第五章相关关系
线性回归方程
变量间的相关关系与线性回归方程训练一、选择题 1.以下关于相关关系的说法正确的个数是( ) ①相关关系是函数关系；②函数关系是相关关系；③线性相关关系是一次函数关系； ④相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系. A．0 B．1 C．2 D．3 2.下列关系属于线性负相关的是( ) A．父母的身高与子女身高的关系B．农作物产量与施肥量的关系 C．吸烟与健康的关系D．数学成绩与物理成绩的关系 3.对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A．都可以分析出两个变量的关系B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C．都可以作出散点图D．都可以用确定的表达式表示两者的关系 4.列两个变量之间的关系具有相关关系的是( ) A．家庭的支出与收入B．某家庭用电量与水价间的关系 C．单位圆中角的度数与其所对孤长D．正方形的周长与其边长 5.下列关系中，是相关关系的有( ) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭经济条件与学生学习成绩之间的关系． A．①②B．①③C．②③D．②④ 6.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图 中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝1 2 x＋1上，则这组样本数据的样本相 关系数为( ) A．－1 B．0 C．1 2 D．1 7.右图是变量x，y的散点图，那么如图所示的两个变量具有相关关系的是( )
A．(2) (3) B．(1) (2) C．(2) (4) D．(3) (4) 8.在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求的回归方程作出解释； ②收集数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，如果根据可靠性要求能够判定变量x，y具有线性相关性，则下列操作顺序正确的是( ) A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③① 9.对变量有观测数据理力争得散点图1;对变量有观测数据,得散点图由这两个散点图可以判断（） A. 变量与正相关,与正相关方 B. 变量与正相关,与负相关 C. 变量与负相关,与正相关 D. 变量与负相关,与负相关 10.设有一个直线回归方程为,则变量增加一个单位时( ) A．平均增加个单位B．平均增加2 个单位 C．平均减少个单位D．平均减少2 个单位 11.甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表。则哪位同学的试验结果体现、两变量更强的线性相关性（） 甲103 乙106 丙124 丁115 A．甲B．乙C．丙D．丁
线性回归方程中的相关系数r
线性回归方程中的相关系数r r=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2]
R2就是相关系数的平方， R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数 判定系数R^2 也叫拟合优度、可决系数。表达式是: R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS 该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。 ——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。 这就有了调整的拟合优度: R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1)) 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响: 其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。 总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。R = R接近于1表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度密切； R接近于0表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不密切 相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝对负相关 相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。 如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。 分为一元线性回归和多元线性回归 线性回归方程中,回归系数的含义 一元： Y^=bX+a b表示X每变动（增加或减少）1个单位,Y平均变动（增加或减少）b各单位多元： Y^=b1X1+b2X2+b3X3+a 在其他变量不变的情况下，某变量变动1单位，引起y平均变动量 以b2为例：b2表示在X1、X3（在其他变量不变的情况下）不变得情况下，X2每变动1单位，y平均变动b2单位 就一个reg来说y=a+bx+e a+bx的误差称为explained sum of square e的误差是不能解释的是residual sum of square
简单线性相关(一元线性回归分析)..
