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计算题

4.数据的概括性度量

1. 一项关于大学生体重状况的研究发现.男生的平均体重为60kg ,标准差为5kg ;女生的平均体重为50kg ,标准差为5kg 。请回答下面的问题:

(1)是男生的体重差异大还是女生的体重差异大?为什么?

女生,因为标准差一样,而均值男生大,所以,离散系数是男生的小,离散程度是男生的小。 (2)以磅为单位(1ks =2.2lb),求体重的平均数和标准差。 都是各乘以2.21,男生的平均体重为60kg ×2.21=132.6磅,标准差为5kg ×2.21=11.05磅;女生的平均体重为50kg ×2.21=110.5磅,标准差为5kg ×2.21=11.05磅。

(3)粗略地估计一下,男生中有百分之几的人体重在55kg 一65kg 之间? 计算标准分数:

Z1=x x s -=55605

-=-1;Z2=x x s -=6560

5-=1,根据经验规则,男生大约有68%的人体重在55kg 一65kg 之间。

(4)粗略地估计一下,女生中有百分之几的人体重在40kg ~60kg 之间? 计算标准分数:

Z1=x x s -=

40505-=-2;Z2=x x s -=6050

5-=2 ,根据经验规则,女生大约有95%的人体重在40kg 一60kg 之间。

2.一家公司在招收职员时,首先要通过两项能力测试。在A 项测试中,其平均分数是100分,标准差是15分;在B 项测试中,其平均分数是400分,标准差是50分。一位应试者在A 项测试中得了115分,在B 项测试中得了425分。与平均分数相比,该应试者哪一项测试更为理想?

解:应用标准分数来考虑问题,该应试者标准分数高的测试理想。

Z A =x x s -=11510015-=1;Z B =x x s -=425400

50-=0.5

因此,A 项测试结果理想。

计算题

(1)如果比较成年组和幼儿组的身高差异,你会采用什么样的统计量?为什么? 均值不相等,用离散系数衡量身高差异。 (2)

计算题

4. 一种产品需要人工组装,现有三种可供选择的组装方法。为检验哪种方法更好,随机抽取15个工人,让他们分别用三种方法组装。下面是15个工人分别用三种方法在相同的时间内组装的产品数量:

计算题

计算题

要求:

(1)你准备采用什么方法来评价组装方法的优劣? 均值不相等,用离散系数衡量身高差异。

(2)如果让你选择一种方法,你会作出怎样的选择?试说明理由。 解:对比均值和离散系数的方法,选择均值大,离散程度小的。

方法A

方法B 方法C 平均 165.6 平均 128.7333333 平均 125.5333333 标准差 2.131397932 标准差 1.751190072 标准差 2.774029217

离散系数: V A =0.01287076,V B = 0.013603237,V C = 0.022097949 均值A 方法最大,同时A 的离散系数也最小,因此选择A 方法。

555555

计算题

计算题

计算题

66666

计算题

计算题

计算题

77777777

计算题

计算题

计算题

7.参数估计(置信区间)

1、某快餐店对顾客的平均花费进行抽样调查,随机抽取了49名顾客构成一个简单随机样本,调查结果为:样本平均花费为12.6元,标准差为2.8元。试以95.45%的置信水平估计该快餐店顾客的总体平均花费数额的置信区间;(φ(2)=0.9545)

解:

49=n 是大样本,由中心极限定理知,样本均值的极限分布为正态分布,故可用正态分布对总体均值进行区间估计。

已知:8.2,6.12==S x 0455.0=α 则有: 202275

.02

==Z Z α 平均误差=4.07

8

.22==n S

极限误差8.04.022

2

=?==?n

S Z α

据公式

计算题

x x ±=±? 代入数据,得该快餐店顾客的总体平均花费数额95.45%的置信区间为(11.8,13.4)

2.某小区居民共有居民500户,小区管理者准备采用一项新的供水设施,想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户,其中有32户赞成,18户反对。

(1)求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间,置信水平为95.45%(Z α/2=2)

(2)如果小区管理者预计赞成的比例能达到80%,应抽取多少户进行调查?(设边际误差E=0.08)

1题 解:

(1) n = 50 p = 32/50 =64%

计算题

E=

()2

213.58%

计算题

64%13.58%50.42%,77.58%αZ ==±置信区间为即

()()()

2

2

2

2

2

120.80.2

(2)1000.08p p n E

αZ -??==

=

应抽取100户进行调查。

(4)估计的回归方程:

?363.6891 1.420211y

x =+ 回归系数1

? 1.420211β=表示广告费用每增加一个单位,销售量平均增加1.420211个单位。 (5)检验线性关系的显著性:

