人教版九年级数学上册：第二十一章 二次根式
*人教版九年级数学上册：第二十一章二次根式
最新初中数学二次根式真题汇编及答案
最新初中数学二次根式真题汇编及答案 一、选择题 1．下列各式中，是最简二次根式的是( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答. 【详解】 （1）A被开方数含分母，错误. (2)B满足条件，正确. (3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误. (4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误. 所以答案选B. 【点睛】 本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键. 2．a的值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． x=-时，二次根m等于（） 3．当3 A B． C D 2 【答案】B 【解析】
解：把x=﹣3代入二次根式得，原式=，依题意得： 2 =．故选B． 4．已知n是整数，则n的最小值是（）． A．3 B．5 C．15 D．25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：= Q也是整数， ∴n的最小正整数值是15，故选C． 5．下列各式计算正确的是( ) A．2＋b＝2b B=C．(2a2)3＝8a5D．a6÷ a4＝a2【答案】D 【解析】 解：A．2与b不是同类项，不能合并，故错误； B不是同类二次根式，不能合并，故错误； C．（2a2）3=8a6，故错误； D．正确． 故选D． 6．若x、y4 y=，则xy的值为() A．0 B．1 2 C．2 D．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x?1?0且1?2x?0， 解得x?1 2 且x? 1 2 ， ∴x=1 2 ， y=4， ∴xy=1 2 ×4=2. 故答案为C.
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a
（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元
初中数学二次根式经典测试题
初中数学二次根式经典测试题 一、选择题 1．5 x+有意义，那么x的取值范围是（） A．x≥5B．x>-5 C．x≥-5 D．x≤-5 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】 Q式子5 x+有意义， ∴x+5≥0，解得x≥-5. 故答案选：C. 【点睛】 本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 2．二次根式2 a+在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 a＋在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；分析已知和所求，要使二次根式2 易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 a＋在实数范围内有意义， 解：∵二次根式2 ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．下列计算正确的是（） A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
解：A、B与不能合并，所以A、B选项错误； C、原式= ×=，所以C选项错误； D、原式==3，所以D选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．下列式子为最简二次根式的是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：选项A，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A符合题意；选项B，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B不符合题意； 选项C，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C不符合题意； 选项D，被开方数含分母， D不符合题意， 故选A． 5．2 (21)12 a a -=-，则a的取值范围是（） A． 1 2 a≥B． 1 2 a>C． 1 2 a≤D．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 2 (21) a-=|2a-1|，则|2a-1|=1-2a，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可． 【详解】 2 (21) a-=|2a-1|， ∴|2a-1|=1-2a， ∴2a-1≤0， ∴ 1 2 a≤． 故选：C．
八年级初二数学 数学二次根式试题及解析
八年级初二数学 数学二次根式试题及解析 一、选择题 1．计算3 2782 -?的结果是（ ） A ．3 B ．3- C ．23 D ．53 2．下列计算正确的是（ ） A ．235+= B ．422-= C ．8＝42 D ．236?= 3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ． 1.5 B ． 13 C ．10 D ．27 4．下列各式计算正确的是（ ） A ． 1 222 = B ．362÷= C ．2(3)3= D ．222()-=- 5．下列式子一定是二次根式的是 ( ) A ．2a B ．－a C ．3a D ．a 6．给出下列结论：①101+在3和4之间；②1x +中x 的取值范围是1x ≥-；③81的平方根是3；④31255--=-；⑤515 28 ->．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．已知1200722007n n x ?=?- ??? ，n 是大于1的自然数，那么()21n x x -+的值是 （ ）. A ． 1 2007 B ．1 2007 - C ．() 1 12007 n - D ．() 1 12007 n -- 8．如图直线a ，b 都与直线m 垂直，垂足分别为M 、N ，MN ＝1，等腰直角△ABC 的斜边，AB 在直线m 上，AB ＝2，且点B 位于点M 处，将等腰直角△ABC 沿直线m 向右平移，直到点A 与点N 重合为止，记点B 平移平移的距离为x ，等腰直角△ABC 的边位于直线a ，b 之间部分的长度和为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）