第十三讲 简单线性相关（一元线性回归分析） 对于两个或更多变量之间的关系，相关分析考虑的只是变量之间是否相关、相关的程度，而回归分析关心的问题是：变量之间的因果关系如何。回归分析是处理一个或多个自变量与因变量间线性因果关系的统计方法。如婚姻状况与子女生育数量，相关分析可以求出两者的相关强度以及是否具有统计学意义，但不对谁决定谁作出预设，即可以相互解释，回归分析则必须预先假定谁是因谁是果，谁明确谁为因与谁为果的前提下展开进一步的分析。 一、一元线性回归模型及其对变量的要求 （一）一元线性回归模型 1、一元线性回归模型示例 两个变量之间的真实关系一般可以用以下方程来表示： Y=A + BX + ε 方程中的A 、B 是待定的常数，称为模型系数，ε是残差，是以X 预测Y 产生的误差。 两个变量之间拟合的直线是： y a bx ∧ =+ y ∧ 是 y 的拟合值或预测值，它是在X 条件下Y 条件均值的估计 a 、 b 是回归直线的系数，是总体真实直线A 、B 的估计值，a 即 constant 是截距，当自变量的值为0时，因变量的值。 b 称为回归系数，指在其他所有的因素不变时，每一单位自变量的变化引起的因变量的变化。 可以对回归方程进行标准化，得到标准回归方程： y x ∧ =β β 为标准回归系数，表示其他变量不变时，自变量变化一个标准差单位（Z X X S j j j = -），因变量Y 的标准差的平均变化。
由于标准化消除了原来自变量不同的测量单位，标准回归系数之间是可以比较的，绝对值的大小代表了对因变量作用的大小，反映自变量对Y的重要性。 （二）对变量的要求：回归分析的假定条件 回归分析对变量的要求是： 自变量可以是随机变量，也可以是非随机变量。自变量X值的测量可以认为是没有误差的，或者说误差可以忽略不计。 回归分析对于因变量有较多的要求，这些要求与其它的因素一起，构成了回归分析的基本条件：独立、线性、正态、等方差。 （三）数据要求 模型中要求一个因变量，一个或多个自变量（一元时为1个自变量）。 因变量：要求间距测度，即定距变量。 自变量：间距测度（或虚拟变量）。 二、在对话框中做一元线性回归模型 例1：试用一元线性回归模型，分析大专及以上人口占6岁及以上人口的比例（edudazh）与人均国内生产总值（agdp）之间的关系。 本例使用的数据为st2004.sav，操作步骤及其解释如下： （一）对两个变量进行描述性分析 在进行回归分析以前，一个比较好的习惯是看一下两个变量的均值、标准差、最大值、最小值和正态分布情况，观察数据的质量、缺少值和异常值等，缺少值和异常值经常对线性回归分析产生重要影响。最简单的，我们可以先做出散点图，观察变量之间的趋势及其特征。通过散点图，考察是否存在线性关系，如果不是，看是否通过变量处理使得能够进行回归分析。如果进行了变量转换，那么应当重新绘制散点图，以确保在变量转换以后，线性趋势依然存在。 打开st2004.sav数据→单击Graphs → S catter →打开Scatterplot 对话框→单击Simple →单击 Define →打开 Simple Scatterplot对话框→点选 agdp到 Y Axis框→点选 edudazh到 X Aaxis框内→单击 OK 按钮→在SPSS的Output窗口输出所需图形。 图12－1 大专及以上人口占6岁及以上人口比例与人均国内生产总值的散点图
线性相关性
线性相关性 雷国强 天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级四班，甘肃天水，741001 摘要 数域P 上n 维线性空间中向量组的线性相关性及其性质和相关性的应用. 关键字 n 维向量；线性组合；线性无关；线性表出. 引言 向量组的线性相关与线性无关性的判定较难理解和掌握.实际上, 向量组的线性相关与线性无关是相对的, 我们只要掌握了向量组的线性相关的判定, 线性无关的判定也就没有问题了.因此, 下面主要论述向量组的线性相关性的定义及判定方法. 1.线性组合 以下我们总是在一固定的数域P 上的n 维向量空间中进行讨论，不再每次说明. 在这里我们研究向量之间的关系.两个向量之间最简单的关系是成比例。所谓向量α 与β成比例就是说有一个数k 使 α =k β . 在多个向量之间，成比例的关系表现为线性组合. 定义9 向量α称为向量组βββs ,,,2 1 的一个线性组合,如果有数域P 中的数,,,,21 k k s k 使 β β β α s s k k k +++= 2 2 1 1 . 例如，§1的方程组（8）的三个方程可以用向量 ),1,3,1,2(1 -=α ),4,5,2,4(2-=α 1,4,1,2(3 --=α 来代表，且等价于.3213ααα-=这个等式表示α3是αα21,的一个线性组合. 又如，任一个 维向量 都是向量组 ? ???? ? ?===). ,,0,0(),0,,1,0(),0,,0,1(21 εεεn 的一个线性组合.因为
