旅行商售货员问题的分支限界算法
旅行商售货员问题的分支限界算法
姓名：学号：
一、实验目的与要求
1、掌握旅行商售货员问题的分支限界算法；
2、区分分支限界算法与回溯算法的区别，加深对分支限界法的理解。
二、实验题：
编程实现：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程(或旅费)。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程(或总旅费)最小。
三、实验提示
旅行商问题的解空间是一个排列树。有两种实现的方法。第一种是只使用一个优先队列，队列中的每个元素中都包含到达根的路径。另一种是保留一个部分解空间树和一个优先队列，优先队列中的元素并不包含到达根的路径。以下为第一种方法。
由于我们要寻找的是最小耗费的旅行路径，因此可以使用最小耗费分枝定界法。在实现过程中，使用一个最小优先队列来记录活节点，队列中每个节点的类型为MinHeapNode。每个节点包括如下区域： x（从1到n的整数排列，其中x[0] = 1 ），s（一个整数，使得从排列树的根节点到当前节点的路径定义了旅行路径的前缀x[0:s], 而剩余待访问的节点是x [s + 1 : n - 1 ]），cc（旅行路径前缀，即解空间树中从根节点到当前节点的耗费），lcost （该节点子树中任意叶节点中的最小耗费）， rcost（从顶点x[s : n - 1]出发的所有边的最小耗费之和）。当类型为MinHeapNode( T )的数据被转换成为类型T时，其结果即为lcost 的值。
代码：
#include
#include
using namespace std;
//---------------------宏定义------------------------------------------
#define MAX_CITY_NUMBER 10 //城市最大数目
#define MAX_COST 10000000 //两个城市之间费用的最大值
//---------------------全局变量----------------------------------------
int City_Graph[MAX_CITY_NUMBER][MAX_CITY_NUMBER];
//表示城市间边权重的数组
int City_Size; //表示实际输入的城市数目
int Best_Cost; //最小费用
int Best_Cost_Path[MAX_CITY_NUMBER];
//最小费用时的路径
//------------------------定义结点--------------------------------------- typedef struct Node{
int lcost; //优先级
int cc; //当前费用
int rcost; //剩余所有结点的最小出边费用的和
int s; //当前结点的深度，也就是它在解数组中的索引位置
int x[MAX_CITY_NUMBER]; //当前结点对应的路径
struct Node* pNext; //指向下一个结点
}Node;
//---------------------定义堆和相关对操作-------------------------------- typedef struct MiniHeap{
Node* pHead; //堆的头
}MiniHeap;
//初始化
void InitMiniHeap(MiniHeap* pMiniHeap){
pMiniHeap->pHead = new Node;
pMiniHeap->pHead->pNext = NULL;
}
//入堆
void put(MiniHeap* pMiniHeap,Node node){
Node* next;
Node* pre;
Node* pinnode = new Node; //将传进来的结点信息copy一份保存
//这样在函数外部对node的修改就不会影响到堆了
pinnode->cc = https://www.wendangku.net/doc/eb15850765.html,;
pinnode->lcost = node.lcost;
pinnode->pNext = node.pNext;
pinnode->rcost = node.rcost;
pinnode->s = node.s;
pinnode->pNext = NULL;
for(int k=0;k pinnode->x[k] = node.x[k]; } pre = pMiniHeap->pHead; next = pMiniHeap->pHead->pNext; if(next == NULL){ pMiniHeap->pHead->pNext = pinnode; } else{ while(next != NULL){ if((next->lcost) > (pinnode->lcost)){ //发现一个优先级大的，则置于其前面 pinnode->pNext = pre->pNext; pre->pNext = pinnode; break; //跳出 } pre = next; next = next->pNext; } pre->pNext = pinnode; //放在末尾 } } //出堆 Node* RemoveMiniHeap(MiniHeap* pMiniHeap){ Node* pnode = NULL; if(pMiniHeap->pHead->pNext != NULL){ pnode = pMiniHeap->pHead->pNext; pMiniHeap->pHead->pNext = pMiniHeap->pHead->pNext->pNext; } return pnode; } //---------------------分支限界法找最优解-------------------------------- void Traveler(){ int i,j; int temp_x[MAX_CITY_NUMBER]; Node* pNode = NULL; int miniSum; //所有结点最小出边的费用和 int miniOut[MAX_CITY_NUMBER]; //保存每个结点的最小出边的索引 MiniHeap* heap = new MiniHeap; //分配堆 InitMiniHeap(heap); //初始化堆 miniSum = 0; for (i=0;i miniOut[i] = MAX_COST; //初始化时每一个结点都不可达 for(j=0;j if (City_Graph[i][j]>0 && City_Graph[i][j] //从i到j可达，且更小 miniOut[i] = City_Graph[i][j]; } } if (miniOut[i] == MAX_COST){// i 城市没有出边 Best_Cost = -1; return ; } miniSum += miniOut[i]; } for(i=0;i } Best_Cost = MAX_COST; //初始化的最优费用是一个很大的数 pNode = new Node; //初始化第一个结点并入堆 pNode->lcost = 0; //当前结点的优先权为0 也就是最优 pNode->cc = 0; //当前费用为0（还没有开始旅行） pNode->rcost = miniSum; //剩余所有结点的最小出边费用和就是初始化的miniSum pNode->s = 0; //层次为0 pNode->pNext = NULL; for(int k=0;k pNode->x[k] = Best_Cost_Path[k]; //第一个结点所保存的路径也就是初始 化的路径 } put(heap,*pNode); //入堆 while(pNode != NULL && (pNode->s) < City_Size-1){ //堆不空不是叶子 for(int k=0;k Best_Cost_Path[k] = pNode->x[k] ; //将最优路径置换为当前结点本 身所保存的 } /* * * pNode 结点保存的路径中的含有这条路径上所有结点的索引 * * x路径中保存的这一层结点的编号就是x[City_Size-2] * * 下一层结点的编号就是x[City_Size-1] */ if ((pNode->s) == City_Size-2){ //是叶子的父亲 int edge1 = City_Graph[(pNode->x)[City_Size-2]][(pNode->x)[City_Size-1]]; int edge2 = City_Graph[(pNode->x)[City_Size-1]][(pNode->x)[0]]; if(edge1 >= 0 && edge2 >= 0 && (pNode->cc+edge1+edge2) < Best_Cost){ //edge1 -1 表示不可达 // 叶子可达起点费用更低 Best_Cost = pNode->cc + edge1+edge2; pNode->cc = Best_Cost; pNode->lcost = Best_Cost; // 优先权为 Best_Cost pNode->s++; //到达叶子层 } } else{ //内部结 点 for (i=pNode->s;i 层 if(City_Graph[pNode->x[pNode->s]][pNode->x[i]] >= 0){ //可达 //pNode的层数就是它在最优路径中的位置 int temp_cc = pNode->cc+City_Graph[pNode->x[pNode->s]][pNode->x[i]]; int temp_rcost = pNode->rcost-miniOut[pNode->x[pNode->s]]; //下一个结点的剩余 最小出边费用和 //等于当前结点的rcost减去当前这个结点的最小出边费用 if (temp_cc+temp_rcost 出边费用和小于当前的最优解，说明可能存在更优解 for (j=0;j 便下面修改 temp_x[j]=Best_Cost_Path[j]; } temp_x[pNode->x[pNode->s+1]] = Best_Cost_Path[i]; //将当前结点的编号 放入路径的深度为s+1的地方 temp_x[i] = Best_Cost_Path[pNode->s+1]; //?????????????? //将原路//径中的深 度为s+1的结点编号放入当前路径的 //相当于将原路径中 的的深度为i的结点与深度W为s+1的结点交换 Node* pNextNode = new Node; pNextNode->cc = temp_cc; pNextNode->lcost = temp_cc+temp_rcost; pNextNode->rcost = temp_rcost; pNextNode->s = pNode->s+1; pNextNode->pNext = NULL; for(int k=0;k