【素材】4.1因式分解

4.1因式分解

学习目的：

本节主要学习了因式分解的意义和因式分解的第一种方法——提公因式法，重点是提公因式法，理解提公因式法的依据，会用提公因式法分解因式，难点是对因式分解意义的理解，关键是找出各项的公因式.

多项式的因式分解与小学学过的数的因数分解类似，都是化成积的形式，因式分解与整式乘法的变化过程是互逆的，因式分解的方法很多，也很灵活，有些方法不易掌握，加上我们现有知识水平的限制，教材中只介绍了四种基本的因式分解方法，其中提公因式法是最基本、最简单的方法，同学们必须熟练地掌握，为后继学习打好基础.学习时注意利用整式乘法运算来验证因式分解的结果是否正确.

方法指导：

本节主要学习提公因式法，提公因式法的关键是找出多项式的公因式，提公因式的依据是乘法分配律，其实质是运用乘法分配律、提公式时，容易出现“漏项”的错误，检查是否漏项的方法，最好是用单项式乘以多项式的法则乘回去，进行验证，也可以看看提公因式后，括号内的项数是否与原多项式的项数一致，如果项数不一致，就说明漏项了.

知识概要：

提公因式法

将多项式中各项含有的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法.

典例精评：

例1 下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?

(1)a(a+b-c)=a2+ab-ac

(2)x2-2x+4=x2-2(x-2)

(3)a(x2-9)=a(x+3)(x-3)

(4)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1

(5)x2-2x+2y-y2=(x2-y2)-2(x-y)

(6)9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a)

分析 (1)是乘法计算；(2)、(4)、(5)的右边不是乘积形式；(6)的右边括号内漏掉了“1”这一项；只有(3)是把多项式ax2-9a化成了单项式a与二项式x+3与x-3的乘积形式，且二式不可再分.

解 (1)不是； (2)不是； (3)是；

(4)不是； (5)不是； (6)不是

例2 把a n+1-a n-1+a n分解因式.

分析相同字母最低次幂是a n-1，从而公因式是a n-1.

解 a n+1-a n-1+a n=a n-1(a2-1+a)

例3 把x(x-y)+y(y-x)分解因式

解 x(x-y)+y(y-x)

=x(x-y)-y(x-y)

=(x-y)(x-y)

https://www.wendangku.net/doc/eb15748382.html, 010-******** 58818068 全品中考网邮箱：canpointzk@https://www.wendangku.net/doc/eb15748382.html,

https://www.wendangku.net/doc/eb15748382.html, 010-******** 58818068 全品中考网邮箱：canpointzk@https://www.wendangku.net/doc/eb15748382.html,

=(x-y)2

点评：相同的因式要写成幂的形式.

例4 把(a-b)2(x-2y)+(b-a)2

(2x-y)分解因式

解 原式＝(a-b)2(x-2y)+(a-b)2

(2x-y)

=(a-b)2

［(x-2y)+(2x-y)］

=(a-b)2

(3x-3y)

=3(a-b)2

(x-y)

点评：(a-b)2=(b-a)2，而a-b=-(b-a),提公因式时要注意符号.

疑难解析：

提公因式的方法步骤：

提公因式法分解因式的一般步骤是：第一步找出公因式；第二步提公因式并确定另一个因式 ，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提出公因式后，剩下的另一个因式 .也可用因式分别去除原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式.

例如：因式分解8a 3b 2-12ab 3c ，提公因式4ab 2时，用4ab 2

分别去除原多项式的每 一项，得(8a 3b 2÷4ab 2-12ab 3c ÷4ab 2)=(2a 2

-3bc).即

8a 3b 2-12ab 3c=4ab 2(2a 2

-3bc)

【同步达纲练习】

知识强化： 1.填空题

(1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by 从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 .

(2)多项式ma+mb+mc 中，它的各项含有相同的因式 ，可以把公因式 提到括号外面，将多项式ma+mb+mc 写成因式 与 乘积形式，这种分解因式的方法叫 .

(3)填上适当的符号，使下列各等式成立：

①-2x+y= (2x-y); ②-x-y+z= (x+y-z);

③(4a-3b)2= (3b-4a)2 ④(m-n)3= (n-m)3

; ⑤(a-b)(c-a)= (a-b)(a-c); ⑥(3-x)(4-y)= (x-3)(y-4)

(4)12xyz-9x 2y 2

的因式是 .

(5)x 2y+xy 2

-xy=xy( ).

(6)14abx-8ab 2

x+2ax=2ax( ).

(7)3x 3y 4-12x 2y 5+18xy 6=3xy 4

( ).