ε εεα. 2211n n a a a +++= 向量εεεn ,,,21 称为n 维单位向量. 由定义可以立即看出，零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为0就行了）. 2.线性表出 当向量α是向量组βββs ,,,2 1 的一个线性组合时，我们也说α可以经向量组 β β βs ,,,2 1 线性. 定义10 如果向量组αααt 21,中每一个向量αi ),,2,1(t i =都可以经过向量组 ββ βs ,,,2 1 线性表出，那么向量组 αα αt 2 1 ,就称为可以经向量组β ββs ,,,2 1 线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价. 3.向量组等价的性质 1）反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2）对称性；如果向量组αααs ,,,21 与 β β βt ,,,2 1 等价，那么向量组 ββ βt ,,,2 1 也与 αα αs ,,,2 1 等价. 3）传递性：如果向量组αααs ,,,21 与βββt ,,,2 1 等价，βββt ,,,2 1 与 γ γ γp ,,,2 1 等价，那么向量组αααs ,,,21 与γγγp ,,,21 等价. 4.线性相关与无关 定义11 如果向量组αααs ,,,21 (2≥s )中有一个向量可以由其余的向量线性表 出，那么向量组αααs ,,,21 称为线形相关的. 定义12 一向量组αααs ,,,21 (1≥s )不线性相关，即没有不全为零的数,,,21 k k s k 使 02211= +++αααs s k k k . 就称为线性无关；或者说，一向量组αααs ,,,21 称为线性无关，如果由 02211= +++αααs s k k k .
线性相关与线性回归方程
时间：2018年3月20日必修3第二章统计 第9课时线性相关与线性回归方程 学习目标：能在散点图中作出线性回归直线，能用线性回归方程进行预测 了解最小二乘法的含义及思想 理解数形结合、数学模型化的数学思想与方法 学习过程： 一、最小二乘法是什么？怎样得到线性回归直线方程？ 1．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据。 人体的脂肪百分比和年龄： 年龄23 27 39 41 45 49 50 脂肪9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄53 54 56 57 58 60 61 脂肪29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 根据上述数据，人体的脂肪含量y与年龄x之间有怎样的关系？ （1）回归直线方程可不可以象前节一样取其中两个点得到？ （2）可不可以考虑选择不同的几组点求出相应的直线的斜率与截距，再求这些斜率、截距的平均值得到回归直线方程？ （3）你认为回归直线相对于样本数据的各点而言应具备什么特点才可靠？ （4）怎样刻画“样本数据的各点到回归直线的距离最小”？ （5）将表中的年龄作为x代入所求回归方程，得出的数值与真实值之间有什么关系？你怎样看待这种情况？ 2．当两个变量线性相关时，这两个变量的线性回归直线方程（简称回归方程）如何求？ 其中系数可直接由公式求之： 回归直线方程表明回归直线过点（称之为样本点的中心）
二、问题分析 1．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 y=0.85x-85.71， 则下列结论中不正确的是 A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x，y） C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重为58.79kg 2．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃－5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 （1）画出散点图； （2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； （3）求回归方程； （4）如果某天气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数。 三、总结性思考 1．最小二乘法是什么意思？ 2．怎样根据样本数据求线性回归直线方程？ 四、课后作业 P94 A3 五、再思考
(整理)两个变量间的线性相关及回归方程的求法专题.