pNextNode->x[k] = temp_x[k]; } put(heap,*pNextNode); delete pNextNode; } } } } pNode = RemoveMiniHeap(heap); } } int main(){ int i,j; printf("请输入旅行的节点数"); scanf("%d",&City_Size); for(i=0;i printf("请分别输入每个节点与其它节点的路程花费"); for(j=0;j scanf("%d",&City_Graph[i][j]); } } Traveler(); printf("最小花费""%d\n",Best_Cost); return 1; } 运行结果： 分支限界法类似于回溯法，也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法。但在一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出T中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。 由于求解目标不同，导致分支限界法与回溯法在解空间树T上的搜索方式也不相同。回溯法以深度优先的方式搜索解空间树T，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树T。分支限界法的搜索策略是：在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点（分支），然后再从当前的活结点表中选择下一个扩展对点。为了有效地选择下一扩展结点，以加速搜索的进程，在每一活结点处，计算一个函数值（限界），并根据这些已计算出的函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。问题的解空间树是表示问题解空间的一棵有序树，常见的有子集树和排列树。在搜索问题的解空间树时，分支限界法与回溯法对当前扩展结点所使用的扩展方式不同。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，那些导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被子加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所求的解或活结点表为空时为止。 有一些问题其实无论用回溯法还是分支限界法都可以得到很好的解决，但是另外一些则不然。n后问题比较适合采用回溯法解决，布线问题比较适合采用分支限界法解决，0-1背包问题既可以采用回溯法也可以采用分支限界法解决。 分支限界法的研究与应用 摘要： 分支限界法与回溯法的不同:首先,回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。其次，回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则一般以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。再者，回溯法空间效率高；分支限界法往往更“快”。 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 常见的分支限界法有：队列式分支限界法，按照队列先进先出原则选取下一个结点为扩展结点。栈式分支限界法，按照栈后进先出原则选取下一个结点为扩展结点。优先队列式分支限界法，按照规定的结点费用最小原则选取下一个结点为扩展结点（最采用优先队列实现）。 分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。所谓分支是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。 关键词： 分支限界法回溯法广度优先分支搜索法 目录 第1章绪论 (3) 1.1 分支限界法的背景知识 (3) 1.2 分支限界法的前景意义 (3) 第2章分支限界法的理论知识.................. 错误!未定义书签。 2.1 问题的解空间树 ............................................... 错误!未定义书签。 2.2 分支限界法的一般性描述 (6) 第3章作业分配问题 (7) 3.1 问题描述 (7) 3.2 问题分析 (7) 3.3 算法设计 (8) 3.4 算法实现 (10) 3.5 测试结果与分析 (12) 第4章结论 (13) 参考文献 (14) 分支限界法求解背包问题 /*此程序实现，分支限界法求解背包问题，分支限界法是根据上界=当前背包的价值+背包 剩余载重* （剩余物品最大价值/质量）*/ 分支r 10 I 分S： 104 1.200060' 6 2.i/eeoe #i nclude #include 旅行商问题（ＴｒａｖｅｌｉｎｇＳａｌｅｓｍａｎＰｒｏｂｌｅｍ，简称ＴＳＰ）是一个著名的组合优化问题：给定ｎ个城市，有一个旅行商从某一城市出发，访问每个城市各一次后再回到原出发城市，要求找出的巡回路径最短。如果用图论来描述，那就是已知带权图Ｇ＝ （Ｃ，Ｌ），寻出总权值最小的Ｈａｍｉｌｔｏｎ圈。其中Ｃ＝｛ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ｝表示ｎ个城市的集合，Ｌ＝｛ｌｉｊ｜ｃｉ，ｃｊ∈Ｃ｝是集合Ｃ中元素（城市）两两连接的集合，每一条边ｌｉｊ，都存在与之对应的权值ｄｉｊ，实际应用中ｄｉｊ可以表示距离、费用、时间、油量等。 