A ． B ． C ． D ． 9．下列各式计算正确的是（ ） A ．235+= B ．2 236=（） C ．824+= D ．236?= 10．若75与最简二次根式1m +是同类二次根式，则m 的值为（ ） A ．7 B ．11 C ．2 D ．1 11．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A ．1- B ．4x C ．24a - D ．2a 12．下列计算正确的是（ ） A ．234265+= B ．842= C ．2733 ÷= D ．2(3)3-=- 二、填空题 13．已知a ，b 是正整数，且满足1515 2()a b +是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对． 14．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……． ⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为 234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值； ⑵根据以上规律写出n a 的表达式．
人教版九年级数学上册知识点总结
人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方
根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号 右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，
九年级数学二次根式单元测试题
第十六章 二次根式单元测试 B 卷 学号： 名字： 一、 选择题（每题3分，共42分） 1、下列各式一定是二次根式的是 ( ) A 7- B x 2 C 22y x + D 36 2、下列根式中属最简二次根式的是 （ ） 3、下列计算正确的是 ( ) A.532=+ B. 2333=- C. 23222=+ D.224=- 4、下列计算 错误．． 的是 ( ) == D. 2221= 5.化简()25-的结果是（ ） A 5 B -5 C 士5 D 25 6.5 5,51 ==b a ，则（ ） A a ,b 互为相反数 B a,b 互为倒数 C 5=ab D a =b 7、下列计算中，不正确的是 （ ）。 A 、3= 2)3( B 、 0.5=2)5.0( C 、6.06.02= D 、35)75(2= 8.二次根式6)2(2?-的计算结果是（ ） A ．26 B ．-26 C ．6 D ．12 9.的结果是（ ）． A ．27 B ．27 C D ．7
10．下列各式的计算中，成立的是( ) (A)5252=+ (B)15354=- (C)y x y x +=+22 (D)52045=- 11.化简 ）． A B C ． D ． 12（y>0）是二次根式，那么化为最简二次根式是（ ）． A （y>0） B y>0） C （y>0） D ．以上都不对 13．在下列各式中，化简正确的是（ ） A ±12 C a 14 的结果是（ ）． A ．- 3 B ．．-3． 二、 填空题（（每题4分，共16分） 15、实数在数轴上的位置如图示， 化简 |a-1|+=-2)2(a 。 16、写出一个无理数，使它与2的积为有理数： 。 17、已知：===24,3,2表示、试用b a b a 。 18、已知： ,5 14513,413412,312311=+=+=+ 当1≥n 时，第n 个等式可表示为 。
新初中数学二次根式经典测试题及答案解析
新初中数学二次根式经典测试题及答案解析 一、选择题 1．下列计算正确的是( ) A ．3= B = C ．1= D 2= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得． 【详解】 A 、=，错误； B C 、22 =?= D 2= =，正确； 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则． 2．已知352x x -+-=的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4，故选A. 3．x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x ≥1 C ．x ≤﹣1 D ．x ＜﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件判断即可． 【详解】 解：由题意得，x ﹣1≥0，
解得，x≥1， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握是关键. 4．下列运算正确的是（） A． B ）2=2 C D ==3﹣2=1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可.【详解】 根据二次根式的加减，可知 A选项错误； 根据二次根式的性质2=a（a≥0 2=2，所以B选项正确； (0) =0(=0) (0) a a a a a a ? ? =? ?- ? ＞ ＜ ﹣11|=11，所以C选项错误； D D选项错误． 故选B． 【点睛】 此题主要考查了的二次根式的性质2=a（a≥0 (0) =0(=0) (0) a a a a a a ? ? =? ?- ? ＞ ＜ ，正确利用性质和运算法则计算是解题关键. 5．下列运算正确的是（） A． 12 33 x x -=B．() 326 a a a ?-=- C ．1)4 =D．()4 2 2 a a -= 【答案】C 【解析】 【分析】 根据合并同类项，单项式相乘，平方差公式和幂的乘方法进行判断. 【详解】
人教版九年级上册数学知识点总结
人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）） （4）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （5）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。
新人教版数学八年级下册二次根式基础专项练习
新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 2．下列式子是二次根式的有（） ①；②（a≥0）；③（m，n同号且n≠0）；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列根式中，属于最简二次根式的是（） A． B．C．D． 二、二次根式有意义的条件 4．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 5．已知y=，则的值为（） A．B．﹣ C．D．﹣ 6．若式子﹣+1有意义，则x的取值范围是（） A．x≥B．x≤C．x= D．以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7．下列运算正确的是（） A．B． C．D． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a 9．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 四、最简二次根式