两个变量间的线性相关及回归方程的求法专题 一、如何认识两个变量间的相关关系 相关关系我们可以从以下三个方面加以认识： （1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积S与边长x之间的关系2x S 就是函数关系．即对于边长x的每一个确定的值，都有面积S的惟一确定的值与之对应．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等等都是相关关系． （2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如有人发现，对于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系．然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大身高也会高些． （3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化．例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性．而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计．相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况．因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还可使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度． 二、如何判断两个变量线性相关关系 1、利用变量相关关系的概念 利用变量相关关系的概念判断时，一般是看当一个变量的值一定时，另一个变量是否带有确定性，两个变量之间的关系具有确定关系－－函数关系；两个变量之间的关系具有随机性，不确定性－－相关关系。 例1、在下列各个量与量的关系中：①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的收入与支出之间的关系；⑤某户家庭用电量与水费之间的关系。其中是相关关系的为 (C④⑤) (D②③④ (A②③) (B③④) ) 解析：①正方体的体积与棱长之间的关系是确定的函数关系；⑤某户家庭用电量与水费之间无任何关系。②③④中，都是非确定的关系，但自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性。 点评：解题的关键是首先分析两个量是否有关系，然后判断这种关系是确定性的关系还是随机的不确定性的关系。 变式练习1：下列关系中是带有随机性的相关关系的有_____。 ①光照时间与果树的亩产量的关系；②圆柱的体积与底面直径的关系；③自由下落的物体的质量与落地时间的关系；④学生的数学成绩与物理成绩。 2、利用散点图 通过散点图观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地判断。 例2下面的4个散点图中，两个变量具有相关关系的是（）
秩和线性相关,无关的关系
老师能不能麻烦您写一下，秩和线性相关，无关的关系，还有方程个数（维数）未知数个数之间的关系与方程线性相关无关的关系。我这一点学的很乱，也找不到哪些参考书目有总结的，自己好多也不知道。最好能解释清楚一下。 标准全书，P302最上面6和7有什么区别吗？都是相乘一个等于N ，一个≤N 。还有就是当页的例题一，不能设PX=0解吧？否则就应该用上面的等式6了。我觉的只能用不等式7去解。 通过定义，即转化为齐次线性方程组是否有非零解，利用判断非零解的充要条件可以得到，自己要试着学会推导。 12,,,m ααα 是n 维列向量，12i i i ni a a a α??????=?????? 12,,,m ααα 是线性相关的 ?存在不全为0的数1,,m k k ，使得11220m m k k k ααα+++= ? 齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++= 有非零解。 ?11121121 22 221 2 0m m n n nm m a a a x a a a x a a a x ???? ????? ???=???????????? 即0n m A X ?=有非零解()12,,,m A ααα= ?()r A m <（系数矩阵的秩小于未知数的个数，即向量的个数） ?()12,,,m r m ααα< 同理自己可以推导线性无关的情况。 学习线性代数必须学会自己总结，将相关知识点进行联系 0AX = 标准全书 0m n A X ?= 6是根据齐次线性方程组的解来确定，系数矩阵的秩()r A ，则基础解系中有 ()n r A -个向量，即齐次线性方程组有()n r A -个线性无关的解向量。 7 0AB =将其按列分块得到()12,,,s B βββ= ，则 ()()()1212,,,,,,0,0,,0s s AB A A A A ββββββ=== 即0i A β= B 的每个列向量是0m n A X ?=的解，但不一定是全部解，则()()r B n r A ≤-整理可
线性相关性
定义 给定向量组A: a1, a2, ···, am , 如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使 k1 a1 + k2 a2+ ··· + km am = 0 则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关. 注意 1、对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的. 2、若a1, a2, ···, am线性无关, 则只有当k1= k2 = ··· = km=0时, 才有 k1 a1 + k2 a2+ ··· + km am = 0成立. 3、向量组A只包含一个向量a时,若a=0则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关. 4、包含零向量的任何向量组是线性相关的. 5、含有相同向量的向量组必线性相关. 6、增加向量的个数，不改变向量的相关性.(注意，原本的向量组是线性相关的) 【局部相关，整体相关】 7、减少向量的个数，不改变向量的无关性.(注意，原本的向量组是线性无关的） 【整体无关，局部无关】 8、任意n+1个n维向量必线性相关. 【个数大于维数必相关】 9、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关. 【无关组的加长组仍无关】 10、一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关. 【相关组的缩短组仍相关】 定理 1、向量a1,a2,···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的（至少有一个）一个为其余(n-1)个向量的线性组合。 2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。 3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。 4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。 5、空间中任意四个向量总是线性相关。