ＴＳＰ的描述虽然简单， 解决起来却很困难。最简单思路是用穷举法把所有可能的巡回路径全部列出来，最短的一个就是最优解，但这样只能处理很小规模的问题。旅行商问题属于 ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ问题， 是ＮＰ（ｎｏｎ－ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃｐｏｌｙ－ｎｏｍｉｎａｌ）问题中最难的一类，不能在多项式时间内求解。如果有ｎ座城市，那么巡游路径共有（ｎ－１）！／２条，计算的时间和（ｎ－１）！成正比。当 城市数ｎ＝２０，巡回路径有１．２×１０１８种，ｎ＝１００， 巡回路径就有多达４．６×１０１５５种，而据估计宇宙中基本粒子数“仅仅只有”１０８７个。 尽管如此，随着算法研究的逐步深入和计算机技术飞速提高，对ＴＳＰ问题的研究不断取得进展。７０年来，被征服的ＴＳＰ规模从几十个城市增加到上万个城市。目前的最高记录是在２００４年５月，找到的巡游瑞典２４９７８个城镇的最优路径 （ｓｗ２４９７８）， 花费了８４．８个ＣＰＵ年。图１展示了ＴＳＰ的研究进展，最近的二三十年时间里，被攻克的ＴＳＰ规模高速增长，差不多是每十年增加一个数量级。照这样发展下去的话，再过２０年就能解决上百万个城市的ＴＳＰ，有专家甚至已经为此准备好了数据：全球１９０，４７１１个城市的坐标。当然，能不能达到这 个目标，有赖于未来计算技术的发展。 图１ＴＳＰ的发展 字母后面的数字表示城市数，“ｓｗ２４９７８”就是瑞典的 ２４９７８个城镇。 一、应用 旅行商问题具有重要的实际意义和工程背景。它一开始 是为交通运输而提出的，比如飞机航线安排、送邮件、快递服务、设计校车行进路线等等。实际上其应用范围扩展到了许多其他领域，下面举几个实例。 印制电路板转孔是ＴＳＰ应用的经典例子，在一块电路板上打成百上千个孔，转头在这些孔之间移动，相当于对所有的孔进行一次巡游。把这个问题转化为ＴＳＰ，孔相当于城市，孔到孔之间的移动时间就是距离。 为了避免大气干扰，使光学系统达到其衍射极限分辨率，欧美发达国家提出发展空间光干涉仪和综合孔径望远镜的计划。美国航空航天局有一个卫星群组成空间天文台（Ｓｐａｃｅ－ｂａｓｅｄＯｂｓｅｒｖａｔｏｒｉｅｓ）的计划， 用来探测宇宙起源和外星智慧生命。欧洲空间局也有类似的Ｄａｒｗｉｎ计划。对天体成像的时候，需要对两颗卫星的位置进行调整，如何控制卫星，使消耗的燃料最少，可以用ＴＳＰ来求解。这里把天体看作城市，距离就是卫星移动消耗的燃料。 美国国家卫生协会在人类基因排序工作中用ＴＳＰ方法绘制放射性杂交图。把ＤＮＡ片断作为城市，它们之间的相似程度作为城市间的距离。法国科学家已经用这种办法作出了老鼠的放射性杂交图。 此外，旅行商问题还有电缆和光缆布线、晶体结构分析、数据串聚类等多种用途。更重要的是，它提供了一个研究组合优化问题的理想平台。很多组合优化问题，比如背包问题、分配问题、车间调度问题，和ＴＳＰ同属ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ类，它们都是同等难度的，如果其中一个能用多项式确定性算法解决，那么其他所有的ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ类问题也能用多项式确定性算法解决。很多方法本来是从ＴＳＰ发展起来的，后来推广到其他ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ类问题上去。 二、ＴＳＰ求解方法 求解旅行商问题的方法可以分为两大类，一类是精确算法，目的是要找到理论最优解；另一类是近似算法，不强求最优解，只要找到“足够好”的满意解就可以了。 （一）精确算法 如前面所述，穷举法和全局搜索算法属于精确算法，但 旅行商问题概述 郭靖扬 （电子科技大学光电信息学院， 四川成都６１００５４） 【摘要】旅行商问题是组合优化的经典问题，应用广泛，而且长期以来被作为ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ问题的理想研究平台。文章介绍 了旅行商问题的基础知识、应用，以及常用的求解方法。 【关键词】旅行商问题；组合优化；ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ；ｋ－ｏｐｔ；智能算法【中图分类号】ＴＰ１８２【文献标识码】Ａ【文章编号】１００８－１１５１（２００６）０８－０２２９－０２大众科技 ＤＡＺＨＯＮＧＫＥＪＩ２００６年第８期（总第９４期） Ｎｏ．８，２００６ （ＣｕｍｕｌａｔｉｖｅｌｙＮｏ．９４） 【收稿日期】２００６－０３－１８【作者简介】郭靖扬（１９８０－），四川宜宾人，电子科技大学光电信息学院硕士研究生。 ２２９－－ 回溯法与分支限界法的分析与比较 摘要：通过对回溯法与分支限界法的简要介绍，进一步分析和比较这两种算法在求解问题时的差异，并通过具体的应用来说明两种算法的应用场景及侧重点。 关键词：回溯法分支限界法n后问题布线问题 1、引言 1.1回溯法 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。这种以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法。 1.2分支限界法 分支限界法是以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树，在每一个活结点处，计算一个函数值，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解，这种方法称为分支限界法。 