数学第三讲《多项式的因式分解》

3.1 多项式的因式分解

【学习目标】

1．能概括出因式分解的定义，认识因式分解与整式乘法的互逆变形关系. 2．能正确判断因式分解及其正确性，明白因式分解的意义. 3．通过观察、分析、判断，深化逆向思维能力和综合运用能力. 【体验学习】 一、新知探究

阅读教材第55—57页，独立思考，回答下列问题． 1．用自己的话说说什么叫因式?并举几个例子说明．

2．观察下表的两种代数式变形的例子

（2） 用自己的话说说什么叫因式分解，并举例说明． （3） 我们为什么要进行因式分解？ （4） 怎样判断因式分解的正确性．

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.下列各题中，从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？ （1）2

1234a b a ab =? （ ） （2）2

2

44(2)x x x -+=- （ ） （3）2

(2)2x

x x x -=- （ ）

A ．22244)2(y xy x y x ++=+ B.3)1(4222+-=+-x y x C. )1)(13(1232-+=--x x x x D.mc mb ma c b a m ++=++)( 3.检验下列因式分解是否正确，并写出检验过程.

（1）)(22y x xy xy y x -=- （2）)12)(12(122-+=-x x x

三、综合提升

先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 1.若 2

x mx n ++能分解成(5)(2)x x +-，则m 和n 的值是多少？

2.已知213=x ，求代数式x

x

x 32-的值．

学法指导：跟同学分享你的解答方法，你的方法有什么独到之处吗？用到了什么知识点？

【当堂检测】

1． 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）1)2(41842

--=--x x x x （2）)1(2

2

--=--bx ax x x bx ax （3）1))((122

--+=--y x y x y x 2．检验下列因式分解是否正确．

（1）)5)(2(1072

--=--x x x x （2）)1(41442

-=+-m m m m

【学习反思】

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

【拓展链接】

约瑟夫问题与因式分解

有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，……64.敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀.最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号？

这就是数学上有名的“约瑟夫问题”.给大家一个提示，敌人从l 号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战士全杀死了.剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码.按照这个思路，看看你能不能解决这个问题？ 【课后精练】

1.判断下列各式从左到右的变形是否是因式分解，用“∨”表示是，?用“×”表示不是． （1）22))((b a b a b a -=-+（ ） （2）)12(3363223--=--x x x x x x （ ） （3）)(223m m m m m m -=--（ ） （4）3)2(322

-+=-+x x x x （ ） 2.下列各因式分解正确的是（ ）

A ．)3(322x x y xy y y x -=-+

B ．)(2

c b a a ac ab a +--=+-- C ．)176(221412222-+=-+xy x xy xy y x y x D ．)4)(1(342-+=+-a a a a 3．如果222

-+mx x 可因式分解为)2)(12(-+x x ，求m 的值．

3.2 提公因式法（一）

【学习目标】

1、知道公因式的定义，能准确找出一组多项式的公因式．

2、知道找公因式的基本步骤，并能利用提公因式法进行简单的因式分解． 【体验学习】 一、新知探究

阅读教材第59—60页，独立思考，回答下列问题．

1.（1）结合小学所学知识说说4，6，14的最大公因数是什么？36和60的最大公因数是什么？2

x ，x 的公因式是什么？428y x ，z xy 212的公因式是什么？ （2）说说什么叫公因式？试着概括一下找公因式的步骤．

2．用自己的话说说什么叫提公因式法？并举例说明．

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1．判断下列因式分解是否正确，不对的请在后面的横线上更正． （1）) 3

2

( 32 232

r h r r h r ππππ+=+

（ ） （2）)5(52

2x x y y xy y x +=-+ （ ） （3）)1

11(24

2

3

4

x

x x x x x ++

=++ （ ） （4）2

4

2

5

4

)1(a a a a a a -+=-+ （ ）

2．在括号内写出下列多项式各项的公因式．

（1）mb ma +（ ） （2）ky kx 84- （ ）

（3）2

3205y y +（ ） （4）ab ab b a +-2

2

2（ ）

3．把下列多项式因式分解．

（1）2

232231046n m n m n m +-- （2）y y xy +-253

三、综合提升

先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 1.写出下列各式的公因式

（1）()()()b a b a b a ++-+9 ,6 ,33

2

的公因式是： ．

（2）为正整数）m p p m m (,12++的公因式是： ． 2. 把下列多项式因式分解

（1）235xy xy y -+ （2）32

23

22

6410a b a b a b --+

（3）()()

2013

2012

22-+- （4）32244234812x yz x yz x y z -+

【当堂检测】

1. 2

4x ，6

8x 的公因式是： ． 2.2

3

16b a ，2

3

4b a ，4

8ab 的公因式是： ． 3. 分解因式：xyz z xy yz x 412422+--

【学习反思】

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

【拓展链接】

《因式分解》一课教学故事

文革时期，有一个教书先生，很有才华.他有三个儿子，分别起名叫爱国、爱民、爱党.一天，他正在家习文写作，几个造反派夺门而入，其中一个戴红袖章的造反派指着他说道：?跟我把他捆起来.?几个魁梧高大的造反派便连忙过去将他紧紧地捆住.那教书先生道：?你们凭什么抓人？我犯的什么法？?那戴红袖章的造反派笑着说道：?你去了就知道！?说完，便拉着教书先生走了.

到了那里，是一个批判大会会场，造反派将他押到台上，那教书先生还理直气壮的反抗道：?你们凭什么抓我呀，还得讲个道道来呀？?

那戴袖章地造反派摆着八字步走到他面前严厉地说道：?道道？我问你，你的三个儿子的名字是怎么起的呀？?

?我三个儿子的名字怎么拉，‘爱国、爱民、爱党’还不好呀？?教书先生反驳道. 那造反派便又笑起来说道：?那......你把那个'爱'字提取出来，叫什么呀??他又停顿了一会儿，接着说道：?叫‘爱国民党’呢？你知道吗？你的三个儿子‘爱国民党’这个罪名可不小啊，哈哈！?