10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B．C． D． 11．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④ 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A．B．C．（a＞0）D． 五、二次根式的乘除法 13．计算2×÷的结果是（） A．B．C．D．2 14．下列运算正确的是（） A．a+a=a2B．a2?2a3=2a6C．÷=3 D．（﹣ab3）2=a2b6 15．下列计算正确的是（） ①=?=6；②=?=6 ③=?=3；④=?=1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 六、分母有理化 16．﹣1的倒数为（） A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1 17．a=，b=，则a+b﹣ab的值是（） A．3 B．4 C．5 D． 七、同类二次根式 18．下列根式中，与为同类二次根式的是（） A．B．C．D． 19．下列二次根式中，能与合并的是（） A． B． C．D． 20．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
初中数学二次根式习题及答案
二次根式 1． 3 123 113 114 4 + + - + + 的值是（ ） （A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2 2、已知82 12 1=+- x x ，则x x 1 2+= 3．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ， x ，y 是两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是（ ）（A ）3（B)31（C ）2（D ）35 4．已知：)19911991(2 1 1 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （ ）（Ａ）11991-；（Ｂ）1 1991--； （Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）1 1991 )1(--n ． 5．若01132=+-x x ,则4 4-+x x 的个位数字是( )(A)1(B)3(C)5(D)7. 6．若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________. 7．1333 3)9 19294(3-+-可以化简成( ) (A))12(333+ (B))12(333- (C)123- (D)123+ 8．若0 八年级数学下册二次根式定义练习题 一、选择题 1．要使式子x -1有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x≤1 B.x≥1 C.x ＞0 D.x ＞﹣1 2、下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A.2 x B.8 C.2x D.12+x 4x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．2x ≥- C ．2x ≥ D ．2x ≤ 5、若式子34x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.43x ≥ B. 43x> C. 34x ≥ D. 34 x> 6. 如果代数式有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠1 C ．x ＞0 D ．x≥0且x≠1 7 =成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥ 8、在函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ） A.x ≥﹣2且x ≠0 B.x ≤2且x ≠0 C.x ≠0 D.x ≤﹣2 9、求使下列各式有意义的x 的取值范围？ （1）2+x －x 23- （2）x -－ 11+x (3) 1y x = - （4）2||12--x x 一、选择题 1．下列式子成立的是（ ） A ．33 1= B ．2332=- C ．332=-）（ D.（3）2=6 2．化简8的结果是（ ） A ．2 B ．4 C ．22 D ．±22 3．化简27 23-的结果是（ ） A ．32- B ．32- C ．36- D ．2- 412a =-，则（ ） A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12 5、已知y 3，则2xy 的值为（ ） A ．15- B ．15 C ．152- D ． 152 6＜0)得（ ） A B C D 7、设实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简 2a +|a +b |的结果是（ ） A.-2a +b B.2a +b C.-b D. b 8、若+|2a ﹣b+1|=0，则(b ﹣a)2015=（ ） A.﹣1 B.1 C.5 2015 D.﹣520159 2020-2021初中数学二次根式解析含答案 一、选择题 1．下列计算正确的是() A．4333 -=B．235 +=C． 1 21 2 =D．822 ÷= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得．【详解】 A、43333 -=，错误； B、2、3不是同类二次根式，不能合并，错误； C、 12 222 22 =?=，错误； D、8242 ÷==，正确； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则． 2．下列计算正确的是（） A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】 解：A、B与不能合并，所以A、B选项错误； C、原式= ×=，所以C选项错误； D、原式==3，所以D选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3．下列各式中计算正确的是（） A += B ．2+= C = D 2= 【答案】C 【解析】 【分析】 结合选项，分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算，选出正确答案． 【详解】 解：不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B.2 = ，原式计算错误，故本选项错误． 故选：C. 【点睛】 本题考查二次根式的加减法和乘除法，在进行此类运算时，掌握运算法则是解题的关键． 4．下列各式计算正确的是（ ） A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式，所以B 选项错误； C 、原式C 选项错误； D 、原式54==-，所以D 选项正确． 故选：D ． 二次根式 1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。 