(8) 278ab 2

+9

4b 2

c=( )(2a+3c)

(9)-7mn-14mnx+49mny=-7mn( ). (10)2x(b-a)+y(a-b)+z(b-a)=( )

(11)9x(a-b)2与3y(b-a)3

的公因式是( ) (12)m(x-y)-n(x-y)=(x-y)( )

(13)-4a 3b 2+6a 2

b-2ab 分解因式得( ).

https://www.wendangku.net/doc/eb15748382.html, 010-******** 58818068 全品中考网邮箱：canpointzk@https://www.wendangku.net/doc/eb15748382.html,

(14)(2a-b)(2a+3b)+3a(b-2a)=-(2a-b)( ).

(15)(a-b)2(x-y)-(b-a)(y-x)2

分解因式的结果是( ). 2.选择题

(1)下列各式由左到右的变形是因式分解的是( ).

A.-9+a 2=-(3+a)(3-a)

B.(x-2)(x-3)=x 2

-x-6 C.a 2

-2ab+b 2

+a=(a-b)2

+a D.m 2

+m=m 2

(1+

m

1) (2)下列各式变形正确的是( ) A.b 2-a 2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a 2+b 2 C.(a-b)2

=(b-a)2

D.(x+

21)2=x 2-41 x+4

1 (3)下列各式正确的是( )

A.-a 2+b 2=-(a 2+b 2

)

B.(a-b)(b-a)=(b-a)(a-c)

C.(a-b)3=(b-a)3

D.(a-b)2n =(b-a)2n

(n 为自然数)

(4)在把a 2x+ay-a 3

xy 分解因式时，应提取的公因式是( ). A.a 2

B.a

C.ac

D.ay

(5)观察下列各式①2a+b 和a+b;②5m(a-b)和-a+b;③(a+b)和-a-b;④x 2-y 2和x 2+y 2

，其中，有公因式的只有( ).

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

(6)多项式6a 3b 2-3a 2b 2-18a 2b 3

分解因式时，应提取的公因式为 ( )

A.3a 2b

B.3ab 2

C.3a 3b 3

D.3a 2b 2

(7)多项式x 2+x 6

提取公因式后，剩下的因式是( ) A.x 4 B.x 3 C.x 4+1 D.x 3

-1

(8)多项式m 2

(x-2)+m(2-x)分解因式等于( )

A.(x-2)(m 2

-m) B.m(x-2)(m+1) C.m(x-2)(m-1) D.以上都不对

(9)(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的结果( ) A.m 2+4n 2 B.-m 2+4n 2 C.m 2-4n 2 D.-m 2-4n 2

(10)下面各式中，分解因式正确的是( )

A.12xyz-9x 2y 2

=3xyz(4-3xy)

B.3a 2y-3ay+6y=3y(a 2

-a+2)

C.-x 2+xy-xz=-x(x 2

+y-z) D.a 2b+5ab-b=b(a 2

+5a) 3.分解因式

(1)8xy 2-16x 3y 3; (2)-4m 3+16m 2

-26m;

(3)-3ma 3

+6ma 2

-12ma; (4)21ab-2

1 b 2

-(a-b)2

(5)m 2

(p-q)-p+q;

(6)(m+n)(p+q)-(m+n)(p-q);

(7)x(x-y)2

-y(x-y);

https://www.wendangku.net/doc/eb15748382.html, 010-******** 58818068 全品中考网邮箱：canpointzk@https://www.wendangku.net/doc/eb15748382.html, (8)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b); (9)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a); (10)m(n-x)(n-y)-a(x-n)(y-n);

(11)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2

(12)mx(a-b)-nx(b-a);

(13)24a(m-n)2-18(m-n)3

(14)(a-3)2

-(2a-6);

(15)-a(b-a)2-ab(a-b)2+ac(b-a)2

.

素质优化： 1.填空题

(1)5x n+1-20x n +15x n-1

y(n ＞1,n 为整数)的公因式是 .

(2)16a m+2b+12a m+1b 2-8a m b 3=4a m

b( ).

(3)(a-b)n+2-ab(a-b)n

(n 为奇数)＝ .

(4)多项式18x n+1-24x n

的公因式是 ，提出公因式后，另一个公因式是 . 2.选择题

(1)x 2n x n

后，剩下的因式是( ) A.x 2 B.x n C.x 2+1 D.x n +1 (2)下列各式因式分解正确的是( ) A.m 2

-17=(m+4)(m-4)-1

B.x-y+(y-x)2

=(x-y)(1+y-x)

C.(x-y)n =-(y-x)n

(n 为正整数) D.a(x-2)-b(2-x)=(x-2)(a+b) 3.把下列各式分解因式.

