等式______ 成立． 4. b1b2…b2n+1=b n+1 2n+1 5.若等比数列{a n}的前n项之积为T n，则有T3n=(T2n T n )3；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前n项之和为S n，则有______ ． 5. S3n=3(S2n?S n) 6.已知在等差数列{a n}中，a11+a12+?+a20 10=a1+a2+?a30 30 ，则在等比数列{b n} 中，类似的结论为______ 10b11?b12?…?b20=30b1?b2?b3?…?b30 7.在等比数列{a n}中，若a9=1，则有a1?a2…a n=a1?a2…a17?n(n< 17，且n∈N?)成立，类比上述性质，在等差数列{b n}中，若b7=0，则有______ ． b1+b2+?+b n=b1+b2+?+b13?n(n<13，且n∈N?)