那教书先生听造反派这样一说，便象霜打的茄子，慢慢地低下了头，等着受批判了. 【课后精练】

1.说出下列多项式中各项的公因式．

（1）212x 1815y xy y -+-的公因式是 ． （2）3

2

r h r ππ+的公因式是 ．

（3）n m n m y x y x 1142---（m ，n 均为大于1的整数）的公因式是 ．

2. 用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．

1.2 提公因式法（二）

【学习目标】

1．知道公因式可以是多项式，并能正确地找出不同形式的公因式．

2．会熟练利用提公因式法进行因式分解，并能总结出提公因式法分解因式的基本步骤．

【体验学习】 一、新知探究

阅读教材第60—61页，独立思考，回答下列问题． 1.请在下列各式等号右边的括号内填上合适的代数式．

（1）2－a =－（ ） （2）－m －n =－（ ） （3）－s 2+t 2 =－（ ） （4）b —a =－（ ） （5）（b －a ）2 =－（ ）2 （6）（b －a ）3 =－（ ）3

（7）()n

x y -=－（ ）n （ n 为奇数） （8）()n x y -=－（ ）n （n 为偶数）

2．分别写出多项式)()(y x b y x a +++、)

3(5)3(6p n p m ---、

)1(8)1(4)1(2+++++x cm x bm x am 、22))((4))((2a b c a b a c a ----+ 的公因式．

归纳：想想公因式可以分为哪几种类型？分别举例说明．

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.下列各组代数式中是否有公因式，如果有，请在横线上写出来． （1）a b b a m --和)(5 （ ） （2）()b a b a --+和2

（ ）

（3）y x y mx ++和 （ ） （4）2

2

2

ab b a ab a --和 （ ） 2．把下列各式分解因式

（1）)2(3)2(---x x x （2）)(12)(62p q q p ---

（3）2

)()(m n m n m mn ---

（4）)(18)(122

2y x y x y x xy +-+-

三、综合提升

先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 1.将下列多项式进行因式分解 （1）11

42+---n n x x （2）()()()()b a y x b a y x +-++-2332

2.已知：16=--c b a ，求)()()(a c b c b a c b c b a a -+++-+--的值．

【当堂检测】

1. 把下列各式分解因式

（1）3a （x －y ）－（x －y ） （2）a （m －2）+b （2－m ）

（3）5（x －y ）3+10（y －x ）2

【学习反思】

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【拓展链接】

数学学习妙用36口诀9（分解因式歌） 首先提取公因式，然后考虑用公式. 十字相乘试一试，分组分得要合适. 四种方法反复试，分解完成连乘式.

【课后精练】

1.选择题 （1）多项式11

42+---n n a a 的公因式是M ，则M 等于（ ）

A ．1

2-n a

B ．n

a 2- C ．1

2--n a D ．1

2+-n a

（2）下列因式分解不正确的是（ ） A ．)2(24222a b ab b a ab +-=+- B ．)3)((3)(9)(3n m b a a b n b a m +-=--- C ．)53(525155232y b ax ab y ab bx a ab ---=++- D ．)12(336322--=--y y a a ay ay

（3）将多项式by bx y x a 22)(-+-分解因式，正确的结果是（ ） A ．)2)((b a y x +-- B ．)2)((b a y x +- C ．)2)((b a y x -- D ．)2)((b a y x +-- 2．把下列各式分解因式

（1）2

)()(b a b a +-+ （2）)()(x y y y x x -+-

（3）2

2

(x y)(y x)a b --- （4）2

2

4(a b)6ab ()a b a b ---

3.3公式法（一）

【学习目标】：

1.能识别一个多项式是否符合平方差公式的要求.

2.能初步利用平方差公式进行因式分解，并能总结出平方差公式法因式分解的基本步骤.

【体验学习】： 一、新知探究

阅读教材63-64页的所有内容，然后根据你对教材的理解，回答下列问题： 1.请用字母表示平方差公式，并说说它的特点.

2.说说平方差公式与利用平方差公式进行因式分解之间的联系与区别？

3.例1、2中哪一项相当于公式中的a ，哪一项相当于公式中的b ？

4.在应用平方差公式进行因式分解时，要注意什么？

二、基础演练

1.模仿例1把下列各式进行因式分解

（1）2

x －1 （2）92

-m

（3）224y x - （3）942

-x

1.把下列各式进行因式分解

（1）4

16x +- （2）2

2)()(y x y x --+

（3） 2

22

（4）

24

116 1.下列多项式是否能用平方差公式分解因式？

（1）42

+x （ ） （2）2594

-a （ ）

（3）a b a -2

3（ ） （4）2

81x +- （ ） 2.计算

（1)2

2

4

n m m - （2）2

2)()(z x y z y x ---++

(3)25)(92-+y x （4）2

244)44(y x x -++

【当堂检测】： 把下列多项式因式分解

（1）2

2

9y x - （2）2

3

ab a -

（3）2

24

92536t x - （4）22)()(z y x z y x -+---

【学后反思】：

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

【拓展链接】：

密码原来是这样的

在日常生活中，如提款、上网都需要密码.有一种用因式分解产生的密码，方便记忆.其原理是：对于多项式4

4

y x -，其因式分解的结果是))(()(2

2

y x y x y x -+?+，若取

9,9==y x ，则哥哥因式的值是0,18,16222=-=+=+y x y x y x ，于是就把“162180”

作为一个六位数的密码.对于多项式2

3xy x -，若取5,21==y x ，用上述方法产生的密码是多少呢？你能算出来吗？

【课后精练】：

把下列多项式因式分解或计算

1.642

-x 2. 22

9

1b a -

3.36)(42

--y x 4. 2

24.526.47-

3.3 公式法（二）

【学习目标】：

1.能识别一个多项式是否适合完全平方公式.

