高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结(文科) 一.平行问题 (一) 线线平行:
方法一:常用初中方法(1中位线定理;2平行四边形定理; 3三角形中对应边成比例;4同位角、内错角、同旁内角) 方法二:1线面平行?线线平行
m l m l l ////???
?
??
=??βαβα
方法三:2面面平行?线线平行
m l m l ////???
?
??
=?=?βγαγβα 方法四:3线面垂直 ?线线平行 若αα⊥⊥m l
,,则m l //。
方法五:用向量方法:
若向量和向量共线且l 、m 不重合,则m l //。 (二) 线面平行:
方法一:4线线平行?线面平行
ααα////l l m m l ???
?
??
?? 方法二:5面面平行?线面平行
αββα////l l ??
??
? 方法三:法向量 若
为平面α
的一个法向量,
⊥且α?l ,则α
//l 。
(三) 面面平行:6方法一:线线平行?面面平行
βααβ//',','//'
//????
???
?
??且相交且相交m l m l m m l l 方法二:7线面平行?面面平行
βαβαα//,////???
?
??
=?A m l m l m l , 方法三:8线面垂直?面面平行
βαβα面面面面//??
??
⊥⊥l l
方法三:用向量实现。平面βα、的法向量分别是n m
、
β
α面面////?n m
二.垂直问题:(一)线线垂直
方法一:常用初中的方法(1勾股定理的逆定理;2三线合一 ;
3直径所对的圆周角为直角;4菱形的对角线互相垂直。) 方法二:9线面垂直?线线垂直
m l m l ⊥??
??
?⊥αα
方法三:三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥?
?
⊥?⊥????
m
l m l m l m l ⊥?⊥
、上的向量分别是、方法四:直线(二)线面垂直:10方法一:线线垂直?线面垂直
α
α⊥????
?
???
?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:11面面垂直?线面垂直
l
αββαβα⊥????
??
?⊥=?⊥l l m l m , l
l //n n
⊥?αα平面的法向量是方法三:平面
(面) 面面垂直:
方法一:12线面垂直?面面垂直
βαβα⊥??
??
?⊥l l
β
αβα面面、的法向量分别是、方法二:平面⊥?⊥m n n
m
三、夹角问题:异面直线所成的角: (一) 范围:]90,0(?? (二)求法:方法一:定义法。
步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。
步骤2:解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 方法二、空间向量法12cos cos ,n n θ=<>
线面角:直线PA 与平面α所成角为θ,如下图 求法:就是放到三角形中解三角形
四、距离问题:点到面的距离求法 1、直接求,2、等体积法(换顶点) 2、点面距离h :求点P 到平面α
的距离: 在平面α上取一点Q ,得向量PQ
;; 计算
平面α的法向量n ;
h =
平行、垂直网络图
补充:空间向量在立体几何问题中的应
用
1(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标。 2、111(,,)A x y z 222(,,)B x y z 则212121(,,)AB x x y y z z =---
3、垂直:1212120a b x x y y z z ⊥?++=
;
4、平行:111222x y z
a b x y z ?==
5
、模长:||a == 6
、夹角:cos ||||a b a
b a b ??=?
