高等数学B第六章
讲授内容§6.1 常微分方程的基本概念
教学目的与要求：
1、解微分方程的意义.
2、理解常微分方程的解及解的几何意义.
3、熟练掌握验证常微分方程解的方法.
4、理解常微分方程的通解、特解及关系.
教学重难点：
重点--常微分方程的通解、特解及关系.
难点--验证常微分方程的通解.
教学方法：讲授法
教学建议：
1、通过实例引入微分方程，并通过与代数方程类比的方法讲述微分方程的解，解微分方程等基本概念.
2、通过例子强化验证常微分方程的通解的方法.
学时：1学时
教学过程
微分方程的概念
例1.一曲线通过点(1,2),且在该取消上任意点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
解: 设所求曲线的方程为y=y(x),则有
y =2x,且y(1)=2.
(x
)
解得：y=x2+C,代y(1)=2得：y=x2+1.
例2.求自由落体的运动方程.
解：设自由落体的运动方程为：S=S(t)则有：
S′′(t)=g , 且S′′(0)=S′(0)=0.
由S′′(t)=g解得：S′(t)= gt+C1, S(t)=1/2gt2+C1t+C2.
代S′′(0)=S′(0)=0得：S(t)=1/2gt2.
微分方程：表示未知函数、未知函数的导数或微分与自变量之间关系的方程.
常微分方程：未知函数为一元函数的方程.
偏微分方程：未知函数为多元函数的方程.
微分方程的阶：微分方程中导数或者微分的最高阶数.
n阶微分方程的一般形式为：
F(x,y,y′,y′′,…,y(n))=0.
其中y(n)必须出现.
若从方程F(x,y,y′,y′′,…,y(n))=0中能解出y(n),则有：
y(n)=f(x,y,y′,y″,…,y(n－1)).
以后总讨论微分方程的最高阶导数已解出或者能解出的方程,且右端函数f在讨论范围内是连续的.
微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数.
即：若有函数：y=φ(x)满足：
F(x,φ(x),φ′(x),φ′′(x),…,φ(n)(x))≡0,
则称y=φ(x)为方程F(x,y,y′,y″,…,y(n))=0的解.
微分方程的通解：若微分方程的解中所含任意常数的个数与方程的阶数相等,此解为微分方程的通解.
微分方程的特解：确定了任意常数的解.
初始条件：确定任意常数的条件.
例1.初值问题：求微分方程满足初始条件特解的问题.
如二阶微分方程的初值问题为：
??
?'='='=''0
000)(,)()
,,(y x y y x y y y x f y 积分曲线：微分方程的图形是一条曲线,此曲线为微分方程的积分曲线.
例3.验证函数x (t)=C 1cos kt +C 2sin kt 为微分方程x ′′(t )+k 2
x =0的解,当k ≠0时,
求满足初始条件x(0)=A,x ′(0)=0的特解. 解： x ′(t)=-kC 1sinkt+kC 2coskt;
x′′(t)=-k 2
(C 1coskt+C 2sinkt).
于是-k 2
(C 1coskt+C 2sinkt)+k 2
(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0. 由于x(0)=C 1=A,x ′(0)=kC 2=0从而,C 1=A,C 2=0, 于是所求特解为:
x(t)=Acoskt.
例4.设曲线上点P(x,y)处的法线与x 轴的交点为Q,且线段PQ 被y 轴平分,试求曲
线所满足的微分方程. 解: 如图,设所求曲线为C:
y=y(x);
由于y 轴平分线段PQ,所以点Q 的坐标为(-x,0). 由于Q(-x,0)在法线上,从而法线PQ 的斜率为:
-
y '1=)
(0
x x y --- 即:所求曲线的微分方程为:
yy ′+2x=0.
作业：见下节 教学后记：
复习思考题：
求双参数函数族x e C x e C y x
x
sin cos 21+=所满足的微分方程。
讲授内容§6.2一阶微分方程及其解法
教学目的与要求：
1．掌握各种一阶微分方程的概念、解法及简单应用了解可化为齐次方程的方程、贝努利方程的解法。
2．学会微分方程在实际中的简单应用。
教学重难点:
重点—分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程的定义及其解法。
难点―可化为齐次方程的方程、贝努利方程及微分方程在实际中的应用。
教学方法：讲授法
教学建议：
介绍各种一阶微分方程的概念，并分析其特点，并用例子示范怎样求解各种一阶微分方程.
学时：5学时
教学过程
一、分离变量的微分方程
1.定义: 形如: g(y)dy=f(x)dx
的方程为可分离变量的微分方程.
2.解法：
设y=φ(x)为方程的解,将y=φ(x)代入方程则有恒等式：
g[φ(x)] φ′(x)dx=f(x)dx,
两边积分,并引入变量y=φ(x)得：
?g(y)dy=?f(x)dx.
记G(y),F(x)分别为g(y)和f(x)的原函数,则有：
G(y)=F(x)+C;
此称为方程的隐式通解.
当g(y)≠0时,由G(y)=F(x)+C 确定的函数y=Φ(x)为方程的解； 当f(x)≠0时,由G(y)=F(x)+C 确定的函数x=Ψ(y)为方程的解；
例2.