2.能初步利用完全平方平方公式进行因式分解，并能总结出完全平方公式法因式分解的基本步骤.

【体验学习】： 一、新知探究

阅读教材65-66页的所有内容，然后根据你对教材的理解，回答下列问题： 1.请用字母表示完全平方公式，并说说它的特点.

2.你能将65页“动脑筋”中的两个多项式因式分解吗？

3.例5、6中哪一项相当于公式中的a ，哪一项相当于公式中的b ？

4.在应用完全平方公式进行因式分解时，要注意什么？

二、基础演练

1.下列多项式是否能用完全平方公式分解因式？

（1）2

24x x ++ （ ） （2）2

105x x -+ （ ）

（3）442

+-x x （ ） （4）4

25

102

+

+x x （ ） 2.将下列各式进行因式分解

（1）2

69x x -+ （2）2

1025m m -+

1.将下列各式进行因式分解

（1）2

2

4129x xy y --- （2）2

()12()36x y x y ++++

（3）4221x x -+ （4）32

2a a a -+

2.若162

+-mx x 是一个完全平方式，那么m 的值是多少？

3.若n 为自然数，试说明2

2

(5)(3)n n +--能被16整除

【当堂检测】：

1.要得到2

)(b a -，多项式2

2

3b ab a ++应加上（ ）

A.ab -

B.ab 3-

C.ab 5-

D.ab 7- 2.将下列各式因式分解

（1）36122+-m m （2）4

2552

++x x

（3）2

244y xy x -+-

（4）ab b a b a 52052

2

3-+-

【学后反思】：

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

【拓展链接】：

从前，有－个狡猾的庄园主，把－块边长为.米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”张老汉非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗?学习了本节课的知识，你能轻松地解决这个问题吗? 【课后精练】：

1.把下列多项式因式分解 （1）22

4

1q pq p +- （2）2242025y xy x ++

（3）442

4++x x （4）9

1322

-+

-x x

2.已知1692++xm m 可以用完全平方公式进行因式分解，求x .

数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]

第十一章 反常积分复习自测题 一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题： 1、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1） 1 d p a x x +∞? （0a >）；（2）01d a p x x ?（0a >）；（3）01d p x x +∞?（0a >） 。 2、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1） 1d (ln )p a x x x +∞? （1a >）；（2）11d (ln )a p x x x ?（1a >）；（3）11 d (ln )p x x x +∞?。 3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： （1） 20 1d 1x x +∞+? ；（2）21d 1x x +∞-∞+?；（3）10x ?；（4）11 x -? 。 4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶 函数的积分特征） （1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=， 则无穷积分 ()d a f x x +∞? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=存在，且 ()d () a f x x F x a +∞+∞=? 。 （2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=，()lim ()x F f x →-∞ -∞=， 则无穷积分 ()d f x x +∞-∞ ? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=和()lim ()x F f x →-∞ -∞=都存在，且 ()d () a f x x F x a +∞+∞=? 。 （3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞ 存在，则无穷积分 ()()d a f x g x x +∞'? 收敛?()()d a f x g x x +∞'? 收敛，且 () ()()d ()()()()d a a f x g x x f x g x f x g x x a +∞+∞+∞''=-? ? ， 其中()()lim ()()x f g f x g x →+∞ +∞+∞=。

第一讲负数(少年宫六年级下册趣味数学讲稿)

第一讲 负 数 教学目标： 1.使学生在现实情境中了解负数产生的背景，初步认识负数，知道正数和负数的读写方法。知道0既不是正数，也不是负数，负数都小于0。 2.使学生初步体验数学与日常生活的密切联系，进一步激发学习数学的兴趣。 教学重点： 知道正数、负数和0之间的关系。 教学难点： 在现实情境中了解负数的产生与应用。 一、填空不困难，全对不简单。 （1）如果20m 表示向东走20m ，那么—20m 表示（ ）。 （2）如果水位升高2m 时，水位变化记作+2m ，那么水位下降2m 时，水位变化记 作（ ），水位不升不降时，水位变化记作（ ）。 （3）—5 2读作（ ），+1.2读作（ ）。 （4）所有的负数都在0的（ ）边，也就是负数都比0（ ），而正数都比0（ ），负数都比正数（ ）。 （5）零下8℃，表示为（ ），比0℃低2℃的温度是（ ）。 （6）“后退5步”可以说成前进（ ）步。 （7）如果规定向东为正，则向东行驶4km ，记作（ ），向西行驶3km ，记作（ ）。 （8）在温度计上显示的两个温度，（ ）的温度总比（ ）的温度高。（填“上边”或“下边”） （9）在数轴上表示两个数，（ ）的数总比（ ）的数大。（填“左边”“右边”） 二、我是小法官，对错我会判。 （1）0既是正数，也是负数。 （ ） （2）若a 是正数，则—a 不一定就是负数。 （ ） （3）一个数前面加上“—”号，这个数就是负数。 （ ）

（4）若规定收入为“+”，那么—30元表示支出了30元。 （ ） （5）一个数如果不是正数，必是负数。 （ ） （6）正数大于负数。 （ ） （7）一条直线是一条数轴。 （ ） （8）数轴是一条射线。 （ ） 三、脑筋转转转，答案全发现。 （1）下列结论中正确的是（ ） A.0既是正数，也是负数 B.0是最大的负数 C.0既不是正数，也不是负数 D.0是最小的负数 （2）在—3，0，+5，—321，+3.1，—2 1，2003，+2008中是负数的有（ ）。 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 （3）若规定向西行进为“+”，—50m 表示的意义是（ ）。 A.向东行进50m B.向北行进50m C.向南行进50m D.向西行进50m 四、指出列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ —5 +131 0 104 —0.01 +3.2 —27 1 正数： 负数 五、写出点A 、B 、C 、D 表示的数。 里填上“＞”“＜”或“＝”。 ——5 21212 1 — 3.5 七、把下面各数从小到大排列起来。 1、 3.7 5.4 0 —1.2 —7 —3

数学分析(华东师大)第十一章反常积分

数学分析(华东师大)第十一章反常积分

r mg R ∫ ∫ 第 十 一 章 反 常 积 分 §1 反常积分概念 一 问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但 在 很多实 际 问题中往 往 需 要突 破这 些限制 , 例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v 0 至少要多大 ? 设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R ) 处火箭所受的引力为 mg R 2 F = . x 2 于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为 2 ∫ d x = mg R 2 1 - 1 . R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = mg R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = m g R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?