变量间的相关关系与线性回归方程
变量间的相关关系与线性回归方程
变量间的相关关系与线性回归方程 一、知识点 1.正相关:从散点图看,点散布在从左下角到右上角的区域内. 负相关：从散点图看，点散布在从左上角到右下角的区域内. 2.回归直线方程:a x b y ???+=，其中（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ）…， （x n ，y n ）为样本点,则 111n i x x n ==∑,11 1n i y y n ==∑; 线性回归方程a x b y ???+=中系数计算公式: 1 2 1 ()() ,()n i i i n i i x x y y b a y bx x x ==--= =--∑∑ 3.统计案例 ⑴相关系数 ?? ? ??-??? ??--= ∑∑∑===n i i n i i n i i i y n y x n x y x n y x r 122 1221 是用于衡量两个变量之间的线性相关程度的.0>r 时表示两个变量正相关；0
⑵相关指数() () ∑∑==--- =n i i n i i y y y y R 1 2 12 21 ，用来刻画回归的效 果，2R 越接近1，表明回归效果越好. ⑶两个分类变量X 和Y 的22?列联表： 则() ()()()()2 2 n ad bc K a b c d a c b d -=++++，通常： （1）828.102>k 有9.99﹪的把握认为X 与Y 有关系；（2）636.62>k 有99﹪的把握认为X 与Y 有关系； （3）841.32>k 有95﹪的把握认为X 与Y 有关系； （4）706.22>k 有90﹪的把握认为X 与Y 有关系； （5）706.22≤k 认为没有充分证据显示X 与Y 有关系；
线性相关与线性无关
§9 线性相关与线性无关 教学要求：掌握线性相关与线性无关的定义,并能够判断向量组的线性相关性 知识要点 : 一、定义与例子 : 定义 9.1 对向量组，如果存在一组不全为零的数, 使得 那么, 称向量组线性相关. 如果这样的个数不存在, 即上述向量等式仅当时才能成立, 就称向量组线性无关. 含零向量的向量组一定线性相关 , 因为 其中, 不全为零. 只有一个向量组成的向量组线性无关的充分必要条件是, 线性相关的充分必要条件是. 考虑齐次线性方程组
(*)它可以写成 ， 或 , 其中 . 由此可见, 向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 有非零解. 也就是说, 向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 只有零解. 例1 向量组是线性无关的 . 解: 设有使 ,
即 , 得齐次线性方程组 . 解此方程组得, 所以向量组线性无关. 例2 设向量组线性无关, 又设 , 证明向量组也线性无关. 证明: 设有使 , 即 , 因为线性无关, 故有
此线性方程组只有零解, 也即向量组线性无关. 定理 9.1 向量组线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余个向量线性表示 . 证明: 必要性设线性相关, 即存在一组不全为零的数, 使得 . 不妨设 , 则有 , 即可以由其余个向量线性表示. 其实, 在向量等式 中, 任何一个系数的向量都可以由其余个向量线性表示 . 充分性设向量组中有一个向量能由其余个向量线性表示 . 不妨设 , 则 , 因为不全为零, 所以线性相关. 二、向量组线性相关和线性无关判别定理 : 设矩阵的列向量组为,
变量间的相关关系与线性回归方程
11. 3变量间的相关关系与线性回归方程 1. 变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________ ；与函数关系不同，相关关系是 一种_________ 关系，带有随机性. 2. 两个变量的线性相关 (1) 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有______________ ,这条直线叫_________ . (2) 从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为___________ ;如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________ . n (x -x)(y -y) ⑶相关系数r =------ i- -------------------------- ,当r > 0时，表示两个变量正相关；当r v 0时，表示两个变量负相关.r 巨(x—x)2送(y j -y)2 I i i j 1 的绝对值越接近_________ ,表示两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近_________ ,表示两个变量的线性 相关性越弱.通常当r的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系. 3. 回归直线方程 n (1) 通过求Q( a 3 =送(y i - B x -G)2的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的 i经 距离的平方和最小的方法叫做___________ ?该式取最小值时的 a 3的值即分别为
变量间的相关关系与线性回归方程
11．3 变量间的相关关系与线性回归方程 1．变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关 (1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________． (2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________． (3)相关系数r ＝ ∑∑∑===--- -n j j n i i n i i i y y x x y y x x 1 2 1 2 1 )( )() )((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q （α，β）＝ ∑=--n i i x y 1 2 i ) (αβ的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方和最小的方法叫做 ．该式取最小值时的α，β的值即分别为a ?，b ?． (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为a x b y ???+=，则 ?? ? ???? ?? -=--=---=∑ ∑∑∑====. x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ??, )())((?1 2 21121 自查自纠 1．相关关系 非确定性 2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法 某公司2012～2017年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3 支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11 根据统计资料，则( )