求微分方程y ′=2xy 的通解.
解：分离变量：dy/y=2xdx,
两边积分：?dy/y=?2xdx 得：ln|y|=x 2
+C 1,从而：
y=±1
2C x e
+=C 2
x e .
例3.
求微分方程(e x+y －e x
)dx+(e x+y
+e y
)dy=0.
解：原方程划为 e x
(e y
－1)dx+e y
(e x
+1)dy=0,
分离变量得： e x
dx ／(e x
+1)＝e y
dy ／(1-e y
) 积分：
(e y
－1)(e x
+1)=C.
例4.
设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零,求降落伞下落速度与时间的函数关系.
解：设降落伞下落速度为v(t).降落伞在空中下落时,同时受到重力P 与阻力R
的作用.重力大小为mg,方向与v 相同；阻力大小为kv(k 为比例系数),方向与v 相反,从而降落伞所受外力为：
F=mg －kv.
即：
mv ′(t)=mg －kv ；v(0)=0 分离变量： dv/(mg －kv)=dt/m, 积分： ?dv/(mg －kv)=?dt/m, 并由： mg －kv ＞0
得：
－(1/k)ln(mg －kv)=t/m+C 1,
即通解为
mg －kv=1kC t m
k
e
--或者：
v=t m
k
Ce k
mg -+, (C=-k e kC 1-) 代初始条件v(0)=0得：C=－mg/k,
即所求特解为：
v=）（t m k
e k
mg
--1.
例5.
小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线).设船速为a,船行方向始终与河岸垂直.又设河宽为h,河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k).求小船的航行路线.
解：建立图示坐标系：动点P(x,y)为船的位置.由题义有：
y=at,dx/dt=ky(h －y).
将y=at 代入,得： dx=kat(h －at)dt ；x(0)=0 积分：
x=(1/2)kaht 2
－(1/3)ka 2t 3
+C
代x(0)=0,得C=0, 即：
x=(1/2)kaht 2
－(1/3)ka 2t 3
.
将t=y/a 代入,得所求航行路线为：）（
3
23
12y y h a k x -=.
二、齐次方程 1. 定义：形如
f (x ,y )=φ(y /x ),
的方程为齐次方程. 例如：
(xy －y 2
)dx －(x 2
－2xy )dy =0
因为：
)
(21)
(2),(222x
y x y x
y xy
x y xy y x f dx dy --=--== 2. 解法：
在齐次方程：y ′=φ(y/x)中,引入未知函数：u=y/x, 将方程划为可分离变量方程： 因为：
y=ux,
y ′(x)=u+x ?u ′(x),
代入方程y ′=φ(y/x)中,有：
u+x ?u ′(x)=φ(u),
分离变量： du/[φ(u)－u]=dx/x 积分：
?du/[φ(u)－u]=?dx/x
求出积分后,再用y/x 代替u,就得所求齐次方程的通解. 例6.
解方程：y 2
+x 2
y ′=xyy ′.
解：方程写为： 1)(2
2
2-=-=x
y
x
y x xy y dx dy , 令： u=y/x,
则 y=ux,y ′(x)=u+x u′(x), 即：
x ?u ′(x)=u/(u －1),
分离并积分得： u －ln|u|+C=ln|x|, 或者 ln|xu|=u+C,
从而所求通解为：
ln|y|=y/x+C.
OM=2
2y x +,
于是得微分方程：y/y ′-x=22y x +
即：
yu ′=1u 2+, 分离变量得：
du/1u 2+=dy/y
积分得：ln(u+1u 2+)=lny －lnC, 或者 u+1u 2+=y/C.
由(y/C －u)2
=u 2
+1得 ： y 2
/C 2
－2yu/C=1. 例7.
设有连接点O(0,0)和点A(1,1)的一段向上凸的曲线弧OA,对于弧OA 上任一点P(x,y),曲线弧OP 与直线段OP 所围图形的面积为x 2
,求曲线弧OA 的方程.
解：设曲线方程为y=y(x),(0?x ?1),有题义有：
x 2
=
?
-
x
2
1
y(x)dx xy (此方程称为积分方程) 求导得： 2x=y(x)-(1/2)?(y+xy ′) 即：
4x=y-xy ′, 且 y(1)=1.
令 y=xu,代入方程得： 4x=xu-x(u+ xu ′) 即：
du=-4dx/x,
积分得： u=-4lnx+C, 从而：
y=-4xlnx+cx.
代入y(1)=1,得：C=1, 所以,所求曲线方程为：
y=x －4xlnx.
三、可化为齐次方程的方程 1. 定义： 形如
???? ??++++=111
c y b x a c by ax f dx
dy
（1）
的方程
当c =c 1=0时是齐次方程.
当c ?c 1≠0时是非齐次方程,令x =X +h ,y =Y +k ,其中,h ,k 为待定常数.
则
1
1111c k b h a Y b X a c
bk ah bY aX dx dy dX dY ++++++++=
= 1） 如果方程组???=++=++00
111
c k b h a c bk ah 的系数行列式
1
1b a b a ≠0,
则由方程组可以确定常数h ,k ,从而原方程(1)划为齐次方程
???
?