7、数量积:121212a b=||||cos ,x x y y z z a b a b ?++=??<>
8、中点坐标:)2
,2
,2
(212121z z y y x x P +++
9、求平面的法向量的方法:
???=++=++??????=?=???????⊥⊥===?00
00,,n )
,,(,,,222111222111cz by ax cz by ax n AB n n AB n c b a z y x AC z y x AB AC AB
)(的法向量设平面)(。平面、直线αα
得到a 、b 、c 之间的关系,然后用同一个字母表示。
(最后可以把这个字母去掉,因
为法向量我们只要方向,不要大
小长短)
新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形,,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明:在ABD ?中,∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理,1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角 2、如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点。 求证:(1)⊥AB 平面CDE; (2)平面CDE ⊥平面ABC 。 证明:(1)BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理, AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE (2)由(1)有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC , ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C
3、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点, 求证: 1//A C 平面BDE 。 证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO , ∵E 为1AA 的中点,O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内,1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点:线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC . 证明:90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点:线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)1 AC ⊥面11AB D . 证明:(1)连结11A C ,设 11111 A C B D O ?=,连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点,∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ,1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D (2)1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵, 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证 11 A C AD ⊥, 又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定 A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的,在必修2中,先从对空间几何体的整体认识入手,主通过直观感知、操作确认,获得空间几何体的性质,此后,在空间几何体的点、直线和平面的学习中,充分利用对模型的观察,发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质,从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中,首先引入空间向量,在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础,在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识,要求发展学生的空间想像能力,几何直观能力,而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中,以长方体为模型,通过说理(归纳出判定定理,不证明)或简单推理进行论证(归纳并论证明性质定理), 在“空间向量与立体几何”的学习中,又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合,完善了空间几何推理论证的理论基础,并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中,把空间想像能力,逻辑推理能力,适当分开,有所侧重地、分阶段地进行培养,这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力,同时降低学习立体几何的门槛,同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点: 空间几何体的结构特征:柱、锥、台、球的结构特征的概括; 空间几何体的三视图与直观图:几何体的三视图和直观图的画法; 空间几何体的表面积与体积:了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式; 空间点、直线、平面的位置关系:空间直线、平面的位置关系; 直线、平面平行的判定及其性质:判定定理和性质定理的归纳; 直线、平面垂直的判定及其性质:判定定理和性质定理的归纳. 2.难点: 空间几何体结构特征的概括:柱、锥、台球的结构特征的概括; 空间几何体的三视图与直观图:识别三视图所表示的几何体; 空间点、直线、平面的位置关系:三种语言的转化; 直线、平面平行的判定及其性质:性质定理的证明; 直线、平面垂直的判定及其性质:性质定理的证明.
立 体几何试题 一.选择题(每题4分,共40分) 1.已知AB 0300300150空间,下列命题正确的个数为( ) (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是( ) A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点,作与α平行的平面,则这样的平面可作( ) A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( ) A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二.填空题(每题4分,共16分) 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ,设直线AB 与平面α交于点O ,则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块
高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结(文科) 一.平行问题 (一) 线线平行: 方法一:常用初中方法(1中位线定理;2平行四边形定理;3三角形中对应边成比例;4同位角、内错角、同旁内角) 方法二:1线面平行?线线平行 m l m l l ////??? ???=??βαβα 方法三:2面面平行?线线平行 m l m l ////??????=?=?βγαγβα 方法四:3线面垂直 ?线线平行 若αα⊥⊥m l ,,则m l //。 (二) 线面平行: 方法一:4线线平行?线面平行 ααα////l l m m l ??? ????? 方法二:5面面平行?线面平行 αββα////l l ????? (三) 面面平行:6方法一:线线平 行?面面平行 βααβ//',','//' //??? ???????且相交且相交m l m l m m l l 方法二:7线面平行?面面平行 βαβαα//,////??? ???=?A m l m l m l I , 方法三:8线面垂直?面面平行 βαβα面面面面//?? ??⊥⊥l l l
二.垂直问题:(一)线线垂直 方法一:常用初中的方法(1勾股定理的逆定理;2三线合一 ;3直径所对的圆周角为直角;4菱形的对角线互相垂直。) 方法二:9线面垂直?线线垂直 m l m l ⊥?????⊥αα (二)线面垂直:10方法一:线线垂直?线面垂直 α α⊥??? ? ???? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:11面面垂直?线面垂直 αββαβα⊥???????⊥=?⊥l l m l m , (面) 面面垂直: 方法一:12线面垂直?面面垂直 βαβα⊥???? ?⊥l l 三、夹角问题:异面直线所成的角: (一) 范围:]90,0(?? (二)求法:方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤2:解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 线面角:直线PA 与平面α所成角为θ,如下图 求法:就是放到三角形中解三角形 四、距离问题:点到面的距离求法 1、直接求, 2、等体积法(换顶点)
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲:立体几何 1、(2010一试7)正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等,P 是1CC 的中点,二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =,则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==,所以cos m n m n α?=? ,即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二:如图,PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .
连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中,OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、(2011一试6)在四面体ABCD 中,已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ,设CD 与平面ABD 所成角为θ,可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ. 在△DMN 中,332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM .学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN , 故2=MN .四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD .故球O 的半径3=R . 3、(2012一试5)设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球.若正三棱锥P ABC -的
立体几何试题 一.选择题(每题4分,共40分) 1.已知AB//PQ,BC//QR,则∠PQP等于() A 030 B 030 C 0 150 D 以上结论都不对 2.在空间,下列命题正确的个数为() (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是() A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m//平面α,直线n在α内,则m与n的关系为() A 平行 B 相交 C 平行或异面 D 相交或异面 5.经过平面α外一点,作与α平行的平面,则这样的平面可作() A 1个或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()
8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二.填空题(每题4分,共16分) 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ,设直线AB 与平面α交于点O ,则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块 14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________ 三、解答题 15(10分)如图,已知E,F 分别是正方形ABCD A B C D -的棱AA 和棱CC 上的点,且
立体几何大题题型及解题方法 立体几何大题一般考以下五个方面: 一、平行位置关系的证明 1、证明线面平行(重点) 解题方法:(1)线面平行判定定理;(2)面面平行的性质定理。 2、证明面面平行 解题方法:(1)面面平行的判定定理;(2)面面平行判定定理的推论;(3)垂直于同一直线的两平面平行;(4)平行平面的传递性。 3、平行位置关系的探索 (1)对命题条件的探索;(2)对命题结论的探索;(3)通过翻折来探索。 二、垂直位置关系的证明 1、证明线线垂直 解题方法: 2、证明线面垂直(重点) 解题方法: 3、证明面面垂直 4、垂直位置关系的探索 (1)对命题条件的探索;(2)对命题结论的探索;(3)通过翻折来探索。 三、求空间距离
1、点到平面的距离 解题方法: 2、空间线段长 解题方法:(1)解三角形法;(2)列方程法。 四、求几何体体积 五、求空间角 1、异面直线所成的角 2、直线与平面所成的角 考点一:如何判断空间中点、线、面的位置关系(排除法)
考点二:平行位置关系的证明 证明题一般的解题步骤: 一、根据题目的问题,确定要证明什么;根据题目的条件,确定用什么证明方法, 如果无法确定,则要通过逆向思维来分析题目; 二、看题目是否需要作辅助线(创造条件),证明平行位置问题一般作的辅助线是连等 分点,特别是中点; 三、根据确定的证明方法,看该方法需要多少个条件,然后看题目给的条件通过什 么方式给,如果是间接条件则需要推理证明得出,如果是直接条件或隐含条件则直接罗列; 四、准备好条件后,再次检查条件是否都满足,是否都罗列了,最后得出结论; 五、规范书写答案过程:一般过程为1、作辅助线;2、准备间接条件;3、罗列直接
2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 (08年)如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,AB DC ∥,PAD △是等边三角形,已知28BD AD ==,245AB DC == (Ⅰ)设M 是PC 上的一点,证明:平面MBD ⊥平面PAD ; (Ⅱ)求四棱锥P ABCD -的体积. (09年)如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB 11111 (10年)(本小题满分12分) 在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,MA ⊥平面ABCD ,//PD MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,且2AD PD MA ==. (I )求证:平面EFG ⊥平面PDC ; (II )求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. (11年)(本小题满分12分) 如图,在四棱台 1111 ABCD A B C D -中, 1D D ABCD ⊥平面,底面 ABCD 是平行四边形, 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= (Ⅰ)证明:1AA BD ⊥; (Ⅱ)证明:11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1