2、回溯法的基本思想 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少应包含问题的一个解。之后还应将解空间很好的组织起来，使得能用回溯法方便的搜索整个解空间。在组织解空间时常用到两种典型的解空间树，即子集树和排列树。确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点出发，以深度优先方式搜索整个解空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法以这种工作方式递归的在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。 3、分支限界法的基本思想 用分支限界法解问题时，同样也应明确定义问题的解空间。之后还应将解空间很好的组织起来。分支限界法也有两种组织解空间的方法，即队列式分支限界法和优先队列式分支限界法。两者的区别在于：队列式分支限界法按照队列先进先出的原则选取下一个节点为扩展节点，而优先队列式分支限界法按照优先队列 问题描述 印刷电路板将布线区域划分成n×m个方格如图a所示。精确的电路布线问题要求确定连接方格a的中点到方格b的中点的最短布线方案。在布线时，电路只能沿直线或直角布线，如图b所示。为了避免线路相交，已布了线的方格做了封锁标记，其它线路不允穿过被封锁的方格。 一个布线的例子：图中包含障碍。起始点为a，目标点为b。 算法思想 解此问题的队列式分支限界法从起始位置a开始将它作为第一个扩展结点。与该扩展结点相邻并且可达的方格成为可行结点被加入到活 结点队列中，并且将这些方格标记为1，即从起始方格a到这些方格的距离为1。 接着，算法从活结点队列中取出队首结点作为下一个扩展结点，并将与当前扩展结点相邻且未标记过的方格标记为2，并存入活结点队列。这个过程一直继续到算法搜索到目标方格b或活结点队列为空时为止。即加入剪枝的广度优先搜索。 算法具体代码如下： 1、Queue.h [cpp]view plain copy 1.#include 0-1背包问题 计科1班朱润华 32 方法1：回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大 形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至 装不下时，再装入物品一部分而装满背包。 例如：对于0-1背包问题的一个实例， n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装的物品2。由此得一个解为[1,,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22。 在实现时，由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处，仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #include "" #include 实验五分支限界法实现单源最短路径 一实验题目：分支限界法实现单源最短路径问题 二实验要求：区分分支限界算法与回溯算法的区别，加深对分支限界法的理解。 三实验内容：解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。 结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。 四实验代码 #include #include { /*if(mincost <= cost[cur][i]+cost[i][start]) { continue; //其作用为结束本次循环。即跳出循环体中下面尚未执行的语句。区别于break } */ visit[i] = 1; //递归调用时，防止重复调用 int value = cost[cur][i] + imin(num-1, i); if(mincost > value) { mincost = value; } visit[i] = 0;//本次递归调用完毕，让下次递归调用 } } return mincost; } int main() { int i,j; // int k,e,w; n=4; int cc[4][4]={{0,10,15,20}, {5,0,9,10}, {6,13,0,12}, {8,8,9,0}}; for(i=0; i 0-1背包问题 计科1班朱润华2012040732 方法1:回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时， 应明确定义问题的解空间。 问题的解空间至少包含问题的一个 (最 优)解。对于0-1背包问题，解空间由长度为 n 的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所 有 0-1 赋值。例如 n=3 时，解空间为： {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) , (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1 , 1, 1) 然后可将解空间组织成树或图的形式， 0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定 n 种物品和一背包。物品i 的重量是wi ,其价 值为vi ,背包的容量为 C 。