(1)(苏州市，2000)ma 2

-4ma-4m;

(2)(四川省，1998)4q(1-p)3-2(p-1)2

(3)-m 2n(x-y)n +mn 2(x-y)n+1

;

(4)a n b 2n -a n b n

;

(5)30x 2n+1-25x 2n +5x n

. 4.利用因式分解计算.

(1)57.6×1.6+57.6×18.4-57.6×20; (2)123×0.45+12.3×6.7-212×1.23; (3)23

53×25-1252×25+85

4

×25; (4)93

-92

-8×92

； (5)19982

+2×1998； (6)7×34+8×33-(-13)×32

5.当x=22.3时，求代数式2.46x+8.72x-1.18x 的值.

创新深化：

1.已知：6x 2

+mx-20可分解因式为(3x+4)(2x-5),求m 的值. 2.已知：a-b-c=4,求

21a(a-b-c)+b 21 c-21a +21 b)+ 2

1

c(b+c-a)的值.

https://www.wendangku.net/doc/eb15748382.html, 010-******** 58818068 全品中考网邮箱：canpointzk@https://www.wendangku.net/doc/eb15748382.html,

3.已知：a+b=-4,ab=2，求多项式4a 2

b+4ab 2

-4a-4b 的值.

4.求证：对于任意整数n,(2n+1)2

-1一定能被8整除.

5.求证：对于自然数n,2n+4-2n

能被30整除.

6.已知：x 2+x-1=0,试求x 3+2x 2

+1999的值.

7.已知：x 1999+y 1999=1，x 2000+y 2000＝１,求x 2001+y 2001

的值.

8.当a=-7，x=4时，求5a 2(x+6)-4a 2

(x+6)的值，请用几种方法解，并比较哪种方法好?

参考答案：

【同步达纲练习】

知识强化 ：

1.(1)整式乘法，因式分解 (2)m,m,a+b+c,提公因式法 (3)①- ②- ③+ ④- ⑤- ⑥+

(4)3xy (5)x+y-1 (6)7b-4b 2+1 (7)x 2-4xy+6y 2

(8)27

4 b 2

(9)1+2x-7y (10)(b-a)(2x-y+z)

(11)3(a-b)2

(12)(m-n) (13)-2ab(2a 2

b-3a+1) (14)a-3b (15)(a-b)(x-y)(a-b+x-y)

2.(1)A (2)C (3)D (4)B (5)B (6)D (7)C (8)C (9)C (10)B

3.(1)8xy 2(1-2x 2y) (2)-2m(2m 2-8m+13) (3)-3ma(a 2

-2a+4)

(4)(a-b)(2

3

b-a) (5)(p-q)(m+1)(m-1) (6)2q(m+n)

(7)(x-y)(x 2

-xy-y) (8)-(2a+b)(a+3b) (9)(x-a)(a-b-c) (10)(x-n)(y-n)(m-a) (11)2xy(x+y) (12)x(a-b)(m+n)

(13)b(m-n)2(4a-3m+3n) (14)(a-3)(a-5) (15)-a(a-b)2

(1+b -c)

素质优化 ：

1.(1)5x n-1 (2)4a 2+3ab-2b 2 (3)(a-b)n (a 2-3ab+b 2

)

(4)6x n ,3x-4 (5)3x m+1,5-4x+9x n

2.(1)B (2)D

3.(1)m(a 2-4a-4) (2)2(p-1)2(-1-2pq+2q) (3)-mn(x-y)n

(m-nx+ny)

(4)a n b n (b n -1) (5)5x n (6x n+1-5x n+1

)

4.(1)0 (2)-123 (3)500 (4)0 (5)3996000 (6)900

5.223

创新深化 ：

1.m=7点拨：将(3x+4)(2x-5)展开，比较对应项系数

2.8

3.-16

4.(2n+1)2

-1=(2n+1+1)(2n+1-1)=2(n+1)·2n=4n(n+1)

∵对于任意整数n,n(n+1)是两个连续整数的积，能被2整除，∴4n(n+1)能被8整除. 5.2n+4-2n =2n (24-1)=15×2n 6.x 3+2x 2+1999=x 3+x 2-x+x 2+x-1+2000=x(x 2+x-1)+x 2+x-1+2000=(x 2

+x-1) (x+1)+2000

∵x2+x-1=0 ∴原式=2000

7.1 8.490

https://www.wendangku.net/doc/eb15748382.html, 010-******** 58818068 全品中考网邮箱：canpointzk@https://www.wendangku.net/doc/eb15748382.html,