H 0 :01=β

∵Significance F=2.17E-09<α=0.05

∴拒绝H 0,, 线性关系显著。

3.从一个正态总体中随机抽取样本容量为8的样本,各样本值分别为:10,8,12,15,6,13,5,11。求总体均值95%的置信区间。(已知365.2)18(025.0=-t )。(12分)

解:已知n=8,总体服从正态分布,σ未知,样本抽样分布服从t 分布 365.2)18(025.0=-t 1080

800===

∑n

x x

46.31

)

(2

=--=

∑n x x s

89.28

46

.3365.22

=?==n s t E α

置信下限=10-2.89=7.11

置信上限=10+2.89=12.89

总体均值μ的95%的置信区间为 [7.11,12.89]

4.某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装,每袋标准重量为l00g 。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机

计算题

(1)确定该种食品平均重量的95%的置信区间。

解:大样本,总体方差未知,用z 统计量:

x z =

()0,1N

计算题

样本均值=101.4,样本标准差s=1.829,

1α-=0.95,

2

z α

=

0.025z =1.96

置信区间:

22x z x z αα?

-+

计算题

计算题

? =

101.4 1.96 1.96?

计算题

计算题

-+ ?=(100.89,101.91) (2)如果规定食品重量低于l00g 属于不合格,确定该批食品合格率的95%的置信区间。

计算题

解:总体比率的估计。大样本,总体方差未知,用z 统计量:

z =

()0,1N

样本比率=(50-5)/50=0.9,1α-=0.95,

2

z α

=

0.025z =1.96

计算题

计算题

置信区间:

22p z p z αα? -+ ?

计算题

计算题

=

0.9 1.96 1.96? -+ ?=(0.8168,0.9832)

22

22

()z s n E α=

=22

22.5761000200=166

提出假设:H 0:μ=4.55;H 1:μ≠4.55

构建统计量(正态,小样本,方差已知)

:x z =

=-1.83

计算题

计算题

求临界值:α=0.05,z α

=

0.025z =1.96

决策:因为

2

z z α>-,所有,不拒绝H 0

结论:可以认为现在生产的铁水平均含碳量是4.55

5. 糖厂用自动打包机打包,每包标准重量是100千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重量(单位:千克)如下:

99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5 已知包重服从正态分布,试检验该日打包机工作是否正常(a =0.05)? 解:提出假设:H 0:μ=100;H 1:μ≠100

构建统计量(正态, 小样本,方差未知):

x t

=

-0.055

计算题

计算题

求临界值:当α=0.05,自由度n -1=8时,查表得()

8t α=2.306。

决策:因为t

2

t α,样本统计量落在接受区域,故接受原假设,拒绝备择假设

结论:说明打包机工作正常。

6.某种大量生产的袋装食品,按规定不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取50袋,发现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂,问该批食品能否出厂(a =0.05)? 解:提出假设: H 0:π≤0.05;H 1:π>0.05

计算题

构建统计量:

Z =

=2.271

计算题

求临界值:当α=0.05,查表得

z α=1.645。

决策:因为z>z

,样本统计量落在拒绝区域,故拒绝原假设,接受备择假设

结论:说明该批食品不能出厂。77777

计算题

计算题

8888

计算题

计算题

计算题

9999

计算题

计算题

计算题

11.一元线性回归

1.

计算题

附:

10805

1

2

)

(=∑-=i x x i

8.3925

1

2

)

(=∑-=i y y i 58=x 2.144=y

179005

1

2

=∑=i x i

104361

5

1

2

=∑=i y i

424305

1

=∑=y

x i

i i

解:

① 计算估计的回归方程:

∑∑∑∑∑--=

)(221x x n y x xy n β

==-??-?290

217900572129042430554003060

=0.567

=-=

∑∑n

x

n

y

ββ

1

0144.2 – 0.567×58=111.314

估计的回归方程为:y

=111.314+0.567x

② 计算判定系数:

22

212

2

()0.5671080

0.884392.8

()x x R y y β-?=

==-∑∑

2、某汽车生产商欲了解广告费用x 对销售量y 的影响,收集了过去12年的有关数据。通过计算得到下面的有关

结果:

计算题

计算题

①求A 、B 、C 的值;②销售量的变差中有多少是由于广告费用的变动引起的?