问：应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值 最大？ 形式化描述：给定 c >0, wi >0, vi >0 , 1 w i < n.要求找一 n 元向量(x1,x2,…,xn,), xi € {0,1}, ? 刀wi xi w c,且刀vi xi 达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空 间树时，只要其 左儿子节点是一个可行节点， 搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最 优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设 r 是当前剩余物品价值总和， cp 是 当前价值；bestp 是当前最优价值。当 cp+r<=bestp 时，可剪去右子树。计算右子树上界的 更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序， 然后依次装入物品， 直至装不下时，再装 入物品一部分而装满背包。 例如：对于 0-1 背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1] 品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。 品4,然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1,只能装 由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价 值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过 在实现时，由 Bound 计算当前节点处的上界。类 Knap 的数据成员记录解空间树中的节 点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。 在解空间树的当前扩展节点处， 仅要进入右 子树时才计算上界 Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因 为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #i nclude "stdafx.h" #in clude 问题描述 给定无向图G=(V, E)，其中V是非空集合，称为顶点集；E 是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无序对常用圆括号“( )”表示。如果U∈V，且对任意两个顶点u，v∈U有(u, v)∈E，则称U是G的完全子图(完全图G就是指图G的每个顶点之间都有连边)。G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。 如果U∈V且对任意u，v∈U有(u, v)不属于E，则称U是G 的空子图。G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。 对于任一无向图G=(V, E)，其补图G'=(V', E')定义为：V'=V，且(u, v)∈E'当且仅当(u, v)∈E。 如果U是G的完全子图，则它也是G'的空子图，反之亦然。因此，G的团与G'的独立集之间存在一一对应的关系。特殊地，U是G的最大团当且仅当U是G'的最大独立集。 例：如图所示，给定无向图G={V, E}，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2), (1,4), (1,5),(2,3), (2,5), (3,5), (4,5)}。根据最大团(MCP)定义，子集{1,2}是图G的一个大小为2的完全子图，但不是一个团，因为它包含于G的更大的完全子图{1,2,5}之中。{1,2,5}是G的一个最大团。{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大团。右侧图是无向图G的补 图G'。根据最大独立集定义，{2,4}是G的一个空子图，同时也是G的一个最大独立集。虽然{1,2}也是G'的空子图，但它不是G'的独立集，因为它包含在G'的空子图{1,2,5}中。{1,2,5}是G'的最大独立集。{1,4,5}和{2,3,5}也是G'的最大独立集。 算法设计 最大团问题的解空间树也是一棵子集树。子集树的根结点是初始扩展结点，对于这个特殊的扩展结点，其cliqueSize的值为0。算法在扩展内部结点时，首先考察其左儿子结点。在左儿子结点处，将顶点i加入到当前团中，并检查该顶点与当前团中其它顶点之间是否有边相连。当顶点i与当前团中所有顶点之间都有边相连，则相应的左儿子结点是可行结点，将它加入到子集树中并插入活结点优先队列，否则就不是可行结点。 接着继续考察当前扩展结点的右儿子结点。当 upperSize>bestn时，右子树中可能含有最优解，此时将右儿子结点加入到子集树中并插入到活结点优先队列中。算法的while循环的终止条件是遇到子集树中的一个叶结点(即n+1层结点)成为当前扩展结点。 华北水利水电学院数据结构与算法分析实验报告2009 ～2010 学年第 1 学期2009 级计算机专业 班级：200915326 学号：200915326 姓名：郜莉洁 一、实验题目： 分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题 二、实验内容： 0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。 