《数学分析》第十一章广义积分共7页文档

第十一章 广义积分（ 6 时 ） 问题的提出: 针对Riemann 积分的缺陷⑴要求积分区间有限;⑵被积函数有界再结合[1] P264两例. 广义积分亦称为Cauchy —Riemann 积分,或C —R 积分. 一. 无穷限广义积分: 1． 概念和几何意义： 定义 ?=A a A F )(， ?+∞ -+∞=a a F F f )()(. 几何意义: 例1 ⑴ 讨论积分 ?+∞ +021x dx , ?∞-+021x dx , ?+∞ ∞-+21x dx 的敛散性 . ⑵ 计算积分 ?+∞++025 2x x dx . 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴ ?+∞1p x dx ; ⑵ ?+∞ 2) (ln p x x dx . 例3 讨论积分?+∞ a xdx cos 的敛散性 . 2. 无穷积分的性质: ⑴)(x f 在区间) , [∞+a 上可积,k 为常数,则函数k )(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积,且?+∞ =a k dx x kf )(?+∞ a dx x f )(.

⑵)(x f 和)(x g 在区间) , [∞+a 上可积?)(x f ±)(x g 在区间) , [∞+a 上可积, 且?+∞ = ±a g f )(?+∞ ±a f ?+∞ a g . ⑶无穷积分收敛的Cauchy 准则: ( 翻译 . ,)(+∞→→A B A F ) Th 积分?+∞ a dx x f )(收敛εε'''??>???' '' A A dx x f A A A A )( ,, , , 0 . ⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛?收敛,( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分 . 3. 无穷积分判敛法: 非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有)(A F ↗. 非负函数无穷积分敛散性记法. ⑴ 比较判敛法:设在区间 ) , [∞+a 上函数)(x f 和)(x g 非负且 )(x f ≤)(x g ，又对任何A >a ,)(x f 和)(x g 在区间 ] , [A a 上可积.则 ?+∞ a g < ∞+? ?+∞ a f < ∞+；?+∞ a f =∞+? ?+∞ a g =∞+. ( 证 ) 例4 判断积分?+∞ ++0 2 25) 1sin(dx x x 的敛散性. 比较原则的极限形式:设在区间 ) , [∞+a 上函数 0 , 0≥>f g ,c g f x =+∞ →lim .则

数学趣味故事讲解

数学趣味故事讲解 一、指导思想： 人人收集趣味数学故事，人人讲解趣味数学故事，培养自信、阳光、具体一定数学视野的领袖儿童。 二、讲解标准： 自然大方，站立不动摇，双手自然下垂； 声音洪亮，吐字清晰，语速适当； 故事具有数学味，能引起人的思考； 有问有答，能边讲边板书。 三、故事来源：三至六年级数学读本中选择；从网络上找；寒假作业上等 四、实施安排： 1、第一阶段：用一节领素课指导学生熟悉自己准备的数学故事，准备好了能够在小组内讲解，组员相互提意见。 2、第二阶段：用一节领素课指导部分准备好的同学讲解，边讲解边就学生讲解的故事指导讲解的具体细节，让其明白怎样讲全班同学能听清楚，能明白其中的道理。 具体细节记录： （1）教师讲要求：具体见上面的评价标准。 （2）王锦秋讲《一封数字信》。 （3）指导：能够先出示0至9这9个数字让学生说一说日常生活中人们是怎样来趣读这些数字的？让学生学觉得数字好玩；介绍故事中的人物 及事件；出示数字信的内容，学生试着翻译；给出准确的解释；学生 自主创作。 （4）胡杨永讲《常见的12》 （5）细节指导：先出示12，问学生：“生活中，哪些地方用到12？”让学生举例；讲解12的妙用。 （6）自主练习，个别指导。 3、第三阶段：从第三周开始，每天数学课前一名同学讲解；周五领素课时集中组织讲解，3月21日前第一轮讲完。讲解结束后组织评价，师生共同给出

修改建议。 第一轮学生讲解故事记录如下： 王锦秋一封数字信 胡杨永常见的12 洪文龙二百五的来历 殷昌鑫分遗产 谭世博一条没有尽头的直线 王鹏乘法分配律在名字中的应用陈帅伟大的数学家 杨姝高斯奖 李雪梅我的数学七彩梦 汪岩松分巧克力 张庆航淘淘上当了 刘梦婷别开生面的数学比赛 周陈杰老财主的儿子 胡义锋爱因斯坦调钟 张化锋有多少级台阶 王博文考100的原因 朱缘缘狡猾的狐狸 万洋洋阿凡提巧解19提油 张金凤三角形的特性 李健铭龙须面中的数学问题 杨泠小数点的作用 梁明昆著名的数学家 张金金扔石头的问题 王芳猴妈妈分香蕉 陈杰游泳 张继伟无意中的发现 李翠做寿

数学分析(华东师大)第十一章反常积分

m g R 第 十 一 章 反 常 积 分 §1 反常积分概念 一 问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 . 例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v 0 至少要多大 ? 设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R) 处火箭所受的引力为 mg R 2 F = . x 2 于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为 2 ∫ d x = mg R 2 1 - 1 . R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = mg R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图

数学分析课本-习题及答案第二十一章

第十一章 重积分 §1 二重积分的概念 1.把重积分 ??D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0?,并用直线网x=n i ,y=n j (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点. 2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界. 3.证明定理:若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积. 4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7. 性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且 ()?+D g f =??+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ??≤D D g f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得 ()D ,f f D ?ηξ=?. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且 210D D D Y =,?=11D int D int I , 试证二重积分性质3. 性质3(区域可加性) 若210D D D Y =且11D int D int I ?=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且 ?0D f =??+2 1D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明: (1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D >?; (2)若在D 内任一子区域D D ?'上都有 ?' =D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。 . 7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得 ()()??D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()??D dxdy y ,x g .