③销售量与广告费用之间的相关系数是多少?④写出估计的回归方程并解释回归系数的实际意义。⑤检验线性关系的显著性 (a =0.05) 解

(1)A=SSR / 1=1422708.6 B=SSE / (n-2)=220158.07/10=22015.807 C=MSR / MSE=1422708.6/22015.807=64.6221 (2)2

1422708.60

86.60%1642866.67

SSR R SST =

==

表明销售量的变差中有88.60%是由于广告费用的变动引起的。

(3)0.93R =

==

计算题

计算题

3.某地区1991—1995年个人消费支出和收入资料如下:(14分)

计算题

要求:(1)计算个人收入与消费支出之间的相关系数,说明两个变量之间的关系强度;

(2)用个人收入作自变量,消费支出作因变量,求出估计的直线回归方程,并解释回归系数的实际意义。 (3)当个人收入为100万元时预测该地区的消费支出为多少?(注:计算结果保留4位小数) 解:某地区1991-1995年个人消费支出和收入资料如下:

计算题

计算题

9872

.0)

345244615)(385301135(345385271125]

)(][)([2

2

2

2

2

2

=-?-??-?=

---=

∑∑∑∑∑∑∑y y n x x n y

x xy n r 8.09872.0>=r ,所以两个变量之间为高度相关。

(2)设估计的值直线回归方程为 x y ∧

+=10ββ

1688.1)

(2

21=--=

∑∑∑∑∑∧

x x n y x xy n β

9976.205

3851688.15

3451

-=?-=-=∑∑∧∧

n

x n

y ββ

∴ x y 1688.19976.20+-=∧

回归系数1.1688说明当个人收入增加1个万元时,消费支出平均增加1.1688万元。

(3

)当100=x 万时,8824.951001688.19976.20y =?+-=∧

13.时间序列(指数平滑法)

计算题

1(18α=0.5时误差均方=3847.31,平滑系数α=0.3时误差均方=5112.92,问用哪一个平滑系数预测更合适?

解:

1099988

2

10988

2(1)(1)(1)(1)(1)0.56600.50.5644(10.5)555.19629.80

F Y F F Y F F Y Y F αααααααα=+-=+-=+-+-=?+??+-?=∴

(2)平滑系数α=0.5时误差均方=3847.31<平滑系数

α=0.3时误差均方=5112.92 用平滑系数α=0.5预测更合适。22222

计算题

计算题

计算题

计算题

14.指数

1.

计算题

计算下列指数:①拉氏加权产量指数;②帕氏单位成本总指数。 解:

① 拉氏加权产量指数

=1

000

00

1.1445.4 1.13530.0 1.08655.2

111.60%45.430.055.2q p q q p q ?+?+?==++∑∑

② 帕氏单位成本总指数=111000

53.633.858.5

100.10%1.1445.4 1.13530.0 1.08655.2q p q q p q

++==?+?+?∑∑

2.

某企业三种产品的出口价及出口量资料如下:

计算题

解:

01

001101

100828010001206596000

(1)121.21%

10080808001206079200

15082140100012065160100

(2)166.77%

100828010001206596000

q p

p q I p q p q I p q

?+?+?====?+?+??+?+?=

=

==?+?+?∑∑∑∑

3.某商场出售三种商品销售资料如下表所示:(14分)

计算题

(4)分析销售量和价格变动对销售额影响的绝对数和相对数。(注:计算结果保留2位小数) 解:某企业三种产品的销售资料如下表所示:

计算题

相对数:商品销售额指数%84.16028500

45840

01

1==

=∑∑q

p q p K pq

绝对数:元)(17340

2850045840001

1=-=-∑∑q p q p (2)价格综合指数%54.11739000

458401

011===

∑∑q p q p

元)

(684039000458401

011=-=-∑∑q p q p (3)相销售量综合指数%84.13628500390000

00

1===∑

∑p q p q 元)(10500

28500390000

001=-=-∑∑p q p q (4)综合分析

160.84%=136.84%*117.54%

17340(元)=10500(元)+3840(元)

从相对数上看:三种商品销售额报告期比基期提高了60.84%,是由于销售价格的提高是销售额提高了17.54%和由于销售量的增加使销售额提高了36.84%两因素共同影响的结果。从绝对值上看,报告期比基期多销售17340元,由于销售价格的提高而使销售额增加6840元和由于销售量的提高是销售额增加10500元两因素共同影响的结果

2.已知某企业连续5年钢产量资料如下:

计算题

试根据上表资料填出表中数字。(注意没有的数字划“—”,不准有空格)(10分)

2.已知某企业连续五年钢产量资料如下:

计算题

4.某公司三种产品的有关资料如下表,试问三种产品产量平均增长了多少,产量增长对产值有什么影响?

产品名称个体产量指数基期产值(万元)报告期产值(万元)甲乙丙1.25 1.10 1.50 100 100 60 120 115 85