??++=Y b X a bY aX f dX dY
11, 求出此方程的解后,以x-h 代替X ,y-k 代替Y 就得方程(1)的通解.
2） 如果方程组???=++=++00
111
c k b h a c bk ah 的系数行列式
1
1b a b a =0,
则令a /a 1=b /b 1=λ,方程(1)可写为：
????
?
?++++=1)(c by ax c by ax f dx
dy
λ,
引入变量 v=ax+by ,
则：v ′=a+by ′,或者y ′=(1/b )?(v ′-a ), 则方程为：
(1/b )?(v ′-a )=(v+c )/(λv+c 1),
此为可分离变量的微分方程.
例8.解方程：(2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0
解：令x=X+h,y=Y+k,则dx=dX,dy=Dy,代入原方程得：
(2X+Y+2h+k-4)dX+(X+Y+h+k-1)dY=0, 解方程组：2h+k-4=0,h+k-1=0得：h=3；k=-2.
原方程为：(2X+Y)dX+(X+Y)dY=0,
或者dY/dX=-(2X+Y)/(X+Y)=-[2+Y/X]/[1+Y/X] 令：Y/X=u, 则Y=uX, dY/Dx=u+Xu′,
则：u+Xu′=-(2+u)/(1+u)
分离变量：-[(u+1)/(u2+2u+2)]du=dX/X
积分得：lnC1-(1/2)?ln(u2+2u+2)=ln|X|,
或者：C1/(u2+2u+2)1/2=|X|,或者：X2(u2+2u+2)=C2
即：Y2+2XY+2X2=C2,以X=x-3,Y=y+2代入并化简得：2x2+2xy+y2-8x-2y=C (C=C2-10).
四、一阶线性微分方程
1.定义：形如
y′+P(x)y=Q(x)
的方程为一阶线性微分方程
如果Q(x)≡0,称此方程为线性齐次微分方程;
如果Q(x)≠0,称此方程为线性非齐次微分方程;
2.解法:(常数变易法)
1)求非齐次线性微分方程对应的齐次方程
y′+P(x)y=0
的通解:
分离变量: dy/y=-P(x)dx
积分: ln|y|=-?P(x)dx+C1
通解为: y=Ce
- ? P(x)dx
, (C=±e C1
).
2) 非齐次线性微分方程的通解求法:
将齐次方程通解中的C 换为x 的未知函数u(x).即:
y=u(x)e
- ? P(x)dx
.
于是
y ′= u ′(x)e
- ? P(x)dx
+ u(x)P(x)e
- ? P(x)dx
.
将y,y ′代入非齐次方程得:
u ′(x)=Q(x)e ?
P(x)dx
.
于是:
u=?Q(x)e ?
P(x)dx
dx+C
从而得非齐次方程得通解为:
y= e
- ? P(x)dx
(?Q(x)e ?
P(x)dx
dx+C)
将其分为两项:
y=Ce
- ? P(x)dx
dx+ e
- ? P(x)dx
?Q(x)e ?
P(x)dx
dx+C
第一项为齐次方程的通解,第二项为非齐次方程的一个特解.
例9. 求方程
dx dy -1
2+x y =(x+1)5/2
的通解.
解: (法一)求齐次方程
dx dy -1
2+x y =0的通解:
分离变量:
y dy =1
2+x dx 积分:ln|y|=2ln|x+1|+lnC. 即:
y=C(x+1)2
.
求非齐次方程的通解:(常数变易)将C 换为u(x). 即令:
y=u(x)(x+1)2
.
代入方程得: u ′=(x+1)1/2. 即:
u=2/3(x+1)3/2+C.
通解为: y=(x+1)2[2/3(x+1)3/2
+C].
(法二)(公式法)
P(x)=-
1
2+x , Q(x)=(x+1)5/2
.
通解为
y =?
+-
-dx x e
1
2(?(x+1)5/2
??+-dx
x e
12
dx+C)
= (x+1)2
[2/3(x+1)3/2
+C].
例10. 求微分方程 (x-2)
dx
dy =y+2(x-2)3
的通解. 解: P(x)=-
2
1
-x , Q(x)=2(x-2)2
.
通解为:
y =?
--
-dx x e
2
1(?2(x-2)2
??--dx
x e
21
dx+C)
=(x-2)[(x-2)2
+C].
例11. 求微分方程 dx dy +3
2
32x x -y=1满足y|x=1=0的特解.
解:
P(x)= 3
2
32x x -,
Q(x)=1.
通解为:
y=?
--
dx
x x e 232(C+?1??
-dx
x x e
232dx)
=2
1ln 3x
x e
+
(C+?2
1
ln 3x x e
-
-dx)
=x 31x
e (C+?21
31x e x
-dx)
=Cx 3
2
1
x e +x 3
/2.
代初始条件 y|x=1=0得: C=-1/2e.
特解为:
y=(x 3
/2)(1-1
1
2
-x e
).
例12. 已知可微函数f(x)满足关系式:
?
+x
dt t
t f t f 1
2)()
(=f(x)-1,求函数f(x).
解:[积分方程的求解问题:求导还原,即去掉积分符号,变为微分方程].