三、程序源代码： A:回溯法： // bag1.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include 6.6 布线问题 算法设计思想： 采用分支限界法求解。 首先将问题转化为一颗解空间树：树根为线头，树高为线头到线尾的格数，每个节点有4个孩子，代表下一格可以朝4个方向。这样，布线问题就是搜索从树根到代表线尾节点的一条最短路径。 分支限界法的本质是对解空间树的BFS（广度优先）搜索，即每进一格就将状态入队，而后再依次将出队的每个状态的子状态入队，直到到达所求的状态节点即线尾。 该问题的剪枝条件显而易见，即当遇到电路板上的封锁标记时进行剪枝。为了方便剪枝，算法开始进行了预处理，在电路板周围加上了一圈“围墙”（虚拟的封锁标记），使搜索路径时对边界的处理与对封锁标记的处理统一。 因为该问题BFS的队列中，并没有明显的优先级，所以该算法采用普通队列式。 除了上述三点之外，程序对鲁棒性做了增强，对非法输入和文件错误进行了检测。程序设计代码： /*头文件布线问题.h*/ #ifndef KNAP_H #define KNAP_H #include position& operator=(const position &b) //重载运算符=，位置赋值 { this->row = b.row; this->column = b.column; return *this; } position operator+(const position &b)const //重载运算符+，表示移动一格 { position temp; temp.row = row + b.row; temp.column = column + b.column; return temp; } }; class Wiring //布线类 { public: Wiring(char *in, char *out); //构造函数 ~Wiring(); //析构函数 void Solve(); //输出结果到文件protected: bool FindPath(); //找出布线方案 void PrintPath(); //输出结果布线方案 void PrintFail(); //输出没有路径信息private: int n, m; //电路板行列数 int **grid; //电路板格子 position start, finish; //起点和终点 position *nextstep; //下一步四个方向 ofstream fout; //输出结果文件 }; #endif /*函数实现文件布线问题.cpp*/ #include "布线问题.h" Wiring::Wiring(char *in, char *out) : fout(out) { ifstream fin(in); 算法分析与设计实验报告第八次附加实验 for(int i=1;i 完整代码（分支限界法） //分支限界法求最优装载 #include T S P问题算法分析集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289- 算法第二次大作业 TSP问题算法分析 021251班 王昱（02125029） 一．问题描述 “TSP问题”常被称为“旅行商问题”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。 TSP问题在本实验中的具体化：从A城市出发，到达每个城市并且一个城市只允许访问一次，最后又回到原来的城市，寻找一条最短距离的路径。 二．算法描述 2.1分支界限法 2.1.1算法思想 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。 在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。 此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 2.1.2算法设计说明 设求解最大化问题，解向量为X=(x1,…,xn)，xi的取值范围为Si，|Si|=ri。在使用分支限界搜索问题的解空间树时，先根据限界函数估算目标函数的界[down,up]，然后从根结点出发，扩展根结点的r1个孩子结点，从而构成分量x1的r1种可能的取值方式。 对这r1个孩子结点分别估算可能的目标函数bound(x1)，其含义：以该结点为根的子树所有可能的取值不大于bound(x1)，即： bound(x1)≥bound(x1,x2)≥…≥bound(x1,…,xn) 若某孩子结点的目标函数值超出目标函数的下界，则将该孩子结点丢弃；否则，将该孩子结点保存在待处理结点表PT中。 再取PT表中目标函数极大值结点作为扩展的根结点，重复上述。 直到一个叶子结点时的可行解X=(x1,…,xn)，及目标函数值 bound(x1,…,xn)。 2.2A*算法 算法思想 对于某一已到达的现行状态,如已到达图中的n节点,它是否可能成为最佳路径上的一点的估价,应由估价函数f(n)值来决定。假设g*(n)函数值表示从起始节点s到任意一个节点n的一条最佳路径上的实际耗散值。h*(n)函数值表示从任意节点n到目标节点ti的最佳路径的实际耗散值。其中ti是一个可能的目标节点。f*(n)函数值表示从起始s，通过某一指定的n到达目标节点ti的一条最佳路径的实际耗散值，并有 f*(n)=g*(n)+h*(n)。 