(12年) (本小题满分12分) 如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形, ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =; (Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC . (13年)(本小题满分12分) 如图,四棱锥P —ABCD 中,AB ⊥AC , AB ⊥PA ,AB ∥CD ,AB=2CD ,E ,F ,G , M ,N 分别为PB ,AB ,BC ,PD ,PC 的中点。 (Ⅰ)求证,CE ∥平面PAD; (Ⅱ)求证,平面EFG ⊥平面EMN 。 (14年)(本小题满分12分) 如图,四棱锥P ABCD -中,,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 (Ⅰ)求证:BEF AP 平面// (Ⅱ)求证:PAC BE 平面⊥ P A C D E
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b. (2)两直线垂直的判定
M D' D C B A 立体几何单元测验题 一、选择题:把每小题的正确答案填在第二页的答题卡中,每小题4分,共60分 1.一个圆锥的底面圆半径为3,高为4,则这个圆锥的侧面积为 A . 152 π B .10π C .15π D .20π 2.C B A ,,表示不同的点,l a ,表示不同的直线,βα,表示不同的平面,下列推理错误的是 A .ααα??∈∈∈∈l B l B A l A ,,, B .,,,AB l l AB l αβαβαβ=⊥?⊥?⊥I C .,l A l A αα?∈?? D .βαβα与不共线,,且?∈∈C B A C B A C B A ,,,,,,重合 3.直线c b a ,,相交于一点,经过这3条直线的平面有 A .0个 B .1个 C .3个 D .0个或1个 4.下列说法正确的是 A .平面α和平面β只有一个公共点 B .两两相交的三条直线共面 C .不共面的四点中,任何三点不共线 D .有三个公共点的两平面必重合 5. 直线b a 与是一对异面直线,a B A 是直线,上的两点,b D C 是直线,上的两点,N M ,分别是BD AC 和的中点,则a MN 和的位置关系为 A .异面直线 B .平行直线 C .相交直线 D .平行直线或异面直线 6.已知正方形ABCD ,沿对角线ABC AC ?将折起,设AD 与平面ABC 所成的角为α,当α最大时,二面角D AC B --等于( ) A .090 B .060 C .045 D .030 7.已知异面直线b a ,分别在平面βα,内,且βαI c =,直线c A .同时与b a ,相交 B .至少与b a ,中的一条相交 C .至多与b a ,中的一条相交 D .只能与b a ,中的一条相交 8.一个平面多边形的斜二侧图形的面积是S ,则这个多边形的面积是 A 2S B .2S C .22S D .4S 9.直线l 在平面α外,则 A .α//l B .α与l 相交 C .α与l 至少有一个公共点 D .α与l 至多有一个公共点 10.如图,BD AB BD M AC M AB BD AC AB ,,平面,平面,⊥⊥?===1与平面M 成030角,则 D C 、间的距离为( ) A .1 B .2 C .2 D .3 11.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系
1.(2013年高考辽宁卷(文))如 图,.AB O PA O C O 是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上的点 (I)求证:BC PAC ⊥平面; (II)设//.Q PA G AOC QG PBC ?为的中点,为的重心,求证:平面 2.2013年高考陕西卷(文))如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中 心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA == (Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. O D 1 B 1 C 1 D A C A 1
3.(2013年高考福建卷(文))如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =, 60PAD ∠=o .(1)当正视图方向与向量AD u u u r 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程); (2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积. 4. 如图,四棱锥P —ABCD 中,ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD ⊥面ABCD ,且AB=1,AD=2,E 、F 分别为PC 和BD 的中点. (1)证明:EF ∥面PAD ; (2)证明:面PDC ⊥面PAD ; (3)求四棱锥P —ABCD 的体积.