求导得微分方程:
)(x f '=
x
x f x f +)()
(2
或为 y=(y 2
+x)
dx
dy
; 初始条件: f(1)=1.
变形为:
dy dx -y
1
x=y. 此为一阶线性非齐次微分方程,通解为:
x=?dy
y e
1
(C+?
?-
dy ye
dy
y 1
)=y(C+y).
代初始值: y(1)=1,得 C=0. 所求函数f(x)=
x .
五、贝努利方程
定义:形如
dx
dy +P(x)y=Q(x)y n
(n ≠0,1)
的方程为贝努利方程.
当n=0或n=1时,此方程为线性微分方程. 当n ≠0,n≠1时,方程为非线性微分方程. 通过变量替换可划为线性微分方程. 解法:
将方程两端除以y n
.得:
y
-n
dx
dy +P(x)y 1-n
=Q(x)
由于dx
y d n )(1-=(1-n)y -n dx dy ,将上式两端同乘以(1-n),则有
dx
y d n )(1-+(1-n)P(x)y 1-n
=(1-n)Q(x) 因此令z=y 1-n
,则方程变为:
dx
dz
+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) 此为一阶线性微分方程,求出其通解后,用y 1-n
代替z,即得原方程的通解.
例13. 求方程
dx dy +x
y =a(lnx)y 2
的通解. 解:此为贝努利方程,其中 n=2.
方程两端同乘以y -2
,得:
y
-2
dx dy +x
1y -1
=alnx. 即
-dx
y d )(1-+x 1y -1=alnx. 令 z=y -1
,则方程为:
dx dz -x
1
z=-alnx. 其通解为:
z=x[C-a(lnx)2
/2].
以y -1
代替z 得原方程的通解为:
xy[C-a(lnx)2
/2]=1.
例14. 求方程
dx dy +31y=3
1(1-2x)y 4
的通解. 解: 此为贝努利方程,其中 n=4.
方程两端同乘以-3y -4
,得:
y
-4
dx
dy +-y -3
= -(1-2x).
即
dx
y d )(3--y -3
=(2x-1) 令z=y -3
,则方程为:
dx
dz
-z=2x-1 其通解为:
z =?dx e [C+?
?--dx e x dx
)12(]
=e x [C+?e -x (2x-1)dx]=Ce x
-(2x+1)
以y -3代替z 得原方程的通解为: y 3
=
1
21
--x Ce x .
例15. 求微分方程 xdy-[y+xy 3
(1+lnx)]dx=0的通解
解:
dx dy =x
x xy y )ln 1(3++ 或 dx dy -x
y =(1+lnx)y 3
. 这里n=3,
用凑微法计算为:
y
-3
dx dy -x
1?y -2
=1+lnx 或 -
21(y -2)′-x
1?y -2
=1+lnx 即:
dx
y d )(2-+x 2y -2
=-2(1+lnx) 所以方程的通解为: y
-2
=?-
dx
x e
2
[C-2?(1+lnx)e
2lnx
dx]
=e
-2lnx
[C-2?(1+lnx)x 2
dx]
=
21x
[C-2x 3/3-2x 3lnx/3+2x 3
/9]. 或
2
2
y x =C-32x 3(lnx+32).
作业：P 240 5(单),7(单),10(双), P 241 12 教学后记：
复习思考题：
解下列微分方程：
（1）
221xy y x dx
dy
+++= （2）0cos )1sin (=--xdy dx x y
（3）
4
252--+-=y x x y dx dy
讲授内容 §6.3 微分方程的降阶法
教学目的与要求：
1．掌握高阶微分方程的降阶方法原理.
2．掌握y ''=f(x,y ′)型方程和y ''=f(y,y ′)型方程的解法.
重难点:
重点――形如y (n)
=f(x)，y ′′=f(x,y ′)，y ′′=f(y,y ′)型的方程的解法. 难点――形如y ′′=f(y,y ′)型的方程的解法. 教学方法：讲授法 教学建议：
分析方程的特点，并用例子示范怎样求解方程，提示作变换的技巧. 学时：2学时 教学过程：
二阶或二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
高阶方程的求解,通常可通过一个变换将其划为低阶的微分方程.
一、 y (n)=f(x)型方程.
微分方程y (n)
=f(x)通过n 次积分即可求得通解. 例1.
求方程y '''=e 2x
-cosx 的通解.
解:
y ''=
2
1e 2x
-sinx+C; y ′=
4
1e 2x
-cosx+Cx+C 2; y=
8
1e 2x -cosx+C 1x 2
+C 2x+C 3. 二、y ''=f(x,y ′)型的方程
方程y ''=f(x,y ′)具有特点: 方程的右端不显含未知函数y. 解法:
令: y ′=p(x),则
y ''=
dx
dp
=p ′.则方程为: p ′=f(x,p).
此为关于x,p 的一阶微分方程,设其通解为:
y ′=p=φ(x,C 1). 即:
dx
dy
=φ(x,C 1), 积分得通解为:
y=∫φ(x,C 1)dx+C 2.
例2.
求微分方程 (1+x 2
) y ''=2xy ′满足y|x=0=1,y ′|x=0=3的特解.