第十一章 线性相关分析与线性回归分析
第十一章线性相关分析与线性回归分析 11.1 两个变量之间的线性相关分析 相关分析是在分析两个变量之间关系的密切程度时常用的统计分析方法。最简单的相关分析是线性相关分析，即两个变量之间是一种直线相关的关系。相关分析的方法有很多，根据变量的测量层次不同，可以选择不同的相关分析方法。总的来说，变量之间的线性相关关系分为三种。一是正相关，即两个变量的变化方向一致。二是负相关，即两个变量的变化方向相反。三是无相关，即两个变量的变化趋势没有明显的依存关系。两个变量之间的相关程度一般用相关系数r 来表示。r 的取值范围是：-1≤r≤1。∣r∣越接近1，说明两个变量之间的相关性越强。∣r∣越接近0，说明两个变量之间的相关性越弱。相关分析可以通过下述过程来实现： 11.1.1 两个变量之间的线性相关分析过程 1．打开双变量相关分析对话框 执行下述操作： Analyze→Correlate(相关)→Bivariate（双变量）打开双变量相关分析对话框，如图11-1 所示。 图11-1 双变量相关分析对话框 2．选择进行相关分析的变量 从左侧的源变量窗口中选择两个要进行相关分析的变量进入Variable 窗口。 3．选择相关系数。 Correlation Coefficient 是相关系数的选项栏。栏中提供了三个相关系数的选项：（1）Pearson:皮尔逊相关，即积差相关系数。适用于两个变量都为定距以上变量，且两个
变量都服从正态分布的情况。这是系统默认的选项。 （2）Kendall：肯德尔相关系数。它表示的是等级相关，适用于两个变量都为定序变量的情况。 （3）Spearman:斯皮尔曼等级相关。它表示的也是等级相关，也适用于两个变量都为定序变量的情况。 4．确定显著性检验的类型。 Test of Significance 是显著性检验类型的选项栏，栏中包括两个选项： （1）Two-tailed:双尾检验。这是系统默认的选项。 （2）One-tailed:单尾检验。 5．确定是否输出相关系数的显著性水平 Flag significant Correlations:是标出相关系数的显著性选项。如果选中此项，系统在输出结果时，在相关系数的右上方使用“*”表示显著性水平为0.05；用“**”表示显著性水平为0.01。 6. 选择输出的统计量 单击Options 打开对话框，如图11-2 所示。 图11-2 相关分析选项对话框 （1）Statistics 是输出统计量的选项栏。 1）Means and standard deviations 是均值与标准差选项。选择此项，系统将在输出文件中输出均值与标准差。 2）Cross- product deviations and covariances 是叉积离差与协方差选项。选择此项，系统将在输出文件中输出每个变量的离差平方和与两个变量的协方差。 上述两项选择只有在主对话框中选择了Pearson:皮尔逊相关后，计算结果才有价值。 （2）缺失值的处理办法 Missing Valuess 是处理缺失值的选项栏。 1）Exclude cases pairwise 是成对剔除参与相关系数计算的两个变量中有缺失值的个案。2）Exclude cases listwise 是剔除带有缺失值的所有个案。 上述选项做完以后，单击Continue 按钮，返回双变量相关分析对话框。 8．单击OK 按钮，提交运行。系统在输出文件窗口中输出相关分析的结果。 11.1.2 两个变量之间的线性相关分析实例分析
线性回归方程与相关系数
线性回归方程与相关系数 1线性回归方程? y bx a =+表示的直线必经过的一个定点是（ ） A ．(0,0) B ． (,0)x C ． (0,y) D ． (,y)x 2为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 则y 对x 的线性回归方程为 A ．1y x =- B ．1y x =+ C ．1 882 y x =+ D ．176y = 35表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系， 则其关系式最接近的是（ ） A ．6y x =+ B ．42y x =-+ C ．260y x =-+ D ．378y x =-+ 已知145,1380,50,52=∑=∑==i i i x y x y x ，试求y 与x 的线性回归方程是 10 若由资料知，y 对x 呈线性相关关系，90,3.112,5,42=∑=∑==i i i x y x y x 试求：（1）回归直线方程； （2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ ()() () 1 1 11 1 1 2 22 11 1 n n i i n n i i i x y y y x y nx y b x x x nx a y bx ====---= = --=-∑∑∑∑，a y bx =- ?y bx a =+
13通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 由算得，. 附表： 参照附表，得到的正确结论是(.故选A. ) A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 16．通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表： （1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名? (2) 从（1）中的5名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率； （3）根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？ 性别与看营养说明列联表单位: 名 15、某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100 分）如下表所示： 若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀．（1）根据上表完成下面的2×2列联表(单位:人)： （3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率.