5.(2013年高考广东卷(文))如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中2BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23 AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图 4G E F A B C D 图 5D G B F C A E 6.(2013年高考北京卷(文))如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证: (1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD
立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱: 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 (3)棱台: 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,' h 为斜高,l 为母线) ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 (3)柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 (4)球体的表面积和体积公式:V 球=343 R π ; S 球面=24R π
高二数学立体几何第一二章测试卷必修 2 班级 编号 姓名 得分: 一、 选择:12×5=60分 1、经过空间任意三点作平面 ( ) A .只有一个 B .可作二个 C .可作无数多个 D .只有一个或有无数多个 2、两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ,4cm ,3cm ,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,最长的对角线的长度是 ( ) A .cm 77 B .cm 27 C .cm 55 D .cm 210 3.已知α,β是平面,m ,n 是直线.下列命题中不正确的是 ( ) A .若m ∥n ,m ⊥α,则n ⊥α B .若m ∥α,α∩β=n ,则m ∥n C .若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β D .若m ⊥α,β?m ,则α⊥β 4.在正三棱柱所成的角的大小为与则若中B C AB BB AB C B A ABC 111111,2,=- ( ) A .60° B .90° C .105° D .75° 5、在正方体1111 ABCD A B C D -中,下列几种说法正确的是 ( ) A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 6、如图:正四面体S -ABC 中,如果E ,F 分别是SC ,AB 的中点, 那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 ( ) A .90° B .45° C .60° D .30° 7、异面直线a 、b 成60°,直线c ⊥a ,则直线b 与c 所成的角的范围为 ( ) A .[30 °,90°] B .[60°,90°] C .[30°,60°] D .[60°,120°] 8、PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线,每两条夹角都是60°,那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是 ( ) A . 2 1 B . 2 2 C . 3 6 D .33 9、如图,PA ⊥矩形ABCD ,下列结论中不正确的是( ) A .PB ⊥BC B .PD ⊥CD C .P D ⊥BD D .PA ⊥BD B A
立体几何简答题练习 1、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ。求证:PQ∥平面BCE.(用两种方法证明) 2、如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别在PA、BD上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF∥平面PBC. 3、如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 的棱BC,CC 1 ,C 1 D 1 ,AA 1 的中点。 求证:(1)EG∥平面BB 1D 1 D; (2)平面BDF∥平面B 1D 1 H.
4、如图所示,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,平面PAD ∩平面PBC =l. (1)求证:l ∥BC ; (2)MN 与平面PAD 是否平行?试证明你的结论。 5、如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD ,SA=SB ,点M 是SD 的中点,AN ⊥SC ,且交SC 于点N 。 (1)求证:SB ∥平面ACM ; (2)求证:平面SAC ⊥平面AMN ; (3)求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.
7、如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,底面ABCD是等腰梯形,∠ DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点。 (1)求证:C 1M∥平面A 1 ADD 1 ; (2)若CD 1垂直于平面ABCD且CD 1 =3,求平面C 1 D 1 M和平面ABCD所成的角(锐角) 的余弦值。 8、如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中点. (1)证明:PA∥平面EDB; (2)证明:BC⊥DE.
高一必修二经典立体几何专项练习题 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内——有无数个公共点 (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行——没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: aβ bβ a∩b =pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α∥β α∩γ=a a∥b β∩γ=b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A
立体几何大题练习(文科): 1.如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=,侧面SAD⊥底面ABCD. (1)求证:平面SBD⊥平面SAD; (2)若∠SDA=120°,且三棱锥S﹣BCD的体积为,求侧面△SAB的面积. 【分析】(1)由梯形ABCD,设BC=a,则CD=a,AB=2a,运用勾股定理和余弦定理,可得AD,由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD,运用面面垂直的判定定理即可得证; (2)运用面面垂直的性质定理,以及三棱锥的体积公式,求得BC=1,运用勾股定理和余弦定理,可得SA,SB,运用三角形的面积公式,即可得到所求值.【解答】(1)证明:在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,BC=CD=, 设BC=a,则CD=a,AB=2a,在直角三角形BCD中,∠BCD=90°, 可得BD=a,∠CBD=45°,∠ABD=45°, 由余弦定理可得AD==a, 则BD⊥AD, 由面SAD⊥底面ABCD.可得BD⊥平面SAD, 又BD?平面SBD,可得平面SBD⊥平面SAD; (2)解:∠SDA=120°,且三棱锥S﹣BCD的体积为, 由AD=SD=a, 在△SAD中,可得SA=2SDsin60°=a, △SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a, 由SH⊥平面BCD,可得 ×a××a2=,
解得a=1, 由BD⊥平面SAD,可得BD⊥SD, SB===2a, 又AB=2a, 在等腰三角形SBA中, 边SA上的高为=a, 则△SAB的面积为×SA×a=a=. 【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用,注意运用转化思想,考查三棱锥的体积公式的运用,以及推理能力和空间想象能力,属于中档题. 2.如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 【分析】(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论; (2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论. 【解答】证明:(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,
1. (2013年高考辽宁卷(文))如 图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点. (I) 求证:BC _平面PAC ; (II) 设Q为PA的中点,G为AOC的重心,求证:QG//平面PBC. 2.2013年高考陕西卷(文))如图,四棱柱ABCDAιBιCD的底面ABCt是正方形,O为底面中 心,AC⊥平面ABCD AB=AA=√2. (I )证明:A i BD // 平面CDB1; ( ∏ )求三棱柱ABDABD的体积.