解:方程不显含未知函数y,令y ′=p.代入方程并分离变量得:
p dp =212x
x +dx. 积分得: ln|p|=ln(1+x 2
)+C. 即: p=y ′=C 1(1+x 2
).
代条件 y ′|x=0=3得:
C 1=3.
即得:
y ′=3(1+x 2
) 积分有:
y=x 3
+3x+C 2.
代条件y|x=0=1
得 C 2=1
即所求通解为:
y=x 3
+3x+1.
例3.
求方程x y ''+y ′=0的通解.
解:方程中不显含未知函数y,令y ′=p.代入方程中,则有:
xp ′+p=0.
分离变量:
p
dp =- x dx
积分: ln|p|=-ln|x|+lnC.
即:
px=C 1
也即: dy=C 1
x
dx
; 积分得通解为: y=C 1ln|x|+C 2.
例4.
求方程y ''=(y ′)3
+y ′的通解.
解: 方程中不显含未知函数y,令y ′=p.代入方程中,则有:
p ′=p 3
+p.
分离变量:
)
1(2p p dp
+=- dx
积分:
ln 2
2
1p
p +=2x+C. 即: 2
21p
p +=C 1e 2x
,(C 1>0) 或
p 2
=x
x
e C e C 21211- 即: dy=±
2
11)
(1x x e C e C -dx,
积分得通解: y=C 2+arcsin(C 1′e x
)
三、y ''=f(y,y ′)型的微分方程.
方程y ''=f(x,y ′)具有特点: 方程的右端不显含自变量x.
解：令: y ′=p(x),则
y ''=
dx dp =dy dp dx dy =p dy
dp 方程为:
p
dy
dp
=f(y,p). 此为关于y,p 的一阶微分方程,设其通解为:
y ′=p=φ(y,C 1). 即:
dx
dy
=φ(y,C 1),
高等数学B模拟考试试卷
第 3 页 共 6 页 上 海 海 事 大 学 试 卷 2011 — 2012 学年第二学期期末考试 《 高等数学B （二）》（A 卷） （本次考试不得使用计算器） 班级 学号 姓名 总分 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设y x z arctan =，则2222y z x z ????+=（ ） (A) 4222 xy x y ()+ ; (B) -+4222xy x y (); (C) 0 ; (D) 2222 xy x y () + 2、旋转抛物面122 2-+=y x z 在点)2,1,1(-处的法线方程为（ ） （A ）1241 21 --=+=-z y x ; （B ）12 4121--=-+=-z y x ; （C ）124 1 2 1--=+= --z y x ; （D ）1 2 4121--=-=-+z y x . 3、设函数2 2 y x z -=，则（ ） （A ）函数z 在点(,)00处取得极大值; （B ）函数z 在点(,)00处取得极小值; （C ）点(,)00非函数z 的极值点; （D ）点(,)00是函数z 的最大值点或最小值点，但不是极值点. --------------------------------------------------------------------------------------装 订 线------------------------------------------------------------------------------------
高等数学公式总结(绝对完整版).
高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数三角函数公式大全
三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3 π +a)·tan( 3 π -a) 半角公式 sin( 2A )= 2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )= A A sin cos 1-=A A cos 1sin +
sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2 b a +sin 2 b a - tana+tanb= b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π -a) = cosa cos(2 π -a) = sina sin(2 π +a) = cosa cos( 2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina c os(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin
高数上册归纳公式篇(完整)
公式篇 目录 一、函数与极限 1.常用双曲函数 2.常用等价无穷小 3.两个重要极限 二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 2.n阶导数公式 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算 三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 2.高阶中值定理 3.部分函数使用麦克劳林公式展开 4.曲率 四、定积分 1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分 五、不定积分 1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数 3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 4.三角相关定积分 5.典型反常积分的敛散性 6.Γ函数(选) 六、定积分的应用 1.平面图形面积 2.体积 3.弧微分公式 七、微分方程 1.可降阶方程 2.变系数线性微分方程 3.常系数齐次线性方程的通解 4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(选)
一、函数与极限 1.常用双曲函数( sh(x).ch(x).th(x) ) 2.常用等价无穷小(x →0时) 3.两个重要极限 二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 (凡是“余”求导都带负号) 2.n 阶导数公式 特别地,若n =λ
3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 函数的0阶导数可视为函数本身 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算(x 很小时) (注意与拉格朗日中值定理比较) 常用: (与等价无穷小相联记忆)
三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 ()(x f 在],[b a 连续,),(b a 可导 ) 罗尔定理 ( 端点值相等)()(b f a f = ) 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (0)('≠x g ≠0 ) 2.高阶中值定理 ()(x f 在),(b a 上有直到)1(+n 阶导数 ) 泰勒中值定理 n R 为余项 (ξ在x 和0x 之间) 令00=x ,得到麦克劳林公式 3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)
高等数学教材word版(免费下载)
目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：
高等数学常用公式大全
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
高等数学上公式
学姐偷懒直接从网上下了一份公式总结，然后按照咱们的考试要求改了一下，特别诡异的那些公式我都删掉了，剩下的都是可能会出现的，哪些必须记哪些可以记也都写在后面了，有的出题形式我也加在知识点后面了，可以做个参考。这上面的知识点不很全，但应付考试差不多了，上面没有的学霸们可以自己再看看书哈。重点关注黑体字！！！电子版已发各部长，可以找部长要。祝大家都能考个好成绩~ ——魏亚杰 高等数学（一）上 公式总结 第一章 一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式：（孩子们。没办法，背吧） sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot αβαβαβ αβαβαβαβ αβαβ αβαββα±=±±=±±= ??±=±和差角公式： sin sin 2sin cos 22 sin sin 2cos sin 22 cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()] 21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式： 222222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot αααααααα α ααααα ==-=-=-= --= 倍角公式：