六下趣味数学校本课程

六年级下学期教学内容 第一讲负数3第二讲圆柱的表面积（1）5第三讲圆柱的表面积（2） (7) 第四讲圆柱的体积（1） (9) 第五讲圆柱的体积（2） 11第六讲比例的意义和基本性质13第七讲正、反比例的意义 (15) 第八讲比的应用（1）17第九讲比的应用（2） 19第十讲抽屉原理21第十一讲数与代数 (23) 第十二讲空间与图形25第十三讲统计与概率28第十四讲综合应用32

第十五讲整理复习36

第一讲负数（讲卷） 3. 如果水位下降2cm 时水位变化记作-2 cm ,那么水位上升1 cm 时，水位变化 记作（ ），水位不升不降时水位变化记作（ ）。 4 ?某品牌家用冰箱的冷冻室的温度是零下 18C ，冷藏室比冷冻室的温度高 22 C,则冷藏室 的温度是 C 5. 二月份，妈妈在银行存入 5000元，存折上应记作（ ）元。三月一日妈妈又取出1000 元，存折上应记作（ ）元。 ☆☆趣味冲浪，发展思维 6 .写出 A B 、C 、D E 、F 点表示的数。 A B CD R F I ■ I ? | ■ ? ? ? ? | i ■ ? ? ■ H il - 9 ( ) - I ( ) -5 -4 ( ) ( )-1 0 1 2 3 ( J f ) 6 7 S 7.在数轴上表示下列各数。 1 4 1.5 -- — 3 - 5 — 5 2 3 &下面是林林家二月份收支情况。 2月8日：妈妈领工资1000元 2月10日：交水电费、管理费 180元 2月12日：林林买衣服用去 60元 2月15日：爸爸领工资 1200元 2月18日：去公园游玩用去 50元 2月20日：妈妈买衣服用去 150元 2月22日：爸爸买书报杂志用去 130元 2月28日：本月伙食费合计用去 820元 ⑴ 你用正负数的知识填写后表。 ⑵ 尝试计算林林家2月份的结余。 ☆☆☆扬帆远航，提升能力 9. 一个点从数轴上某点出发，先向右移动 5个单位长度，再 日期 收支惰观 2月g 日 + 1000 2 10 0 2 12 0 2 J9 u B 2 J31S B 2月20日 2 J 22 0 2 J 2S a 1.右图中温度计中显示的温度是（ ）C 。2008年3月14日某市的气 温为-8C ~2C,这一天该地的温差是（ ）。 4 2 2 .在 1,2.5, 3.6,0.6,, 中，( 3 7 ）是正数， （ ）是负数，（ ）既不是正数也不是负数。 ☆快乐启航，走进生活

欧阳光中《数学分析》(上册)章节题库-第十一章至第十五章【圣才出品】

第11章极限论及实数理论的补充 １．设a，b是实数，a＜b，则有无理数c： 证明：根据，可知存在有理数r，使得，易知若r ≠0，则是无理数．若r＝0，则a＜0＜b或易知存在有理数s： 由此知，即是a与b之间的无理数． 2．试证明下列命题： （1）对任给的实数x以及正整数N：N＞1，必存在整数P，q：0＜q＜N，使得 （2）若x为无理数，则存在无穷多个有理数，使得 （3）若α是无理数，则点集在R中稠密． 证明：（1）考察N＋1个实数mx－[mx]（m＝1，2，…，N，N＋1）．由于有 ，故在N＋1个数{mx－[mx]}中必有两个数，其差的绝对值小于，不妨设为 令，则0＜q＜N，且 （2）反证法．假定只有有限个有理数满足上述不等式，即 令，取，且作整数p，q（0＜q＜N），使得

但因q是正整数，故又有，根据δ之定义， ，这与原假设矛盾，证毕． （3）对实数P，，由于存在，使得 因此可令，而至少有一个数ma（m∈Z），使得 （或）∈（p，q）． 3．试证明下列命题： （1）若n是自然数，则 （2）若自然数n不是完全平方数，则， （3）设a，b，c是正有理数，若，则 （4） （5）存在正无理数a，b，使得是正整数． 证明:（1）反证法．假定（p与q是互素正整数），则知 由此可知是的因子，也即是的因子，这与假定矛盾． （2）反证法．假定（p，q是互素正整数），则由可知，是p2 的因子．从而得，即，这与题设矛盾． （3）记，注意到，即可得知，证毕． （4）（i）反证法．假定，记为（p，q是互素正整数），则

，由此知q可除尽，但这与p，q互素矛盾．证毕． （ii）反证法．假定存在r∈Q，使得，即易知r∈N且r≥2．由此得，矛盾．证毕． （5）取（b∈R\Q，否则有，则．这是不 可能的）可知． 4．（有理数的稠密性）设a，b是实数，a＜b，则存在有理数r：a＜r＜b． 证明：因为b－a＞0，所以存在正整数n，使得易知na＜na＋1＜nb，且存在整数 从而有na＜m． 综合上述结果，可得．由此立即导出，即其中 是有理数． 5．试证明下列命题： （1）若有理数p/q（既约分式）是整系数多项式 的根，则p是的因子，q是的因子． （2）与以及都是无理数． （3）若，则 证明:（1）用p/q代入方程并化简为

数学分析(华东师大)第十一章反常积分

r mg R ∫ ∫ 第 十 一 章 反 常 积 分 §1 反常积分概念 一 问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 . 例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v 0 至少要多大 ? 设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R) 处火箭所受的引力为 mg R 2 F = . x 2 于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为 2 ∫ d x = mg R 2 1 - 1 . R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = mg R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?