3. (2013年高考福建卷(文))如图,在四棱锥P- ABCD 中,PD _ 面ABCD , AB∕∕DC , AB _ AD , BC =5, DC =3, AD = 4, .PAD =60 .(1)当正视图方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥P- ABCD的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程); ⑵若M为PA的中点,求证:DM / /面PBC ; (3) 4. 如图,四棱锥 P—ABCD中,ABCD为矩形,△ PAD为等腰直角三角形,∠ APD=90°,面 PAD⊥面 ABCD,且 AB=1,AD=2, E、F分别为 PC和BD的中点. (1)证明:EF// 面 PAD (2)证明:面PDC⊥面PAD; (3)求四棱锥 P— ABCD的体积. A B 求三棱锥D- PBC的体积.
5. (2013年高考广东卷(文))如图4,在边长为1的等边三角形 ABC 中,D ) E 分别是AB )AC 边上的点,AD =AE , F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G , 将 :ABF 沿AF 折起, (1)证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF _平面ABF ; 2 ⑶ 当AD 时,求三棱锥F - DEG 的体积V F DEG 3 _ 6. (2013年高考北京卷(文))如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB∕∕CD , AB _ AD , CD =2AB ,平面 PAD _ 底面 ABCD , PA _ AD , E 和 F 分别是CD 和PC 的中点,求证: (1) PA _ 底面 ABCD ;(2) BE//平面 PAD ;(3)平面 BEF _ 平面 PCD 得到如图5所示的三棱锥 A - BCF ,其中BC 洱
立体几何-三视图练习题 1.下列四个几何体中,每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是( ). A .①② B .①③ C .③④ D .②④ 2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是( ). 3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 ( ) 4.在一个几何体的三视图中,正(主)视图和俯视图如图所示,则相应的侧(左)视图可以为( ). 5.如图,直观图所示的原平面图形是( ) A.任意四边形 B.直角梯形 C.任意梯形 D.等腰梯形 6.将正三棱柱截去三个角(如图1所示A B C ,,分别是GHI △三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )
7. 一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形,如图所示,则该多面体的体积为( ) A .24 cm 3 B .48 cm 3 C .32 cm 3 D .28 cm 3 第7题 第8题 8.若正四棱锥的正(主) 视图和俯视图如图所示,则该几何体的表面积是( ). A .4 B .4+410 C .8 D .4+411 9.如下图是某几何体的三视图,其中正(主)视图是腰长为2的等腰三角形,侧(左)视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是( ). A .π B ..π 3 C .3π D .3π3 第9题 第10题 10.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是( ) A. 34000cm 3 B.3 8000cm 3 C.32000cm D.34000cm 11.3 ,且一个内角为60o 的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为( ) A .23 B .43 C . 4 D . 8 E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1 图2 B E A . B E B . B E C . B E D .
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一) 1.如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,⊥PD 平面ABCD , 2PD AB ==,点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证:EF PA ⊥; (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示,该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成,AF AD ⊥,2AE AD ==. (1)证明:平面⊥PAD 平面ABFE ; (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ,使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .
3.四棱锥P ABCD -中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角,M为PB的中点. (Ⅰ)求证:PD∥面ACM. (Ⅱ)求证:PA⊥CD. (Ⅲ)求三棱锥P ABCD -的体积. 4.如图,四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD,90 DAB ABC ∠=∠=?.SA AB BC a ===,2 AD a =. (Ⅰ)求证:面SAB⊥面SAD. (Ⅱ)求证:CD⊥面SAC. S B A D M C B A P D
5.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,测棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,点E 是 BC 的中点,作EF PB ⊥交PB 于F . (Ⅰ)求证:平面PCD ⊥平面PBC . (Ⅱ)求证:PB ⊥平面EFD . 6.在直棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥,设1AB 中点为D ,1A C 中点为E . (Ⅰ)求证:DE ∥平面11BCC B . (Ⅱ)求证:平面11ABB A ⊥平面11ACC A . E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P