高等数学模拟试题及答案
武汉大学网络教育入学考试 专升本 高等数学 模拟试题 一、单项选择题 1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( b ) A.x y e = B.1sin y x =+ C.ln y x = D.tan y x = 2、函数2 3 ()32 x f x x x -= -+的间断点是( c ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点 3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( b ) A. 一定可导 B. 必不可导 C. 可能可导 D. 无极限 4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ D ） A.sin x x B.2x - C. sin x x D. 1sin x x + 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d ) A.1 B.1- C.0 D.不存在. 6、设0a >，则2(2)d a a f a x x -=? ( a ) A.0 ()d a f x x - ? B.0 ()d a f x x ? C.0 2()d a f x x ? D.0 2()d a f x x -? 7、曲线2 3x x y e --= 的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在 8、设()f x 为可导函数，且()() 000lim 22h f x h f x h →+-=，则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( d ) A. 4x y e = B. 4x y e -= C. 4x y Ce = D. 412x y C C e =+ 10、级数 1 (1)34 n n n n ∞ =--∑的收敛性结论是（ a ） A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法判定 11 、函数 ()f x =的定义域是( d ) A. [1,)+∞ B.(,0]-∞ C. (,0][1,)-∞?+∞ D.[0,1] 12、函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处( d ) A.极限不一定存在 B.不一定连续 C.可微 D.不一定可微 13、极限1lim(1)sin n n e n →∞ -= ( c) A.0 B.1 C.不存在 D. ∞
(整理)高等数学基本公式概念和方法
高等数学基本公式、概念和方法 一．函数 1．函数定义域由以下几点确定 （１）0)(;) (1 ≠= x f x f y （２）0)(;)(2≥=x f x f y n （其中n 为正整数） （３）0)(:)(log >=x f x f y a 。 （４）1 )(1);(arccos 1)(1);(arcsin ≤≤-=≤≤-=x f x f y x f x f y （５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集． （６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定． 2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的． （１） 若)(),()(x f x f x f =-是偶函数，若)(),()(x f x f x f -=-是奇函数． （２） 若)(x f y =的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如x y x y cos ..2 ==等。 若)(x f y =的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如x y x y x y sin (3) === ３． 将函数分解成几个简单函数的合成． 由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系． 二．极限与连续 1．主要概念和计算方法： （１）．A x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0 （２）．若0)(lim 0 =→x f x x （极限过程不限），则当0x x →时)(x f 为无穷小量。 （3）．若)()(lim 00 x f x f x x =→，则函数在0x 处是连续的。 即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。 若上述三条至少一条不满足，则0x 是函数的间段点。 （4）．间断点的分类：设0x 是函数的间断点 若左、右极限均存在，则0x 称为第一类间断点。 若左、右极限至少有一个是无穷大，则0x 称为第二类间断点。 （5）．重要公式：条件0)(lim =x ?（极限过程不限）
高数b常用公式手册完整版
高数b常用公式手册 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
常用高数公式 1、乘法与因式分解公式 2、三角不等式 3、一元二次方程的解 4、某些数列的前n项和 5、二项式展开公式 6、基本求导公式 7、基本积分公式 8、一些初等函数两个重要极限 9、三角函数公式正余弦定理 10、莱布尼兹公式 11、中值定理 12、空间解析几何和向量代数 13、多元函数微分法及应用 14、多元函数的极值 15、级数 16、微分方程的相关概念 1、乘法与因式分解公式 1.1 1.2
1.4 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ （n 为奇数） 2、三角不等式 2.1 2.2 2.3 2.4 2.6 3、一元二次方程 的解 3.2(韦达定理)根与系数的关系： 4、某些数列的前n 项和 4.2 4.3 4.7 5、二项式展开公式
6、基本求导公式： 7、基本积分公式： 8、一些初等函数： 两个重要极限： 9、三角函数公式： x x x x x x x x x a x x e e a a a x x C C a x x x x 221cos 1sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(()((0)(= ='-='='= '='='='='='-为实数）为常数）αααα2 2 22 2211 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x x x x x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '?-='?='- =-='??????????+-=?+=?+-==+==+=-+=++-=++=C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx C x x dx C x x dx C x x xdx C x x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2 22 2222???? ???+-=+=+=+=+=-≠++==+C x xdx C x xdx C a a dx a C e dx e C x dx x C x dx x C dx x x x x cos sin sin cos ln ln 1 )1(101 αααα
《高等数学B》(二)模拟试卷(12)2
《高等数学B 》（二）模拟试卷（12） 一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 已知三角形的三个顶点分别为),0,1,1(-A ),1,0,2(B ),0,3,1(-C 求该三角形的面积 。 2.求直线4 951135 --=+=+z y x 与球面49)5()1()2(222=++-++z y x 的交点。 二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 设v u z ln 2=，xy v y x u =+=,，求y z x z ????,. 2. 设x e u y x sin +=，求y x u x u ?????222,. 三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 计算 σd e x D y ??2，其中D 是矩形区域 1,1≤≤y x . 2. 计算二重积分 ??D xdxdy ，其中区域D 是由422≤+y x ，0≥x ，0≥y 所确定的平面 区域.