小学三年级趣味数学上册

趣味数学 三年级上册 校区： 班级： 姓名：

三年级上学期教学内容 第一讲有趣的测量 (3) 第二讲吨的认识 (6) 第三讲加法及巧算 (9) 第四讲减法及巧算 (12) 第五讲趣海拾贝 (15) 第六讲四边形趣谈 (17) 第七讲周长及估算 (19) 第八讲有余数的除法 (21) 第九讲时、分、秒 (23) 第十讲口算乘法 (25) 第十一讲数的叠加 (27) 第十二讲有0的乘法 (30) 第十三讲有趣的分数 (33) 第十四讲生活中的数学 (36) 第十五讲期末大练兵 (39) 第十六讲期末测试

1.填上合适的单位。 汽水瓶高钢笔的长裤子的长一棵树高 约2（）约15（）约10（）约10（） 2.连一连：把每小时的路程与合适的交通工具连起来。 每小时行70千米每小时行900千米 每小时行15千米每小时行130千米 3. 一列火车长1千米，另一列火车长1500米，两列火车一共长多少米？ 趣味冲浪，发展思维 4. 一根电线长1千米，第一次减去278米，第二次剪去547米，两次共剪去多少米？ 5.从小月家到学校有80米，从学校到电影院有50米。 （1）小月每天上午到学校上课，下午回家，来回要走多少米？ （2）小月从家里出发，经过学校到电影院要走多少米？ 扬帆远航，提升能力 6. 一只蜗牛在一面高10米的围墙的最下面，它白天能向上爬4米，晚上又滑下来3米。蜗牛什么时候能 爬到围墙的顶部？

1.填上合适的单位。 汽水瓶高约2（）钢笔长约15（）从南京到北京的铁路长约1160（）课桌高约7（）跳绳长约2（）我的身高是160（） 房间长约5（）钉子长约38（）一棵树的高约10（） 2.填上合适的数。 厘米毫米厘米毫米 3.“神州”七号航天飞船平均每秒飞行8千米，9秒大约飞行多少千米？ 4.一根木棍长2米，把它截成同样长的4段来做凳腿，凳子高约多少分米？ 趣味冲浪，发展思维 5.从乐乐家出发到奶奶家，哪几条路线的路程刚好是1千米？请列式计算并解答。

数学分析教案(华东师大版)第十一章反常积分

第十一章反常积分 教学目的： 1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义； 2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。 教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛散性的判别。 教学时数：8学时 § 1 反常积分概念（2学时） 教学目的：深刻理解反常积分的概念。 教学重点难点：反常积分的含义与性质 一问题的提出: 例（P264）. 二两类反常积分的定义 定义1. 设函数定义在无穷区间上，且在任何有限 区间上可积，如果存在极限 （1） 则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称

无穷积分），记作,并称收敛. 如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散. 定义2. 设函数定义在上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积，如果存在 极 则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作 并称反常积分收敛，如果极限不存在，这时也说反常积 分发散. 例1 ⑴讨论积分 , , 的敛散性 . ⑵计算积分. 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴; ⑵. 例3 讨论积分的敛散性 .

例4判断积分的敛散性 . 例5 讨论瑕积分的敛散性 ,并讨论积分的敛散性 . 三瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有 , 把瑕积分化成了无穷积分;设, 有 ，把无穷积分化成了瑕积分. 可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 . §2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时） 教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。 教学重点难点：反常积分敛散性的判别。 一无穷积分的性质 ⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间 上可积, 且. ⑵和在区间上可积 , 在区间 上可积 , 且. ⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:

一年级下趣味数学

第一讲走迷宫（1）（2） 走迷宫是一项有趣的智力活动，有些迷宫跟数学有关，走迷宫时，一方面复习了相关的数学知识，另一方面还培养了分析推理能力。有些迷宫，路线比较复杂，必须细心观察，有次序地尝试；有时，还经常采用倒过来走的方法呢！有些迷宫，路线有多种，更能促使我们耐心探索了。怎么样，小朋友们，咱们就试试吧！ 1.请你从入口开始，按1、2、3、4、1、2、3、4……的顺序走到出口处。（注意，不可以斜走，也不可以重复走，横走、竖走都可以。） 2.小白兔要按1、2、3……10的顺序从一格跳到相邻的一格。如果从1跳到10，可以选几条路线？（用铅笔画出来）。 3.下面是一个数字迷宫，请你从左上角的“9”进迷宫，从右下角

的“0”出迷宫。如果你沿左右方向走，遇数就用加法算，如果你沿上下方向走，遇数就用减法算。最后算到0，才能出迷宫。试试看，怎么走？ 4.童童放学回家要走过一处小水沟。必须按黑白相间跳过小石块，使小石块上的数字总和为61时，才不弄湿脚，请你试试看，该怎么走？ 5.请你把相同的水果用线连起来，要求三条线不能交叉和重叠。试试看。 6.小狗开着一辆赛车闯迷宫，他应该怎样走才能很快走出迷宫？请

你帮帮他。 7.乐乐要把一篮鸡蛋送给住在森林里的爷爷，可是他要走过一座迷宫才行。小朋友，你知道乐乐该怎么走吗？ 8.在迷宫中有一些小鱼，小猫能吃到几条鱼呢？ 9.小兔子该走什么路线才能很快吃到萝卜？请你帮小兔了把路线画出来。