算法设计与分析 目录 算法设计与分析 (1) 第6章回溯与分支限界 (3) 6.1回溯法的设计技术 (3) 6.2用回溯法求解装载问题 (7) 6.3用回溯法求解n皇后问题 (9) 6.4用回溯法求解0-1背包问题 (11) 6.5用回溯法求解旅行商问题 (13) 6.6 分支限界法的设计技术 (15) 6.7 用分支限界法求问题的解 (15) 本章小结 (15) 参考文献 (16) 第6章回溯与分支限界 内容导读 回溯法(Back Tracking Algorithm)与分支限界法（Branch and Bound Algorithm）都是基本的算法设计策略，属于树的搜索技术的范畴。在使用这两种算法求解问题前，均需要把解空间规划成一棵解空间树，并且在求解过程中使用剪枝策略来提高搜索效率。 回溯法也称试探法，可以把它看成是一个在约束条件下对解空间树进行深度优先搜索的过程，并在搜索过程中剪去那些不满足条件的分支。当用回溯法搜索到解空间树的某个结点时，如果发现当前路径不满足约束条件或不是历史最优时，则放弃对该结点的子树的搜索，并逐层向其祖先结点返回。否则，进入该结点的子树，继续进行深度优先搜索。实质上，这是一个先根遍历解空间树的过程，只是这个棵树不是遍历前预先建立的，而是隐含在遍历过程当中的。 分支限界法则是以最小代价优先的方式在解空间树上进行搜索，它可以找出满足问题约束的一个可行解，或者是从满足约束条件的可行解中找出一个使得目标函数达到极值的最优解。这里的可行解在搜索树中表现为一条由根到叶子结点的路径，这条路径上权值的和为可行解的值。其中，最优解就是使可行解的值达到最优的那条路径。分支限界算法的核心思想就是增加更多的约束条件，剪掉更多的分支，当对当前的树结点进行扩展时，一次性产生其所有儿子结点，并抛弃那些不可能产生可行解或最优解的结点，即剪枝；对于留下的儿子结点，计算一个函数值（限界），然后选取一个最有利的结点继续进行扩展，使得搜索朝着最优解的分支推进。重复这个过程直到找到最优解或没有可扩展的结点。 0-1背包问题 计科1班朱润华 2012040732 方法1：回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。 例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22。 在实现时，由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处，仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #include "stdafx.h" #include 摘要 分支限界算法对很多实际问题是重要和有效的。论文首先提出了一类电路布线问题，然后给出了解决该问题的分支限界算法并分析了所给出算法的复杂度。实验结果验证了所提出方法的有效性。 关键字：分支限界算法电路布线问题复杂度 ABSTRACT The branch-and-bound algorithm is an important and efficient method to many problems．In this paper，a kind of circuit wiring problem is brought up firstly，and then an efficient algorithm based on branch—and-bound algorithm is presented．Finally，the complexity of the proposed algorithm is analyzedSimulation results show they are efective． Keywords：branch and bound algorithm，circuit wiring problem，complexit 目录 摘要 (1) ABSTRACT (1) 1 引言 (3) 2布线问题的提出 (3) 3问题的算法选择 (3) 4分支限界算法 (4) （1）FIFO搜索 （2）LIFO搜索 （3）优先队列式搜索 5 布线问题的分支限界算法设计 (4) （1）初始化部分 （2）用FIFO分支搜索的过程 （3）可布线未知的识别 （4）队列的结构类型和操作 （5）实例与测试结果 （6）复杂性分析 6结束语 (6) 7 致谢 (7) 8 参考文献 (7) 9 附录 (7)(完整版)分支限界算法作业分配问题
分支限界法求解背包问题
旅行商问题概述_郭靖扬
回溯法与分支限界法的分析与比较
0035算法笔记——【分支限界法】布线问题
回溯法和分支限界法解决背包题
分支限界法实现单源最短路径问题
货郎担问题或旅行商问题动态规划算法
回溯法和分支限界法解决0-1背包题
0037算法笔记——【分支限界法】最大团问题
用回溯法和队列式分支限界算法求解0-1背包问题
6.6-布线问题
using namespace std; class position //位置类 { public: int row; //行坐标 int column; //列坐标 bool operator==(const position &b) const //重载运算符==，表示位置相同 { if(row == b.row && column == b.column) return true; else return false; }
分支限界法实验(最优装载问题)
TSP问题算法分析
算法设计与分析第6章回溯与分支限界
回溯法和分支限界法解决0-1背包题
分支限界求解布线问题(C语言)