四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 解微分方程 )(2y x e dx dy +=. 2. 求差分方程06512=+-++x x x y y y 的通解. 五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、B 的数量y x ,间有关系式y x y x p 2005.0),(=，欲用300元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？ 六、(9分) 证明级数 ∑∞=+1) 1(1sin n n n 收敛. 七、(9分)求微分方程25x y y -=-''的通解. 八、(9分) 把函数2)(x xe x f -=展开成x 的幂级数.
关于高等数学上公式
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高数b常用公式手册
高数b常用公式手册 Last revision date: 13 December 2020.
常用高数公式 1、乘法与因式分解公式 2、三角不等式 3、一元二次方程 的解 4、某些数列的前n 项和 5、二项式展开公式 6、基本求导公式 7、基本积分公式 8、一些初等函数 两个重要极限 9、三角函数公式 正余弦定理 10、莱布尼兹公式 11、中值定理 12、空间解析几何和向量代数 13、多元函数微分法及应用 14、多元函数的极值 15、级数 16、微分方程的相关概念 1、乘法与因式分解公式 1.1 1.2 1.4 123221()() n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ （n 为奇数） 2、三角不等式 2.1 2.2 2.3 2.4 2.6 3、一元二次方程 的解 3.2(韦达定理)根与系数的关系： 4、某些数列的前n 项和 4.2
4.3 4.7 5、二项式展开公式 6、基本求导公式： 7、基本积分公式： 8、一些初等函数： 两个重要极限： 9、三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角A sin cos tan cot -α -sinα cosα -tan α - cot α 90°-α cosα sinα cot α tan α 90°+α cosα -sinα -cot α - tan α x x x x x x x x x a x x e e a a a x x C C a x x x x 221cos 1 sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1 )(ln ln 1)(log )(ln )(()((0)(=='-='='='= '='='='='-为实数） 为常数） αααα2 2222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x x x x x x x x x x +-='+='--='-='?-='?='-=-='??????????+-=?+=?+-==+==+=-+=++-=++=C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx C x x dx C x x dx C x x xdx C x x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2222222???????+-=+=+=+=+=-≠++==+C x xdx C x xdx C a a dx a C e dx e C x dx x C x dx x C dx x x x x cos sin sin cos ln ln 1) 1(101 αααα
高等数学B(二)期末模拟试题参考答案
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 数学与计算机学院（院、部、中心） 出题教师： 杨天标 教研室主任：（签字） 系（院、部、中心）主任：（签字） 课程考核 参考答案及评分标准 考试课程：高等数学B(二) 学年学期：2011-2012-2 试卷类型：A 考试时间：120分钟 适用专业：经济与工商管理学院11级财务管理 层次：本科 一、选择题（每小题3分共15分） 1 (B)； 2 (B)； 3(A)； 4 (B)； 5 (C). 二、判断题（每小题2分，最后一小题3分，共15分） 1 (╳)；2 (√)；3 (√)；4 (√)；5 (╳)；6 (╳) ；7 (√). 三、填空题（每小题3分共18分） 1. dx )x 31(2 ? -= x-x 3 +c . 2. dx x x ? --1 1 2 3)3(= -2 . 3. 0 x lim →x tdt cos x 2 ? = 1 . 4. 级数 1+???++++432x 5x 4x 3x 2的和函数 S(x)= 2 ) x 1(1-. 5. 级数∑ ∞ =-1 n n ) n 2)(1n 2(x 的收敛半径 = 1 . 6. 设2 2 y x z =, 则 y z ??= y x 22 . 四、计算题 （每小题6分共36分， 其中6、7题任选一题） 1. 求级数 ???++++7 538642x x x x 的和函数. 解： ∵ (x) ...x x 1n 242+++++= 2 x 11- ∴ S(x)= ...)'x ...x x 1(n 24 2 +++++='x 112 ?? ? ??-= 22)x 1(x 2-. 即 S(x)= 22)x 1(x 2-. 2. 设函数?? ?>≤+=1 x x 21x 1x )x (f ，求?.dx )x (f
高等数学公式(基本全)
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 122 11cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 2 2 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-= '? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 0π π
高数(b)常用公式手册
常用高数公式?1、乘法与因式分解公式 ?2、三角不等式 ?3、一元二次方程的解 ?4、某些数列的前n项和 ?5、二项式展开公式 ?6、基本求导公式 ?7、基本积分公式 ?8、一些初等函数两个重要极限 ?9、三角函数公式正余弦定理 ?10、莱布尼兹公式 ?11、中值定理 ?12、空间解析几何和向量代数 ?13、多元函数微分法及应用 ?14、多元函数的极值 ?15、级数 ?16、微分方程的相关概念 1、乘法与因式分解公式 1.1 1.2
1.4 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ （n 为奇数） 2、三角不等式 2.1 2.2 2.3 2.4 2.6 3、一元二次方程 的解 3.2(韦达定理)根与系数的关系：
4、某些数列的前n项和 4.2 4.3 4.7 5、二项式展开公式