10.从A处进去，从B处出来，怎样才能很快走出迷宫？请你画出行走路线。 11.小花猫走哪条路线能捉到老鼠？请把路线画出来。

第三讲单数和双数(1)(2) 小学里的整数可以分成单数和双数两大类。1、3、5、7、9……叫做单数；0、2、4、6、8……叫做双数。数物体时，双数个物体，两个、两个地数刚可以数完；如果是单数个物体，两个、两个地数，数到最后总要剩一个。 单数与双数相加、相减，有以下特点。 （1）双数与双数相加、减，结果仍是双数。 （2）单数与单数相加、减，结果是双数。 （3）单数与双数相加、减，结果为单数。 根据单双数的运算特点，可以解决许多有趣的问题。 1.幼儿园小朋友分一筐苹果，每人2个，分到最后还剩下1个。这筐苹果的个数是单数还是双数？ 2.小明的奶奶数一篮鸡蛋，她把鸡蛋两个两个地往外拿，拿了几次以后正好拿完。那么，这篮鸡蛋的个数是单数还是双数？

趣味数学秋期(4年级第一讲)

趣味数学第一讲 错误! 1、你能默写数位顺序表吗？ 2、读作： 3、写作： 4、两个大数的比较： 5、用万和亿做单位： 温故而知新： 一、填空 1、在数位顺序表中，从个位起向左数，第五位是（），亿位是第（） 位。 2、600340040读作（），它是（）位数，6表示（） 个（）。 3、一万是（）个千，100个（）是1亿。 4、最高位是千万位的数是（）位数，一个七位数的最高位是（）位。 5、一个数的亿位、万位合格个位上的数都是8，其余各位上的数都是0，这个数 写作（），用“四舍五入”法，省略亿位后面的尾数约是（）。 6、雅兴小区1号楼3单元3层2号房的编号是13302号，那么该小区中的5号 楼4单元4层1号房的编号是（）。 二、写出下面数的读作与写作。 20500000 366128 1640099 10060504

三、比较每组中的两个数的大小。 44554和18000200 16499和16504。 四、你能用2，4，8这三个数字和5个0按下列要求写出一个8位数。 （1）只读一个0。 （2）读两个0。 （3）一个0都不读。 五、改写成用万或亿作单位的数。 2310000= 320000= 3400000= 10000000= 231000000000= 32000000000= 300000000= 10000000000= 六、省略万位或亿位后面的位树求近似数 234500≈ 4560789≈ 33347000≈ 12333454404≈ 980765600≈ 8976600000≈ 思维提升部分鸡兔同笼 鸡兔同笼，是我国古代著名趣题之一，记载于《孙子算经》之中。鸡兔同笼问题，是小学奥数的常见题型。 许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"假设法"来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。通常是假设法比较简单易懂一点。

趣味数学校本课程实施方案

趣味数学校本课程实施方案 一、指导思想： 1、认真贯彻《基础教育课程改革纲要》的精神，确立现代教育观、课程观、质量观，利用课程分级管理的体制，优化课程结构，充分发挥教育资源的功能，促进学生的发展，努力创建符合新课标精神并具有我们学校特色的应用性数学校本课程。 2．促使学生个性潜能的充分发挥，促进学生的个性全面和谐的发展，以促进学生全面的、主动的、有个性地可持续发展为指导思想。利用社会资源、学校资源和家庭资源，开发校本课程，使学校形成办学特色。探索校本课程开发的程序，校本课程的教学模式、评价体系。体现“一切为了学生，一切为了学生的发展”的课程改革方针，落实课程改革的总体目标，提升学生的人文素养，培养学生的实践能力和创新精神。 3．校本课程是由学校自主开发的课程，由学生自愿参加，以学生活动为主，与必修课程一起构成学校课程体系。但它与必修课程在内容、要求的深广程度和活动形式等方面又不尽相同。校本课程更突出学生的自主性、自愿性和灵活性。它对培养学生的个性特长、创新思维和实践能力，培养学生分析和解决问题的能力，团结协作的能力、社会活动能力，具有十分重要的意义。我校根据：一切为了学生、为了学生一切、为了一切学生的办学宗旨，在“创造适合每个学生发展的课程”的目标指导下，致力于建构适应学校特点、适合学生成长的校本课程。

4．学校课程的开发不以编写教材为目的，学校课程的开发和实施是以师生共同参与、共同开发、共同生成为基本特征的。 二、设置依据 1、政策依据，《基础教育课程改革纲要》是我们目前开设校本课程的主要依据。 2、学校以“一切以学生的发展服务”作为学校今后发展的办学主导思想和追求，让每一个个体都具有开阔的胸怀与视野、全面的素质与富有个性发展的特长，真正体现了作为学校主人的教师与学生在学校教育哲学上的认同。 3、通过问卷和座谈会等多种形式，获取校本课程的设计与编制方面的信息并诊断这些信息，总结经验。几乎所有的学生都对学校开设校本课程表现出极大的兴趣，而尊重学生的个体差异，满足学生不同的学习兴趣需求，最大程度地确立学生的主体地位，促进学生主动地富有个性地学习，需要通过为学生提供丰富多彩的校本课程来保障。 4、评估学校的课程资源，我校有多媒体教室，为开展科技校本课程提供了完善设备。 三．校本课程的教学原则。 校本课程与其他课程一样．都是由学生全员参加的学校教育活动，在遵循一般教学原则的同时，还要考虑到其自身的特点和规律。应注意以下原则：