线性回归方程分析
环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：
又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y － )， 所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案 C 3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个 样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )． A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间 C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 D ．直线l 过点(x －，y －) 解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D. 答案 D 4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y －＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4 5 ＝0.5， 可求得小李这5天的平均打篮球时间x －＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^ ＝ 0.47，故回归直线方程为y ^ ＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的 投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.53 5．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^ ＝0.254x ＋0.321.由回归直线方
线性相关与回归分析
第十章 相关与回归分析 第一节 简单线性相关分析 一、简单线性相关（直线相关）的概念： 二、相关关系的种类： （一）按相关程度划分可分为完全相关、不完全相关、和不相关 （二）按相关方向划分可分为正相关和负相关 （三）按相关的形式划分可分为线形相关和非线形相关 （四）按变量多少划分可分为单相关、复相关和偏相关 三、相关分析 相关分析一般可以借助相关系数与相关图来进行相关分析。 （一）相关系数 1．简单相关系数的含义 反映两个变量之间线性相关密切程度和相关方向的统计测定,它是其他相关系数形成的基础。 2．简单相关系数的计算 ∑∑∑-?---= 2 2 ) ()())((y y x x y y x x r （6.17） 或化简为:()() 2 2 2 2 ∑∑∑∑∑∑∑-?--=y y n x x n y x xy n r （6.18） 3．相关系数的性质 （1）相关系数的取值范围在-1和+1之间，即：–1≤r ≤ 1。 （2）计算结果，若r 为正，则表明两变量为正相关；若r 为负，
则表明两变量为负相关。 （3）相关系数r 的数值越接近于1（–1或+1），表示相关系数越强；越接近于0，表示相关系数越弱。如果r=1或–1，则表示两个现象完全直线性相关。如果r=0，则表示两个现象完全不相关（不是直线相关）。 （4）判断两变量线性相关密切程度的具体标准为： 3.00<≤r ，称为微弱相关；5.03.0<≤r ，称为低度相关； 8.05.0<≤r ，称为显著相关；18.0<≤r 称为高度相关。 （二）相关图 相关图又称散点图。它是以直角坐标系的横轴代表标量X ，纵轴代表标量Y ，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。 四.相关系数的假设检验 1．目的：相关系数检验的目的是判断两变量的总体是否有相关关系。检验样本相关系数r 是否总体相关系数为0的总体，如概率p ＜0.05，认为两变量存在相关关系。 2．方法：有t 检验和查表法。 (1) t 检验法: 统计量计算为： 2 12 --= n r r t r ； v = n-2 (2)查表法:是直接查相关系数界值表得到相应的概率p 。统计量r 绝对值越大，p 越小。
判断是否为线性相关的方法
线性代数复习总结大全 向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T T n T T T n T T r r βαααααα=判断是否为线性相关的方法： 1、定义法：设n k k k ....21，求n k k k ....21（适合维数低的） 2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关 3、分量法（n 个m 维向量组）180P ：线性相关（充要）n r T n T T
线性回归方程(1)
教学目标： 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2.在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测； 3.知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义． 教学重点： 散点图的画法，回归直线方程的求解方法． 教学难点： 回归直线方程的求解方法． 教学方法： 引导发现、合作探究． 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的
数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系． 二、学生活动 提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？ （1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示； （2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示． 说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系． 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 气温 26 18 13 10 4 1- /0C 杯数20 24 34 38 50 64 如果某天的气温是5-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？