6、基本求导公式： 7、基本积分公式： 8、一些初等函数： 两个重要极限： x x x x x x x x x a x x e e a a a x x C C a x x x x 221cos 1sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(()((0)(= ='-='='= '='='='='='-为实数）为常数）αααα2 2 22 2211 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x x x x x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '?-='?='- =-='??????????+-=?+=?+-==+==+=-+=++-=++=C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx C x x dx C x x dx C x x xdx C x x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2 22 2222???? ???+-=+=+= +=+=-≠++==+C x xdx C x xdx C a a dx a C e dx e C x dx x C x dx x C dx x x x x cos sin sin cos ln ln 1)1(101ααααx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -= ----11ln 21) 1ln(1ln(:2 :2:2 2 ） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
高等数学入学测试模拟试题及答案
高等数学入学测试复习题 一、 填空题 1、 函数ln(3) y x =-的定义域是 。 2、 函数4 y x =-的定义域是 。 3、设2(1)1f x x +=+，则=)(x f 。 4、若函数2(1), 0(), 0x x x f x k x ??+≠=??=? 在0x =处连续，则k = 。 5、函数ln(1)3 x y x -=+的连续区间为 。 6、曲线ln y x =上横坐标为2x =的点处的切线方程为 。 7、设2()1f x x =-，则='))((x f f 。 8、（判断单调性、凹凸性）曲线321233 y x x x =-+在区间()2,3内是 。 9、已知()()F x f x '=，则2(2)xf x dx +=? 。 10、设()()F x f x '=，则(ln )f x dx x =? 。 11、设()f x 的一个原函数是2x e -, 则()f x '= 。 12、1 31(1cos )x x dx -+=? 。 13、20sin x d t dt dx ?= 。 14、() 03cos 2x d t t dt dx =?_________________________。 二、 单项选择题 1、下列函数中，其图像关于y 轴对称的是（ ）。 A ．cos x e x B ．x x +-11ln C ．2sin(1)x + D ．)3cos(+x 2、下列函数中（ ）不是奇函数。 A ．x x e e --； B ． x x cos sin ； C ．(ln x ； D ． sin(1)x - 3、下列函数中（ ）的图像关于坐标原点对称。
高等数学基本公式
高等数学公式 导 数 求导数的方法： 1． 用导数定义求导 2． 用导数的基本公式和四则运算法求导 3． 用链式法则对复合函数求导 4． 用对数求导法对幂指函数等求导 5． 隐函数和参数方程求导法 函数和、差的求导法则：两个可导函数之和（差）的导数等于这两个函数的导数之和（差） 函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一因子的导数与第二因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积。 函数商的求导法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除以分母的平方。 反函数的导数=直接函数的导数的倒数 隐函数？对数求导法？函数的单调性？ 导数基本公式（可导一定连续，连续不一定可导，不连续一定不可导）P 94 正切函数的导数公式：x x 2sec )(tan =' 正割函数的导数公式：x x 2csc )(cot -=' 余切函数的导数公式：x x x tan sec )(sec ?=' 余割函数的导数公式：x x x cot csc )(csc ?-=' 对数函数的导数公式：a x x a ln 1)(log = ' 〈a a a x x ln )(='〉 反正弦函数的导数公式：2 11)(arcsin x x -=' 反余弦函数的导数公式：2 11)(arccos x x -- =' 反正切函数的导数公式：2 11)(arctan x x += ' 反余切函数的导数公式：2 11)cot (x x arc +- ='
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () () () 2() 1() (0 ) () () (! ) 1()1(! 2)1()(n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--+ +''-+ '+== ---=-∑ 什么是一阶导数？什么是高阶导数？ 微 分 微分公式P115-P116（熟记） 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。 时，柯西中值定理就是 当柯西中值定理： 拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F ) ()() ()()()() )(()()(ξξξ
高等数学电子教案(大专版)
《高等数学》教案 第一讲 函数与极限 1.函数的定义 设有两个变量x ，y 。对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。记作y=f(x)，x ∈D 。其中x 叫自变量，y 叫因变量。 函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。 例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x). 解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2 ∴f(x)=2x 2 – x – 2 定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点： ①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0 例2 求函数y= 6—2x －x +arcsin 7 1 2x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有： 1|7 12|062≤-≥--x x x ? 4323≤≤--≤≥x x x 或?4323≤≤-≤≤-x x 或 于是，所求函数的定义域是：[-3，-2] [3，4]. 例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？ （1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x 解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数 （1）基本初等函数 常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数： y=μ x （μ为常数） 指数函数：y=x a (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数) 三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx （2）复合函数 设),(u f y =其)(x u ?=中，且)(x ?的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ?=为x 的复合函数，而u 称为中间变量. 例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0， ∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π] 例5：分析下列复合函数的结构