离散数学第二章

2.1 等值式 一、等值式的概念 两公式什么时候代表了同一个命题呢？抽象地看，它们的真假取值完全相同时即代表了相同的命题。 设公式A,B共同含有n个命题变项，可能A或B有哑元，若A与B有相同的真值表，则说明在2n个赋值的每个赋值下，A与B的真值都相同。于是等价式A B应为重言式。 定义2.1设A,B式两个命题公式，若A,B构成的等价式A B为重言式，则称A与 B是等值的，记作A B. 定义中给出的符号不是联结词符，它是用来说明A与B等值（A B是重言式）的一种记法，因而是元语言符号。此记号在下文中频繁出现，千万不要将它与混为一谈，同时也要注意它与一般等号=的区别。 判断等值式有如下方法： 1.真值表 2.等值演算 3.范式 二、用真值表判断公式的等值 例2.1判断下面两个公式是否等值： ┐(p∨q)与┐p∧┐q 解用真值表法判断┐(p∨q)(┐p∧┐q)是否为重言式。此等价式的真值表如表2.1所示，从表中可知它是重言式，因而┐(p∨q)与┐p∧┐q等值，即┐(p∨q)(┐p∧┐q)。 其实，在用真值表法判断A B是否为重言式时，真值表的最后一列（即A B的真值表的最后结果）可以省略。若A与B的真值表相同，则A B，否则，A B（用来表示A与B不等值，也是常用的元语言符号）。

表2.1 (p∨q)(┐p∧┐q)的真值表 例2.2判断下列各组公式是否等值： （1）p→(q→r)与(p∧q)→r （2）(p→q)→r与(p∧q)→r 解表2.2中列出了p→(q→r)，(p∧q)→r，(p→q)→r的真值表，不难看出p→(q→r)与(p∧q)→r等值，即 (p→q)→r(p∧q)→r 而(p→q)→r与(p∧q)→r的真值表不同，因而它们不等值，即 (p→q)→r(p∧q)→r 表2.2 3个公式的真值表 三、等值演算 虽然用真值法可以判断任何两个命题公式是否等值，但当命题变项较多时，工作量是很大的。可以先用真值表验证一组基本的又是重要的重言式，以它们为基础进行公式之间的演算，来判断公式之间的是否等值。本书给出16组重要的等值式，希望读者牢牢记住它们。在下面公式中出现的A,B,C仍然是元语言符号，它们代表任意的命题公式。

离散数学第二章一阶逻辑知识点总结

数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系 如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化

(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)G(x)) 这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用. 例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域 (1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或

人教版六年级上册趣味数学培训讲稿 第一讲 分数乘法

第一讲 分数乘法 【课内检测】 1.514 ×2表示（ ）； 13 ×34 表示（ ） 2.计算、怎样简便就怎样算。 13 ＋47 ＋23 ＋17 910 ×23 ×56 17 ×34×7×2 17 （89 +4 27 ）×27 421 ×75 - 45 ×221 (56 - 512 )×36 101×17 －17 345 ×2.5 53 56 ×57 517 +517 ×16 2325 ×1617 +1625 ×217 57 ×14 ＋34 ×5 7

2.解答下列应用题。 ①小明每分钟步行1 20 千米，10分钟可步行多少千米？1小时呢？ ②一个等边三角形的一条边长2 9 米，它的周长是多少米？ ③一个平行四边形的底是1213 米，高是26 27 米，它的面积是多少平方米？ ④个正方形的边长是2 7 分米，它的周长是多少分米，面积是多少平方分米。 ⑤小明第一天看了一本书的411 ，第二天看的相当于第一天的3 2 ，小明两天有没 有看完这本书？为什么？ ⑥一辆卡车每千米耗油110 升，照这样计算，行5 6 千米耗油多少升？行10千米 耗油多少升？

⑦一本书36页，第一天看了2 9 ，第二天应从第几页看起？ ⑧一条路100米，第一天修了这条路的12 ，第二天修了余下的1 3 ，还剩这条路 的几分之几没有修？ 【奥数达标】 1.用简便方法计算。 （1） 2538 ×8 (2) 73115 ×1 8 （3） 345 ×5.5 （4）7×13×（﹣） （5）2. 0.75 × 19 + 3 4 × 21 （6） 12 +16 +112 +120 + 130 +142 （7）21－41－81－161－321－641－1281－2561

数学分析(华东师大)第十一章反常积分

r mg R ∫ ∫ 第 十 一 章 反 常 积 分 §1 反常积分概念 一 问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 . 例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v 0 至少要多大 ? 设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R ) 处火箭所受的引力为 mg R 2 F = . x 2 于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为 2 ∫ d x = mg R 2 1 - 1 . R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = mg R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = m g R .

用g = 9 .81 ( m6s/2 ) , R = 6 .371×106 ( m) 代入,便得 v0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m6s/) . 例2圆柱形桶的内壁高为h , 内半径为R , 桶底有一半径为r 的小孔(图11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水, 共需多少时间?

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十一章

第十一章 反常积分 一、填空题 1．? +∞ -++1 31x x e e dx = 2． ? -+-3 1 ) 3()1(x x dx = 3． ?+∞ 2 )(ln k x x dx 其中k 为常数，当1≤k 时，这积分 ，当1

C )(dx x f a ? +∞ 与 )(dx x f c ? +∞ 同时收敛或同时发散。 D )(dx x f a ? +∞ 收敛， )(dx x f c ? +∞必发散。 3．若x x x f 104 )5(2-= -，则积分=+?40)12(dx x f ( ) A.0 B. 4 π C.是发散的广义积分 D.是收敛的广义积分 4． =+?-2 22)1(x dx ( ) A.34- B.34 C.3 2 - D. 不存在 5．下列广义积分发散的是( ) A. ?-1 1sin x dx B.?--1121x dx C.?+∞-02dx e x D.?∞+22ln x x dx 三．计算题 1．计算下列无究限积分： （1） ? ∞ +1 2 x dx ； （2）()?∞++12x 1x dx ； （3） ?∞ +∞-++1x 2x 2dx 2； （4）?∞+0x e dx ； （5） ?+∞ -0 x dx xe 2 2．讨论下列无穷限积分的敛散性： （1） ? ∞ ++0 3 4 1 x dx ； （2） ? ∞ +-a x dx e 1x ； （3） ?∞ ++0x 1dx ； （4） ? ∞ ++1 3 dx x 1xarctgx ； （5） ()? ∞ +->+0 1 a 1a dx x 1x ；