2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。 如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如 3、 分母≠0 4、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0） 一、 二次根式的概念 一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 ★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数 为2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。如2 5 可以写作 5 。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。其中a ≥0是 a 有意 义的前提条件。 （4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。 （5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。要注意当b 是分 数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 2 3 2 。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ； （2）-18 ； （3）x 2+1 ； （4）3 -8 ； （5）x 2 +2x+1 ； （6）3｜x ｜ ； （7）1+2x （x ＜- 1 2 ） 二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？ （1）2-5x ； （2）4x 2+4x+1 二、二次根式的性质： 练习：计算（1）（3 5 ）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) （4）- （- 18 ）2 （6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3） ★（ a ）2（a ≥0）与a 2 的区别与联系： 初中数学二次根式真题汇编及答案 一、选择题 1．已知25523y x x =-+--，则2xy 的值为（ ） A ．15- B ．15 C ．152- D ．152 【答案】A 【解析】 试题解析：由25523y x x =-+--，得 250{520 x x -≥-≥， 解得 2.5 {3x y ==-． 2xy =2×2.5×（-3）=-15， 故选A ． 2．计算() 2232?-的结果在（ ）之间． A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和5 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算出24的范围，再求出答案即可． 【详解】 ()2232262242?-=-=- ∵4245< < ∴22423<-< ∴()2232?-的结果在2和3之间 故选：B 【点睛】 本题考查了无理数大小的估算，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．考查了二次根式的混合运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的． 3．下列计算正确的是（ ） A ．+= B ．﹣=﹣1 C ．×=6 D ．÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；根据二次根式的除法法则对D 进行判断． 【详解】 解：A 、B 与不能合并，所以A 、B 选项错误； C 、原式= ×=，所以C 选项错误； D 、原式= =3，所以D 选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．38a -172a -a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a ， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 5．已知352x x -+-=()()2215x x --的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5()()2215x x --=x-1+5-x=4，故选 A. 6．下列计算结果正确的是( ) A ()23-3 《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥02=a（a≥0（a≥0）． （3（a≥0，b≥0； a≥0，b>0a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1a≥0a≥0）2＝a（a≥0）； （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0） 二次根式的概念及性质 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （1）面积为3的正方形的边长为__________，面积为S 的正方形的边长为___________。 （2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为___________。 （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时离地面的高度h （单位：m ）满足关系：h=52 t 。如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为____________。 【知识梳理1】二次根式的概念 形如_____（a≥0）的式子叫做二次根式， 叫做 。 注：（1）二次根式的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“ ”，如：2、 3 2 等都是二次根式。尽管9的结果为3，但由于9满足二次根式的特征，所以9是二次根式； （2）二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0，如 21x ﹣－，由于被开方数小于0，所以它不是二次根式； （3）根指数是2，这里的2可以省略不写，如37不是二次根式，因为它的根指数不是2； 形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积，当b 是带分数或小数时，要写成假分数的形式，如352不能写成1 152 的形式。 【例题精讲】二次根式的定义 例1. 在式子()12,02,1,42 2 2 3+-<--+x x x x a y x ，，4，x 中，是二次根式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 【试一试】 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、12+a 2. 在、、、、中是二次根式的个数有______个。 【知识梳理2】二次根式有意义的条件 要使二次根式a 有意义，则 ≥0。 根据具体的情况可分类讨论如下： a 2a b 1x +2 1x +3 人教版初中数学二次根式解析 一、选择题 1．下列计算正确的是( ) A ．3= B = C ．1= D 2= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得． 【详解】 A 、=，错误； B C 、22 =?= D 2= =，正确； 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则． 2．在下列算式中：= ②=； ③42 ==；=，其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案. 【详解】 ①错误； =②正确； 222 ==，故③错误； ==④正确； 故选：B. 【点睛】 本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题. 3．x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x ≥1 C ．x ≤﹣1 D ．x ＜﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件判断即可． 【详解】 解：由题意得，x ﹣1≥0， 解得，x ≥1， 故选：B ． 【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握是关键. 4．下列计算结果正确的是( ) A 3 B ±6 C D ．3＋＝【答案】A 【解析】 【分析】 原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【详解】 A 、原式=|-3|=3，正确； B 、原式=6，错误； C 、原式不能合并，错误； D 、原式不能合并，错误． 故选A ． 【点睛】 考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．若代数式 1x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x ≠ B ．3x ＞-且1x ≠ C ．3x ≥- D ．3x ≥-且1x ≠ 第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即53 22要写成 53 8 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2 a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0, b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式：ax 2 +bx+c=0(a ≠0),其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x 2 =p 或（mx+n ）2 =p(p ≥0)的形式，那么可得x=p ± 或mx+n=p ± （2） 配方法：步骤：第一步，把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常 数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式，即（x-k ）2 =h(h ≥0)；第五步，用直接开平方法解方程。 （3） 公式法：Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ＞0时，方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个相 初中数学二次根式经典测试题及解析 一、选择题 1．a 的取值范围为()n n A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不存在 【答案】C 【解析】 试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． 所以a=0．故选C ． 2．已知352x x -+-=的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4，故选A. 3．已知实数a 满足2006a a -=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0， ∴a ≥2007， ∴2006a a -=可化为a 2006a -+=， 2006=， ∴a-2007=20062， ∴22006a -=2007． 故选C ． 【点睛】 本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件，求出a 的取值范围是解答本题的关键． 4．下列计算中，正确的是( ) A ．= B 1b =(a ＞0，b ＞0) C = D ． =【答案】B 【解析】 【分析】 a≥0，b≥0 a≥0，b ＞0）进行计算即可． 【详解】 A 、 B 1b （a ＞0，b ＞0），故原题计算正确； C ，故原题计算错误； D 32 故选：B ． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是掌握计算法则． 5．若x 、y 4y =，则xy 的值为( ) A ．0 B ．12 C ．2 D ．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x ?1?0且1?2x ?0， 解得x ? 12且x ?12， ∴x =12 ， 第二十三章旋转 23.1 图形的旋转（1） 教学内容 1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 教学目标 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题． 1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用． 2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）?的对称图形并口述它既有的一些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？?从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．?如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）3．第1、2两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫八年级数学下册二次根式定义练习题
2020-2021初中数学二次根式解析含答案
八年级下册数学--二次根式知识点整理讲解学习
初中数学二次根式真题汇编及答案
新人教版九年级上册数学全册教案
八年级数学二次根式的概念和性质
人教版初中数学二次根式解析
人教版九年级上册数学公式汇总
初中数学二次根式经典测试题及解析
人教版九年级上册数学全册教案